2013年华二冬令营数学试卷答案

为 5 ，7 ． 22
【解析】：⑴ y x,xkkx1,kk1212 x k 1 ⑵ a 0 时，无交点 a 0 时，一个交点 0 a 3 时，两个交点
4
⑶考虑到
a

3 4
时，抛物 线
y

x2

3 4
与帽子函数交于


1 2
,
1 2
2
8、方程 x2 y2 z2 w2 u2 共有_____组整数解.
【解析】无数组整数解，取 x, y, z, w,u (0,0,0, k, k) ，其中 k 为任意整数
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9、正方形 ABCD 中有一点 E ，使 E 到 A、B、C 的距离之和最小为 2+ 6，求此正方
所以 a 1 （当然也可以用分类讨论的方法做）
7、若方程 x2 2(a 1)x 2a 1 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数 a 的取值范围
__________.
【解析】对原式进行十字相乘可得 x 1 x 2a 1 0
所以 x 1或 2a 1 ∵方程有一个小于 1 的正数根 ∴ 0 2a 11，解得 1 a 1
【解析】设该三位数为 aaa ，则 S nn 1 111 a
2
变形为 n n 1 2 3 37 a ，
考虑到 a 为整数，且1 a 9 只能 a 6 ， n 36
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4、寒山寺每隔 9 秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别

、

1 2
,
1 2

两点，
所以可以将 y x2 3 向右平移 3 个单位，即满足条件 4
该抛物线解析式为 y x 32 3
4
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2、在一个 8×8 的正方形方格纸中，一个角剪去一个 2×2 的小正方形，问其余部分可否剪 成 15 块“L”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。
形的边长.
【解析】费马点问 题：是指位于三角形内且到三角形三 个顶点距离之和最短的点。 简证：将 ABP 绕点 A 旋转 60 至 AB ' P ' ，则 APP ' 为正三角形 距离之和 PA PB PC PP' P'B' PC B'C ， 当 B ', P ', P,C 四点共线时“=”成立，此时 APB BPC CPA 120 所以费马点该点所 对三角形三边的张角相等，均为 120
C
B' A
P' P
H
a
3a
E
来自百度文库
2a
B
CB
A
对于此题，点 E 应满足 AEB BEC CEA 120
设 EH a ，则 AE 2a ， AH BH 3a ， BE 3 1 a
EA EB EC 2a 3 1 a 2a 3 3 a 2 6
【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么 L 型放入方格纸中，必定可 以盖住 1 个黑格子和 3 个白格子，或者 3 个黑格子和 1 个白格子。L 形格子盖住的黑格子数 都是奇数个，所以 15 个 L 形盖住的黑格子也还是奇数个，而方格纸中有偶数个黑格子，矛 盾。所以不能。
3、n 为正整数，S 1 2 3 n, S为一个由同一个数字组成的三位数，求n的值.
解得 a 6 ，∴边长 AB 6a 2 3
10、9 名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5 票，“那英组”4
票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为____________.
【解析】满足条件 的情况数为
C84 5
14 ，总情况数为 C94
126
所以概率 P 14 1 126 9
冲刺 17 年自主招生之 2013 年华二冬令营数学试卷
1、“帽子函数”的图像如图所示：
y
1
••••••
2
-2
-1
0
1
••••••
2
x
(1)求此函数的解析式；
(2)若有抛物线 y x2 a(a 3), 求它与“帽子函数”图像的交点个数； 4
(3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有 2 个交点，横坐标分别
300 9
97 97
则有 900k 900 972 8 ，解得 k 105.8
97 97
11
所以乙只能听到第 105 声
5、对于满足 (x 3)2 ( y 3)2 6的所有实数对(x, y), 使 x 最大，这个最大值为________. y
【解析】设 x k ，则 x ky y
注：本试卷为冬令营考卷，主要目的为筛选竞赛考生，所以难度较高，2,8,9,10 等题均需 要一定的竞赛背景，难度超出一般自招难度，不必过于较真
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6、方程 x 2 1 a 有三个整数解，求 a 的值.
【解析】 f x x 2 1 的图像如图所示，只有 y 1 与 f x 有三个整数解，
为 3m / s,9m / s ，当甲船听到第 108 声时，乙船只能听见第_______声.( V声 =300m / s )
【解析】设第一次敲钟时的时刻为 0 秒，
则甲听到第 108 声的时刻为 107 9 107 9 3 972 8 秒
300 3
11
设乙只能听到第 k 声，则乙听到第 k 声的时刻为 k 1 9 k 1 9 9 900k 900
代入原式，得 ky 32 y 32 6
化为 k2 1 y2 6k 6 y 12 0 要使 y 有实数解，则 6k 62 48 k2 1 0
解得 3 2 2 k 3 2 2
所以最大值为 3 2 2
卡塔兰数公式： C2nn （比较复杂，自行百度） n 1
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