593 第五章能带理论总结

能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替
V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
? ? 2.势场: V ( x ) ?
Vn e ikx
n
Vn
?
1 a
a
2 ?a
V
(
x
)e
?
ikx
dx
2
? ? Vn
?
1 a
a
2 ?a
V
(
x
)e
?
ikx
d
x?
2
1 a
a
? i 2 π nx
2 ?a
r?
? u? k
r? ?
? Rn
布洛赫波函数具有如下特点：
? ? (r??
? Rn )
?
??
eik?Rn
(r?),
?
? bi 2
?
? ki
?
? bi 2
，(i
?
1，2，3)
? ? ?
(
? r)
?
k
?
?? k? K
(r)
h
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势
Rn
5.能带宽度： ? E ? Emax ? Emi n
费米面的构造法
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)；
? ? ? N ?
kF
?? Z (k )d k
?
0
kF 0
2N A?
2 πkd k
?
πk
2 F
2N A?
kF
?
?? A ? ? ??1 2
? 2π ?
3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进
以上结果称为休姆—罗瑟里定则。
2.对休姆-罗瑟里定则的解释 第一、? , ?, ? 各相单独存在时，价电子数与原子数之比有 确定值；
第二、价电子数/原子数=1.48时，以? 相存在，而不是以? 相存在。
在合金中，二价元素锌的浓度超过36%后，如果仍维持? 相， 则由于能级密度迅速减小，电子要填充到比较高的能级；而对于 ? 相结构，锌的浓度要到48%时，即E>EA后，能级密度才迅速减 小，电子可以填充到比较低的能级。因此当锌的浓度超过36%但 低于48%时， ?相比较稳定。同理也可以说明，当浓度再增加时, 合金的结构又要改变，即进入?相。
(3)在k远离n? /a处，电子的能量与自由电子的能量相近。 利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。
5.能带图 (a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；
(b)简约区图：将不同能带平移适当 的倒格矢进入到第一布里渊区内表示( 在简约布里渊区内画出所有能带)；
(c)周期区图：在每一个布里渊区
? Kl
a
(
? K
l
)e
? iK
l
?r?
? ? 将
?
? (r?)
k
代入薛定谔方程H?
?
? k
(
r
)
?
? E(k)
? k
(r?)得
:
? ??
?2 2m
(
? Kn
?
? k)2
?
? 2k2 2m
? ??
a
(
? Kn
)
?
? V (K n )a(0) ?
0
?? 2k2
? ?
2m
?
?? E ( k )?a(0 )
第 五 章 能带理论 总结
?布洛赫定理 ?近自由电子近似 ?平面波方法
?紧束缚近似 ?费米面的构造法 ?休姆-罗瑟里定则
布洛赫定理
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调
幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
? ?? ?? ? k
r?
?
e u ik??r? ? k
r?
? ? ? ? u? k
?
V
(
? K
m
)e
? iKm
?r?
? ? V ( r? ) ?
km
?
? V ( Km
)ei
? Km
?r?
?
V0
?
?
'
V
(
? Km
)e
? iKm
?r?
km
km
? 0? k
(r?)
?
1 e ik??r? ? V
1
e ik??r?
NΩ
E
0? k
?
? 2k2 2m
?
?
? k
(
r
)
?
? 1
NΩ
e? ik
?r?
入简约布里渊区中等价部位；
4.对自由电子费米面加以修正，即费米面同布里渊区边界 垂直相交以及尖角处要钝化(费米面的简约区图)。
休姆-罗瑟里定则
1.休姆-罗瑟里定则 在黄铜系中，各个相单独存在的区域内，各成分可用化 学式表示，各相中价电子数同原子数之比也有确定值。 ?相（体心立方）CuZn 价电子数/原子数=3/2 ?相（复杂立方）Cu5Zn8 价电子数/原子数=21/13 ?相 (六角密积）CuZn3 价电子数/原子数=7/4
0
? k'
?
? ?k
?
? Kn
0
Kn
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。
ห้องสมุดไป่ตู้ 紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V(r??
? Rn
)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
V
(
x
)e
a
dx
2
? 其中 V0
?
1 a
a
2 ?a
V
(
x
)d
x
是势能的平均值
2
。
3.波函数和能量
?
0 k
(
x
)
?
Ae ikx ， A ?
1 L
E0 k
?
?2k2 2m
? k(x) ?
? ? e u (x) ?
1
? e ik x?1 ?
L?
??
n
'
?2 2m
i 2 π nx
Vne a
? ??
k
2
?
(k ?
2π a
?
?
?
n
)
2
? ??
? ??
ikx k
? E k
?
? 2k2 2m
?
n
'
?2 2m
???k 2
Vn 2 ? (k ?
2π a
n
)
2
? ??
4.结论: (1)在k=n? /a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁
带，禁带宽度为 2Vn ；
(2)在k=n? /a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上 弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；
?? 2.势场
Vr
?
V
at
? (r
?
?
Rn ) ? ??
'V
at
? (r
?
? Rm )
Rm
3.波函数
? ? ? ?
? (k
,
r?)
?
1 N
??
e ik?Rn
? Rn
at
?
(r?
?
? Rn )
?
?? ?
? 4.能量表达式：
E? (k) ? E?at ? J ss ?
?
' e J ik?( Rn ? Rs ) sn
周期性地画出所有能带(强调任一特
定的波矢k的能量可以用和它相差Kh 的波矢来描述)。
电子能带的三种图示法
每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能
带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。
平面波方法
1.模型：
平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。
2.势场和波函数：
? V (r?) ?
?
?
V (?
?? Kn )a( Kn )
?
0
? V (Kn )a(0) ?
?? 2k2
? ?
2m
?
?? ? E ( k )?a( Kn )
?
?
0
? E(k) ?
?2k2 2m
?
? V ( Kn )
3.结论：
? 发生能量不连续的波矢 k满足的条件可改写为:
?? K n ?(k ?
? Kn ) ? 2