人教A数学必修三基础题型归类

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人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修3知识点总结

高中数学必修 1 知识点总结第一章集合与函数概念【 1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集.（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . ③描述法： { x | x具有的性质 } ，其中x为集合的代表元素 . ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B（或子集B A)A B真子集（或B A）A中的任一元素都属于 BA B，且B中至少有一元素不属于 A(1)A A(2)A A(B)BA(3)若A B 且 B C，则A C(4)若A B 且 B A，则 A B或（1） A （A为非空子集）BA(2)若A B 且 B C，则A CA 中的任一元素都属集合A B于B，B中的任一元素相等都属于 A (1)A BA(B) (2)B A（ 7）已知集合A有n(n1) 个元素，则它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有 2n 2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图{ x | x（1） AA AA A, 且交集B（2） AAB（3） ABAxB}A B B{ x | x（1） A A AA A, 或A并集 B（2） A ABx （3） ABAB}A BB1 A (e A)2 A (e U A) U{ x | x U , 且x A} UUB) ( U A) (?U B)补集e A痧( AU痧(A B) (U A)(? B)U U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a} | x | a( a 0)x | xa 或 xa}把 axb 看成一个整体，化成 | x | a ，| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a( a 0) 型不等式来求解（ 2）一元二次不等式的解法判别式b 24ac二次函数y ax 2bx c(a0)的图象一元二次方程bb 2 4ac2x1,22ax 1b c 0(a0)ax bxx 22aO无实根的根（其中x 1 x 2 )ax 2 bx c 0(a0){ x | x x 1 或 x x 2}{ x | xb } R的解集2aax 2 bx c 0( a0){ x | x 1xx 2 }的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合 A 中任何一个数x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及 A 到 B 的对应法则f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法①设 a, b 是两个实数，且a b ，满足 a x b 的实数x的集合叫做闭区间，记做[ a,b] ；满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(a, b) ；满足a x b ，或 a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[ a, b) ， ( a, b] ；满足 x a, x a, x b, x b 的实数 x 的集合分别记做 [ a,),( a, ),(, b],(, b)．注意：对于集合 { x | a x b}与区间(a, b) ，前者 a 可以大于或等于b，而后者必须a b ．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tan x 中，x k(k Z ) ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f [ g( x)]的定义域应由不等式 a g( x) b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于x 的二次方程 a( y) x 2 b( y) x c( y)0 ，则在a( y) 0时，由于 x, y 为实数，故必须有b 2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【 1.2.2 】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（ 6）映射的概念①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记作 f : AB ．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且 a A, b B ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象．〖 1.3 〗函数的基本性质【 1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量y y=f(X)的值 x 1、 x 2 , 当 x 1< x 2 时，都 f(x 2 )函数的．．．有 f(x 1)<f(x 2) ，那么就说单调性．．．．．．．．． f(x 1 )f(x) 在这个区间上是增函数．．．．o1x2xx判定方法（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1 、x 2 ，当 x 1 < x 2 时，都．．．（1）利用定义y y=f(X)（2）利用已知函数的单调性f(x 1)（3）利用函数图象（在有 f(x 1)>f(x 2) ，那么就说f(x )．．．．．．．．．2f(x) 在这个区间上是减函数．ox 1x 2x．．．某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数 y f [ g( x)] ，令 u g( x) ，若 y f (u) 为增， u g (x) 为增，则 y f [ g( x)] 为增；若y f (u) 为减， ug( x) 为减，则 yf [ g( x)] 为增；若 y f (u) 为增， u g( x) 为减，则 yf [g ( x)] 为减；若 yf (u) 为减，ug (x) 为增，则yf [ g( x)]为减．（ 2）打“√”函数f ( ) a (a 0) 的图象与性质x xxf ( x) 分别在 (,a] 、[ a , ) 上为增函数，分别在 [a , 0) 、(0, a ] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义y①一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的 x I ，都有oxf (x) M ；（2）存在x 0 I ，使得 f ( x 0 ) M ．那么，我们称 M 是函数 f ( x)的最大值，记作f max (x) M ．②一般地，设函数yf (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x)m ；（ 2）存在x 0 I ，使得 f ( x 0 ) m ．那么，我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值，记作 f max ( x) m ．【 1.3.2 】奇偶性（ 4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数 f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个x ，都有 f(－x)= －判断定义域是否关于．．．．．．．函数的f(x),那么函数 f(x)叫做奇函原点对称）．．．．．．奇偶性数．（2）利用图象（图象．关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个 x，都有f(－x)=f(x),判断定义域是否关于．．．．．．．．．．那么函数 f(x)叫做偶函数．原点对称）．．．（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0处有定义，则 f (0)0．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f (x)②伸缩变换y f (x) y f (x)③对称变换h 0,左移h个单位y f (x h) y f (x)k 0,上移k个单位y f ( x) k h 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k |个单位01,伸y f ( x)1,缩0 A 1,缩y Af (x)A 1,伸y f (x) y f (x) x轴原点y f ( x)y f()y轴y f(x)xy f ( x)y f ( x)直线y x y f1( x)y f (x)去掉y轴左边图象y f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象y f (x)保留x轴上方图象y | f ( x) |将x轴下方图象翻折上去（ 2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1 〗指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念①如果x n a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a0 ．③根式的性质： (na )na ；当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时，na n| a |a (a0) ．a (a0)（ 2）分数指数幂的概念mn a m( a①正数的正分数指数幂的意义是：a n0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m(a②正数的负分数指数幂的意义是：a n(1) nn (0, m, n N , 且 n 1) ．0 的负分数指数幂没aa有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a sa r s (a 0, r , s R)② ( a r )sa rs ( a 0, r , s R)③ (ab ) ra rb r (a 0, b 0, r R)【 2.1.2 】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数ya x (a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x0 时， y 1．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数a x 1 ( x 0) a x1(x 0)函数值的a x 1 ( x 0) a x1(x 0)变化情况a x 1 ( x 0) a x1(x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．〖2.2 〗对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义①若a x N ( a0,且 a1) ，则 x 叫做以 a 为底N的对数，记作 x log a N ，其中 a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x log a N a x N ( a 0, a1, N0) ．（ 2）几个重要的对数恒等式log a 10 ， log a a 1， log a a b b ．（ 3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即 log 10N ；自然对数：ln N，即 log e N （其中e 2.71828）．（ 4）对数的运算性质如果 a0, a1,M0, N0 ，那么①加法： log a M log a N log a ( MN )②减法：log a M log a N log aMN③数乘： n log a M log a M n (n R)④a log a N N⑤log a b M n nlog a M (b0, n R) ⑥换底公式： log a NlogbN(b 0, 且 b 1) b log b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数y log a x(a0 且 a1) 叫做对数函数图象 a 10 a 1x 1y log a xx1y y y log a x(1,0)O(1,0)xOx定义域 (0, )值域R过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1 时， y 0．奇偶性非奇非偶单调性在 (0, ) 上是增函数在 (0, ) 上是减函数log a x 0 (x 1)log a x 0 (x 1) 函数值的 log a x 0 (x1) log a x 0 ( x 1)变化情况log a x 0 (0 x1) log a x 0 (0 x 1)a 变化对图象的影响在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6) 反函数的概念设函数 yf ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y f ( x) 中解出 x ，得式子 x( y) ．如果对于 y 在 C中的任何一个值，通过式子 x ( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x( y)叫做函数yf (x) 的反函数，记作x f 1 ( y) ，习惯上改写成 yf 1( x) ．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 y f ( x) 中反解出 xf1( y) ；③将 x f1( y) 改写成 yf 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．（ 8）反函数的性质①原函数 y f ( x) 与反函数 y1yx 对称．f ( x) 的图象关于直线②函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数 yf 1( x) 的值域、定义域．③若 P(a, b) 在原函数 yf ( x) 的图象上，则 P ' (b, a) 在反函数 yf 1 ( x) 的图象上．④一般地，函数 y f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数．〖 2.3 〗幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数y x 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数．（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) 上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中p, q 互质，p和q Z ），pq q若 p 为奇数 q 为奇数时，则y x p是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则y x p是偶函数，若p为偶数q为奇数时，q则 y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数 y x , x (0,)，当1时，若0x1y x下方，若x 1，其图象，其图象在直线在直线 y x 上方，当1时，若 0x1，其图象在直线y x 上方，若x 1 ，其图象在直线y x 下方．〖补充知识〗二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式①一般式： f ( x) ax2bx c(a 0) ②顶点式： f ( x) a( x h)2k (a 0) ③两根式：f (x) a( x x1 )( x x2 )(a0) （2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f ( x)更方便．（ 3）二次函数图象的性质①二次函数 f ( x)ax2bx c(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb, 顶点坐标是2ab4ac b2) ．(,2a4a②当 a0 时，抛物线开口向上，函数在(,b] 上递减，在 [b,) 上递增，当 x b时，2a2a2a4ac b20 时，抛物线开口向下，函数在(,b] 上递增，在 [ b ,) 上递减，当 x bf min ( x)；当 a4a2a2a2a4ac b2时，f max (x)4a．③二次函数 f ( x)ax2bx c(a0)当b24ac0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1 x2 |．|a|（4）一元二次方程ax 2bx c 0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程 ax 2bx c0( a0) 的两实根为 x1, x2，且 x1x2．令 f ( x) ax 2bx c ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：xb③判别式：④端点函数值符号．2a①k＜x1≤x2y ybf (k ) 0a0x2aOkx1Ox2k x1x2x xxb f (k )0a 0 2a②x1≤ x2＜ ky ybf (k)0a 0x2aO x2O k x1k x x1x2xx b a 0 f (k ) 02a③x1＜ k＜x2af( k) ＜ 0y ya 0f (k) 0O kx1x2x x1O k x2xf (k ) 0a0④k1＜ x1≤ x2＜ k2y a0y bxf (k1 )0 f (k2 )02ax1x2k1k2 O k1k 2x O x1x2xb f (k1 )0xf (k 2 ) 2a a 0⑤有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜ k2f( k1 ) f( k2 ) 0，并同时考虑 f( k1 )=0 或 f( k2 )=0 这两种情况是否也符合ya0f (k1 )0x1k2O k1x2xf (k 2 )0⑥k1＜ x1＜ k2≤ p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．yf (k1 ) 0x1k2O k1x2x a0 f (k 2 )0（5）二次函数f ( x) ax2bx c( a 0)在闭区间 [ p, q] 上的最值设 f ( x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x1( p q) ．（Ⅰ）当 a 0 时（开口向上）2①若b p ，则 m f ( p) ②若 pb q ，则 mf (b) ③若b q ，则 m f (q)2a2a2a2afff f(q)(p)(p)(q)OxOxOxff ((p)bbf f (bb)b f ( 2a ) 2a)①若2a②x 0 ，则 Mf ( p)(q)x 0 ，则 M f (q)2a2a( Ⅱ ) 当 a0 时( 开口向下 )f(p)bfbb，则x (q) ②若bx 0 ，则③若，则①若pMf ( p)pqMf ()qMf ( q)2a2aO2a x2aO xb )fff (b(q)b 2af (b(p)b))f (f () f2af (2a )2aff2a(q)(p)(p)OxOxOxfff(q)(q)(p)bx 0 ，则 m f (q)bx 0 ，则 m f ( p) ．①若②2a2af ( bb)f f ( 2a)f 2a(q)(p)x 0x 0OxOxff(q)(p)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf (x)( xD)，把使 f (x)成立的实数 x 叫做函数 yf ( x)( xD )的零点。

高中数学必修三所有知识点总结和常考题型练习精选

高中数学必修3知识点第一章算法初步一，算法与程序框图1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。

4，三种程序框图（1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

（3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。

一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。

二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式）1，输入语句2，输出语句２１４６＝１８１３×１＋３３３１８１３＝３３３×５＋１４８３３３＝１４８×２＋３７１４８＝３７×４＋０．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。

为最大公约数2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

注意：提示内容用双引号标明，并与变量用分号隔开。

3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a 改写成1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a 再由内及外逐层计算。

4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。

1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=1042）例：将十进制数１０４化为三进制数１０４＝３×３４＋２．．．．．．．最先出现的余数是三进制数的最右一位３４＝３×１１＋１１１＝３×３＋２３＝３×１＋０１＝３×０＋１．．．．．．．．．．．．商数为0时计算终止１０４=(3)10212第二章统计一，随机抽样1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

(新教材人教A版)高二数学选择性必修第三册同步练习分类变量与列联表基础练(解析版)

8.3 分类变量与列联表---A基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练习）如表是一个2×2列联表：则表中a,b的值分别为（）A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52【答案】C【详解】a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.故选：C.2．（2021·江苏高二）为了调查中学生近视情况,某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时,用什么方法最有说服力（）A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验【答案】D【详解】分析已知条件,得如下表格．的值,再与临界值比较,检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关,根据列联表利用公式可得2故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：D．3．（2021·全国高二课时练）对于分类变量X与Y的随机变量x2的值,下列说法正确的是（）A．x2越大,“X与Y有关系”的可信程度越小B．x2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小C．x2越接近于0,“X与Y没有关系”的可信程度越小D．x2越大,“X与Y没有关系”的可信程度越大【答案】B【详解】根据独立性检验的基本思想可知,分类变量X与Y的随机变量x2的观测值越大,“X与Y没有关系”的可信程度越小,则“X与Y有关系”的可信程度越大；x2越小,“X与Y有关系”的可信程度越小,“X 与Y没有关系”的可信程度越大,故ACD错误,B正确.故选：B.4．（2021·江苏星海实验中学高二）某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如表所示：临界值表：根据表中数据分析,以下说法正确的是（）A．有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系B．有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系C．有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系D．没有充分的证据显示学生的学习积极性对待班级工作的态度有关系【答案】A【详解】2250(181976)11.5410.82825252426χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．故选：A．5．（多选题）（2021·全国高二课时练习）因防疫的需要,多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理,该校有在校学生9000人,其中男生4000人,女生5000人,为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度,随机调查了40名男生和50名女生,每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价,经统计得到如下列联表：附表：附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 以下说法正确的有（）A ．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B ．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C ．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D ．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系【答案】AC【详解】因为男女比例为4000︰5000,故A 正确．满意的频率为204020.667903+=≈,所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667,所以B 错误．由列联表2290(20102040)9 6.63540506030χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系,所以C 正确,D 错误．故选：AC.6．（多选题）（2021·全国高二课时练）针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的45,女生喜欢抖音的人数占女生人数35,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有（）人附表：附： 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ A ．25 B ．35 C ．45 D ．60【答案】CD【详解】设男生可能有x 人,依题意得女生有x 人,可得22⨯列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则2 3.841K >,即224231225555 3.841732155x x x x x x x x x x χ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅,解得40.335x >,由题意知0x >,且x 是5的整数倍,所以45和60都满足题意.故选：CD. 二、填空题7.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人的一年中的感冒记录作比较,提出假设H 0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”。

人教版数学必修三复习参考题及答案

⼈教版数学必修三复习参考题及答案数学课较为枯燥，不是每个学⽣都具有良好的学习数学的兴趣。

但是可以通过做题来接触数学，养成学习数学的好习惯。

下⾯是店铺分享给⼤家的数学必修三复习参考题及答案的资料，希望⼤家喜欢! 数学必修三复习参考题及答案⼀题试题，请考⽣练习。

1.把集合C={a+bi|a，bR}中的数，即形如a+bi(a，bR)的数叫作________，其中i叫作____________，复数的全体组成的集合C叫作__________. 2.复数通常⽤z表⽰，z=____________叫作复数的代数形式，其中________分别叫复数z的实部与虚部. 3.设z=a+bi(a，bR)，则当且仅当________时，z为实数.当________时，z为虚数，当____________时，z为纯虚数. 4.实数集R是复数集C的__________，即__________.这样复数包括实数和虚数. 5.a+bi=c+di(a，b，c，dR)的充要条件是_____________________________________. 6.复数与点、向量间的对应如图，在复平⾯内，复数z=a+bi (a，bR)可以⽤点________或向量________表⽰. 复数z=a+bi (a，bR)与点Z(a，b)和向量的⼀⼀对应关系如下： 7.复数的模复数z=a+bi (a，bR)对应的向量为，则的模叫作复数z的模，记作|z|，且|z|=__________. ⼀、选择题 1.“a=0”是“复数a+bi (a，bR)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设a，bR，若(a+b)+i=-10+abi (i为虚数单位)，则(-)2等于( )A.-12B.-8C.8D.10 3.若z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为( )A.-1B.0C.1D.-1或1 4.下列命题中：两个复数不能⽐较⼤⼩; 若z=a+bi，则当且仅当a=0且b≠0时，z为纯虚数; x+yi=1+ix=y=1; 若a+bi=0，则a=b=0. 其中正确命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 5.若(m2-5m+4)+(m2-2m)i>0，则实数m的值为( )A.1B.0或2C.2D.0 6.在复平⾯内，若z=(m2-4m)+(m2-m-6)i所对应的点在第⼆象限，则实数m的取值范围是( )A.(0,3)B.(-∞，-2)C.(-2,0)D.(3,4) ⼆、填空题 7.已知复数z1=(3m+1)+(2n-1)i，z2=(n+7)-(m-1)i，若z1=z2，实数m、n的值分别为________、________. 8.给出下列⼏个命题：若x是实数，则x可能不是复数; 若z是虚数，则z不是实数; ⼀个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零; -1没有平⽅根; 若aR，则(a+1)i是纯虚数; 两个虚数不能⽐较⼤⼩. 则其中正确命题的个数为________. 9.在复平⾯内，向量对应的复数是1-i，将P向左平移⼀个单位后得向量P0，则点P0对应的复数是________. 三、解答题 10.实数m分别为何值时，复数z=+(m2-3m-18)i是：(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 11.(1)求复数z1=3+4i及z2=--i的模，并⽐较它们的模的⼤⼩; (2)已知复数z=3+ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 能⼒提升 12.已知集合P={5，(m2-2m)+(m2+m-2)i}，Q={4i,5}，若P∩Q=PQ，求实数m的值. 13.已知复数z表⽰的点在直线y=x上，且|z|=3，求复数z. 1.对于复数z=x+yi只有当x，yR时，才能得出实部为x，虚部为y(不是yi)，进⽽讨论复数z的性质. 2.复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据. 3.复数与复平⾯上点⼀⼀对应，与以原点为起点的向量⼀⼀对应. 4.复数z=a+bi (a，bR)的模为⾮负实数，利⽤模的定义，可以将复数问题实数化.知识梳理 1.复数　虚数单位　复数集 2.a+bi(a，bR)　a与b 3.b=0　b≠0　a=0且b≠0 4.真⼦集　R?C 5.a=c且b=d 6.Z(a，b) 7. 作业设计 1.B　[复数a+bi (a，bR)为纯虚数a=0且b≠0.] 2.A　[由，可得(-)2=a+b-2=-12.] 3.A　[z为纯虚数，∴x=-1.] 4.A 5.D　[由题意得：解得m=0.故选D.] 6.D　[z=(m2-4m)+(m2-m-6)i，对应点在第⼆象限，则解得3，|z1|>|z2|. (2)∵z=3+ai (aR)，|z|=，由已知得32+a2<42，a2<7，a∈(-，). 12.解　由题知P=Q，所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i，所以，解得m=2. 13.解　设z=a+bi(a，bR)，则b=a且=3，解得或. 因此z=6+3i或z=-6-3i. 数学必修三复习参考题及答案⼆ 1.如图所⽰程序框图，能判断任意输⼊的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是( )A.m=0B.x=0C.x=1D.m=1 2.算法的过程称为“数学机械化”，数学机械化的最⼤优点是可以让计算机来完成，中国当代数学家在这⽅⾯研究处于世界领先地位，为此⽽获得⾸届⾃然科学500万⼤奖的是( )A.袁隆平B.华罗庚C.苏步青D.吴⽂俊 3. 算法 S1 m=a S2 若b S3 若c S4 若d S5 输出m，则输出m表⽰ ( ) A.a，b，c，d中最⼤值 B.a，b，c，d中最⼩值 C.将a，b，c，d由⼩到⼤排序 D.将a，b，c，d由⼤到⼩排序 4. 如图程序运⾏后输出的结果为 ( )A. 50B. 5C. 25D. 0 5.计算机执⾏下⾯的程序段后，输出的结果是 ( )A.1，3B.4，1C.0，0D.6，0 6.⽤“辗转相除法”求得459和357的最⼤公约数是( )A.3B.9C.17D.51 7.算法的三种基本结构是 ( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构 8.下⾯为⼀个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )A.i>20B.i<20C.i>=20D.i<=20 9.⽤秦九韶算法计算多项式当时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( )A.6 , 6B.5 , 6C.5 , 5D.6 , 5 10.给出以下⼀个算法的程序框图(如图所⽰)，该程序框图的功能是( ) A.求输出a,b,c三数的最⼤数 B.求输出a,b,c三数的最⼩数 C.将a,b,c按从⼩到⼤排列 D.将a,b,c按从⼤到⼩排列 11.若输⼊8时，则下列程序执⾏后输出的结果是 . 12.下左程序运⾏后输出的结果为_________. x=5 y=-20 IF x<0 THEN x=y-3 ELSE y=y+3 END IF PRINT x-y ; y-x END (第12题) 13.⽤直接插⼊排序法对:7,1,3,12,8,4,9,10进⾏从⼩到⼤排序时,第四步得到的⼀组数为: _ _ . 14.求⽅程的近似根，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，则应当在区间上. 15.学了算法你的收获有两点，⼀⽅⾯了解我国古代数学家的杰出成就，另⼀⽅⾯，数学的机械化，能做许多我们⽤笔和纸不敢做的有很⼤计算量的问题，这主要归功于算法语句的 . 16.上右程序输出的n的值是____________. j=1 n=0 WHILE j<=11 j=j+1 IF j MOD 4=0 THEN n=n+1 END IF j=j+1 WEND PRINT n END (第1 6题) 17.函数y= 请设计算法流程图，要求输⼊⾃变量，输出函数值. 18.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不⾜1分钟时按1分钟计)，试设计⼀个计算通话费⽤的算法.要求写出算法，画出程序框图，编写程序. 19.把“五进制”数转化为“⼗进制”数，再把它转化为“⼋进制”数. 20.给定⼀个年份，写出该年是不是闰年的算法，程序框图和程序. 21.已知正四棱锥的底⾯边长为3，⾼为4，求正四棱锥的体积和表⾯积，写出算法的伪代码，并画出相应图. 数学必修三复习参考题及答案三⼀、选择题 1.图中表⽰的区域满⾜不等式( )A.2x+2y-1>0B.2x+2y-1≥0C.2x+2y-1≤0D.2x+2y-1<0 答案：B 2.不等式组x≥2x-y+3≤0表⽰的平⾯区域是下列图中的( ) 答案：D 3.如图阴影部分⽤⼆元⼀次不等式组表⽰为( ) A.y≤2，2x-y+4≥0 B.0≤y≤2x≤02x-y+4≥0 C.y≤2，x≤02x-y+4≥0 D.0≤y≤22x-y+4≤0x≤0 解析：选B.2x-y+4≤0在直线2x-y+4=0上及左上⽅，故D错，A、C均缺y≥0，A还缺x≤0. 4.设点P(x，y)，其中x，y∈N，则满⾜x+y≤3的点P的个数为( )A.10B.9C.3D.⽆数解析：选A.当x=0时，y可取0,1,2,3有4个点; 当x=1时，y可取0,1,2有3个点; 当x=2时，y可取0,1有2个点; 当x=3时，y可取0，有1个点，故共有10个点，选A. 5.已知点(-3,1)和(0，-2)在直线x-y-a=0的⼀侧，则a的取值范围是( )A.(-2,4)B.(-4,2)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-4)∪(2，+∞) 解析：选D.(-3-1-a)(0+2-a)>0，即(a+4)(a-2)>0，∴a>2或a<-4. 6.在平⾯直⾓坐标系中，若不等式组x+y-1≥0x-1≤0ax-y+1≥0(a为常数)所表⽰的平⾯区域的⾯积等于2，则a的值为( )A.-5B.1C.2D.3 解析：选D.如图，由y=ax+1，x=1，得A(1，a+1)，由x=1，x+y-1=0，得B(1,0)，由y=ax+1，x+y-1=0，得C(0,1). ∵△ABC的⾯积为2， ∴S△ABC=12(a+1)=2， ∴a=3.。

高中数学必修3(人教A版)第一章算法初步1.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章算法初步 1.1 算法与程序框图一、学习任务1. 了解算法的含义，了解算法的基本思想，能用自然语言描述解决具体问题的算法．2. 了解设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别；了解程序框图的三种基本逻辑结构，会用程序框图表示简单的常见问题的算法．二、知识清单算法程序框图三、知识讲解1.算法算法（algorithm）是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.描述算法可以有不同的方式．例如，可以用自然语言和数学语言加以描述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌.算法的要求：(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得到结果.下列对算法的理解不正确的是（）A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C．算法中的每一个步骤都应当是有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一种算法解：D算法的有限性是指包含的步骤是有限的，故 A 正确；算法的确定性是指每一步都是确定的，故 B正确；算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果，故 C 正确；对于同一个问题可以有不同的算法，故 D 错误．下列叙述能称为算法的的个数为（）描述：2.程序框图程序框图简称框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．其中，起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束．输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②依次进行下列运算：，，，，；③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州；④ ；⑤求所有能被整除的正整数，即．A． B． C． D．解：B①、②、③为算法．1+1=22+1=33+1=4⋯99+1=1003x >x +133,6,9,12,⋯2345写出解方程组的一个算法．解：方法一：代入消元法．　第一步，由得；第二步，将代入，得，解得；第三步，将代入方程，得；第四步，得到方程组的解为．方法二：加减消元法．第一步，方程两边同乘以，得；第二步，将第一步所得的方程与方程作差，消去，得，解得；第三步，将代入方程，得，解得；第四步，得到方程组的解为．{2x +y =74x +5y =112x +y =7y =7−2x y =7−2x 4x +5y =114x +5(7−2x )=11x =4x =4y =7−2x y =−1{x =4y =−12x +y =7510x +5y =354x +5y =11y 6x =24x =4x =42x +y =72×4+y =7y =−1{x =4y =−1例题：画程序框图的规则（1）使用标准的图形符号．（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的惟一符号．（4）判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果．（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．算法的三种基本逻辑结构顺序结构：语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行．条件分支结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构．循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．下列程序框图分别是解决什么问题的算法．解：（1）已知圆的半径，求圆的面积的算法．（2）求两个实数加法的算法．执行如图的程序框图，输出的 ______ ．解：T =30四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（）A． B． C． D．解：AS =57k >4?k >5?k >6?k >7?已知函数，对每次输入的一个值，都得到相应的函数值，画出程序框图．解：f (x )={2x +3,3−x ,x 2x ⩾0x <0x答案：1. 关于算法的说法中，正确的是 A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以产生不确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去不停止C()答案：解析：2. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是 A ．已知圆的半径求圆的面积B ．随意抽张扑克牌算到二十四点的可能性C ．已知坐标平面内两点求直线方程D ．加减乘除法运算法则B注意算法需按照一定的顺序进行．()4答案：解析：3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于．A ．B ．C ．D ．D取，得输出的，即可判断．t ∈[−2,2]S ()[−6,−2][−5,−1][−4,5][−3,6]t =−2S =64. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下：：输入订单数额（单位：件）；输入单价（单位：元）；：若，则折扣率；若，则折扣率；若，则折扣率；若，则折扣率；：计算应付货款（单位：元）；：输出应付货款．S 1x A S 2x <250d =0250⩽x <500d =0.05500⩽x <1000d =0.10x ⩾1000d =0.15S 3T =Ax (1−d )S 4T。

人教版数学高一-人教A必修三章节复习算法初步高考题型剖析

高中数学-打印版算法初步高考题型大盘点在高考中对本章重点考查对变量赋值的理解掌握，对循环结构的灵活运用，阅读流程图说明算理与算法（包括输出结果），根据要求画出流程图等．算法知识与其他知识的结合将是高考的重点，也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，当然难度不会太大，重在算理、算法及其思想．一、概念性问题主要涉及算法的概念，流程图的三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构），五种基本算法语句（输入输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句），一些特殊的算法案例（辗转相除法和更相减损法、秦九韶算法、排序、进位制）等．考查题型以选择题、填空题为主．例1．（2007年高考海南宁夏卷）如果执行下面的流程图，那么输出的S=（）A．2450 B．2500 C．2550 D．2652解析：根据题目中的流程图，我们知道这是一个累加的流程图，表示的是前50个正偶数的和，即S=2+4+6+…+100=2550，即选择答案：C．点评：正确判断流程图的基本逻辑结构和基本算法语句所表示的实质性内容，根据条件结构中的条件加以正确判断，得出正确的结论．二．判定性问题经常会碰到根据程序或流程图，通过算法步骤的分析或读图，剖析其结果，达到判定或分析解答的目的．考查题型以选择题、填空题或简单的解答题为主．例2．（2007年高考山东卷）阅读下面的流程图，若输入的n是100，则输出的变量S和T 的值依次是（）A．2500，2500 B．2550，2550 C．2500，2550 D．2550，2500解析：依据流程图，我们知道这是两个累加的流程图，分别是从n 开始对应的奇数与偶数的和，注意条件2<n 对求和的限制作用，即可得：S=100+98+96+…+2=2550，T=99+97+95+…+1=2500，即选择答案：D ．点评：流程图作为新课标中的一种新的题目类型，在今后高考试题中应该多有体现，结合数列、不等式、函数等知识会有更多的命题空间．三．综合设计性问题包括算法的基本设计问题和一些特殊的算法案例（辗转相除法和更相减损法、秦九韶算法、排序、进位制）设计问题等．有时也与其他知识加以综合考查．考查题型以选择题、填空题或简单的解答题为主．例3．（2007年高考广东卷）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A m （如A 2表示身高（单位：㎝）在)155,150[内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180㎝（含160㎝，不含180㎝）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A ．9<iB ．8<iC ．7<iD ．6<i解析：现要统计的是身高在160～180cm 之间的学生的人数，即是要计算A 4、A 5、A 6、A 7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i ≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A 4、A 5、A 6、A 7叠加起来送到S 中输出，S= A 4+A 5+A 6+A 7，即选择答案：B ．高中数学-打印版点评：对于算法的基本运用，经常会与一些相关知识点加以综合，上例中结合统计知识加以综合．算法是新课标的一扇“窗口”，备考中应对其应用加以理解和掌握．N Y 结束开始S=0，i=4S=S+A iI=i+1 输出S输入A 1、A 2、…、A 10。

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_算法与程序框图_基础

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习算法与程序框图【学习目标】1.初步建立算法的概念；2.让学生通过丰富的实例体会算法的思想；3.让学生通过对具体问题的探究，初步了解算法的含义；4.掌握程序框图的概念；5.会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；6.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图.【要点梳理】【算法与程序框图 397425 知识讲解1】要点一、算法的概念1、算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2、算法的特征：（1）确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.（2）逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.（3）有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.（4）不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．3、设计算法的要求（1）写出的算法，必须能解决一类问题（如：判断一个整数35是否为质数；求任意一个方程的近似解……），并且能够重复使用．（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少．（3）要保证算法正确．且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．4、算法的描述：（1）自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，可以是汉语、英语或数学语言等.用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解.缺点是如果算法中包含判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了.（2）程序框图：所谓框图，就是指用规定的图形符号来描述算法，用框图描述算法具有直观、结构清晰、条理分明、通俗易懂、便于检查修改及交流等特点.（3）程序语言：算法最终可以通过程序的形式编写出来，并在计算机上执行.要点诠释：算法的特点:思路简单清晰，叙述复杂，步骤繁琐，计算量大，完全依靠人力难以完成，而这些恰恰就是计算机的特长，它能不厌其烦地完成枯燥的、重复的繁琐的工作，正因为这些，现代算法的作用之一就是使计算机代替人完成某些工作，这也是我们学习算法的重要原因之一.事实上，算法中出现的程序只是用基本的语句把程序的主要结构描述出来，与真正的程序还有差距，所以算法描述的许多程序并不能直接运行，要运行程序，还要把程序按照某种语言的严格要求重新改写才行.【算法与程序框图 397425 知识讲解2】要点二、程序框图1、程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.23一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字.4、算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.见示意图和实例：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.(2)条件结构如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P 是否成立，选择不同的执行框(A框、B框).无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行.A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作.见示意图要点诠释：条件结构中的条件要准确，不能含混不清，要清楚在什么情况下需要作怎样的判断，用什么条件来区分．(3)循环结构在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图.②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立，依次重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图.见示意图要点诠释：循环结构中使用什么样的条件控制循环的开始和结束，要清楚满足某个条件的变量的次数与循环次数的联系与区别.误区提醒1、框图中的流程线不能出现交叉的现象.若有交叉，则程序语句无法写出；2、各种框图有其固定的格式和作用，不要乱用.如条件结构中不要忘了“是”与“否”，流程线不要忘记画箭头；3、条件分支结构的方向要准确；4、循环结构中，计数变量要赋初值，计数变量的自加不要忘记，自加多少不能弄错.另外计数变量一般只负责计数任务；5、循环结构中循环的次数要严格把握，区分“＜”与“≤”等.循环变量的取值与循环结构(当型与直到型)有关，需区分清楚.另外，同一问题用两种不同的结构解决时，其判断条件恰是相反的；6、程序框图不要出现死循环(无限步的循环).【典型例题】类型一：算法的概念例1．（1）下列描述不能看作算法的是（）．A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书C．解方程2x2+x－1=0D．利用公式S=πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42（2）下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生明确的结果．其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】（1）C （2）C【解析】（1）A、B、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法．而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．（2）根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③④正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．【总结升华】算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班去做，总能算出结果.通常把算法过程称为“数学机械化”，数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成.实际上处理任何问题都需要算法，如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续…….举一反三：【变式1】我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有：①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上算法的描述正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D类型二：算法的描述例2．写出求方程组32142x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②的解的算法．【解析】可利用消元法或代入法求解．算法一：第一步：②×2+①，得到5x=14－4．③第二步，解方程③，可得x=2．④第三步，将④代入②，可得2+y=－2．⑤第四步，解⑤得y=－4．第五步，得到方程组的解为24 xy=⎧⎨=-⎩算法二：第一步，由②式移项可以得到x=－2－y．③第二步，把③代入①，得y=－4．④第三步，把④代入③，得x=2．第四步，得到方程组的解为24 xy=⎧⎨=-⎩．【总结升华】通过求解二元一次方程组可知，求解某个问题的算法不一定唯一．对于具体的实例可以选择合适的算法，尽量做到“省时省力”，使所用的算法是最优算法．举一反三：【变式1】试描述求解三元一次方程组1233162x y zx y zx y z++=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩①②③的算法步骤．【解析】算法1：第一步，①+③，得x=5．④第二步，将④分别代入①式和②式可得73 1y zy z+=⎧⎨+=-⎩⑤⑥．第三步，⑥－⑤，得y=－4．⑦第四步，将⑦代入⑤可得z=11．第五步，得到方程组的解为5411xyz=⎧⎪=-⎨⎪=⎩．算法2：第一步，①+②，得2x －y=14． ④ 第二步，②－③，得x －y=9． ⑤ 第三步，④－⑤，得x=5． ⑥第四步，将⑥代入⑤式，得y=－4． ⑦ 第五步，将⑥和⑦代入①式，得z=11．第六步，得到方程组的解为5411x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．类型三：算法的设计【算法与程序框图 397425 算法中的例1】例3．设计一个算法，从3个互不相等的数中选出最小的一个数．，并用数学语言表达．【解析】第一步：假定这3个数中第一个是“最小值”；第二步：将第二个数与“最小值”比较，如果它小于此“最小值”，那么就用这个数取代“最小值”；第三步：再重复第二步，将第三个数与最小值比较，如果它小于此“最小值”，那么就用这个数取代“最小值”；第四步：此时的“最小值”就是三个数中的最小值，输出最小值．所谓的算法，就是解决该类问题的一般步骤. 举一反三：【变式1】任意给定一个正整数n ，设计出判断n 是否为质数的一个算法．【解析】第一步，当n =1时，n 既不是质数，也不是合数；第二步，当n =2时，n 是质数；第三步，当n ≥3时，从2到n －1依次判断是否存在n 的因数（因数1除外），若存在，则n 是合数；若不存在，则n 是质数．类型四：顺序结构的应用【算法与程序框图 397425 程序框图中的例1】例4．对于一个二次函数2y ax bx c =++，求出顶点坐标．【解析】算法步骤：S1 用户输入二次函数的系数a,b,c ；S2 计算顶点坐标24,24b ac b x y a a-=-=（赋值）；S3 输出顶点坐标．举一反三：【变式1】已知x=40，y=3．画出计算z=15x+8y 的值的程序框图．【答案】程序框图如下图所示．类型五：条件结构的应用例5．已知函数232 1 (0)1 (01)2 (1)x x y x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．【解析】该函数是分段函数，因此当给出一个自变量x 的值时，需先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值．画程序框图时，必须采用条件分支结构，因为函数解析式分了三段，所以需要两个判断框，即进行两次判断．算法如下：第一步，输入x ．第二步，如果x ＜0，那么使y=2x －1，输出y ；否则，执行第三步．第三步，如果0≤x ＜1，那么使y=x 2+1，输出y ；否则，执行第四步．第四步，y=x 2+2x 第五步，输出y ．程序框图如下图所示．【总结升华】凡是必须先根据条件作出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构．而像本题求分段函数的函数值的程序框图的画法，如果是分两段的函数，只需引入一个判断框；如果是分三段的函数，需引入两个判断框；分四段的函数需引入三个判断框，依此类推．判断框内的内容是没有固定顺序的．举一反三：【变式1】已知函数 1 (0)()0 (0)1 (0)x f x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩，写出求函数()f x 的任一函数值的一个算法并画出程序框图．【解析】记y=f (x)．算法：第一步：输入x ．第二步：如果x ＞0，那么使y=－1；如果x=0，那么使y=0；如果x ＜0，那么使y=1．第三步：输出函数值y ．程序框图如下图所示．【变式2】如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.【答案】开始结束类型六：循环结构的应用例6．设计一个计算1+3+5+7+…+999的值的算法，并画出程序框图．【解析】算法一：当型循环：第一步，令S=0，i=1．第二步，若i≤999成立，则执行第三步；否则输出S，结束算法．第三步，S=S+i．第四步，i=i+2，返回第二步，程序框图如图（1）．算法二：直到型循环：第一步，令S=0，i=1．第二步，S=S+i．第三步，i=i+2．第四步，若i不大于999，转第二步；否则，输出S，结束算法．程序框图如图1-1-8（2）．【总结升华】注意直到型循环和当型循环的区别．直到型循环先执行i=i+2，再判断i＞999是否成立，若成立才输出S；而当型循环先判断i≤999是否成立，若成立，则执行i=i+2，直到条件i≤999不成立才结束循环，输出S．举一反三：【变式1】给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框处①和执行框②处应分别填入（）A．i≤30？；p=p+i－1 B．i≤31？；p=p+i+1C．i≤31？；p=p+i D．i≤30？；p=p+i【答案】D【解析】由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1+1=2；第3个数比第2个数大1，即2+2=4；第4个数比第3个数大1，即4+3=7；…故②中应填写p=p+i故选：D．【变式2】（2016春河南周口期中）设计求1+3+5+7+…+31的算法，并画出相应的程序框图．【解析】第一步：S=0；第二步：i=1；第三步：S=S+i；第四步：i=i+2；第五步：若i不大于31，返回执行第三步，否则执行第六步；第六步：输出S值．程序框图如图：类型七：利用算法和程序框图解决实际问题例7．北京获得了2008年第29届奥运会主办权．你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗？对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．试画出该过程的程序框图．【解析】本题为算法中与现实生活相联系的题目，从选举的方法看，应选择循环结构来描述算法．如图所示：【总结升华】解决与现实相关的问题时首先要理清题意，此循环结构中对用哪一个步骤控制循环，哪一个步骤作为循环体，要有清晰的思路．举一反三：【变式1】儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m，但不超过1.4 m，可买半票；若超过1.4 m，应买全票，请设计一个算法，并画出程序框图．【解析】根据题意，该题的算法中应用条件结构，首先以身高为标准，分成买和免票，在买票中再分出半票和全票．买票的算法步骤如下：第一步：测量儿童身高h．第二步：如果h≤1.1 m，那么免费乘车，否则若h≤1.4 m，则买半票，否则买全票．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用程序框图如下图所示．【总结升华】本题的程序框图中有两个判断点，一个是以1.1 m 为判断点，1.1 m 把身高分为两段，在大于1.1 m 的一段中，1.4 m 又将其分两段，因此1.4 m 这个判断是套在1.1 m 的判断里的．所以我们用到两个条件结构．。

高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册知识点归纳含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高中数学选择性必修第三册必备知识手册2024一轮复习【计数原理】1、一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法。

2、一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =´种不同的方法。

3、一般地，我们有：n 元集合A ＝{1a ，2a ，…，n a }的不同子集有2n个。

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_基础

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点一：几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度. 说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二：均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数.(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．取1根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？【思路点拨】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。

人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型重点题型聚焦.

几何概型重点题型聚焦山东省枣庄市第二中学（277400）张同军几何概型的特点是试验的基本事件数是无限多个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在一个区域内均匀分布．处理几何概型问题需要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =, 对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．下面是常见的几何概型问题,正确选用恰当的几何概型决定了解题的成败． 1.与角度有关的几何概型例1.如图所示，设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径2倍的概率．分析：在圆周上任取一点是随机的且是等可能的，符合几何概型的条件，要确定好事件发生的分界点．解：设圆的半径为r ，当弦长恰好为2r 时所对的圆心角恰为900，要想弦长大于2r ，则圆心角必大于900且小于2700，所以所求事件的概率为：P=2136090270000=-. 点拨：本题是一个与角度有关的几何概型，关键是建立好几何图形与概率问题的联系．2.与面积有关的几何概型例2.小朋友做投键子游戏，如图所示．其中AG =HR =DR=21GH,CP=DP=AE=2CQ ，其游戏规则是：将键子投入阴影部分为胜，否则为输.求某小朋友投键子获胜的概率解析：此游戏的结果有无限个，所以属于几何概型，投入阴影部分的概率与阴影部分的面积及总面积有关，所以所求事件(记为事件A)的概率为P(A)=21. 点拨：依据几何概型的计算公式结合图形解决问题会更方便．数形结合的思想方法是高中数学常用的思想方法．3. 与体积有关的几何概型例3.一个球形容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个病毒，从中任取1 ml 水，含有病毒的概率是多少？分析：病毒在水中的分布可以看做是随机的，从中取得1 ml 水可看做构成事件的区域，所有水可看做试验的所有结果构成的区域，可用体积比公式计算其概率．解：水的体积为3333434⨯⨯=ππR (cm 3) ＝36π(cm 3)＝36π(ml)，故含有病毒的概率为P ＝≈π3610.00884. 点拔：需安用体积计算概率时，要注意所求概率与取出体积的关系．事实上，水中含有病毒的概率只与杯中水的体积有关，因而只需要求得取出水样的体积与原有水的体积的比即可．4. 与长度有关的几何概型例4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于12分钟的概率（假设电台每隔一小时报时一次）．解：设A =｛等待的时间不多于12分钟｝，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[]4860，时间段内，因此由几何概型的概率公式，得121()605P A ==．即等待时间不多于12分钟的概率是15．点拔：假设他在0到60分钟之间任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件的概率，因为电台每隔1小时报时1次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．。

拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -高二数学讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(解析版)

拓展二：二项式定理15常见考法归类考点一求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量（一）求常数项（二）求指定项系数（三）求有理项（四）求参数考点二求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题考点三求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项考点四求多个二项式的和或积展开式的问题考点五二项式系数的和问题考点六二项展开式中的系数的和问题考点七二项式系数的最值问题考点八项的系数的最值问题考点九整除和余数问题考点十近似计算问题考点十一证明组合恒等式考点十二杨辉三角问题考点十三与导数的综合问题考点十四与数列的综合问题考点十五与函数的综合问题1.二项式定理概念公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理.二项式各项的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.系数通项C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做T k＋1＝C k n a n－k·b k(k＝0，1，2，…，n).二项C0n a n＋C1n a n－1b1＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.展开式2.二项式系数的性质二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n 有关的n ＋1个组合数，与a ，b 无关.其性质如下：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由C m n ＝C n －m n 得到.直线r ＝n 2将函数f (r )＝C rn 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减少.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项，即12n T +的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.3.杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n －r n .(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C r －1n －1＋C r n －1.(4)第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋….(5)第n 行所有数的和为2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.4.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数.5.求形如(a+b)n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项T r+1=a n-r b r ,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;第三步,把r代入通项中,即可求出T r+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出T r+1或者其他量.6.对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.7.求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.8.某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解.转化的方法通常为配方、因式分解.9.“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx ＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.10.赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，如要求常数项，应赋x为0；求所有项系数之和，应赋x为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需赋x为-1，再通过联立方程组求得.11.二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求()na bx+展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,A n+1,且第k项系数最大,应用≥t,≥r,从而解出k来,即得.考点一求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量（一）求常数项1．（2023·山东济南·一模）62xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．【答案】160【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式62x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式的通项公式6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式中的常数项为336C 2160⨯=.故答案为：160.2．（2023·贵州·统考模拟预测）612x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为___________.【答案】154【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.【详解】612x ⎛- ⎝的展开式通项公式为()6613612216611C C 122rrrr r r r r T x x x----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故()24456115C 124T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式中常数项为154.故答案为：1543．（2023·天津河北·统考一模）102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【答案】45【分析】首先写出展开式的通项，令52002r-=求出r ，再代入计算可得.【详解】二项式102x⎛ ⎝展开式的通项为()()520102211010C C 1rrr r r r T xx--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r-=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．（二）求指定项系数4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）在二项式262()x x-的展开式中，第三项的系数是（）A ．15-B ．15C ．60-D ．60【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式：()62162C rrr r T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,第三项令2r =求系数即可.【详解】二项式展开式的通项公式：()()621231662C 2C rrr r r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，第三项则2r =，可得第三项的系数是()2262C 41560-=⨯=.故选:D.5．（2023春·天津宝坻·高二天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）8的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）【答案】16-【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】由题可知展开式的通项公式84188C (2)C kk k k k kk T x --+⎛==- ⎝⋅，令431k k -=⇒=，此时，含3x 的项为1133328(2)C 2816T x x x =-=-⨯=-，所以含3x 项的系数为16-．故答案为：16-6．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）在二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的二项式系数为（）A ．15B ．15-C ．10D ．10-【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再令622r -=求出r ，即可求出含2x 项的二项式系数.【详解】二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()6621662C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令622r -=，解得2r =，所以展开式中2x 项的二项式系数为2615C =.故选：A7．（2023·北京·校考模拟预测）已知55432012345(12)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则4a =___________．【答案】10-【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】5(12)x -的二项展开式的通项公式()()5155C 122C rrr r r r r T x x -+=⨯⨯-=-⨯⨯，所以()11452C 10a =-⨯=-.故答案为：10-.8．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）若()()()()82801281111x a a x a x a x-=+++++++ ，则5a =______．【答案】448-【分析】令1x t +=可得()82801282t a a t a t a t -=++++ ，分析可知5a 为展开式中5t 的系数，然后利用二项式定理可求得5a 的值.【详解】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkk k kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.（三）求有理项9．（2023·江苏·高二专题练习）二项式50)的展开式中系数为有理数的项共有（）A ．6项B ．7项C ．8项D ．9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【详解】二项式的通项25053215050C C 3)2r rrrr r rr Tx --+==，若要系数为有理数，则25Z 2r -∈，Z 3r∈，050r ≤≤，且r ∈Z ，即Z 2r ∈，Z 3r∈，易知满足条件的{0,6,12,18,24,30,36,42,48}r ∈，故系数为有理数的项共有9项.故选：D10．（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）在72的展开式中，系数为有理数的项是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式定理展开式的通项)2177C kkk kT -+⎛=- ⎝可确定系数为有理数时k 的取值，即可得出结果.【详解】在72的展开式中，根据通项)2177C kkk kT -+⎛=- ⎝可知，4k =时系数为有理数，即第五项为)43424157C T T +⎛== ⎝．故选：C11．（2023·全国·高三专题练习）)51-的展开式中所有有理项的系数之和为__________.【答案】16-【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和.【详解】由二项式定理，可得)51的展开式通项为()515C 1,0,1,2,3,4,5rrrr T r -+=-=，当50,2,4r -=，即5,3,1r =时，1r T +为有理项，所以所有有理项的系数之和为()()()()535315551C 1C 1C 110516-⨯+-⨯+-⨯=-++=-.故答案为：16-.12．（2023·高二课时练习）在*(N )nn+∈的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（）A ．8B ．12C ．13D ．15【答案】AC【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项【详解】*(N )n n ∈展开式通项为2561C C (0)rn rr n r rr n n T x r n --+==⋅≤≤，对于A ，展开式通项为165618C r r r T x-+=⋅，所以由165Z 6r-∈可得=2r 或8，所以此时有两个有理项，故正确；对于B ，展开式通项为2456112C r r r T x-+=⋅，所以由245Z 6r-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；对于C ，展开式通项为2656113C r r r T x-+=⋅，所以由265Z 6r-∈可得4r =或10，所以此时有两个有理项，故正确；对于D ，展开式通项为3056115C r r r T x-+=⋅，所以由305Z 6r-∈可得0r =或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；故选：AC （四）求参数13．（2023·河南·校联考模拟预测）若二项式n的常数项为－80，则n =______.【答案】5【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的指数为零，求出r ，从而利用常数项建立方程求解.【详解】二项式n的通项为231C (2)C rn r rrn r r rr nn T x---+⎛=-=- ⎝，由题意(2)C 80023r rn n r r ⎧-=-⎪⎨--=⎪⎩，且r ，n 为整数，解得35r n =⎧⎨=⎩，故答案为：514．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）若6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为20-，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】由二项式定理的通项公式求6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项，由条件列方程求a .【详解】二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第1k +项为()662166C C kk k k kk k a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620k -=可得3k =，所以二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第4项为常数项，常数项为()3346C T a =-，所以()336C 20a -=-，所以1a =，故选：C.15．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）设2012(12)n nn x a a x a x a x +=++++ ，若78a a =，则n =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】根据二项式定理展开表示对应项系数，再由组合数计算即可.【详解】由二项式定理可得()()7877788878C 12,C 12n n n n a x x a x x --=⋅⋅=⋅⋅，故77788878C 12C 12n n n n a a --=⋅⋅==⋅⋅，即()()27788n n n n =⋅-⋅-!!!!!!，解之得：11n =.故选：C16．（2023·全国·高三专题练习）若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n等于_________.【答案】6【分析】先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含21x 项与含41x项的系数，然后根据题意得到关于n 的方程，解方程可得所求．【详解】二项式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为211(2)(1)2rr n r r n r r n r r n n T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭(0,1,2,,)r n = ，令22n r -=-，得22n r +=，所以含21x 项的系数为222222(1)2n n n n n C +++--⋅⋅222222(1)2n n n n C +-+=-⋅⋅；令24n r -=-，得42n r +=，所以含41x 项的系数为444222(1)2n n n n n C +++--⋅⋅444222(1)2n n n n C +-+=-⋅⋅．由题意得222444222222(1)25(1)2n n n n n n nnCC+-++-+-⋅⋅=-⨯-⋅⋅，整理得242225n n nnC C++=，∴!!251!1!2!2!2222n n n n n n ⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得6n =．故答案为：6．考点二求形如(a+b)m (c+d)n (m,n ∈N*)型的展开式问题17．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）61x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为______________．【答案】60【分析】先求出61⎛ ⎝展开式的通项，求出含1x -项时r 的值，即可求出答案【详解】61⎛ ⎝的展开式的通项为2166C (C (2)rr r r r r T x -+=-=-，令12r -=-即2r =，所以61x ⎛ ⎝的展开式中的常数项22160C (2)6x x --⋅=故答案为：6018．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）二项式()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【答案】10【分析】先确定51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式，再由()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令-+=5210r ，得3r =；令520r -=，得52r =（舍）.。

新教材人教A版高中数学选择性必修第三册各章易错点归纳及典型例题

第七章随机变量及其分布
网络体系构建
【答案速填】
易错案例警示
易错点1：忽视概率的性质【案例1】下列表格可以作为ξ的分布列的是( ) A．
ξ 01 3
P
a
1－a
1 2
B．
ξ1 2
3
P
1 2
－12
1
C．
ξ 45
P 01
D．
ξ －1 1 2
P
1 2
2a a2＋2
【解析】选C.根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，在A中，各概率之和为23 >1，故A错误；在B中，－12 <0，故B错误；在C中，满足分布列的性质 0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正确；在D中，12 ＋2a＋a2＋2＝(a＋1)2＋32 >1，故D错误．
第六章计数原理第七章随机变量及其分布 P23 第八章成对数据的统计分析 P45
网络体系构建
【答案速填】 ①排列数公式 ②组合数公式 ③组合数的性质 ④通项公式 ⑤二项式系数的性质
易错案例警示
易错点1：限制条件的排列问题分类标准不统一致错【案例1】某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有________种．
【解析】选D.因为甲和乙必须去同一家企业实习，则将甲乙捆绑作为一个整体，
则共有4组人需要安排到3家企业实习，
将四组人分为3组，则为1，1，2，
因为出现重复的一组，所以总的安排方法数为C41
C13 A22
A33
＝4×3×32×2×1 ＝36种．
【易错分析】本题涉及“分组问题”，其中有两组是平均分组，忽视这一点使问题出错．【避错警示】涉及平均分组时，要除以平均分组的组数的阶乘．

人教版高中数学必修三复习提纲

人教版高中数学必修三复习提纲第一章三角函数基础知识1.1 角度制与弧度制1.1.1 角度制概念与转换1.1.2 弧度制概念与转换1.2 三角函数的概念和定义1.2.1 任意角和三角函数的定义1.2.2 常用三角函数的性质1.3 三角函数的基本关系式1.3.1 正弦定理1.3.2 余弦定理1.3.3 正切定理第二章三角函数的图像与性质2.1 直角坐标系与单位圆2.2 正弦函数与余弦函数的图像与性质2.3 正切函数的图像与性质2.4 三角函数的诱导公式第三章三角函数的应用3.1 三角函数解直角三角形3.2 三角函数的图像与解析式3.3 三角函数的单调性和奇偶性3.4 三角函数在解决几何问题中的应用第四章二次函数基础知识4.1 二次函数的概念和定义4.2 二次函数的图像与性质4.3 二次函数的解析式与一般式4.4 二次函数的极值与单调性第五章二次函数的应用5.1 二次函数的解析式的应用5.2 二次函数代数基本定理和因式定理5.3 二次函数在几何问题中的应用5.4 二次函数在经济学中的应用第六章三角函数与二次函数的应用6.1 三角函数和二次函数的复合函数6.2 三角函数和二次函数的应用6.3 三角函数和二次函数的联立解法第七章圆与圆锥曲线7.1 圆的基本性质7.2 圆的方程7.3 圆与直线的位置关系7.4 圆锥曲线的基本概念7.5 椭圆的基本性质7.6 双曲线的基本性质7.7 抛物线的基本性质第八章统计和概率8.1 统计的基本概念8.2 统计图8.3 中心极限定理8.4 概率的基本概念8.5 条件概率8.6 贝叶斯公式8.7 随机事件的概率8.8 期望值和方差。

人教版数学高一-人教A必修三章节复习例析几种常见算法的考查

例析几种常见算法的考查山东王光天算法初步为新课程新加内容，通过分析，从07的高考对本章知识的考查应侧重于对变量赋值的理解，对循环结构的运用，阅读程序框图，说明算理与算法（包括输出结果），根据要求画出程序框图等，另外，本章知识之间有较强的联系，因此，算法知识与其他知识的结合将是高考的热点，也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，难度不大，重在算理，算法及其思想。

考点1、算法设计的考查例1、用二分法设计一个求方程220x -=的近似根的一种算法。

分析：若令()22f x x =-，则求方程220x -=的近似根，就是求函数()f x 的零点的近似值，借助二分法求函数零点近似值的方法。

解析：我们先假设所求近似值与精确的差的绝对值不超过0.005算法步骤如下：1S 令()22f x x =-，因为()()10,20f f <>，所以设121,2x x ==。

2S 令122x x m +=，判断()f m 是否为0，若是，则m 为所求，若否，则继续判断()()1f x f m 大于0还是小于0。

3S 若()()10f x f m >，则令1x m =；否则，令2x m =。

4S 判断120.005x x -<是否成立？若是12,x x 之间的任意取值均为满足条件的近似根，若否，则返回2S 。

点评：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，它必须能解决一类问题，并且能重复使用，算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，能在有限步后得出结果。

考点2、算法的逻辑结构和框图的表示1、顺序结构程序设计例2、已知两个单元分别存放了变量x 和y ，试交换两个变量的值，用框图来描述两个变量交换的算法。

分析：为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量P ，通过P 使两个变量来交换，用顺序结构的框图就能表达其算法。

就把以前的值替代了，不妨把三个变量看成存储数据的盒子，新的数据进去就把旧的数据替代了。

排列组合题型归纳课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

) A33
先分组再分配问题
例13：6本不同的书，分成甲4本，乙和丙各1本，共有多少种分法？
定向分配问题
①分组:C64C21C11 ； A22

②分配:A22；
所以共有 C64C21C11 A22
A22
甲被定向分配
合理分类法（全能人才问题）
8+5-10=3个全能人才
例14：共有10名演员，每人都会一种技能，其中8人能唱跳，5人会
排列组合题型归纳
题型分类
数字排列问题有限制条件的分类问题
1.特殊元素/位置优先 2.直接法/间接法 3.捆绑法 4.插空法 5.定序排列
环排问题多排问题隔板法平均分组/分堆先分组再分配问题合理分类法涂色问题
数字排列问题
例1：用0,1,2,3,4,5这六个数字，能组成多少符合下列条件的数字？ (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数.
④(1,3)不同色，(2, 4)不同色，涂色顺序为5 1 3 2 4, C51 C41 C31 C21 C11;
谢谢观看！
环排问题
直排问题
首项和尾项是同一项
1 2 3 4 5 6 7 8 1
A77
多排问题
例8：8个人排成前后两排，第一排3人，第二排5人，有多少种排法？
多排问题
直排问题
A88
隔板法
例8：有10个运动员名额，分给7个班，每个班至少一个名额，有多少种分配方案？
①元素相同的分配; ②每份至少有一个元素.
分成7堆，即9个空中插6个板
数字排列问题
例1：用0,1,2,3,4,5这六个数字，能组成多少符合下列条件的数字？