泛函分析(含答案)

山东师范大学试题
（时间：120分钟 共100分）
课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法 适用年级： 2004
学制: 四 适用专业：数学与应用数学 试题类别： 补考
考生注意事项
1、全题三个大题，22个小题。

判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：
1、 （ ）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*
的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*
x ；t P311 2
2、 （ ）任一离散空间必是完备的；t 311 9
3、 （ ）全有界集不一定可分；f 312 21
4、 （ ）相对紧集的闭包是紧集； t 313 34
5、 （ ）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 29
6、 （)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使
()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,
,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th1
7、 （ ）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、 （ ）函相对紧集未必是有界的；f 294 系1
9、 （ ）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t
318 Th2
10、 （ ）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。

f ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛
（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：
1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f b
x a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。

证
1 显然[]b a C ,为一线性空间；
2 ()(
)()00max 0;
0max ≡⇔=⇔=≥=≤≤≤
≤x f x f f x f f b
x a b
x a ；
()()f x f x f f b
x a b
x a αααα===≤≤≤≤max max
()()()()g f x g x f x g x f g f b
x a b
x a b
x a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤max max max
因而[]b a C ,为一赋范线性空间
3 下证[]b a C ,的完备性
设{}n f 是[]b a C ,的一基本列，及0>∀ε，0>∃N ，使得N n m >,时，有
()ερ<-=n m n m f f f f ,。

依范数定义有，对 []b a x ,∈∀有
()()()()n m n m b
x a n m f f x f x f x f x f -=-≤-≤≤max ，
从而，当N n m >,时()()[]b a x x f x f n m ,,
∈∀≤-ε
所以(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛。

故()[]b a C x f ,∈∃使得()x f n 一致收敛于()x f ， 亦即()()∞→→-=n f f f f m m ,
0,ρ
所以[]b a C ,的完备性得证
综合以上三点，即得证
2、试证紧距离空间上的连续泛函是一致连续的。

证 设f 是紧距离空间X 上的连续泛函。

下用反证法证明。

若f 不是一致连续的，则必存在00>ε，使得对任意的自然数n ，都存在
X y x n n ∈,，使得()n
y x y x n n n n 1
,<
-=
ρ，而()(
)0ε≥-n n y f x f ，又X 是紧的，故
{}
n x 中存在收敛子列
{}
k
n x ，设X x x k n ∈→，再由
()()()0,,,→+≤k
k
k
k
n n n n y x x x y x ρρρ，所以x y k
n →。

故有
()()()()()()00→-+-≤-≤k
k
k
k
n n n
n y f x f x f x f y f x f ε，矛盾
所以f 一致连续
3、证明隐函数存在定理：
设函数()y x f ,在条形闭区域：.,
+∞≤≤∞-≤≤y b x a
上处处连续，关于y 的偏导数()y x f y ,，有常数M m <使得在上述条形区域中
()M y x f m y ≤≤<,0，
那么方程()0,=y x f 在闭区间[]b a ,上必有唯一的连续解)(x y ϕ=.
证 在完备空间()b a C ,中作映射
),(1
ϕϕϕx f M
T -=，
这是()b a C ,到自身的压缩映射。

事实上，对于()b a C ,,21∈ϕϕ，由微分中值定理
()1,0∈∃θ，使得
()()()()
()()()()()()()()()()[]()()()()()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-≤
--+-
-=+--
=-M m x x x x x x x x f M x x x f M
x x f M x x T x T y 1,1
,1,1121212112112212ϕϕϕϕϕϕθϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
由于10<<
M m ，所以110<-<M
m ，令M m -=1α， 便有
()()()()()()x x x T x T 1212ϕϕαϕϕ-≤-，
所以 1212ϕϕα
ϕϕ-≤-T T
这就说明T 是()b a C ,中的压缩映象。

由Banach 压缩映象原理，有唯一的()b a C ,∈ϕ使得 ϕϕ=T ， 这就是说 ()()b x a x x f ≤≤≡,0
,ϕ
4、设1>p ，()t g 是区间[]b a ,上的可测函数。

如果对任何()[]b a L t x p
,∈
()111
=+q p ，积分()()dt t g t x b
a
⎰恒存在，那么()[]b a L t g q ,∈。

证 对每个自然数n ，令()()()()⎩⎨⎧>≤=n
t g n
t g t g t g n ,0, ，则()t g n 是有界可测函数。

作[]b a L p
,上的线性泛函()()()()[]()⎰
∈=
b
a
p
n n b a L t x dt
t g t x x F ,。

利用lder o H ..
不等式，易知()x F n 是[]b a L p
,上的有界线性泛函。

因为
()()()()t g t x t g t x n ≤，而()()t g t x 可积，故由积分控制收敛定理，知()()t g t x n 可积，并有()()()⎰=
∞
→b
a
n n dt t g t x x F lim 。

所以()+∞≤≥x F n n 1
sup ，故由共鸣定理得+∞<=≥M F n n 1
sup ，因而{}
n F 有界。

然后由
()()
(
)()()()
()p
b a q n n L q n n n b
a
q
n q n n n dt t g F t g t g F dt
t g t g t g F p
11
1
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=⋅≤=⎰⎰
--sign sign ，
即知
()n q
b
a q n F dt t g ≤⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎰1 。

因此(){}
⎰b
a
q
n
dt t g 有界。

最后由
()()+∞<=⎰⎰
∞→b
a
q
n n b
a
q
dt t g dt t g lim
即得()[]b a L t g q
,∈。