精品课件-自动控制系统原理与应用-第2章

单元二 控制系统的数学模型
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3. 利用动态结构图求取传递函数 对于比较复杂的系统,以上两种方法一般无法解决,可以利 用动态结构图求取。该方法将在后面的内容中讨论。
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2. 3 自动控制系统的系统方框图
2. 3. 1 系统框图的组成要素 方框图(BlockDiagram )又称结构图,它建立在传递函数
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2. 4 动态结构图的等效变换及化简
2. 4. 1 串联连接 方框与方框首尾相连,前一个方框的输出作为后一个方框
的输入,则该结构形式称为串联连接。传递函数分别为 G 1 (s )和 G 2 ( s )的两个方框,若 G 1 ( s )的输出量作为 G 2 ( s )输入量,则 G 1 (s )和 G 2 ( s )串联,如图 2－11 所示。
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2. 2. 3 传递函数的求取 1. 直接计算法 对于系统或元件,首先建立描述元件或系统的微分方程式,
然后在零初始条件下,对方程式进行拉氏变换,即可按传递函数 的定义求出系统的传递函数。
2. 阻抗法 求取无源网络或电子调节器的传递函数,采用阻抗法较方 便。在电路中,电阻、电感、电容元件的复域模型电路如表 2 －1 所示。
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2. 1 系统的微分方程 2. 2 传递函数 2. 3 自动控制系统的系统方框图 2. 4 动态结构图的等效变换及化简 2. 5 信号流图 2. 6 梅逊公式 2. 7 控制系统的传递函数 2. 8 控制系统数学模型的 MATLAB 描述 单元小结 习题
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可以得出
则
式中, G (s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ),是串联方框的等效传 递函数,可用图 2 －11 ( b )所示。
两个传递函数串联的等效传递函数,等于该两个传递函数 的乘积。这个结果可推广到n 个串联连接的方框。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－11 串联连接的框图运算
是列写系 统的微分方 程 (DifferentialEquationofSystems )。
当系统的输入量和输出量都是时间 t 的函数时,其微分 方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程式系统最基本 的数学模型。
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建立微分方程的一般步骤是: (1 )充分了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运 动的物理规律,找出个物理量之间所遵循的物理规律,确定系统 的输入量和输出量。 (2 )一般从系统的输入端开始,根据各元件或环节所遵循 的基本物理规律,列出相应的微分方程。 (3 )消除中间变量,将与输入量相关的项写在方程式等号 的右边,与输出量有关的项写在等号的左边。
单元二 控制系统的数学模型 2. 1. 2 建立系统微分方程举例
1.RC 电路 RC 电路如图 2－1 所示。
图 2－1 RC 无源网络
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1 )确定输入、输出量 输入量为电压 u r ,输出量为电压 u c 。 2 )根据基尔霍夫定律,列写方程
3 )消除中间变量,使公式标准化 联立以上各式,将输出量有关的各项放在方程式等号的左 边,与输入量有关的各项放在等号的右边,整理得到
两个传递函数并联的等效传递函数,等于该两个传递函数 的乘积代数和。这个结果可推广到 n 个并联连接的方框。
单元二 控制系统的数学模型 例 2－2 传递函数的连接如图 2－ 13 所示,求输出量
C( s )与输入量 R ( s )之间的关系。
图 2－13 例题 2－2
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解 如图 2－13 所示,由于每个环节的输入与输出量之间 的关系是
图形化表示方式上,可以形象地描述自动控制系统中各单元之 间和各作用量之间的相互联系。
单元二 控制系统的数学模型 方框图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成,
其图形如图 2－4 所示。方框图同时也遵循前向通道的信号 从左向右、反馈通道的信号从右向左的基本绘制原则。
图 2－4 系统框图的图形
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单元二 控制系统的数学模型 图 2－7 积分环节
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4. 微分环节 微分环节的传递函数为
式中, T 为微分时间常数。 可用方框图来表示一个微分环节,如图 2－8 所示。微分
环节的特点是输出量与输入量对时间的微分成正比,由微分环 节的输出来反映输入信号的变化趋势,加快系统控制作用 的实现。常用微分环节来改善系统的动态性能。
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(3 )传递函数是一种运算函数,由 (4 )传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方 程的多项式,即传递函数的分母是特征方程 a n sn +a n -1 s n -1 + … +a 1 s + a 0 =0 等号左边的部分。分析表明:特征 方程的根反映了系统动态过程的性质,所以由传递函数可以研 究系统的动态特性。特征方程的阶次 n 即为系统的阶次。
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(1 )会通过微分方程和传递函数来建立自动控制系统的 数学模型。
(2 )理解传递函数的定义和性质。 (3 )能建立和变换系统方框图。 (4 )会利用梅森公式求解传递函数。 (5 )能用 MATLAB 化简结构图。
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2. 1 系统的微分方程
2. 1. 1 建立微分方程的步骤 描述系统输入量和输出量之间关系的最直 接的数学 方法
1. 信号线 信号线(SignalLine )表示流通的途径和方向,用带箭头 的直线表示。一般在线上标明该信号的拉式变换式,如图 2－ 4 ( a )所示。 2. 比较点 比较点(ComparingPoint )又称为综合点,其输出量为各 输入量的代数和,“ + ”表示相加,“ - ”表示相减。通常 “+ ”可以省略不写,如图 2－4 ( b )所示。
单元二 控制系统的数学模型 根据该等式,可得
所以
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2. 2 传 递 函 数
2. 2. 1 传递函数的定义 对线性定常微分方程进行拉氏变换,可以得到系统在复数
域的数学模型,称其为传递函数。 设系统的结构如图 2Βιβλιοθήκη Baidu3 所示, r (t )为系统的输入, R
( s )为输入量的拉氏变换; c ( t )为系统的输出, C (s ) 为输出量的拉氏变换。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－3 系统的结构图
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传递函数的定义为:在初始条件为零时,输出量的拉氏变换 式与输入量的拉氏变换式之比,即
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2. 2. 2 传递函数的性质 传递函数的性质如下: (1 )传递函数是由微分方程变换得来的,它和微分方程之
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2. 3. 2 典型环节的传递函数 任何一个复杂的系统,都是由若干元件或部件有机组合而
成的。从形式和结构上看,有各种不同的部件;从动态性能或数 学模型来看,又可分成不同的基本环节,也就是典型环节。掌握 这些典型环节的特性,可以更方便地分析较复杂系统内部各单 元的联系。典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性 环节、时滞环节、振荡环节等,现介绍如下:
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2. 惯性环节 惯性环节的传递函数为
式中, T 为惯性环节的时间常数。 可用方框图来表示一个惯性环节,如图 2－6 所示。惯性
环节的特点是其输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化。 RC 电路、 RL 电路、直流电动机电枢回路都可认为是惯性环 节。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－6 惯性环节
间存在着对应的关系。对于一个确定的系统(输入量与输出量 都已确定),它的微分方程是唯一的,所以其传递函数也是唯一 的。
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(2 )传递函数是复变量 s ( s = δ+jω )的有理分式, s 是复数,而分式中的各项系数 a n ,a n -1 ,…, a 1 , a 0 及 b n , b n -1 ,…, b 1 , b 0 都是实数,它们由组成系统的 元件结构和参数决定,而与输入量、扰动量等外部因素无关。 因此传递函数代表了系统的固有特性,是一种用象函数来描述 系统的数学模型,称为系统的复数域模型。
单元二 控制系统的数学模型 2. 4. 3 反馈连接
若传递函数 G (s )与 H ( s )以如图 2－14 ( a )所示 的形式连接,则称为反馈连接,其中“ + ”为正反馈,“ - ” 为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。
图 2－14 反馈连接的等效变换
单元二 控制系统的数学模型 由图 2－14 ( a )可得
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6. 振荡环节 振荡环节也称二阶环节。振荡环节的传递函数为
式中, T 为时间常数;ζ 为阻尼比。 可用方框图来表示一个振荡环节,如图 2－10 所示。振
荡环节的特点是若输入为阶跃信号,则其动态响应具有衰减振 荡的形式。
单元二 控制系统的数学模型 图 2 －10 振荡环节
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1. 比例环节 比例环节的传递函数为
式中, K 为一常量。 可用方框图来表示一个比例环节,如图 2－5 所示。比例
环节的特点是其输出不失真,不延迟,可成比例地复现输入信号 的变化。无弹性变形的杠杆、电位器、不计饱和的电子放 大器、测速发电机等都可认为是比例环节。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－5 比例环节
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单元二 控制系统的数学模型 2. 4. 2 并联连接
两个或两个以上方框有相同的输入量,以各方框输出的代 数和作为总输出,则这种结构称为并联连接,如图 2－12 所示。
图 2－12 并联连接的框图运算
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由图 2－12 ( a )可以得出
则 式中, G (s ) = G 1 ( s ) ± G 2 ( s ),是并联方框的等效 传递函数,可用图 2－12 ( b )所示。
则 该反馈系统的等效框图如图 2－14 ( b )所示。
单元二 控制系统的数学模型 例 2－3 传递函数的连接如图 2－15 所示,求输出量 C
( s )与输入量 R ( s )之间的关系。
图 2－15 例题 2－3
单元二 控制系统的数学模型 解 由图 2－15 可得
则 当反馈环节 H (s ) =1 时,常称为单位反馈。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－8 微分环节
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5. 时滞环节 时滞环节的传递函数为
式中, τ 为延时时间。 可用方框图来表示一个时滞环节,如图 2－9 所示。时滞
环节的特点是输出波形和输入波形相同,但是延迟了时间 τ 。 时滞环节的存在对系统的稳定性不利。
单元二 控制系统的数学模型 图 2－9 时滞环节
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3. 引出点 引出点(PickoffPoint )又称为分离点,如图 2－4 ( c ) 所示,它表示信号线由该点取出。从同一信号线上取出的信号, 其大小和性质完全相同。 4. 功能框 功能框(BlockDiagram )表示系统或元件,如图 2－4 ( d )所示。框左边向内箭头为输入量(拉式变换式),框右边 向外箭头为输出量(拉式变换式)。框图为系统中一个相对独立 的 单元的传递函数 G (s ) ,它们之间的关系为 C(s ) =G(s ) R( s ) 。
单元二 控制系统的数学模型 2. 有源电路 有源电路网络如图 2－2 所示,根据电路图列写微分方程。
图 2－2 有源电路网络
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系统中,输入量为电压 u r ,输出量为电压 u c 。理想运 算放大器有两个特点:“虚短”和“虚断”,因此 A 点的电位 为 u A =0 。
因为一般输入阻抗很高,所以
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3. 积分环节 积分环节的传递函数为
式中, T 为积分时间常数。 可用方框图来表示一个积分环节,如图 2－7 所示。积分
环节的特点是输出量与输入量对时间的积分成正比。若输入突 变,输出值要等时间 T 之后才等于输入值,故有滞后作用。 输出积累一段时间后,即便使输入为零,输出也将保持原值不变, 有记忆功能。