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线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
《向量组的定义》课件
向量组的线性组合
02
向量组的线性组合 线性组合的定义
线性组合
给定向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$和标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，线性组 合就是向量$sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i$。
在物理学中的应用
力的合成与分解
在物理学中，向量通常用于描述力和运 动。例如，力的合成是将多个力表示为 一个单一的力，而力的分解是将一个力 表示为多个力的组合。这些操作都可以 通过向量组来完成。
VS
动量与冲量
在经典力学中，动量和冲量都是向量，它 们在描述物体的运动状态时非常重要。例 如，动量是质量与速度的乘积，而冲量是 力与时间的乘积。这些概念都可以通过向 量组来解释和计算。
物理和工程领域
在物理和工程领域中，线性组合被广泛应用于解决各种 问题，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量组的线性相关
03
性
线性相关的定义
线性相关
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$，则称向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性相关。
向量组的表示方法
总结词
向量组可以用多种方式表示，包括矩阵、几何图形和数学符号等。
详细描述
向量组可以用矩阵来表示，其中矩阵的每一行或每一列代表一个向量。此外，向量组也 可以通过几何图形来表示，例如在二维平面上的点或三维空间中的方向。在数学符号中
，通常使用带箭头的字母来表示向量，例如$vec{a}$、$vec{b}$等。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
矩阵和向量
向量的加法、减法、数乘
向量加法：将两个向量对应元素相加，得到新的向量 向量减法：将两个向量对应元素相减，得到新的向量 向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量 向量点乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量 向量叉乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量
向量的外积、内积和混合积
解最优解
数值分析：使用矩阵和向量进 行数值分析，如数值积分、数
值微分等
在数学建模中的应用
线性方程组求解：利用矩阵和向量的运算，可以快速求解线性方程组 优化问题：矩阵和向量可以用于解决优化问题，如线性规划、非线性规划等 概率统计：矩阵和向量可以用于概率统计中，如随机变量、协方差矩阵等 图论：矩阵和向量可以用于图论中，如最短路径、最小生成树等
矩阵和向量的扩 展知识
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中 线性无关的行（或 列）的最大数目
矩阵的秩等于其 行向量组的秩
矩阵的秩等于其 列向量组的秩
矩阵的秩等于其 非零特征表示向 量的长度，是向量 的绝对值
向量的方向：表示 向量的方向，是向 量的指向
向量的模和方向的 关系：模和方向共 同决定了向量的位 置和方向
向量的坐标：向量中每个元素的位置
向量的长度：向量中元素的平方和的平 方根
向量的方向：向量中元素的符号和顺序
向量的基本性质
向量的长度：表示向量的大小，也称为 模
向量的方向：表示向量的方向，也称为 方向余弦
向量的加法：两个向量相加，得到新的 向量
向量的减法：两个向量相减，得到新的 向量
向量的数乘：向量与标量相乘，得到新 的向量
外积：两个向量 的叉乘，结果是 一个向量，其方 向垂直于两个向 量所在的平面
内积：两个向量 的点乘，结果是 一个标量，表示 两个向量的夹角 大小
§1.1-向量与矩阵的定义及运算
(9) 0A 0,(1)A A, k0 0;
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
《向量与矩阵》课件
矩阵加法：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵
矩阵数乘：将矩阵的每个元素乘以一个常数，得到新的矩阵
向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量
转置运算的应用：求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等
共轭运算的应用：求解复数矩阵、计算复数矩阵的秩等
转置运算：将向量或矩阵的行变为列，列变为行
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
向量：用一组有序的数表示，如(a, b, c)
矩阵：用二维数组表示，如[[a, b, c], [d, e, f]]
向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用基向量表示
逆矩阵的定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A^(-1)
逆矩阵的性质：逆矩阵是唯一的，且逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆矩阵等方面有广泛应用
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秩的性质：矩阵的秩等于其行向量组的秩
特征值与特征向量的关系：特征值与特征向量是一一对应的，即每个特征值对应一个特征向量
特征值与特征向量的应用：特征值与特征向量在矩阵分解、矩阵相似、矩阵对角化等方面有广泛应用
PART FIVE
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向量运算：可以进行向量的加法、减法、数乘等运算
向量表示：可以用向量表示几何对象，如点、线、面等
矩阵的表示方法：可以用行向量表示，也可以用列向量表示
PART THREE
几何意义：向量的模长表示向量在空间中的长度
矩阵数乘：将矩阵的每个元素乘以一个常数，得到新的矩阵
向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量
转置运算的应用：求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等
共轭运算的应用：求解复数矩阵、计算复数矩阵的秩等
转置运算：将向量或矩阵的行变为列，列变为行
汇报人：PPT
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CONTENTS
PART ONE
PART TWO
向量：用一组有序的数表示，如(a, b, c)
矩阵：用二维数组表示，如[[a, b, c], [d, e, f]]
向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用基向量表示
逆矩阵的定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A^(-1)
逆矩阵的性质：逆矩阵是唯一的，且逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆矩阵等方面有广泛应用
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秩的性质：矩阵的秩等于其行向量组的秩
特征值与特征向量的关系：特征值与特征向量是一一对应的，即每个特征值对应一个特征向量
特征值与特征向量的应用：特征值与特征向量在矩阵分解、矩阵相似、矩阵对角化等方面有广泛应用
PART FIVE
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向量运算：可以进行向量的加法、减法、数乘等运算
向量表示：可以用向量表示几何对象，如点、线、面等
矩阵的表示方法：可以用行向量表示，也可以用列向量表示
PART THREE
几何意义：向量的模长表示向量在空间中的长度
《向量与矩阵》课件
REPORTING
向量在物理中的应用
线性运动描述
向量被广泛应用于描述物体的线性运动，如速度 、加速度和位移等。
力的合成与分解
向量在力的合成与分解中有重要应用，通过向量 运算可以解决许多物理问题。
电磁学
向量在电磁学中用于描述电场、磁场和电流等物 理量。
矩阵在数学中的应用
01
线性方程组
矩阵是解决线性方程组的重要工 具，通过矩阵运算可以求解复杂 的线性方程组。
向量和矩阵的加法规则
向量和矩阵的加法仅在相同维度的向量和矩阵之 间进行，结果仍为相同维度的向量或矩阵。
矩阵的乘法规则
矩阵乘法仅在满足特定条件的情况下进行，即第 一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。乘法结 果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
向量和矩阵的数乘规则
数乘适用于向量和矩阵，表示将向量或矩阵中的 每个元素都乘以一个常数。
矩阵的乘法
总结词
矩阵的乘法是一种二元运算，要求第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
VS
详细描述
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第 二个矩阵的行数，然后对应元素相乘并求 和，得到的结果是一个新的矩阵，其行数 等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。
2023
PART 03
向量与矩阵的关系
2023
《向量与矩阵》PPT 课件
REPORTING
2023
目录
• 向量基础 • 矩阵基础 • 向量与矩阵的关系 • 向量与矩阵的运算性质 • 向量与矩阵的应用
2023
PART 01
向量基础
REPORTING
向量的定义与表示
总结词
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
同济版线性代数课件--第一节 向量组及其线性组合
推论
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n
T
叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2
aj a1 j
a2 j a mj
an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )
1 , 2 , m ,
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n
T
叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2
aj a1 j
a2 j a mj
an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )
1 , 2 , m ,
向量组与矩阵
am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,
2
,,
m
x2
0
xm
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
第3页/共16页
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
中对应
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
第11页/共16页
例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关 组的向量用该极大无关组线性表示：
T1 (1, 4,1, 0, 2) T2 (2,5, 1, 3,2)
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
设矩阵 A
ai1
ai2
ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
第10页/共16页
定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
第7页/共16页
定理 4 如果向量组
能由向量组
线Байду номын сангаас
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,
2
,,
m
x2
0
xm
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
第3页/共16页
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是 r( A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
中对应
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定 其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
第11页/共16页
例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关 组的向量用该极大无关组线性表示：
T1 (1, 4,1, 0, 2) T2 (2,5, 1, 3,2)
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
设矩阵 A
ai1
ai2
ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行 向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列 秩。
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定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表 示（即坐标表示）。
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定理 4 如果向量组
能由向量组
线Байду номын сангаас
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
《矩阵和向量的应用》课件
向量的外积和内积
向量的外积
向量的外积也称为叉积，是向量的一种运算。两个向量的外 积结果是一个向量，其方向垂直于作为运算输入的两个向量 。外积在物理和工程中有广泛的应用，如描述旋转和方向。
向量的内积
向量的内积也称为点积，是向量的一种基本运算。两个向量 的内积结果是一个标量，等于两个向量长度和夹角的余弦值 的乘积。内积在几何、物理和工程中有广泛应用，如描述长 度、角度和力矩等。
解特征多项式得到，也可以通过迭代法、 QR分解等方法求解。特征向量在解决线性
方程组、优化问题等方面有重要应用。
05
矩阵和向量的应用前景展望
矩阵和向量在人工智能领域的应用
机器学习算法
矩阵和向量在机器学习算法中扮演着重要的角色，如线 性代数、矩阵运算和向量空间模型等。它们被广泛应用 于分类、聚类、回归等任务中，如支持向量机、神经网 络等。
矩阵的特征值和特征向量
特征值
特征值是矩阵的一种数值特征，用于描述矩 阵的线性变换性质。特征值可以通过求解特 征多项式得到，对应的特征向量是满足$A cdot v = lambda cdot v$的向量。特征值 和特征向量在解决线性方程组、优化问题等 方面有重要应用。
特征向量
特征向量是与特征值对应的向量，用于描述 矩阵线性变换的性质。特征向量可以通过求
数据挖掘
矩阵和向量在数据挖掘中也有广泛的应用，如关联规 则挖掘、聚类分析等。它们可以帮助我们发现数据中 的模式和规律，为决策提供支持。
矩阵和向量在其他领域的应用
图像处理
矩阵和向量在图像处理中也有广泛的应用，如图像变 换、图像滤波等。它们可以帮助我们更好地处理和操 作图像数据，提高图像处理的效果和质量。
04
矩阵和向量的进阶满足方程$A cdot A^{1} = I$的唯一矩阵，其中$I$是单位 矩阵。逆矩阵在解线性方程组、求矩 阵的行列式等方面有重要应用。
向量组的正交性与正交矩阵
n n 为正交矩阵 A的行（列）
向量组为单位正交向量 组。 仅证列向量组的情形。 A (1,2 ,...,n ) A为正交矩阵 AT A E
1T T T 2 A A .. 1 T n 1 0 .. 0 1 .. E .. .. .. 0 0 ..
1 1 T 1 T B A B B A 9 9
B
1
9A
1
A
1
1 1 1 T B A 9 81
4 1,4,0,7 5 3,6,1,10
1 1,1,0, 2 2 2, 2,1,3 0,1, 1, 2 3
即1 ,2 ,.., n为单位正交向量组。
方法一、用定理。 方法二、用定义。
1/ 9 8 / 9 4 / 9 A 8 / 9 1 / 9 4 / 9 , A正交吗？ 4 / 9 4 / 9 7 / 9 8 1 4 , A正交吗？ 4 4 7
...
...
...
（ m，1 ） （ m， 2 ） （ m， m1 ） m m 1 2 ... m1 （1，1 ） （2， 2 ） （ m1， m1 ）
(i) 1 , 2 ,..., m与1, 2 ,..., m等价； (ii) 1, 2 ,..., m为正交组。 再将1 , 2 ,..., m为单位化，即得到单位正交向量组。
证:
设k11 k22 ... kmm O (i , k11 k22 ... kmm ) (i , O) 0 k1 (i , 1 ) k2 (i , 2 ) ... km (i , m ) 0 Q 1,2 ,..., m为正交向量组, 则（i， j ） 0, (i j) ki (i , i ) 0 由于i O, 即(i , i ) 0 ki 0 ( i =1,2,·,m ) · ·
【全版】向量和矩阵推荐PPT
330 >>sum(x1.*x2) ans =
330
例5-2：叉积运算
>>x1=[11 22 33] x1 =
11 22 33 >>x2=[1 2 3] x2 =
123 >>x3=cross(x1,x2) x3 =
000
8
4.3 矩阵的创建方法
B=
矩阵以“[ ]”为首尾，行与行之间用1 分2号“3;”或按4 回
➢ linspace/logspace 函数 例2：生成等差向量。
>> vec1=10:5:60 vec1 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
>> vec2=linspace (10,60,11) vec2 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
其结果将是此标量和矩阵中的每一个元素“ 相加”、 “ 相减”、“ 相乘”、“ 相除”； 矩阵有两种除法运算：左除和右除。
16
矩阵的除法
ans =
ans左= 除和右除，分别表示为 \ 和 /。
>> vec1+101 27 若-A3矩1 阵1是2 非奇异方阵，则A\B和B/A可以实现。
14
4.4.3 利用冒号表达式获得子矩阵
① 获得某行或某列
A(:,j) —— 取A矩阵第j列的全部元素 A(i,:) —— 取A矩阵第i行的全部元素
② 获得子矩阵
A(i:i+m,:) —— 取矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) —— 取矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) —— 取矩阵第i～i+m行内，并在第
330
例5-2：叉积运算
>>x1=[11 22 33] x1 =
11 22 33 >>x2=[1 2 3] x2 =
123 >>x3=cross(x1,x2) x3 =
000
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4.3 矩阵的创建方法
B=
矩阵以“[ ]”为首尾，行与行之间用1 分2号“3;”或按4 回
➢ linspace/logspace 函数 例2：生成等差向量。
>> vec1=10:5:60 vec1 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
>> vec2=linspace (10,60,11) vec2 = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
其结果将是此标量和矩阵中的每一个元素“ 相加”、 “ 相减”、“ 相乘”、“ 相除”； 矩阵有两种除法运算：左除和右除。
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矩阵的除法
ans =
ans左= 除和右除，分别表示为 \ 和 /。
>> vec1+101 27 若-A3矩1 阵1是2 非奇异方阵，则A\B和B/A可以实现。
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4.4.3 利用冒号表达式获得子矩阵
① 获得某行或某列
A(:,j) —— 取A矩阵第j列的全部元素 A(i,:) —— 取A矩阵第i行的全部元素
② 获得子矩阵
A(i:i+m,:) —— 取矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) —— 取矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) —— 取矩阵第i～i+m行内，并在第
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