高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则

函数极限的运算法则（4月30日）

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限

教学重点：运用函数极限的运算法则求极限

教学难点：函数极限法则的运用

教学过程：

一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o

==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.

二 、新课讲授

限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o

o x x x x →→= n x x n x x x f x f o

o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.

三 典例剖析

例1 求)3(lim 2

2x x x +→

例2 求1

12lim 231++-→x x x x

例3 求4

16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数

4

162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.

例4 求1

33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2

x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k

x x ∈==∞→∞→

例5 求1

342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。

四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）

（1）)32(lim 21

-→x x ； （2）)132(lim 22

+-→x x x

（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ； （4）1

4312lim 221-++→x x x x

（5）11lim 21+--→x x x （6）9

65lim 223-+-→x x x x

（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5

2lim 32--∞→y y y y

五 小结

1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；

2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，

要特别注意这一点.

3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定

不存在.

4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.

六 作业（求下列极限）

（1）)432(lim 3

1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x

（4）)14

13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452

30233lim x x x x x x -++→

（7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6

23lim 2232--++-→x x x x x x

（10）x

m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x

（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3

526113lim 221--+-→x x x x x

（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3

23203526lim x x x x x x x ----→ （18）323

23526lim x x x x x x x ----∞→