类比探究专题(三)——旋转结构(含答案)

合集下载

类比探究问题(习题及答案)

类比探究问题（习题）＞例题示范例1：如图1,在正方形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的点, 且ZE4F=45。

，则有结论EF=BE+DF成立.（1）如图2,在四边形ABCD中，AB=AD. ZB=ZD=90。

, E, F分别是BC, CD上的点，且ZEAF是ZB4D的一半，那么结论EF二BE+DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理山.⑵ 如图3,若恪（1）中的条件改为：在四边形ABCD 4^，AB=AD.ZB+上ADC=180。

，延长SC到点E,延长CD到点F,使得ZEAF 仍然是ZBAD的一半，则结论EF二BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.图1D图2F思路分析：1.题目中有旋转结构，可以类比.题U结论思路：如图1,延长CB到G,使BG二DF,根据已知条件容易证明^ ABG幻△ADF,由此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ABAD.2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・2.类比上面思路，解决笫一问•如图2,延长CB到G,使BG=DF, 根据已知条件容易证明^ABG^^ADF.山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF=_ ZBAD,2 所以得到ZDAF+ZBAE二ZEAF,进一步得到ZEAF二上EAG, 所以△故EF=EG=BE+BG=BE+DF ・3.照搬思路解决第二问•结论EF=BE+DF不成立，应为EF=BE-DF.如图3,在BC上截取BG=DF, 山于ZB+ZAQC=180。

，Z/1DF+Z/IDC=18O^ 可以得到ZB=ZADF,所以△ABG幻△ADF,山此可以推出ZBAG=ZD4F, AG=AF.而Z EAF』ZBAD.2 所以得到ZEAF=ZEAG,所以△AEF竺△AEG,A)90。

△ADF空△ABG (SAS)I AAEF^AAEG (SAS)I故EF=EG=BE-BG=BE-DF ・D>巩固练习1.如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF (CG>BC)中，点C, G在同一直线上，M是AE的中点.(1)探究线段MD, MF的位置关系及数量关系，并证明.(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D, C, G三点在同一直线上，如图2,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.(3)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边在同一直线上，如图3,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图2E2.在△ABC中，已知BC >AC.动点D绕△ABC'的顶点A逆时针旋转，丄LAD=BC,连接CD. E, F分别为AB, CD的中点，直线EF与直线AD眈分别交于点M, N.如图1,当点D旋转到BQ 的延长线上时，点N恰好与点Fifi合，取AC的中点H,连接HE, HF.根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论ZAMF二ZBNE (无需证明).(1)当点D旋转到图2中的位置时，ZAMFLj ZBNE有何数量关系？请写出猜想，并给出证明.(2)当点Q旋转到图3中的位置时，ZAMF与ZBNE有何数量关系？请直接写出结论.3.已知AABC,以△ABC的边4C为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD AB=AE. AC=AD. ZBAE= ZCAD=90\ M 是BC中点，连接AM, DE.(1)如图1,在△ABC中，当ZB4C二90。

类比探究之结构类比(旋转)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？答：类比是解决此类问题的主要方法：字母类比，辅助线类比和思路类比.在这个基础上还有结构类比，做好类比需要把握变化过程中的不变特征．问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？答：旋转结构和中点结构，其中中点结构中包含：（类）倍长中线，平行夹中点，以及中位线．问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？答：出现等线段共点时考虑旋转结构．类比探究之结构类比（旋转）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN．（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC，∠A＝∠D，点M，N分别在AD，CD上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．利用旋转的思想很容易证明DE+BF=EF．如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．则DE，BF，EF之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，当∠ABC与∠ADC满足( )时，可使得上问结论依然成立．A.∠ABC=∠ADCB.∠ABC+∠ADC=180°C.∠ABC=2∠ADC-180°D.∠ABC+2∠ADC=270°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上．连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，容易证明△AMN是等腰三角形．在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形，则在图2中下列说法不正确的是( )A.△ADC≌△AEBB.△CAN≌△BAMC.∠CAM=∠NAED.AM=AN可以通过全等三角形对应边上的对应中线相等来说明答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题6.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作等边三角形ADF（A，D，F按顺时针排列），连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，容易证明AC＝CF+CD，在证明过程中需要用到某对三角形全等，则证明全等时用到的条件是( )A.AASB.ASAC.SASD.SSS答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题7.（上接第6题）（2）如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD 之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题8.（上接第6，7题）（3）如图，当点D在边CB的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CD-CF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练类比探究的处理框架，我们一起来对本套试题进行反思和小结，同学们在做的时候哪些题目有困难？问题2：针对做题时的困难，需要进行反思；主要原因是：①类比不下去；②找不到不变特征；③每一问都不同，不知如何类比．。

类比探究3(旋转结构)

类比探究-----旋转结构题型特征：图形结构类似、问法类似，常含探究、类比等关键词。

解题方法：1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。

如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。

2.找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见不变结构及方法：①直角，作横平竖直的线，找全等或相似；②中点，作倍长，通过全等转移边和角；③平行，找相似，转比例。

1、【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．2、某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ；（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．3.（2015•贵港26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+3，PA=2，则：①线段PB=_____ ，PC= ______；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ____________ ；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P 满足PB PA =31，求ACPC 的值．（提示：请利用备用图进行探求）4．（2015•河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，BD AE =______；②当α=180°时，BD AE=_______ （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．5、（2016秋•江津区期中）在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F ．（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：BE+CF=21AB ．（3）如图3，若∠EDF 的两边分别交AB 、AC 的延长线于E 、F 两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE 、AB 、CF 之间的数量关系．6、（2014阜新）已知，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△EFG ，并将它沿直线AB 向左平移，直线EG 与BC 交于点H ，连接AH ，CG .（1）如图①，当AB = BC ，点F 平移到线段BA 上时，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB = BC ，点F 平移到线段BA 的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）如图③，当AB = n BC （n ≠ 1）时，对矩形ABCD 进行如已知同样的变换操作，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想.7、小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点 P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ， PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEPA图2P图3DCBA9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE 的长图1FE DCBA图2F EDCBA图3DCBAABCD备用图10．（2010•抚顺）如图所示，（1）正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF=90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；（2）将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD=kAB ，AF=kAE ，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；（3）将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD=∠EAF=a ，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF 的数量关系，用a 表示出直线BE 、DF 形成的锐角β11、情境观察:将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是，∠CAC ′= °．问题探究:如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'拓展延伸:如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB = k AE ，AC = k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.12．（2011•齐齐哈尔）在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图（1），易证 EG=CG 且EG ⊥CG ．（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．2.数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：图1 图2（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得DMAM的值为___________； ②在平移过程中，DMAM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF图4MNGFECBAH上时，如图3所示，请计算DMAM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算DMAM的值（用含x 的代数式表示）．图3 图4。

类比探究之结构类比(旋转)(北师版)(含答案) (1)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：什么特征我们会考虑旋转结构？问题4：如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN．（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC，∠A＝∠D，点M，N分别在AD，CD上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A．B．C．D．分析题目中的不变特征，画出其路线图.类比探究之结构类比（旋转）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN．（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC，∠A＝∠D，点M，N分别在AD，CD上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若，则线段MN，AM，CN之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．利用旋转的思想很容易证明DE+BF=EF．如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．则DE，BF，EF之间的数量关系为( )A. B.C.DE+2BF=EFD.DE+BF=EF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，当∠ABC与∠ADC满足( )时，可使得上问结论依然成立．A.∠ABC=∠ADCB.∠ABC+∠ADC=180°C.∠ABC=2∠ADC-180°D.∠ABC+2∠ADC=270°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上．连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，容易证明△AMN是等腰三角形．在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形，则在图2中下列说法不正确的是( )A.△ADC≌△AEBB.△CAN≌△BAMC.∠CAM=∠NAED.AM=AN可以通过全等三角形对应边上的对应中线相等来说明答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题6.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作等边三角形ADF（A，D，F按顺时针排列），连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，容易证明AC＝CF＋CD，在证明过程中需要用到某对三角形全等，则证明全等时用到的条件是( )A.AASB.ASAC.SASD.SSS答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题7.（上接第6题）（2）如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD 之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题8.（上接第6，7题）（3）如图，当点D在边CB的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=CF-2CDD.AC=CD-CF答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题第11页共11页。

类比探究之旋转结构

类比探究之旋转结构1.旋转结构（手拉手模型）——等线段共端点，构造旋转，借助全等整合条件（1）常见旋转模型1如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把△ABD 绕点A逆时针旋转60°得到△ACE．（2）常见旋转模型2如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF．思路提示：正方形提供了四条边都相等，可以看成等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD=AB，把线段AD绕点A顺时针旋转90°，则AD 所在△ADF也绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG．1.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系．2.在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF．（1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B 重合），如图1所示，请你直接写出线段CF和BD的位置关系是________，数量关系是__________；（2）猜想论证：在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB满足什么条件时，线段CF和BD之间的位置关系仍成立（点C，E重合除外），画出图形，并说明理由．图1图2图33.在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=___度；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．图1图2图34.如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．5.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________．探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，则上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．6.在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A=60°，△ABC 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A ，B 的对应点分别是点D ，E ．（1）如图1，当点D 恰好落在边AB 上时，试判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当点B ，D ，E 三点恰好在一条直线上时，旋转角α=________°，此时直线CE 与AB 的位置关系是_____________．（3）在（2）的条件下，连接AE ，设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是_____________．（4）如图3，当点B ，D ，E 三点不在一条直线上时，（3）中的1S 与2S 的数量关系仍然成立吗？试说明理由．【学习过勾股定理之后，可以跟具体计算结合起来考查】7.（1）观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为_______________；（2）问题解决如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；图1图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．图38.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌_______，故EF，BE，DF之间的数量关系为_______________．（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，则DE的长为_________．图1图2图39.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．10.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）问题发现：直接写出∠NDE=_________度．（2）拓展探究：如图2，当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．（3）如图3，若∠EAC=15°，BD=2，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请求出AC的长．11.已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．（1）问题发现如图1，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD 和EA之间的数量关系为______，BD，AB，CB之间的数量关系为_________；（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图2的位置时，BD，AB，CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图3的位置时（点C，D在直线MN 两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB=_________．图1图2图3。

四边形中的旋转结构(人教版)(含答案)

四边形中的旋转结构（人教版）一、单选题(共6道，每道12分)1.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．点E，F分别在边AD，DC上．若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：①观察到旋转特征OA=OD=OC且交于点O，易证△OED≌△OFC，△OAE≌△ODF．②由△OED≌△OFC，△OAE≌△ODF，可得ED=FC=3，DF=AE=4，∴EF=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：正方形2.如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是( )A.AE⊥AFB.EF:AF=:1C.S正ABCD=S四边形AFCED.△AEH为等腰三角形答案：D解题思路：①由旋转特征，知△BAF≌△DAE．②易证△EAF是等腰直角三角形．故选D．试题难度：三颗星知识点：正方形3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，则下列结论正确的是( )A.AF=ABB.BE+CF=EFC.∠EFC=∠BD.△AEF是等边三角形答案：D解题思路：①如图，连接AC，观察旋转特征AB=AC=AD且交于点A，即△ACF可以看成△ABE绕点A逆时针旋转60°得到．②证明△ACF≌△ABE，可得△EAF是等腰三角形，结合∠EAF=60°，可证△AEF为等边三角形．故选D．试题难度：三颗星知识点：菱形4.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF，的位置，若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BFC等于( )度．A.120°B.135°C.150°D.无法确定答案：B解题思路：①由旋转得，△CBF≌△ABE，可得CF=AE=1，BF=BE=2②由BE=BF=2，∠EBF=90°，可得△EBF是等腰直角三角形，可得∠BFE=45°，EF=．③在△EFC中，由，CF=1，CE=3，由勾股定理逆定理，可得△EFC是直角三角形，∠EFC=90°．∴∠BFC=135°．故选B．试题难度：三颗星知识点：正方形5.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接PQ，CQ．若PA:PB:PC=3:4:5，则△PQC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案：B解题思路：①结合所求目标，条件比较分散，观察到BA=BC且交于点B符合旋转结构特征，则△BQC 可看成由△BPA旋转60°得到．②由△BQC≌△BPA，可得BP=BQ=4k，AP=QC=3k，结合∠PBQ=60°，可得△BPQ是等边三角形，PQ=4k．③在△PQC中，PQ=4k，CQ=3k，PC=5k，由勾股定理逆定理可得△PQC为直角三角形．故选B．试题难度：三颗星知识点：旋转结构6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于( )A.10B.11C.12D.13答案：A解题思路：①如图，②根据旋转特征（EA=AB且交于一点），则△ABN可以看成由△AEM逆时针旋转90°得到．③证明△ABN≌△AEM，可得EM=BN=BC-AD=9-5=4．④可得故选A．试题难度：三颗星知识点：面积二、填空题(共2道，每道14分)7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．若cm，则BE=____cm．答案：12解题思路：①观察到旋转结构，△ECB可以看成△DCA绕点C旋转90°得到．②证明△ECB≌△DCA，则BE=AD．③在Rt△ABC中，由，可得AB=6．∴BE=DA=12试题难度：一颗星知识点：旋转结构8.在数学活动课中，小辉将边长为和1的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD＝CF．他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l 上，如图2，则CF=____．图1图2答案：5解题思路：①观察到旋转结构，△FCO可以看成△DAO绕点O逆时针旋转90°得到．②证明△FCO≌△DAO，则CF=DA．③过点D作l的垂线，垂足为M，则DM=3，OM=3．④在Rt△ADM中，由DM=3，AM=4，可得DA=5．试题难度：一颗星知识点：正方形。

中考专题数学解答组与旋转有关的类比探究题

几何综合——旋转+线段1.已知∠ACD=90∘，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.(1)问题发现如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为.(2)拓展探究当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明。

(3)解决问题当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C. D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30∘，BD=2时，CB= .解答：(1)如图1,过点CE作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠ACB,∠BCD=90∘−∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360∘，∴∠BAC+∠D=180∘，∵∠CE+∠BAC=180∘，∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE+AB=DB+AB，(2)如图2,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘+∠ACB,∠BCD=90∘+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFB,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE−AB=DB−AB，(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠DCE，∠BCD=90∘−∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFC,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠BFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AB−AE=AB−DB，∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC=∠CBE=45∘，∵∠ABD=90∘，∴∠DBH=45∘过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，2.如图所示,平行四边形ABCD中,∠B=60∘,将一块含60∘的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转,且60∘角的顶点始终与点C重合,角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).(1)问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想。

【中考数学必备专题】类比探究之图形运动(含答案)[1]

类比探究之图形运动一、探究题(共2道，每道50分)1.已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，证明（提示取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质即可证明）．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并证明．答案：图2：∠AMF=∠ENB图3：∠AMF+∠ENB=180°证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF=∠HFE同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠ENB=∠AMF如图3，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF+∠HFE=180°同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠AMF+∠BNE=180°解题思路：两题思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质2.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．答案：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=OF=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE，∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，∴△AMP≌△FPE，∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．解题思路：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．（3）解题思路和方法同（2）．试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质。

九年级数学类比探究专练之旋转结构(一)(含答案)

类比探究专练之旋转结构（一）
一、解答题(共2道，每道11分)
1.如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE．
①求证：CD=CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD=CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：类比探究
2.（1）如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的结果（不必写出计算过程）．
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB．
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有什么变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写出计算过程）；若无变化，请说明理由．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：旋转。

八下类比探究专题训练

八下类比探究专题【旋转结构】1.如图1，已知△ABC是等边三角形，∠DAC=90°，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图1，∠QEP的度数为_________；（2）如图2，当0°<∠DAC<60°时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明你的猜想；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，AC=4，其他条件不变，请直接写出线段BQ的长．2.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD，BD，CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD CD，直接写出∠BAD的度数．图1图2备用图3.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线BA上一点，连接CM，以CM为直角边且在CM的下方（沿CM顺时针方向）作等腰直角三角形CMN，∠MCN=90°，连接BN．（1）若AC=BC，∠ACB=90°．①如图1，当点M在线段AB上（与点A不重合）时，则BN与AM的数量关系为__________，位置关系为_________；②当点M在线段BA的延长线上时，①的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由．（2）如图3，若AC≠BC，∠ACB≠90°，∠ABC=45°，点M在线段AB上运动，请判断BN与AB的位置关系，并说明理由．4.如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（其中α<∠ABC）．（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上，若∠CDP=120°，则∠ACD_____∠ABD（填“>”、“=”、“<”），线段BD，CD 与AD之间的数量关系是____________；（2）当∠BAC=90°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=90°，求证：BD-CD AD；（3）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图4位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，请直接写出线段BD，CD与AD之间的数量关系（不必证明）．图1图2图3图45.发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O．①线段AE与CD的数量关系为_________；∠AOC的度数为___________．②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？________________．（2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=45°，若AD=8，CD=6，请直接写出B，D两点之间的距离．6.已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC =1+3，PA =2，则：①线段PB =_________，PC =_________；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为__________；（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程；（3）若动点P 满足13PA PB ，求PCAC 的值．（提示：请利用备用图进行探求）7.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角是__________度；②线段OD的长为__________；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=135°，OA=1，OB=2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．8.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则①BC与CF的位置关系为______________；②BC，DC，CF之间的数量关系为______________．（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC，DC，CF之间的数量关系为_______________；②若正方形ADEF的边长为3，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为___________．1.（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是__________．（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．2.提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE．分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N．通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【新定义】1.联想三角形外心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心）的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA =PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且12PD AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC =5，AB =3，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．2.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．如图1，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD和△BCD 是“朋友三角形”，并且ACD BCD S S △△．应用：如图2，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AB=AD =4，BC =6，点E 在BC 上，点F 在AD 上，BE=AF ，AE 与BF 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOF 是“朋友三角形”；（2）连接OD ，若△AOF 和△DOF 是“朋友三角形”，求四边形CDOE 的面积．拓展：如图3，在△ABC 中，∠A =30°，AB =8，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“朋友三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A'CD ，若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的14，则△ABC 的面积是__________（请直接写出答案）．3.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）_____________________，写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长．4.我们定义：在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′叫△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′的边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．下面各图中，△AB′C′均是△ABC 的“旋补三角形”，AD 均是△ABC 的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，BC =8，则AD 的长等于________；（2）如图2，若∠BAC =90°，求证：AD =12BC ；（3）如图3，若△ABC 为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．5.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=a=_____，b=_____；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=________，b=________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论．拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，BE⊥AC于点H，若AD=AB=3，求AF的长．。

(人教版)沈阳市九年级数学上册第三单元《旋转》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP=D ．2ABCAEPF S S=四边形4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．6．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 7．若点P(－m ，m －3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足( )A ．m ＞3B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞38．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ．戴口罩讲卫生B ．勤洗手勤通风C ．有症状早就医D ．少出门少聚集9．如图，Rt OCB ∆的斜边在y 轴上，3OC ＝，含30︒角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，则B 点的对应点B ′的坐标是（）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0)10．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D ，E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ACF ，连接DF ，则下列结论中有( )个是正确的． ①∠DAF=45° ②△ABE ≌△ACD ③AD 平分∠EDF ④222BE DC DE +=A ．4B ．3C ．2D ．111．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．12．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，且点A 的对应点A '落在BC 的延长线上，连接AA '，则AA '的长为________．14．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．15．如图，直角ABC 中，60ACB ∠=︒，在水平桌面上ABC 绕C 点按顺时针方向旋转到ECD 位置，且点B 、C 、E 在一条直线上，那么旋转角是______度．16．将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是______17．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．19．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2．下面四个结论：①BF=22②∠CBF=45°；③∠CED=30°；④△ECD的面积为223，其中正确的结论有_____．(填番号)参考答案20．在平面直角坐标系中，将点P （﹣3，2）绕点Q （﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P '的坐标为____．三、解答题21．如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,3)A -，0()6,B -，(1,0)C -．（1）将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △．画图，写出点A 的对应点1A 的坐标．（2）将ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到222A B C △．画图，写出点B 对应点2B 的坐标．（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标． 22．（1）（操作发现）如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度．（2）（类比探究）如图27的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC 的面积．23．已知ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA =，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将ACD △绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ，连接DE ．（1）如图1，求证：CDE △是等边三角形．（2）设OD t =，①如图2，当610t <<时，CDE △的周长存在最小值，请求出此最小值；②如图1，若06t <<，直接写出以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形时t 的值．24．如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形EFGC ，点E 在AD 上．延长AD 交FG 于点H ．求证：EDC HFE ≅．25．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别是()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC ∆向左平移5个单位长度后得到的111A B C ∆；并写出1A 、1B 、1C 的坐标；（2）请画出ABC ∆关于原点对称的222A B C ∆；并写出2A 、2B 、2C 的坐标．26．已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接AD ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ．求证：,BD CE BD CE =⊥；（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ，请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）根据图2，请直接写出,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确； B 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误； C 、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误； D 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B解析：B 【分析】由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数．【详解】解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′， ∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'， ∴∠AD'D=12(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°， ∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．3．C解析：C 【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°， ∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角， ∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ）， ∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ， ∴△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确，∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．D解析：D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D ．【解答】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．D解析：D 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．6．D解析：D 【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，16,2OB AB OA ∴====，由旋转的性质得：6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点，将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，(0,6)A B ''∴-，又点D 为斜边A B ''的中点，006(,)22D -'∴，即3)D '-，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．7．C解析：C 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （-m ，m-3）关于原点O 的对称点是P′（m ，3-m ），再由第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，可得m 的取值范围．【详解】解：点P （-m ，m-3）关于原点O 的对称点是P′（m ，3-m ）， ∵P′（m ，3-m ），在第二象限， ∴030m m <⎧⎨->⎩，∴m ＜0．故选：C ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，注意掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．8．C解析：C 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．9．A解析：A【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到1BC =，再利用旋转的性质得到3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ====∠''''=='∠︒，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B ′的坐标．【详解】如图，在Rt OCB ∆中，30BOC ∠=︒，333133BC OC ∴===， Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒，∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选A ．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30456090180︒︒︒︒︒，，，，． 10．B解析：B【分析】①根据旋转的性质可得出∠BAE=∠CAF ，由∠BAC=90°、∠DAE=45°可得出∠CAD+∠CAF=45°，即可判断①；②根据旋转的性质可得出△BAE ≌△CAF ，不能推出△BAE ≌△CAD ，即可判断②；③根据∠DAE=∠DAF=45°，根据角平分线定义即可判断③；④根据全等三角形的判定求出△AED ≌△AFD ，推出DE=DF ，求出∠DCF=90°，根据勾股定理推出即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE ，∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；②由旋转，可知：△ABE ≌△ACF ，不能推出△ABE ≌△ACD ，故②错误；③∵∠EAD=∠DAF=45°，∴AD 平分∠EAF ，故③正确；④由旋转可知：AE=AF ，∠ACF=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°，由勾股定理得：CF 2+CD 2=DF 2，即BE 2+DC 2=DF 2，在△AED 和△AFD 中，AD AD EAD DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ，∴BE 2+DC 2=DE 2，故④正确．故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 12．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．二、填空题13．【分析】根据勾股定理可求得AB=5根据旋转的性质得=5则=1再根据勾股定理即可求得的长【详解】解：∵∴由勾股定理得∵绕着点B 旋转得到∴=5∴=﹣BC=5﹣4=1在Rt △中由勾股定理得：故答案为：【点【分析】根据勾股定理可求得AB =5，根据旋转的性质得A B AB '==5，则A C '=1，再根据勾股定理即可求得AA '的长．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，∴由勾股定理得AB 5==，∵ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，∴A B AB '==5，∴A C '=A B '﹣BC=5﹣4=1，在Rt △A CA '中，由勾股定理得：A A '===【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键． 14．【分析】由旋转角∠BAB′=30°可知∠DA B′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED 计算面积即可【详解】如图连接根据旋转角为可知在与中在中故答案为：【点解析：36-【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED ，计算面积即可．【详解】如图，连接AE ，根据旋转角为30，可知，30BAB '∠=︒，9060DAB ∴∠=︒-30︒='︒，在Rt ADE △与Rt AB E '中，AD AB AE AE '=⎧⎨=⎩()Rt ADE Rt AB E HL '∴△△≌， 1302EAD B AD DAB '∴∠=∠=∠='︒， ∴在Rt ADE △中，6AD =，23ED =，112623632ADE AD E S D ⋅∴=⨯=⨯=△， 1223ADEB ADE S S '=∴=△，2636ABCD S ==正方形，36123ADEB ABCD S S S '∴-==阴影正方形-，故答案为：36123-．【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练添加辅助线，证明全等，灵活计算阴影面积是解题关键．15．120【分析】首先要确定旋转中心再找到一对对应点对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角求出这个角即可【详解】∵直角△ABC 在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到△EDC 的位置∴点B 的对应点就是D 点则旋转解析：120【分析】首先要确定旋转中心，再找到一对对应点，对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角，求出这个角即可．【详解】∵直角△ABC 在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到△EDC 的位置，∴点B 的对应点就是D 点，则旋转角等于∠BCD ，又∵在直角△ABC 中，∠ACB=60°，∴∠ACB=∠ECD=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题考查了旋转的性质，要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．解答此题要熟悉旋转的定义并熟练掌握旋转的性质．16．【分析】首先利用平移变化规律得出P1（13）进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标【详解】∵点P （-23）向右平移3个单位得到点P1∴P1（13）∵点P2与点P1关于原点对称∴P2的坐标是：解析：()1,3--【分析】首先利用平移变化规律得出P 1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P 2的坐标．【详解】∵点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，∴P 1（1，3），∵点P 2与点P 1关于原点对称，∴P 2的坐标是：（-1，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．17．90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得∴OB=O解析：90【分析】由△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案【详解】解：∵△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD ，∴旋转的角度是∠BOD 的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°，故答案为： 90．【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．18．【分析】由点P 是AB 的中点∠A=60°AC=3cm 可得BP 的长再由逆时针旋转90°根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值就可求出BMMP 的长在Rt △B′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的解析：94【分析】由点P 是AB 的中点，∠A=60°，AC=3cm 可得BP 的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM ，MP 的长，在Rt △B ′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S 阴影部分=BNG BPM S S ∆∆-进行计算即可．【详解】如图，∵∠C =90°，∠A =60°，AC =6，∴AB =2AC =6，∠B =30°，∵点P 为AB 的中点，∴BP =3，∵△ABC 绕点P 按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A′B′C′，∴B 'P =BP =3，在Rt △BPM 中，∠B =30°，∠BPM =90°，∴BM =2PM ，∴PM 3BM 3 ∴B ′M =B ′P -PM 3在Rt △B ′MN 中，∠B ′=30°，∴MN =12B ′M =3322-，∴BN =BM +MN =33322+ 在Rt △BNG 中，BG =2NG ，BG 2=NG 2+BN 2，∴NG =3322+， ∴S 阴影=S △BNG -S △BMP =1333319333222224⎛⎛⨯+⨯-= ⎝⎝⎭，故答案为：94．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．19．①②④【分析】利用旋转的性质得CF ＝CB ＝2∠BCF ＝90°则可得△CBF 为等腰直角三角形于是可对①②进行判断；由于直线DF 垂直平分AB 则FA ＝FBBE ＝AE 于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质解析：①②④【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH＝1AC＝2+1，利用旋转性质得CD＝CA＝2+22，则利用三角形面积公式可计算出2△ECD的面积，从而可对④进行判断．【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF为等腰直角三角形，∴BF＝2BC＝22，∠CBF＝45°，所以①②正确；∵直线DF垂直平分AB，∴FA＝FB，BE＝AE，∴∠A＝∠ABF，而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；作EH⊥BD于H，如图，∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CD＝CA＝2+22，∵点E为AB的中点，∴EH＝1AC＝2+1，2∴△ECD的面积＝1•（2+1）•（2+22）＝22+3，所以④正确．2故答案为：①②④．【点睛】考查了旋转的性质，旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20．（12）【分析】根据题意画出图形即可解决问题【详解】如图观察图象可知P （12）故答案为：（12）【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转解题的关键是理解题意学会利用图象法解决问题属于中考常考题型解析：（1，2）．【分析】根据题意，画出图形即可解决问题．【详解】如图，观察图象可知，P '（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）画图见解析，(4,3) （2）画图见解析，()0,6- （3）(3,3)或(7,3)-或(5,3)--【分析】（1）根据点平移的规律，找到点A 、B 、C 向右平移6个单位后点1A 、1B 、1C 点的坐标，顺次连接即可．（2）根据旋转三要素找到各点的对应点，顺次连接即可得到222A B C △，结合图像可得点2B 的坐标．（3）以BC 为对角线，AC 为对角线，AB 为对角线，三种情况入手讨论，即可得到第四个点D 的坐标．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求，其中点1A 的坐标为(4,3).（2）如图所示，222A B C △即为所求，其中点2B 的坐标为()0,6-.（3）如图所示：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标，分别为(3,3)或(7,3)-或(5,3)--.【点睛】本题考查了作图—旋转变换，平移变换以及平行四边形的性质，最后一问的求解注意分类讨论，避免漏解．22．（1）60；（2）3【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB是等边三角形即可；（2）【类比探究】：如图2中，将△CBP绕点C逆时针旋转60°得△CAP＇，连接PP＇，证明∠APP＇=30°，∠PAP＇=90°，设AP＇=t，表示出AP和PC，利用勾股定理求出t，进而可求出△APC的面积．【详解】解：（1）解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，故答案为60．（2）将△CBP绕点C逆时针旋转60°得△CAP＇，连接PP＇，则△PCP＇为等边三角形，∴∠CPP＇=∠CP＇P=60°．∵∠BPC=120°，∠CPP＇=60°，又∵∠APC=90°，∴∠APP＇=30°，由旋转得∠AP ＇C=∠BPC=120°，∴∠APP ＇=120°-60°=60°，∴∠PAP ＇=90°，可设AP ＇=t ，则PC=PP ＇=2t ，，在Rt △APC 中，)()2222t +=，∴t=1，∴PC=2，∴S △APC =122⨯=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考常考题．23．（1）见解析；（2）①②2【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC ，即可得到结论；（2）①存在，由等边三角形的性质可得△CDE 的周长=3CD ，当CD ⊥AB 时，CD 有最小值，即可求解；②由题意可得∠BED=90°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵证明：将ACD △绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ，∴60DCE ∠=︒，DC EC =，∴CDE △是等边三角形：（2）①∵CDE △是等边三角形，∴CDE △的周长3CD =，当610t <<时，由垂线段最短可知，当CD AB ⊥时，CDE △的周长最小，此时，CD =∴CDE △的最小周长3CD ==②存在，当0＜t ＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE ＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE 是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA ，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA-DA=6-4=2，∴t=2．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．证明见解析．【分析】先根据矩形的性质可得,90AB CD A B ADC =∠=∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得,90CD EF EDC F =∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、角的和差可得DCE FEH ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】四边形ABCD 是矩形，,90AB CD A B ADC ∴=∠=∠=∠=︒，由旋转的性质得：,90,90EF AB F A CEF B =∠=∠=︒∠=∠=︒，,90CD EF EDC F ∴=∠=∠=︒，又90,90EDC CEF ∠=︒∠=︒，90CED DCE CED FEH ∴∠+∠=∠+∠=︒，DCE FEH ∴∠=∠，在EDC △和HFE 中，EDC F CD EF DCE FEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()HFE E AS DC A ∴≅．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．25．（1）图象见解析，A 1（-4，1），B 1（-1，2）C 1（-2，4）；（2）图象见解析，A 2（-1，-1），B 2（-4，-2）C 2（-3，-4）．【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△A 1B 1C 1，依据图象写出1A 、1B 、1C 的坐标即可；（2）依据中心对称，即可得到△A 2B 2C 2，依据图象写出1A 、1B 、1C 的坐标即可．【详解】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示，A 1（-4，1），B 1（-1，2）C 1（-2，4）；（2）△A 2B 2C 2如图所示，A 2（-1，-1），B 2（-4，-2）C 2（-3，-4）．【点睛】本题主要考查作图-平移变换与旋转变换，求关于原点对称的点坐标，解题的关键是掌握平移变换与旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后所得对应点．26．（1）证明见解析；（2）图见解析，结论仍然成立，理由见解析；（3）2222AD BD CD =+．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的定义可得,90,45AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；（2）先根据旋转的定义画出图形，再根据旋转的性质可得,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；（3）如图（见解析），先在Rt ADE △中，根据勾股定理可得222DE AD =，再在Rt CDE △中，根据勾股定理可得22222DE CE CD BD CD =+=+，由此即可得出答案．【详解】（1）ABC 是等腰直角三角形，,90,45AB AC BAC ABC ACB ∴=∠=︒∠=∠=︒，由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，BD CE ∴⊥；（2）成立，理由如下：由题意，画出图形如下：由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，BD CE ∴⊥；（3）如图，连接DE ，,90AD AE DAE =∠=︒，∴在Rt ADE △中，22222=+=DE AD AE AD ，由（2）可知，,BD CE BD CE =⊥，∴在Rt CDE △中，22222DE CE CD BD CD =+=+，2222AD BD CD ∴=+，即,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系为2222AD BD CD =+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．。

河南中考22类比探究专题(三)——旋转结构(含答案)

类比探究专题（三）——旋转结构1.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与点B，C重合），点M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°2.（上接第1题）（2）如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°3.（上接第1，2题）（3）如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为( )A.30°B.72°C.36°D.60°4.（上接第1，2，3题）（4）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，则∠ECM的度数可用含n的代数式表示为( )A. B.C. D.5.如图1，已知正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于点F，QM交AD于点E，易证ME=MF．（1）如图2，若将题干中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其他条件不变，则ME和MF之间的数量关系为( )A. B. C. D.6.（上接第5题）（2）如图3，若将题干中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠ABC，其他条件不变，若要证明ME=MF，下列添加的辅助线合适的是( )A.如图，过点M分别作MG⊥AB于点G，MH⊥AD于点HB.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH∥AB，交AD于点HC.如图，过点M作MG∥AD，交AB于点G，作MH⊥AD于点HD.如图，连接CE，CF7.（上接第5，6题）（3）如图4，若将题干中的“正方形”改为“平行四边形”，且∠QMN=∠ABC，AB:BC=m，其他条件不变，则的值为( )A.mB.C.D.。

类比探究——旋转(讲义及答案)

（3）如图 3，若∠DAC=15°，AC= 2 ，其他条件不变，请直接写出线段 BE 的长． D
M
EF
B
N
A
C
图1
N
D
B
M F
E
A
C
图2
B
D E M N
A
C
图3
F
2
2. （1）如图 1，分别以锐角三角形 ABC 中的 AB，AC 为边向外作等腰三角形 ABE 和等腰三角形 ACD，使∠BAE=∠CAD，AE=AB，AD=AC，连接 BD，CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由．（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，AB=7，BC=3，求 BD 的长．（3）如图 3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长．
O Q
CP
B
图1
Q
A O
CB
P
图2
A
O
P
C
B
Q 图3
6
【参考案】知识点睛
1. （1）分支条件（2）第一问
精讲精练
1. （1）∠NED=90° （2）（1）中的结论不发生变化，理由略；（3）BE=1
2. （1）BD=CE；（2）BD= 107 （3）BD= 7 2 3
3. （1）①EF= BE+DF；②成立，EF= BE+DF，理由略；（2）DE= 5 . 3
（2）如图 3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC= 2 2 ，点 D，E 均在边 BC 上，且 ∠DAE=45°．若 BD=1，求 DE 的长．
B
A
E
C
F DG

第七题类比探究专练之旋转结构

第七题类比探究专练之旋转结构旋转结构是一种运动形式，它将物体或者系统绕着其中一轴线旋转或者转动。

旋转结构是一种重要的力学现象，存在于各个物理学领域，从宏观到微观，从天体力学到微观粒子运动都有旋转结构的存在。

在工程领域中，旋转结构也经常被用于设计和制造各种机械装置。

提起旋转结构，不得不提的一个例子就是地球的自转。

地球是一个巨大的旋转体，它绕着自己的轴线以一定的角速度进行自转。

这种自转使得地球上的物体和生物都受到了其中一种旋转力的作用，从而产生了一系列的物理现象和生态环境。

地球自转给我们带来了日夜更替、地球引力、离心力等一系列的物理现象。

例如，地球自转使得地球表面上的物体会经历白天和黑夜的交替。

当地球转到阳光照射的一面时，我们就会进入白天，而地球转到没有阳光照射的一面时，我们就会进入黑夜。

地球自转还产生了地球引力和离心力。

地球的自转使得地球表面产生了一个离心力，这个离心力与物体所在的纬度有关。

离赤道越远，离心力越大。

地球引力则是地球质量对物体产生的吸引力，它与物体的质量和距离地心的距离有关。

在工程领域中，旋转结构被广泛应用于制造各种机械装置和工具。

例如，汽车的发动机和转向系统都是基于旋转结构的设计。

发动机通过曲轴的旋转运动将化学能转换为机械能，从而驱动汽车的运行。

转向系统则通过转向轴的旋转运动来实现车辆的转向。

此外，旋转结构也被应用于电机、风力发电机组、水力发电机组等各种能源转换装置中。

电机通过电流的作用使得转子进行旋转，从而将电能转换为机械能。

风力发电机组则通过风力作用使得叶片旋转，从而将风能转换为电能。

水力发电机组则通过水流的推动使得涡轮旋转，从而将水能转换为电能。

总的来说，旋转结构是一种重要的运动形式，它存在于物理学、生态学和工程学等各个领域。

旋转结构的研究不仅有助于我们深入了解自然界的运动规律，也为工程领域的装备和设备设计提供了重要的理论基础。

通过对旋转结构的探究和应用，我们可以更好地利用自然资源，提高生产效率，推动科学技术的发展。

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

专题3.1旋转重难点模型(5大类型)(原卷版)

专题3.1 旋转重难点模型（5大类型）【题型1 手拉手模型】【题型2 “半角”模型】【题型3 构造旋转模型解题】【题型4 奔驰模型】【题型5 费马点模型】模型一：“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。

模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。

如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC模型二：“半角”模型模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼出特殊角”模型说明：（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG 可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA 的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。

模型三：构造旋转模型解题方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.常见图形旋转：方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．模型四：奔驰模型模型五：费马点模型【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，△PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．△点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长△当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【典例1】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．【变式11】（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．【变式12】（2022九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=√2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【典例2】（秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【变式21】（春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【变式22】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【变式23】（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得EF＝BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【典例3】（九上·江津期中）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= √3，PC=1、求△BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以△AP′B=150°，而△BPC=△AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为√7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= √5，BP= √2，PC=1．求△BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【变式31】（九上·南昌月考）如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．【变式32】（九上·德州期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，△APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是．（2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，△APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系．（3）如图3，在四边形ABCD中，AD△BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，△CPD ＝90°，△APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．【典例4】（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边．【变式41】（2023春•广东期中）18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB．（1）∠MAP＝°，连接PM，则PM＝；（2）求∠APB的度数．【变式42】（2023春•古田县期中）阅读材料，解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．【变式44】（2022春•侯马市期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC＝∠ADE＝45°．（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD＝30°，求∠BAE的度数；（2）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α＝时，直线AC与DE垂直（0°＜α≤360°）；（3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD＝4，AB＝10，求BD的最大值和最小值．【典例5】（秋•邗江区期末）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF ＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．【变式51】（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【变式52】（2022•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝4，则△P AC的面积为．。

中考数学复习几何图形旋转中的类比探究解析版

例6．（2019•自贡）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .∠线段DB 和DG 之间的数量关系是；∠写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .∠如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3【答案】（1）①DB =DG②BE BF +=（2）见解析.【解析】解：（1）由旋转知：∠GDB =90°，∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线，∴∠DBG =45°，∴∠DGB =45°，∴DG =DB ，②在△DBE 和△DGF 中，BDE FDG BD DG DBE G =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DBE ≌△DGF ，∴BE =GF ，由①知，BD =DG ，∠BDG =90°，即△BDG 是等腰直角三角形，∴BG，即BE BF +=.（2）∠BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD =∠CBD =21∠ABC =30°，由旋转可得，∠EDF =∠BDG =120°，∴∠EDF -∠BDF =∠BDG -∠BDF ，即∠FDG =∠BDE . 在△DBG 中，∠G =180°-∠BDG -∠DBG =30°， ∴∠DBG =∠G =30°，∴BD =DG .在△BDE 和△GDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DGBD BDE GDF∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE =GF ，∴BE +BF =BF +GF =BG .过点D 作DM ⊥BG 于点M ，如下图所示，∵BD =DG ，∴BG =2BM .在Rt △BMD 中，∠DBM =30°，∴BD =2DM ，设DM =a ，则BD =2a ，BM =a 3. ∴BG =a 32， ∴3232==aa BD BG ∴BF +BE =3BD .∠GM 的长度为319. 理由：∵GF =BE =1，FC =2CD =4，CM =23BC =43, ∴GM =GF +FC +CM =1+4+43=193.。

几何—旋转结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：旋转特征是什么？答：____________、____________和____________称为旋转三要素．旋转是____________，不改变图形的____________，旋转会出现_______________．问题2：折叠与旋转都是______，变换前后__________、_________都相等，从而实现条件的转移．折叠和旋转都会出现_______．问题3：什么情况下考虑利用旋转思想？答：如果基本图形能够提供_______（如___________________），可以考虑利用旋转的思想解决问题．几何—旋转结构一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O在斜边AB上，且BO:OA=1:，将△BOC绕点C顺时针旋转到△AQC的位置，则∠AQC的度数为( )A.150°B.120°C.105°D.115°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，分别记作△ABC与．现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板的斜边上．若∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点之间的距离是( )A.4B.5C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在等边△ABC中，D为三角形内一点，且BD=3，DA=4，DC=5．将△BDA绕点B顺时针旋转60°，使点D落在点处，则的度数为( )A.120°B.150°C.90°D.105°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到，已知=135°，，则( )A. B.1:2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为( )A. B.2C. D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想6.如图，正方形ABCD的边长为6，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD边上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想7.如图，在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD 的长为( )A. B.4C. D.4.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想8.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为( )A. B.5C. D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想。