2控制系统传递函数与框图 di3

可得：
an s nC ( s) an1s n1C ( s) ... a1sC ( s) a0C ( s) bm s m R( s) bm1s m1R( s) ... b1sR ( s) b0 R( S )
n
n 1
提出公因式，有：
(an s an1s
R C1s I f (s) U c (s) /( ) R1 1 Cs
R0 R1C0 s R1 U r ( s) G( s) U c ( s) R0 R1C1s R0
3.4 典型环节的传递函数和功能框
任何一个复杂的系统，总可以看成是由一些典型环节 通过一定的方式连接而成。因此掌握这些典型环节的 特点，可以更方便地分析实际的自动控制系统。
因此，传递函数的定义可为：在初始条件为零时，输出量的拉氏 变换式与输入量的拉氏变换式之比。即：
输出量的拉氏变换 传递函数G (s)= 输入量的拉氏变换
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 R( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0 ( s z1 )(s z 2 )( s z m ) K ( s p1 )(s p2 )( s pn )

比例环节(Proportional Element)：也称为放大环 节，其输出量与输入量之间的微分方程为：
c(t ) K r (t )
式中k是常数，称为增益或放大系数。因此对上式 两边取Laplace变换后的传递函数及框图为： C (s) R (s) C (s) k G( s) K R( s )
dUc if C dt
由虚断 i i f 的概念，可得：
dUc dUc 1 1 1 U in C U in U c U in dt R1 dt dt R1C R1C

U o1 U c i f R2 ，所以代入上面相关的等式可得： 又因为：
R2 1 U o1 U in U in dt R1 R1C dUo1 R2 dUin 1 U in 对上式两边求导，可得： dt R1 dt R1C


一阶电路数学模型的建立
我们取电容两端的电压为该一阶RC电路的输出电压
+
R i + -
Us
C
UC
根据KVL，有： u R uC U S 再根据欧姆定律及电容元件上 的电压电流的约束关系，有：
uR i R
和
duc iC C dt
把它们代入电路方程，可得到该一阶RC电路输入与 输出信号间的的微分方程： duc RC uc U s dt
R（S）
ห้องสมุดไป่ตู้
G（S）
C（S）
信号线，其中的 箭头表示了信号 的流向
根据传递函数的定义，以上图形表示的数学含义为：
C ( s) G( s) C ( s ) G ( s ) R( s ) R( s )
用传递函数建立电路系统的数学模型——阻抗分析法
由《电路基础》，我们知道电路系统中只有三种电路基 本无件，它们是：电阻元件、电容元件和电感元件。而任一 电路无论其多么复杂，都可以看成是这三种基本元件通过不 同的连接方式组合而成。因此利用这三种元件的基本伏安特 性关系，我们可以推导出它们在复平面（s域）上的基本传递 函数表达式，而这种传递函数表达式就被称为是传递函数的 阻抗表达式。
建立系统微分方程的一般步骤


全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。 一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所 将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变 量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微
将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放 在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程 中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如 时间常数等。
式中：K为常数,称系统的增益；Z1… 为分子多项式的根,称为 零点；P1…为分母的根,称为极点。零点与极点可为实数、虚数 或复数(若为虚数或复数,则必为共轭虚数或共轭复数)。 初始条件为零，是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统 的输入量和输出量及其各阶导数在t＜0时的值也均为零。
第3章 自动控制系统的数学模型
系统特征 方程的根， 或者说其 系统的传 递函数的 极点有在 复数平面 的右半平 面
第3章 自动控制系统的数学模型
控制系统稳 定性和特征 根（闭环极 点）之间的 关系
传递函数的性质


传递函数和微分方程之间存在着一一对应的关系。 传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，它 代表了系统的固有特性，是一种数学模型，称为 系统的复数域模型。 传递函数是一种运算函数。由 G( s) C ( s) R( s) 可得 传递函数的分母多项式 ，即为微分方程的特征方 程。 传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模 型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一 个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量 和输出量，则传递函数将是不同的。
第3章 自动控制系统的数学模型
系统稳定的充要条件

系统稳定的必要和充分条件是：特征方程的所有 的根的实部都必须是负数。亦即闭环系统的所有 极点都必须在复平面的左侧。
+j
系统特征 方程的根， 或者说其 系统的传 递函数的 极点都在 复数平面 的左半平 面
系统稳定区域 系统不稳定区域
+1
系统稳定区域 系统不稳定区域
搞清系统的工作原理
建立各组成工作框的数学模型 分析研究
找出改进系统的有效方法
系统稳定性
系统稳态性
系统动态性

建立实际系统的数学模型是控制系统分析 与设计过程中最为重要的一项工作。 对控制系统的研究在很大程度上依赖于应 用数学对系统数学模型的分析和研究。 在经典自动控制理论中，自动控制系统的 应用数学是建立在拉氏变换的基础上的。
n m
n 1
... a1s a0 )C ( s)
m 1
(bm s bm1s
整理，得：
m
... b1s b0 ) R( s)
m 1
C ( s) bm s bm1s ... b1s b0 n n 1 R( s) an s an 1s ... a1s a0
一个简单的机械系统的数学模型
F (t)
K m
F2(t)
这是一个弹簧—质量—阻尼器的机械位 移系统。质量为m的物体在外力F（t） 的作用下，移动了x（t）距离。 由牛顿运动定律可得：
d 2 x(t ) dx(t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) F (t ) f Kx(t ) dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) dt dt m
R (s)
s 1
C (s)

振荡环节(Oscillating Element):其微分方程为：
d c(t ) dc(t ) T 2T c(t ) r (t ) 2 dt dt

比例微分环节 (Derivative Element): 输出量是输 入量对时间的积分。其微分方程为：
dr(t ) c(t ) r (t ) dt
式中, 为微分时间常数。比例微分环节的传递函 数恰与惯性环节相反，互为倒数。
C (s) G( s) s 1 R( s )
F1(t) f
3.2 传递函数



传递函数是在用拉氏（Laplace）变换求解 微分方程的过程中引申出来的概念。微分 方程这一数学模型不仅计算麻烦，并且它 所表示的输入、输出之间的关系复杂而不 明显。 经过拉氏变换后，微分方程变成了一种代 数方程，可以进行简单的代数运算。 如果用简单的代数比值描述系统输入、输 出之间关系，就建立了所谓传递函数这一 系统的数学模型。

积分环节 (Integral Element): 输出量是输入量对 时间的积分。其微分方程为：
1 c(t ) r (t )dt T
式中T是积分时间常数。因此对上式两边取Laplace 变换后的传递函数及框图为：
C ( s) 1 G( s) R( s) Ts
R (s)
C (s)
1/Ts
一般来说：如果系统的输入量为r (t)， 输出量 为c (t)， 并且系统可以由下列微分方程描述:
d d d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt m m 1 d d d bn m r (t ) bn 1 m1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt 则在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换,
C ( s ) G ( s ) R( s )

3.3 传递函数的图形表示法——框图
框图（Block Diagram）:是传递函数的一种图形表示 方法，它可以形象地描述由传递函数定义的系统输出 与输入之间的关系。尤其是当自动控制系统由几个环 节组成时，这种图形表示更具有简明直观、运算方便 的优点，所以在自动控制系统的分析中具有广泛的应 用价值。 功能框 图形表示法：
例：求下列电路的传递函数
解：利用阻抗法建立复平面上的电路模型
利用虚断及虚短的概 念，可知： R0 C0 s I i ( s) U r ( s) /( ) R0 1 Cs
因为： I i (s) I f (s) R0 C0 s R1 C1s U r (s) /( ) U c (s) /( ) 所以有： R0 1 C0 s R1 1 C1s 整理后，得：
第3章 自动控制系统的数学模型