三角形基础知识归纳总结

合集下载

三角形基本知识(基础不好,可背诵)

三角形知识汇总（背诵版）一、三角形基本元素三个顶点，三条边，三个内角（简称角）二、三角形分类按角分: 锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角90°钝角三角形（有一个角是钝角，大于90°）按边分：不等边三角形等腰三角形（至少两条边相等）包括等边三角形（也称正三角形，三条边都相等，三个内角都相等，等于60°）三、三角形三边的关系任意两边之和大于第三边（两条短边的和大于最长的边，便可构成三角形）任意两边只差小于第三边已知两条边边长，则第三边的范围：两边只差< 第三边 < 两边之和四、三角形三线中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段①∵AD是ΔABC的中线（如下图）②∵AD是ΔABC的中线（如下图）∴BD=CD=½BC或者BC=2BD=2CD ∴ΔABD的面积等于ΔADC的面积角平分线∵AD是ΔABC的角平分线（如右图）∴∠BAD=∠CAD=½∠BAC高线（高）:做垂线，顶点与垂足之间的线段B D C∵AD是ΔABC的高线（如右图）∴AD⊥BC∴∠BDA=∠CDA=90°四、三角形的稳固性三角形具有稳定性五、三角形的内角三角形的内角和等于180°平角等于180°两角互补（两角之和等于180°）两平行线间的同旁内角之和等于180°直角三角形的两个锐角互余两个锐角之和90°（有两个角互余的三角形是直角三角形）六、三角形的外角（看下图）三角形一边的延长线与相邻的另一边组成的角，是三角形的外角每个顶点处有两个外角、是两个对顶角，每个三角形有6个外角每一个外角与它相邻的内角互补每一个外角等于它不相邻的两个内角和每一个外角大于任何一个与它不相邻的内角三角形的外角和每个顶点处各取一个外角，三个外角的和角三角形的外角和三角形的外角和等于360°七、多边形由不在同一条直线上的多条线段首尾顺次相接组成的封闭图形（以下假设多边形边数为n）顶点形成多边形的线段的各端点边形成多边形的各线段多边形的边数等于（多边形的内角和÷ 180）+2对角线连接不相邻的两个顶点的线段多边形的对角线条数等于n ×（n-3）2内角两条相邻的边所形成的角多边形的内角和(所有内角加在一起) (n2)×180°外角多边形的一条边的延长线与相邻的一条边组成的角多边形的外角和等于360°（三角形的外角和等于360°）多边形表示五边形ABCDE或者五边形AEDCB (注意字母顺序)不能说五边形ABECD和其他多边形的种类凸多边形延长多边形的任何一条边，多边形整个图形都在这条延长线的同一侧凹多边形延长多边形的任何一条边，多边形整个图形不都在这条延长线的同一侧正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形。

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。

本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。

一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。

三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。

二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。

每个内角都为60度。

(2)等腰三角形：两条边的长度相等。

顶角所对的两边相等。

(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。

2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。

(2)直角三角形：一个内角为90度。

较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。

(3)钝角三角形：一个内角大于90度。

三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。

即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。

3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。

三角形的角平分线相交于三角形的内心。

4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。

三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。

6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。

在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。

四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。

直角三角形知识点总结

直角三角形知识点总结直角三角形是初中数学中的重要内容，具有独特的性质和广泛的应用。

下面我们来详细总结一下直角三角形的相关知识点。

一、直角三角形的定义有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

二、直角三角形的性质1、角的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

即两锐角之和为 90°。

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2、边的性质（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝c²。

（2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、面积性质直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

三、直角三角形的判定1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。

2、若一个三角形的三边满足 a²＋ b²＝ c²，则这个三角形是直角三角形。

四、特殊的直角三角形1、等腰直角三角形（1）两条直角边相等。

（2）两个锐角都为 45°。

（3）斜边是直角边的√2 倍。

2、含 30°角的直角三角形（1）30°角所对的直角边是斜边的一半。

（2）较长的直角边是较短直角边的√3 倍。

五、直角三角形的周长和面积计算1、周长直角三角形的周长等于三条边的长度之和。

2、面积面积＝直角边×直角边÷2 或者面积＝斜边×斜边上的高÷2六、直角三角形与三角函数在直角三角形中，我们可以引入三角函数来描述边与角的关系。

正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

例如，在一个直角三角形中，如果一个锐角为 A，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，那么：sin A ＝ a ／ ccos A ＝ b ／ ctan A ＝ a ／ b七、直角三角形的应用直角三角形在实际生活中有广泛的应用，比如建筑工程中的测量、导航中的方向计算、物理学中的力学问题等。

三角形基础知识归纳总结

2、三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 .（2）交点情况：① 三条高所在的直线交于一点：三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部；三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 .三角形的高② 三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 .三角形的中线③ 三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 .3、三角形的内角和三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于 180° .三角形的三个内角用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° .4、三角形的外角与内角的关系（1）等量关系：（2）不等量关系：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 .5、多边形多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 .对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .六边形多边形对角线条数探索：归纳总结：（1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是 360° ；正 n 边形的每个内角是：（2）从 n 边形的一个顶点出发，可做 ( n - 3 ) 条对角线，把 n 边形分成 ( n - 2 ) 三角形，所以 n 边形的内角和是 ( n - 2 )180° ；一个 n 边形一共有 n ( n - 3 ) / 2 条对角线 ( n ≥ 3 ) .（3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补；如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补 .二、习题练习【三边关系】1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B ）A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ C ）A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，53．已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A．1 B．2 C．8 D．114．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ B ）A．3，4，81、如图，将直尺与含 30° 角的三角尺摆放在一起，若 ∠1 = 20°，则 ∠2的度数是（ A ）A．50° B．60° C．70° D．80°2、如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则5、如图，在 △ABC 中，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若 ∠A=54°，∠B=48°，则 ∠CDE 的大小为（ C ）A．44° B．40° C．39° D．38°6．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如果 ∠A = α，∠CEA′ = β，∠BDA' = γ，那么下列式子中正确的是（A ）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β7．如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD，若 ∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于（ C ）A．40° B．45° C．50° D．55°9、如图，点 D 在 △ABC 边 AB 的延长线上，DE∥BC．若 ∠A = 35°，∠C = 24°，则 ∠D 的度数是（ B ）A．24° B．59° C．60° D．69°10．如图，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 的中点，DM 平分 ∠ADC，且 ∠ADC = 110°，则 ∠MAB =（ B ）A．30° B．35° C．45° D．60°11．如图，墙上钉着三根木条 a，b，c，量得 ∠1=70°，∠2=100°，那么木条 a，b 所在直线所夹的锐角是（ B ）A．5° B．10° C．30° D．70°12．已知直线 m∥n，将一块含 45° 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线 n 交于点 D．若 ∠1 = 25°，则 ∠2 的度数为（ C ）A．60° B．65° C．70° D．75°13、已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．14．如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．（1）若 ∠C = 36°，求 ∠BAD 的度数．（答案：54° ）（2）若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F．求证：FB = FE．【三角形的重要线段】1．如图，在 △ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是（ B ）A．线段 DE B．线段 BE C．线段 EF D．线段 FG2．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是 ∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC = 50°，∠ABC = 60°，则 ∠EAD + ∠ACD =（ A ）【三角形的稳定性】1．下列图形具有稳定性的是（ A ）【多边形】1．如图，在五边形 ABCDE 中，∠A + ∠B + ∠E = 300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则 ∠P=（ C ）2．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 度．3、通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是540 度．4．一个 n 边形的每一个内角等于108°，那么 n = 5 ．5、若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8 ．6、五边形的内角和是 540。

解三角形知识点总结

解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。

正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。

二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。

余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。

可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。

2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。

四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。

即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。

2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。

3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。

三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)

三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

完整版)解三角形知识点归纳总结

完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。

变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。

利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。

②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。

4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。

二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。

三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。

高中数学解三角形知识点总结

高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。

本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。

二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。

- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。

2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。

3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。

- 等腰三角形：两边相等，底角相等。

- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。

四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。

2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。

3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。

4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。

五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。

- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。

2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。

- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。

六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。

初中数学知识归纳三角形的性质与定理

初中数学知识归纳三角形的性质与定理三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它具有丰富的性质与定理。

在本文中，我们将对初中数学中与三角形有关的性质与定理进行归纳总结。

一、三角形的基本性质1. 三角形的定义：一个平面内由三条不在同一直线上的线段所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。

3. 三角形的两个重要角度和角度和：三角形的角度和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

4. 三角形的边对应角：三角形的边与其对应角有对应关系，即边a对应∠A，边b对应∠B，边c对应∠C。

二、三角形的分类1. 三角形的按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如三边长都是5cm的三角形。

b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如底边长度为4cm，两腰边长度都是3cm的三角形。

c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2. 三角形的按角度分类：b. 直角三角形：一个内角是90度的三角形。

c. 钝角三角形：一个内角是钝角的三角形。

三、三角形的诱导性质与定理1. 等腰三角形的性质与定理：a. 等腰三角形的底边上的两个角相等。

b. 等腰三角形的两条腰相等。

c. 等腰三角形的两条腰上的两个角相等。

d. 等腰三角形的底角和顶角互补，即底角 + 顶角 = 180°。

2. 直角三角形的性质与定理：a. 直角三角形中，直角的两条直角边相等。

b. 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和，即c² = a² + b²。

c. 两个边长相等的直角三角形，两个锐角也相等。

3. 等边三角形的性质与定理：a. 等边三角形的三个角都是60度。

b. 等边三角形的三条边都相等。

4. 锐角三角形的性质与定理：b. 锐角三角形中，最长的一边是斜边，最长的一边的对角是最大的角。

5. 外角定理：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。

6. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。

三角形知识点整理三角形的基础知识点

三角形知识点整理三角形的基础知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在学习三角形的基础知识点时，我们需要了解三角形的性质、分类、特殊三角形以及三角形的计算等方面的知识。

下面是关于三角形的详细介绍：1.三角形的性质：（1）三角形的内角和为180度，即三个内角的度数和为180度。

（2）两边之和总是大于第三边，即三边的任意两边之和大于第三边。

（3）三角形的任意两边之差的绝对值小于第三边的长度，即三边的任意两边之差的绝对值小于第三边的长度。

（4）三角形的两个角和第三个角的差等于180度，即三个角的任意两个角和第三个角的差等于180度。

2.三角形的分类：（1）按照角度分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

（2）按照边长分类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

（3）按照角度和边长的关系分类：等腰直角三角形、等腰钝角三角形等。

3.三角形的特殊三角形：（1）等边三角形：三条边的长度相等，三个角也相等，每个角为60度。

（2）等腰三角形：两边的长度相等，两个角也相等。

（3）直角三角形：一个角度为90度。

（4）钝角三角形：一个角度大于90度。

（5）等腰直角三角形：一边长度等于斜边的一半，另一边和斜边的长度相等，一个角为90度，另一个角度为45度。

4.三角形的计算：（1）三角形的周长：三角形的周长等于其三条边的长度的和。

（2）三角形的面积：根据三角形的不同形状，可以使用不同的公式计算三角形的面积，如海伦公式、正弦定理、余弦定理、高度公式等。

5.三角形的重要定理：（1）正弦定理：在任意三角形中，三条边的长度和三个对应的角度之间存在着一定的关系，即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c 分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的角度。

（2）余弦定理：在任意三角形中，三条边的长度和三个对应的角度之间也存在一定的关系，即c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的边长，C为夹角。

认识三角形(基础)知识讲解

认识三角形(基础)知识讲解高、中线、角平分线要点诠释：1）高：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条垂线，垂足到对边的线段就是三角形的高；2）中线：连接三角形的两个顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线；3）角平分线：从三角形顶点所在的顶角向对边所在的边引一条线段，使得这条线段把顶角分成两个相等的角，这条线段就是三角形的角平分线；4）应用：高可以用来求三角形面积，中线可以用来求三角形重心，角平分线可以用来求三角形内心．三角形的高是连接一个顶点和它对边中点的线段，角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段。

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段称为高。

作图过点A作AD⊥BC于点D，其中AD是△ABC的高，也是△ABC中BC边上的高，同时AD⊥BC于点D，且∠ADC＝90°，∠ADB＝90°。

因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC。

三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，且三角形的三条中线交于三角形内角度相等的点。

三角形的角平分线是一个内角的平分线，交于对边上的一点。

证明三角形的内角和为180°的两种方法：一是通过平行线和内错角、同位角的性质，二是通过在三角形内部任取一点，连接直线并利用平行线和内错角、同位角的性质。

答案与解析】选D。

解：三角形成立的条件是任意两边之和大于第三边，即a+b>c，b+c>a，a+c>b。

A。

2cm。

4cm。

7cm 不成立，因为2+4<7不满足条件。

B。

3cm。

5cm。

9cm 不成立，因为3+5<9不满足条件。

C。

4cm。

6cm。

10cm 不成立，因为4+6<10不满足条件。

D。

5cm。

7cm。

9cm 成立，因为5+7>9，7+9>5，5+9>7都满足条件。

总结升华】判断三角形是否成立，可以利用三角形成立的条件：任意两边之和大于第三边.运用三角形中线的定义，我们可以得到线段AD＝BD，这是解答本题的关键。

(完整版)三角形知识点总结

三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线.（2）∠1=∠2= ∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心）③角平分线上的点到角的两边距离相等（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。

三角形三条高所在直线交于一点（垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC注意：①三角形的中垂线是直线；②三角形的三条中垂线交于一点（外心）小总结：内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边距离相等.外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点距离相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.7、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形所有知识点总结

三角形所有知识点总结三角形是几何学中的一个基本概念，它是由三条线段连接而成的图形。

本文将从不同的角度介绍三角形的知识点，包括定义、分类、性质、应用等。

一、三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段都是另外两条线段的端点之间的直线段。

三角形的三个顶点可以用大写字母A、B、C表示，而三条边可以用小写字母a、b、c表示。

二、三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为以下几种类型：1. 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。

2. 根据角度大小分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于180°。

2. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角均为60°。

3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。

4. 直角三角形的性质：直角三角形的一个内角为90°。

5. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角均小于90°。

6. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角大于90°。

四、三角形的应用三角形在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的测量：三角形的边长和角度可以通过测量来确定，例如在建筑设计和土木工程中常用于测量地形和角度。

2. 三角函数的应用：三角函数是三角学的重要分支，它在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

3. 三角形的相似性：相似三角形是几何学中的一个重要概念，它在计算几何和图形变换中有着重要的应用。

4. 三角形的几何关系：三角形的几何关系包括垂直、平行、相交等，它们在几何证明和几何推理中起着重要的作用。

三角形是几何学中的一个基本概念，它具有丰富的性质和广泛的应用。

通过学习和研究三角形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理和方法。

无论是在学术研究还是实际应用中，三角形都扮演着重要的角色，它不仅是数学学科的基础，也是其他科学领域的重要工具和方法。

初中三角形知识点整理

初中三角形知识点整理
目录：
1. 三角形的定义
1.1 三角形的构成要素
1.1.1 三角形的三条边
1.1.2 三角形的三个顶点
1.1.3 三角形的三个内角
1.2 三角形的分类
1.2.1 根据边长分类
1.2.2 根据角度分类
1.2.3 根据边和角的关系分类
1.3 三角形的性质
1.3.1 三角形内角和
1.3.2 三角形外角和
1.3.3 三角形的周长
2. 三角形的特殊情况
2.1 等边三角形
2.2 等腰三角形
2.3 直角三角形
2.4 斜角三角形
3. 三角形的相关定理
3.1 直角三角形的勾股定理
3.2 等腰三角形的性质
3.3 等边三角形的性质
4. 三角形的周长和面积计算
4.1 周长的计算方法
4.2 面积的计算方法
5. 三角形的应用
5.1 三角形在建筑中的应用
5.2 三角形在工程中的应用
5.3 三角形在日常生活中的应用
6. 三角形的综合题型解析
6.1 三角形的基础题型
6.2 三角形的综合题型
7. 三角形的拓展知识
7.1 三角形的外接圆和内切圆
7.2 钝角三角形的性质
7.3 锐角三角形的性质
8. 总结讨论
（注：具体内容请使用文字描述，并不得出现任何数字和符号。

）。

四年级数学三角形知识点归纳

四年级数学三角形知识点归纳一、三角形的基础概念三角形呢，就是由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

就像三根小木棍，它们的端点连接起来，就形成了三角形这个有趣的图形。

三角形有三个顶点，这三个顶点就像是三角形的小脑袋，三条边就像是它的手臂，把这三个顶点连在一起啦。

还有三个内角，这内角的大小可决定了三角形的很多特性呢。

二、三角形的分类1. 按角分类锐角三角形，这种三角形的三个角都是锐角，锐角就是小于90度的角。

就好像是三个小锐角小伙伴凑在一起组成了一个锐角三角形小团体。

直角三角形，它有一个角是直角，也就是90度的角，这个直角就像是这个三角形里的小班长，特别突出。

另外两个角是锐角，它们三个角相互配合，构成了直角三角形这个独特的图形。

钝角三角形，有一个角是钝角，钝角就是大于90度小于180度的角。

这个钝角就像一个大哥哥，带着两个锐角小弟弟，组成了钝角三角形。

2. 按边分类等边三角形，这个三角形可厉害了，它的三条边都相等，就像三个一模一样的小士兵，站得整整齐齐。

而且它的三个角也都相等，每个角都是60度呢。

等腰三角形，它有两条边相等，这两条相等的边就像是双胞胎一样。

这两条相等边所对的角也相等。

不等边三角形，这种三角形的三条边都不相等，每个边都有自己的个性，每个角也都不一样大。

三、三角形的特性1. 稳定性三角形具有稳定性，这可是三角形超级酷的一个特性。

你看生活中的很多东西都利用了三角形的稳定性，比如自行车的车架，它就是三角形的结构，这样自行车在骑行的时候就不容易变形。

还有那些高压电线杆的支架，也是三角形的，就算风吹雨打，它也能稳稳地立在那里。

2. 三角形的内角和三角形的内角和是180度。

不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，它们三个角的度数加起来都是180度。

这个就像是三角形的一个小秘密，是一个不变的定律呢。

我们可以通过很多方法来验证这个内角和，比如把三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，就会发现它们正好能拼成一个平角，也就是180度。

新人教版初中数学——三角形及其全等-知识点归纳及例题解析

新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒，故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ；（2）9÷0.5=18（s ）．答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ，则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒，在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ．故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。