电流的磁场

第十一章 电流的磁场§11-1基本磁现象§11-2磁场 磁感应强度一、 磁场电流磁铁磁场电流磁铁↔↔↔↔电流磁场电流↔↔实验和近代物理证明所有这些磁现象都起源于运动电荷在其周围产生的磁场，磁场给场中运动电荷以作用力（变化电荷还在其周围激发磁场）。

1)作为磁场的普遍定义不宜笼统定义为传递运动电荷之间相互作用的物理场。

电磁场是物质运动的一种存在形式。

2)磁场相互作用不一定都满足牛顿第三定律。

二、 磁感应强度 实验发现：①磁场中运动电荷受力与vˆ有关但v F ˆˆ⊥； ②当0ˆ=F 时，v ˆ的方向即B ˆ的方向（或反方向）； ③当B v ˆˆ⊥时，maxˆˆF F =； ④qvF max与qv 无关，B v q Fˆˆˆ⨯=。

描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量。

由B v q Fˆˆˆ⨯= （B ˆ的单位：特斯拉） 为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。

Bˆ大小： qvF B max=（B vˆˆ⊥时）方向由上式所决定。

三、 磁通量1. 磁力线磁场是无源涡旋场2. 磁通量（Bˆ通量） s d Bds B ds B d n m ˆˆcos ∙===Φα⎰⎰⎰==Φ=Φssn m m ds B ds B d αcos⇒ ⎰∙=Φsm s d Bˆˆ (单位：韦伯（wb ）) 3. 磁场的高斯定理由磁力线的性质⎰⎰∑=∙q s d Dˆˆ 0ˆˆ=∙⎰ss d B (⎰⎰∑=∙s iqs d E 01ˆˆε)§11-3 比奥—萨伐尔定律一、 电流元l Id ˆ在空间（真空）某点产生的Bd ˆ 2)ˆ,ˆs i n (r rl Id Idl dB ∝322ˆˆˆˆˆˆr r l Id k r l d I k r r r l Id k B d ⨯=⨯=⨯= 与电荷场相似，磁场也满足迭加原理⎰⎰⨯==L L r r l Id k B d B 3ˆˆˆˆ在国际单位制中（SI 制）70104-==πμk ，真空磁导率70104-⨯=πμTmA -1（特米安-1） ⇒ 3ˆˆ4ˆ0rr l Id B d ⨯=πμ 当有介质时，r μμμ0=，⇒3ˆˆ4ˆr r l Id B d ⨯=πμ 二、 运动电荷的磁场（每个运动带电粒子产生的磁场）设：单位体积内有n 各带电粒子，每个带电粒子带有电量为q ，每个带电粒子均以 v 运动，则单位时间内通过截面s 的电量为qnvs ，即 q n v sI = 代入上式（l Id ˆ与v ˆ同向），()20)ˆ,ˆs i n (4rrv dl qnvs dB πμ= 在电流元内有nsdl dN =个带电粒子以速度vˆ运动着，由迭加原理，每个带电离子以速度vˆ运动所产生的磁场 2)ˆ,ˆs i n (rrv qv dN dB B ==30ˆˆ4ˆr r v q B ⨯=πμ （可以看成微观意义上的毕奥-萨伐尔定律） 例：一半径为R=1.0cm 的无限长半圆柱面导体，沿尺度方向的电流I=5.0A 在柱面上均匀分布。

试求半圆柱面轴线OO ’上的磁感应强度。

解：（目的：典型磁场的迭加计算）设xoy 平面垂直于OO ’轴，在圆柱面上引平行于OO ’ze轴取一直线电流，宽度为dL ，则dL RIdI π=（面电流密度） )(,222202200θπθμπμπμRd dl RId R IdL R dI dB ====Bd ˆ分解为dB x 和dB y 。

⎪⎩⎪⎨⎧===-=θθπμθθθπμθd R IdB dB d R I dB dB Y Xcos 2cos sin 2sin 2020 积分RI R I d R I B x 20020020|c o s 2s i n 2πμθπμθθπμππ-==-=⎰ 0|sin 2cos 2020020===⎰ππθπμθθπμRI d R I B y （可由对称性直接得） )(ˆ1037.6ˆˆˆˆ520T i i RI j B i B B y X -⨯-=-=+=πμ 三、 毕奥-萨伐尔定律的应用 1. 载流长直导线的磁场设长为L 的直导线，其中电流为I,计算离直导线距离为a 的P 点的磁感应强度。

左⎰⎰==21212sin 4A A A A r Idl dB B απμ ⇒ααπcot )cot(a a l -=-+=⇒ αα2s i n ad dl = 而 α222s i n a r = )cos (cos 4sin 4210021ααπμααπμαα-==⎰aIa d I B 讨论：若为无限长直导线 01=α ，πα=2⇒ aIB πμ20=（B 与0μ，I ，a 以及导线的形状有关） B 与距离a 的一次方成反比。

2. 载流圆线圈轴线上的磁场设有圆形线圈L,半径为R ，通以电流I ，计算轴线上P 点的磁感应强度，设P 点到线圈圆心O 的距离是x 。

⎰=αc o s dB B )ˆ,ˆsin(420r l d rIdldB πμ=对轴上场点P ，1)ˆ,ˆsin(=r ld 。

αs i n r x =220sin 4απμxIdl dB =⎰⎰==dl x I dB B ααπμαcos sin 4cos 22222222sin cos x R x x R R+=+=αα ，⎰=R dl π2 ∴21)(22220x R IR B +=μ 讨论：① 在圆心处,0=x RIB 20μ=②R x >>时， 3202x IR B μ=例：半径为R 的薄圆盘上均匀带电，总电量为q 。

令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感应强度。

解：（目的：典型的磁场迭加计算）相当于一系列半径不同的同心圆电流产生的磁场的迭加。

圆盘上电荷面密度为2R q πσ=，取半径为r ，宽为dr 的圆环。

r d r dq πσ2∙=rdr rdr dq dI σωπωπσπω=∙=∙=222 dr x r r rdr x r r x r dIr dB 232323)(2)(2)(2223022202220+=+=+=σωμσωμμ ⎰⎰+=+=RRx r r d dr x r r B 02240022302323)()(8)(2σωμσωμ 令：222x r +=λ，则2224)(x r -=λ，λλλd x dr )(4234-=当r=0时，x =λ当r=R 时，21)(22r R +=λ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=⎰+-x x R r R d x B r R x2)(22)1(221212222220)(220σωμλλσωμωπμˆ2)(22ˆ21222220⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=x x R r R R q BB 的方向： 0>q 时，ω与相同 0<q 时，ω与相反 3. 载流螺线管中的磁场取中心点为坐标原点，P 点坐标为x ，电流圆环轴线上的磁场23)(22220x R IR B +=μ 计算螺线管轴线上的磁场分布，设：螺线管的半径为R ，总长度为L ，单位长度内的匝数为n ，电流为I 。

dl 长度有ndl 匝，在P 点产生的磁场[]ndl l x R IR dB ∙-+=232220)(2μ （x 作为常量，l 作为变量）[]⎰--+=22232220)(2LL l x RnIdlR B μ （以β为变量积分，上下限是1β，2β）由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=βsin )(222R r l x R r ，由式βcot =-Rlx 取微分得 ββ2sin d R dl =， ββ2s i n d R dl =得()21033220320cos cos 2sin 2sin sin 22212222ββμββμβββμμββ-====⎰⎰⎰--nI d nI R Rd R nIr dl R nI B LL LL由 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+-=+++=222221)2(2c o s )2(2c o s L x R L x L x R L x ββ 代入上式可得B 与x 的关系，当R L >>时，中间很大一个范围内近于均匀磁场，只是在端点附近才显著下降。

讨论：① 无限长螺管πββ==∞→21,0,L⇒ nI B 0μ= 均匀磁场（不仅对轴，对整个管内适用）② 在半无限长螺线管的一端πβπβπββ====212122,0，或，都有20nIB μ=（将无限长螺线管截成两半，很好理解）补例：一长为l=0.1m ，带电量为c q 10101-⨯=的均匀带电细棒，以速率为s m v /1=沿x轴正方向运动。

当细棒运动到与y 轴重合的位置时，细棒的下端与坐标原点O 的距离为m a 1.0=，求此时坐标原点O 处的磁感应强度的大小。

解： 电荷线密度 l q =λ电荷元 dy lq dy dl ==λ 由 20203044ˆˆ4y dy l qv yvdl r dl r vdB πμπμπμ==⨯=)(1000.5114416020T l a a l qv y dy l qv dB B la a-+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰πμπμ 方向垂直纸面向内。

本节小节：1 . 3ˆˆ4ˆ0r r l Id Bd ⨯=πμ2. 迭加原理∑=i B B ˆˆ 或 ⎰=B d B ˆˆ3. 几种典型电流磁场Bˆ的分布 ① 有限长细直线电流 )c o s (c o s 4210ααπμ-=aIB ② 无限长细直线电流 aIB πμ20=③ 通电流细圆环中心 RIB 20μ=④ 通电流的均匀密绕螺线管轴线上 ()210c o s c o s 2ββμ-=nI B⑤ 通电流的无限长均匀密绕螺线管内 nI B 0μ= 4. 用毕奥-萨伐尔定律解题的主要步骤：(1) 分析B 的对称性，建立适当的坐标系，写出Bd ˆ的分量式，变矢量积分为标量积分进行计算；(2) 统一积分变量，给出正确的积分上下限。

5. 用已知典型电流的磁场迭加求出未知磁场分布。

§11-4 磁场强度 安培环路定律一、 磁场强度定义： μB H ˆˆ= （引入一个辅助物理量）式中μ是磁导率μχμμμ)1(0m r +==m χ是磁化率。

同样用磁场线（Hˆ线）形象地描述磁场强度。

二、 安培环路定律磁感应线是连在闭合载流回路上的闭合线∴ 0ˆˆ≠⎰Ll d B安培环路定律表述如下：磁感应强度沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过该环路所有电流强度代数和的0μ倍。

即∑⎰=∙)(0)(ˆˆ内L L I l d Bμ 或 ⎰∑=∙LL I l d H)(ˆˆ内 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μB H 以长直载流导线为例：已知：rIB πμ20=① 如L ：I r B dl B l d B LL2ˆˆμπ===∙⎰⎰ 若L 反向I r B dl B l d B LL02ˆˆμπ-=-=-=∙⎰⎰② L 在垂直于导线的平面内I rd r I d Br dl B l d B LL L 02002cos ˆˆμϕπμϕθπ⎰⎰⎰⎰====∙ ③ L 不在垂直于导线的平面内⎰⎰⎰⎰⎰=+=+=+∙=∙⊥⊥LLLLLIBrd dl B dl B l d l d B l d B 0//0//0cos 90cos )ˆˆ(ˆˆˆμϕθ④ 若沿同一闭合路径反方向积分，则⎰⎰⎰⎰-=-=-=-=∙LLLLI Brd dl B dl B l d B 0cos )cos(ˆˆμϕθθπ⑤ 若L 中没有包围电流⎪⎩⎪⎨⎧=-==='0''''02cos 2cos rI B d r dl r I B rd dl πμϕθπμϕθ∴ 022cos cos ˆˆˆˆ''00'''''=-=+=∙+∙ϕπμϕπμθθd r rI rd r I dl B Bdl l d B l d B 推而广之即得。