(完整)人教版九年级上册数学旋转变化中的压轴题

拔高专题：旋转变化中的压轴题一、基本模型构建

常

见

模

型

思考上图中，△AE′B旋转到AED的位置，

可得△AE′E为等腰三角形。如果

四边形ABCD是矩形或正方形，则三角

形AE′E为等腰直角三角形。

上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，

可以得到∠EAC=∠DAB ，如果∠

B=60°，所以△ADB为等边三角

形.

二、拔高精讲精练

探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换

例1：

（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD ；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

②当AC=1

2

ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、

D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；

（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，

AB AC

BAE CAD AE AD

⎪

∠

⎪

⎩

∠

⎧

⎨

＝

＝

＝

，

∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=

1

2

ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°，

∴角α的度数是45°或225°．

等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强 【变式训练】1. 如图①，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC ，AB 与EC 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF=CH ； （2）如图②，Rt △ABC 不动，将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE ，∴∠1=∠2=90°-∠BCE ，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，

在△ACF 和△DCH 中，12A D AC CD ∠∠∠⎧⎪∠⎪

⎨⎩

＝＝＝，∴△ACF ≌△DCH ，∴CF=CH ；

（2）四边形ACDM 是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，

∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM ∥DC ，AC ∥DM ，

∴四边形ACDM 是平行四边形，∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形．

【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换

例2:根据图形回答问题：

（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）

（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．

（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．

解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE 可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

（2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE，在△DME和△GMN中，

MDE MHG DME GMN DM MG

∠∠

∠∠

⎧⎪⎨⎪⎩

＝

＝

＝

，

∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，∴△NFE是等腰直角三角形，

∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC

与DM 交点标为Q ）

在△DME 和△GMN 中，EM MN DME GMN DM MG ⎪

∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝，∴△DME ≌△GMN ．∴DE=NG ，∠EDM=

∠NGM ，

∴EC=NG ，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE ）-（90°-∠FGM ）=∠EDM+∠FGM ，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF ，∴∠ECF=∠NGF ，∵EC=DE=NG ，

在△ECF 和△NGF 中，FC FG ECF NGF EC NG ⎪

∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝，∴△ECF ≌△NGF ，∴EF=NF ，∠EFC=∠NFG ，

∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN 是等腰直角三角形，∴FM ⊥EM ，并且FM=EM 。

【变式训练】2. 两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE=2cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AE 、CG ，求证：△AED ≌△GCD （如图②）． （2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．

证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD ，ED=CD ，∠ADC=∠GDE=90°，

∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE ，即∠ADE=∠GDC ，在△AED 与△GCD 中，

AD GD ADE GDC ED CD ⎪

∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝， ∴△AED ≌△GCD （SAS ）；

（2）如图③，∵α=45°，BC ∥EH ，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE ，∴∠CNE=90°， ∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND 是矩形，∵CN=NE ，∴DN=NH ，∴矩形MHND 是正方形．

【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决. .