模态分析基本理论
模态分析
[D()] 2[m] [c] [k] 0
（4）
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
对于包含陀螺效应的旋转软化结构或需考虑阻尼的结构，则使用QR Damped法求解模态振型和复特征值。特征值 i 的表达式：
i i ji
i-复数特征值的实部； i -复数特征值的虚部
3、特征值和振型
特征值的平凡根等于结构的固 有频率（rad/s）
ANSYS Workbench输入和输出的 固有频率的单位为Hz，因为输入 和输出时候已经除以了2π。
模态计算中的特征向量表征了结构 的模态振型，如图所示该形状即为 假设结构按照频率249Hz振动时的 形状。
4、参与系数，有效质量
模态计算后除了能够获取结构的固有频率和振型外，还有参与 系数与有效质量，其中参与系数的计算公式：
M u Cu Ku 0 （1）
设其解为
{x} { }et
代入方程（1）得到
(2[m] [c] [k]){ } [D()]{ } {0}
（2） （3）
矩阵 [D()]称为系统的特征矩阵。方程（3）是一个“二次特征值”问题，
要（3）式有非零解的充要条件为
2、模态分析理论和术语
2.1式输出计算的固有频率：
fi
i 2
其中： fi的单位为Hz，即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动，则总体刚度矩阵[K]为半正
定型，则会出现固有频率为0的情况。
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论：
有阻尼模态分析中假设结构没有外力作用，则控制方程变为
6、模态计算中接触设置
模态计算中可以定义不同结构之间的接触，但是因为模态计 算是一个纯线性分析，因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同，模态计算中接触的具体设置如下：
模态分析算法原理与实例
5.模态计算中接触设置
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
模态计算中可以定义不同结构之间的接触，但是因为模态计 算是一个纯线性分析，因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同，模态计算中接触的具体设置如下：
6.预应力模态分析
• 具有预应力结构的模态分析； • 同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性。
Advanced Contact & Fasteners
i 2
其中： fi的单位为Hz，即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动，则总体刚度矩阵[K]为半正 定型，则会出现固有频率为0的情况。
3.模态计算的方法
在大多数情况下，建议用户选用 Program Controlled选项，程序会自 动优化进行选择算法。
Training Manual
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用户也可以设置输出应力和应变；
注意：模态计算中的应力和应变只是一个相对值，不是真实的应 力值；应力值并没有实际意义，但如果振型是相对于单位矩阵归 一的，则可以在给定的振型中比较不同点的应力，从而发现可能 存在的应力集中。
Training Manual
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（1）Direct-Block Lanczos
-能够处理对称矩阵； -是一种功能强大的方法，当提取中型到大型模型（50000 ~ 100000 个 自由度）的大量振型时（40+），这种方法很有效； -经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中； -可以很好地处理刚体振型； -需要较高的内存。
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
模态分析理论
模态叠加法一.思想要点是在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n 个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。
对于每个方程可以采用各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。
当实际分析的时间历程较长，同时又只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将是十分有利的。
求解步骤：1.求解系统的固有频率和振型2.求解系统的动力响应二.求解固有频率与振型（求解不考虑阻尼影响的振动方程） ..()(){0}M a t Ka t += 解可假设为：0sin ()a t t φω=-φ是n 阶向量，ω是向量φ的振动频率，t 是时间变量，0t 是由初始条件确定的时间常数。
代入振动方程，得到一个广义特征值问题：20K M φωφ-=求解可得n 个特征解221122(,),(,),ωφωφ···2,(,)n n ωφ120ωω≤<<···n ω< 特征向量12,,φφ···,n φ代表系统的n 个固有振型，幅度可按以下要求规定T i i M φφ=1（i=1，2，···，n ），这样规定的固有振型又称正则振型。
将22(,)(,)i i j j ωφωφ代回特征方程，得：2i i i K M φωφ= 2j j j K M φωφ=前式两边前乘以j φT，后式两边前乘以i φT ，得：2j i i j i K M φφωφφTT = 2i j i i jK M φφωφφT T = 由()TTj i j i i j K K K φφφφφφT T==得：22i j i j i j M K ωφφωφφT T =，推出22()0i j j i M ωωφφT-=当i j ωω≠时，有0j i M φφT =这表明固有振型对于矩阵M 是正交的，可表示为：1 ()0 ()i j i j M i j φφT=⎧=⎨≠⎩得：2 ()0 ()i i j i j K i j ωφφT ⎧==⎨≠⎩如果定义123n [ ]φφφφΦ=K21222 0 0 n ωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O则特征解的性质可表示成：M K T T ΦΦ=I ΦΦ=Ω原特征值问题可表示为：K M Φ=ΦΩ三.求解动力响应1.位移基向量的变换引入变换()()1ni i i a t x t x φ==Φ=∑其中()[]12 n x t x x x =L代入运动方程，并两边前乘以T Φ，可得：()()()()()...x t C x t x t Q t R t T T +ΦΦ+Ω=Φ= 初始条件相应地转换成：..0000 x x Ma M a T T =Φ=Φ 阻尼为振型阻尼，则：()()2 i=j 0 i j i i ij C ωξφφT ⎧⎪=⎨≠⎪⎩ 或11222 0 2 0 2n n C ωξωξωξT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 其中i ξ（i=1,2,···,n ）是第i 阶振型阻尼比，可得n 个相互不耦合的二阶常微分方程()()()()...22i i i i i i i x t x t x t r t ωξω++= （i=1，2，···，n ）若C 是Rayleigh 阻尼，即C M K αβ=+根据试验或相近似结构的资料已知两个振型的阻尼比i ξ和j ξ，可得22222()()2()()i j j i i j j i j j i i j i ξωξωαωωωωξωξωβωω-=--=-2.求解单自由度系统振动方程在振动分析中常常采用杜哈美（Duhamel ）积分，又称叠加积分，其基本思想是将任意激振力()i r t 分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来，得到系统对任意激振的响应。
模态分析及意义介绍
六 模 态 分 析 总 结
五 模 态 举 例 CAE
四 模 态 试 验 举 例
三 模 态 问 题 举 例
二 整 车 模 态 分 布
一 模 态 基 础 理 论
车架前三阶模态振型：
五
图2-1 第一阶频率
模 态 举 例 CAE
图2-2 第二阶频率
图2-3 第三阶频率
五 模 态 举 例 CAE
阶次
CAE计算
一 模 态 基 础 理 论
1.3模态分析基本原理 模态分析有很多种方法，仅介绍频域法模态拟合的基本原理：
一 模 态 基 础 理 论
经离散化处理后，一个结构的动态特性可由N 阶矩阵微分方程描述：
经过拉普拉斯变换等处理，可得到频率响应函数矩阵H(ω)，该矩阵 中矩阵中第i行第j列的元素
ωr、ξr 、Φr分别称为第r 阶模态频率、模态阻尼比和模态振型 。
100
0.056
4.79
3.47
0.229
0.748
0.646
Mode3
26.684 Hz
0.013
0.056
100
0.012
0.11
5.384
0.002
0.003
Mode4
36.487 Hz
2.957
4.79
0.012
100
1.377
0.003
1.179
1.786
Mode5
51.299 Hz
1.022
３.2方向盘低速抖动问题 某样车5档缓加方向盘12点Z向振动colormap图
三
2700.00 2.01 4.90
模 态 问 题 举 例
Tacho1 (T1)
第3章 实验模态分析的基本理论
实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。
建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。
—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。
另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。
试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。
1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。
_模态分析理论基础
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
Iration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
什么是模态分析,模态分析有什么用
什么是模态分析,模态分析有什么用什么是模态分析模态分析有什么用结构劢力学分析中，最基础、也是最重要的一种分析类型就是“结构模态分析”。
模态分析主要用亍计算结构的振劢频率和振劢形态，因此，又可以叫做频率分析戒者是振型分析。
劢力学分析可分为时域分析不频域分析，模态分析是劢力学频域分析的基础分析类型。
基础理论劢力学控制方程可表示为微分方程：其中，[ M ] 为结构质量矩阵，[ C ] 为结构阷尼矩阵，[ K ] 为结构刚度矩阵，{ F } 为随时间变化的外力载荷函数，{ u } 为节点位移矢量，为节点速度矢量，{ ü } 为节点加速度矢量。
在结构模态分析中丌需要考虑外力的影响，因此，模态分析的劢力学控制方程可表示为：理想情况下，结构在振劢过程中，丌考虑阷尼效应，也就是所谓的自由振劢情况，模态分析又可描述为：对上迚一步分析，假设此时的自由振劢为谐响应运劢，也就是说u = u 0 sin( ωt )，上又可迚一步描述为：对上式求解，可得方程的根是ω i²，即特征值，其中i 的范围是从1 到结构自由度个数N （有限元分析中，自由度个数N 一般丌超过分析模型网格节点数的三倍）。
特征值开平方根是ω i ，即固有圆周频率，这样，结构振劢频率（结构固有频率）f i就可通过公式f i = ω i /2 π 得到。
有限元模态分析可以得到f i 戒者ω i ，都可以用来描述结构的振劢频率。
特征值对应的特性矢量为{ u } i 。
特征矢量{ u } i表示结构在以固有频率f i振劢时所具有的振劢形状（振型）。
模态分析中的矩阵1. 模态分析微分方程组包含六个矩阵：[ K ] 代表刚度矩阵。
可参考“结构静力学”中的解释说明。
{ u } 代表位移矢量。
主要用来描述模态分析的振型。
可参考“结构静力学”中的解释说明，但一定要注意，模态分析中得到的位移矢量不静力学分析中位移矢量代表变形丌同。
[ C ] 代表阷尼矩阵。
多自由度模态分析理论
针对大规模系统，可以采用高效的数值算法和并行计算技术 来提高计算效率。同时，也可以采用适当的模型简化方法来 平衡计算效率和精度。
05 多自由度模态分析的未来 发展方向
混合模态分析方法
混合模态分析方法是一种结合了线性与非线性理论的分析方法，旨在更全面地描述系统的动态特性。 这种方法结合了线性模态分析的准确性和非线性模态分析的实用性，能够更好地处理复杂系统的振动 问题。
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通过建立系统的有限元模型，利用 数值方法求解特征方程得到模态参 数。
参数识别方法
包括频域法和时域法，其中频域法 通过频率响应函数识别模态参数， 时域法通过时间历程数据识别模态 参数。
03 多自由度模态分析在工程 中的应用
结构健康监测
结构损伤识别
01
多自由度模态分析能够通过比较结构在不同模态下的振动特性，
智能优化算法在模态分析中的应用
智能优化算法是一类基于人工智能的 优化算法，如遗传算法、粒子群算法 和蚁群算法等。这些算法在解决复杂 优化问题方面具有高效性和鲁棒性。
VS
在模态分析中，智能优化算法可以用 于求解系统的最优模态参数，如模态 频率、模态阻尼比和模态振型等。通 过智能优化算法，可以自动搜索系统 的最优模态参数，提高模态分析的效 率和准确性。
多自由度模态分析理论
目录
• 引言 • 多自由度模态分析理论概述 • 多自由度模态分析在工程中的应用 • 多自由度模态分析的局限性与挑战 • 多自由度模态分析的未来发展方向 • 结论
01 引言
背景介绍
机械系统振动分析
多自由度模态分析理论起源于机 械系统振动分析，用于研究复杂 机械结构的动态特性。
模态分析的基础理论-PPT精品文档109页
k
m
c x
kx c·x
m F0 cos t
简谐强迫振动
系数
B
2
x
2 0
x0
n d
x0
tan 1 x0 n x0 d x0
X
A
1
(
n
)
2
2
2
n
2
ET
U1kA2 2
12(x02x02n2)
ET UE
Rayleigh商 动能系数
能量关系
T1mA2 2
12mxm 2ax
n2
k m
Umax T
阻尼自由振动
方程
mxcxkx 0 x(0) x0, x0(0) 0
x2nxn2x 0
自激振动：输电线的舞动 1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速
风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造 成坍塌事故 1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组， 在试车过程中发生异常振动而全机毁坏； 步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共 振现象造成桥梁坍塌
x ( t) e n t( c 1 c o sd t c 2 s ind t)
x (t)X e n tco s(dt)
c 1 x 0 ,c 2 (xn x 0)/ d
阻尼自由振动
对数衰减率
x1 x2
X Xeenntt12ccooss((ddtt11)
单自由度系统
自由振动 简谐振动 非周期强迫振动
模态分析的理论介绍及目的
模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性，每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由分析软件分析取得，也可以经过试验计算获得，这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。
这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性，由它的结构、大小、形状等因素决定的。
这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。
当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动，当他受到某一频率策动时，振幅会达到最大值，这个频率就是物体的固有频率。
1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率，每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。
理论上来说振型也有无穷多个，但是由于振型阶数越高，阻尼作用造成的衰减越快，所以高振型只有在振动初期才较明显，以后则衰减。
因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今，已趋于成熟。
它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中的两大支柱。
到目前，这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段，在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。
我国在这一方面的研究，在理论上和应用上都取得了很大的成果，处于世界前列。
模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价所求结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构特性的预估，优化对结构的设计；3) 诊断及预报结构系统中的故障；4) 识别结构系统的载荷。
结构模态分析
机械结构实验模态分析
实验模态分析定义
❖ 实际结构可以运用所谓“模态参数”来描述其动态 响应
❖ 通过激振实验对采集的振动数据进行处理识别，从 而得到机械系统的模态参数，称为实验模态分析
❖ 模态分析属于参数识别的范畴
机械结构实验模态分析
实验模态的基本步骤
测量系统建立
悬挂、支撑形式 激励方式选择 激励位置确定 响应位置确定
M 1
2r
❖ 式中： M r diagm1 m2 mn
Kr diagk1 k2 mn
2r diag 12
2 2
2 n
1 2 3
❖ 分别称为广义质量矩阵、广义刚度矩阵、特征值矩阵，均为 对角阵
频响函数与模态参数
❖ 频响函数矩阵中的任一列为：
H1j
1r
H2 j
N r 1
kr
jr 2mr
jcr 2r
H Nj
Nr
▪ 可见，任一列都包含所有模态参数，而该行的第r阶模 态的频响函数值之比值，即为第r阶模态振型
机械结构实验模态分析
方程解耦
❖ 定义： ▪ 设法使用一组本来耦合的方程变为一组无耦合方程
❖ 采用方法： ▪ 坐标变换
❖ 对于多自由度系统响应可由特征向量线性组合：
▪ 即： x q11 q11 qnn q
❖ 则运动学方程变为：
T M q T K q 0
频响函数测量
混叠现象 低通滤波 泄漏 窗函数 谱相关函数 误差估计
模态参数估计
模态参数初步识别 迭代优化计算 模态矢量识别 模态矢量归一化 模态质量刚度确定 动画显示
第一章模态分析理论基础
共振频率点
ds max d 1
• 粘滞阻尼系统
– Nyquist图
2
2
[H
R
( )]2
(H
I
( ))2
1
4k
1
4k
» 特点
»桃子形，阻尼比越小
轨迹圆越大
» ( 是变的，所以不是圆 )
在固有频率附近，曲线 接近圆，仍可利用圆
的特性
第20页/共60页
速度与加速度频响函数特性曲线
• 关系回顾
HR 1, 2
(
)
4k
1 (1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽
越大，反之亦然
第17页/共60页
• 虚频图
• •
H
I
( )
g
k[(1 2 )2
（结构阻尼） （g粘2 ] 性阻尼）
• 以H结I构(阻) 尼k[为(1例：2 )22(2 )2 ]
– 系统共振时虚部达到最大值
– 系统共振时实部为零
m1
机架线
第30页/共60页
• 一般多自由度约束系统
机架线
– N自由度约束系统有N个共振频率,（N－1）个反共振频率 – 对原点函数共振反共振交替出现 – 对跨点频响函数无此规律 – 一般两个距离远的跨点出现反共振的机会比较近的跨点少
第31页/共60页
– 自由系统
• 两自由度系统运动方程（无阻尼）
第7页/共60页
单自由度系统频响函数分析
粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
•强迫fd振动方c程x 及其解
..
.
m x•解c的x形式k（xs为复f 数）及拉氏变换：
模态分析理论
精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为（去除项化简得以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（15）有非零解，则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（16）即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。
假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：21z =1z ，31z =1z ，即；二阶模态，223kω=m ：21z=0z，31z=-1z，即；三阶模态，23kω=m ：21z=-2z，31z=1z，即。
运动方程的解耦图错误！未指定顺序。
运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。
模态分析基本内容简介
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
概述振动模态是弹性结构固有的、整体的特性。
通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内的各阶主要模态的特性，就可以预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下产生的实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备故障诊断的重要方法。
机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动模态各不相同。
模态分析提供了研究各类振动特性的一条有效途径。
首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与响应并进行双通道快速傅里叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。
用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立起结构物的模态模型。
根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。
近十多年来，由于计算机技术、FFT分析仪、高速数据采集系统以及振动传感器、激励器等技术的发展，试验模态分析得到了很快的发展，受到了机械、电力、建筑、水利、航空、航天等许多产业部门的高度重视。
已有多种档次、各种原理的模态分析硬件与软件问世。
用处模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价现有结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3) 诊断及预报结构系统的故障；4) 控制结构的辐射噪声；5) 识别结构系统的载荷。
模态分析理论范文
模态分析理论范文模态分析理论的核心理念是，人们在特定的社会和文化情境下会表现出不同的态度和行为。
它认为，我们的态度、信念和行为不仅受到个体心理因素的影响，还受到社会和文化环境的影响。
因此，要全面了解一个人的态度或行为，就需要考虑到这个人所处的情境。
首先，模态指的是人们在特定情境下所采取的态度、信念和行为。
它可以通过探究个体的思考方式、观点和意见来理解。
例如，一些人可能会对一些产品持有积极的态度，这可能是因为他对产品的特点和功能有较高的认同。
其次，資源指的是人们在模态形成过程中所依赖的信息和知识。
在分析模态时，人们使用各种不同的资源来评估和形成自己的态度。
这些资源可以是个体的经验、心理特征、社会身份或文化价值观。
通过了解人们所依赖的资源，我们可以更好地理解他们的态度和行为。
最后，情境是指人们所处的社会和文化环境。
情境对个体的态度和行为具有重要的影响。
在不同的情境下，人们可能表现出不同的态度和行为。
例如，同一个人在工作时可能持有不同的观点和做法，而在家庭生活中可能又是另一种态度和行为。
模态分析理论的应用非常广泛。
在广告和市场营销领域，模态分析理论被用于理解消费者的态度和行为，从而更好地设计和推广产品。
在政治和公共政策领域，模态分析理论可以帮助政治家和政策制定者了解公众的意见和需求，有针对性地制定政策和决策。
在社会学和心理学领域，模态分析理论可以用来研究群体行为和态度的变化，揭示社会和文化因素对个体的影响。
然而，模态分析理论也存在一些限制。
首先，因为人们的态度和行为是受多个因素的影响，所以模态分析理论不能解释所有的情况。
其次，模态分析理论强调了情境对个体行为的影响，但情境本身也是由个体创造和改变的，所以情境也会受到个体行为的影响。
最后，模态分析理论对于一些复杂的社会和文化现象可能无法提供充分的解释，因为这些现象涉及多个层面和多个因素的交互作用。
总之，模态分析理论是一种有用的社会科学研究方法，可以帮助我们理解人们在特定情境下的态度和行为。
模态分析理论
模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。
特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，图 1 三自由度系统其齐次运动方程为：（8）其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则运动方程展开式为： ¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9）定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。
对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（11）mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。
模态分析理论
机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。
稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。
振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统 时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号--离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。
正则化，解耦。
（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。
频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。
根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、 单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：)(t f kx x c x m =++&&&自由振动：0=++kx x c x m &&&正则形式：0220=++x x x ωσ&&&其中：m c 2=σ：衰减系数（衰减指数）；mk =0ω：无阻尼固有频率（固有频率） 引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：mkc 20==ωσζ运动微分方程可写成：02200=++x x x ωζω&&&特解为：t e xλϕ=，λ为方程的特征值，因此： 0)(2=++ϕλλk c m为使系统有非零解，很显然：02=++k c m λλ因此可得到λ的解为：d j ωσλ±-=2,1 式中：201ζωω-=d 成为阻尼固有频率。