固有频率参数的理解

固有频率在ADAMS/Linear 和ADAMS/Vibration 中的理解

在ADAMS 中，固有频率是通过本征向量计算的，为了更好的理解计算结果中各个参数的意义，解决仿真中常见的问题，在这里理论联合实际对一些基本知识在ADAMS 中的应用做一基本论述。

在此，不涉及ADAMS/Linear 的扩展命令，所有的线性化命令实际都是在图形界面操作所得的。

对于单自由度系统，如经典的弹簧——质量——阻尼系统，质量m 的运动方程有： 0=++m

k x m c x x 或 0=++kx x c x m （1） 这里x 为质量m 的位移，k 为弹簧刚度系数，c 为阻尼系数。根据无阻尼固有圆频率和阻尼比的定义重写等式（1）：

022=++x x x n n ωζω （2）

这里：

无阻尼固有圆频率（Undamped Natural Frequency ）m

k n =ω （3） 阻尼比（Damping Ratio ）n

m c km c ωζ22== （4） 可以看出，无阻尼固有圆频率n ω只是弹簧刚度k 和质量m 的函数，与阻尼值无关。 ADAMS/Linear 实际上计算无阻尼固有圆频率的方法有所不同，它使用拉普拉斯（Laplace ）在仿真运行点对模型变换为线性矩阵，再通过本征值向量（Eigenvalues ）计算系统的固有圆频率和阻尼比，但计算结果与上述计算是等效的。一般，本征值λ由实部（Real part ）r λ和虚部（Imaginary part ）i λ两部分组成：i r λλλ±=，因此，方程式（2）可以写为：

0222=++n n ωλζωλ （5）

本征值λ由下式决定：

当阻尼比ζ＞1，12-±-=ζωζωλn n （6）

当阻尼比ζ＜1，21ζ

ωζωλ-±-=n n j （7）

令：n r ζωλ-=；21ζωλ-=n i 。 当系统阻尼比当ζ＜1时，ADAMS/Linear 使用下式计算无阻尼固有圆频率与阻尼比：

22

i r n λλω+= （8） 即：()()n n n n n n n i r ωωωζωωζξωζωλλ==-+=-+-=+22222222222

1

θζcos =，或 22i r r λλλζ+= （9）

图1 复数平面本征值示意图

显然，当实部r λ＝0时，系统阻尼比ζ＝0；当虚部i λ＝0时，ζ＝1。所以当阻尼比大于或等于1时为过阻尼或临界阻尼，此时本征值不能被计算即无振动解，阻尼值的结果均报告为1。

现在，我们以一个简单的单自由度系统分别使用理论公式和ADAMS/Linear 计算无阻尼固有频率和阻尼比。为简便起见，设定运动质量m ＝1kg ，弹簧刚度系数k ＝1000N/m ，阻尼系数c ＝20N-s/m 。首先，将上述参数分别代入等式（3）、（4）和（7）计算理论值： 无阻尼固有圆频率032921.51

100021==⨯=m k n πω(Hz) 阻尼比0.31622781

10002202=⨯==km c ζ 本征值774648.4591549.112±-=-±-=±=ζωζωλλλn n i r j

然后，启动ADAMS/View 并建立一个单自由度模型，注意，为了获得振动质量m 的单自由度，应对其施加垂向约束。

图2 单自由度模型示意图

然后运行仿真：Static -> Linear ；得到的本征值信息与计算结论如图3，与理论计算结果对比得知是完全一致的。

质量m

弹簧与阻尼

地面

图 3 单自由度本征值计算结果表

在图3中，计算结果包括4列：无阻尼固有圆频率（UNDAMPED NATURAL FREQUENCY ）与阻尼比（DAMPING RA TIO ）；其中本征值：实部（REAL ）和虚部（IMAGINARY ）。

如果修改阻尼系数为10 N-sec/m ，再次在静平衡仿真点计算本征值，结果如图4：

图 4 修改后的单自由度系统本征值结果表

可以得到阻尼系数的改变会影响到阻尼比、实部值和虚部值，但不会改变系统的固有频率，同样与理论推导的结果同样完全一致。

现在，我们将上述模型中的移动副删除，去处质量m 的强制约束使其拥有6个自由度，执行同样的线性化命令后得到的本征值如图6所示。

图5 模型核查信息 n ω ζ i λ

r λ

图6 单物体6自由度本征值信息表

其中11号（1阶非刚体）模态（有实部和虚部2部分）为质量m沿垂直轴位移的振动特性，数值的意义见前述，它是我们在工程应用中关心的模态。第7～11为过阻尼态，第1～6为无阻尼态（阻尼＜1×10-10），对于本征值虚部为0的模态，我们还会收到警告消息，如下：

图7 本征值虚部无解警告

还有一种情景是当质量m的运动由数学方程（一阶微分方程、单输入，单输出传递函数、线性状态方程、通用状态方程）支配时，也会出现0值的本征值。

对于6自由度系统，总共有3对模态；实部不为0的第7、8、9、10组成2对模态加上第11号模态共计3对，即：（模态对）×2＝自由度数目。对于其他模型，可以用同样的方式预估模态数目。

陈军********************