高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
数学计算函数的极限与导数
数学计算函数的极限与导数一、引言在数学中，函数的极限与导数是重要的概念，能够帮助我们理解函数在一点附近的行为和变化趋势。
本教案将重点讨论计算函数的极限和导数的方法和技巧。
二、函数的极限计算1. 介绍函数的极限描述了函数在自变量趋近某一特定值时的趋势。
其中包括左极限和右极限两个方面。
2. 左极限和右极限左极限表示当自变量趋近某一特定值时，函数的趋势从左侧逼近的情况；右极限则表示函数从右侧逼近的情况。
3. 极限的计算方法- 通过代入法计算极限我们可以通过直接代入自变量的值，观察函数在该点的取值情况来计算极限。
- 利用极限的性质计算极限常用的极限性质包括四则运算法则、极限乘法法则、极限除法法则、复合函数极限法则等。
通过利用这些性质，我们可以简化极限的计算过程。
- 利用洛必达法则计算极限洛必达法则可以用于求解形如0/0或∞/∞形式的函数极限。
根据洛必达法则，我们可以将函数化简为比较简单的形式，然后再计算极限。
4. 极限的应用函数的极限在微积分、数学分析等领域中有广泛的应用。
通过计算函数的极限，我们可以了解函数的奇点、拐点、极大值和极小值等重要特征。
三、函数的导数计算1. 介绍函数的导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率。
导数可以表示函数在某一点的切线斜率，也可以用于求解函数的极值点和拐点。
2. 导数的定义导数的定义是通过极限来描述函数在某一点处的变化率。
具体而言，导数可以定义为函数在该点处的斜率，并用极限的方式表示。
3. 导数的计算方法- 通过定义求导根据导数的定义，我们可以将函数进行极限化简，然后计算极限得到导数。
- 利用导数的性质求导导数具有一些性质，如常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则、链式法则等。
通过利用这些性质，我们可以简化函数的求导过程。
- 高阶导数的求导高阶导数指的是对函数进行多次求导。
通过多次应用导数的计算方法，我们可以求解函数的高阶导数。
4. 导数的应用导数在微积分、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》一、引言微积分是高中数学的重要内容之一，极限与导数作为微积分的基础概念，为后续学习打下了坚实的基础。
本教案旨在帮助高中数学老师设计一堂《微积分入门：极限与导数》的教学课程。
二、教学目标1. 理解极限的概念，并能够准确计算极限；2. 掌握求导数的方法，包括用定义法和直接法求导；3. 能够应用导数解决实际问题。
三、教学内容1. 极限1.1 极限的定义- 数列极限的定义及其性质- 函数极限的定义及其性质1.2 求极限的方法- 英文数列求极限及其应用- 利用函数极限计算复杂表达式1.3 极限存在条件- 单调有界原理及其应用2. 导数2.1 导数的概念和定义- 导数与切线之间的关系- 左右导数及其性质- 高阶导数和对称性质2.2 求导数的方法- 用定义法求导数- 直接求导法* 基本函数的导数公式及其应用* 复合函数和反函数的导数计算* 隐函数和参数方程的导数求解四、教学过程1. 导入环节（5分钟）在开展新课之前，可以通过以往所学的内容作为铺垫，例如引入极限与导数的概念，并与实际问题相结合，唤起学生对微积分初步认知的兴趣。
2. 知识讲解（25分钟）2.1 极限的定义：通过例子生动直观地介绍极限的概念，并阐述极限存在条件。
2.2 极限的计算方法：以常见的英文数列为例，演示如何计算极限；然后介绍利用函数极限计算复杂表达式的方法。
2.3 导数的概念和定义：结合图像和实际问题，引出导数与切线之间关系，并介绍左右导数、高阶导数等概念。
2.4 求导数的方法：先通过定义法演示如何求导；随后介绍直接求导法，包括基本函数、复合函数、反函数、隐函数和参数方程的导数计算方法。
3. 练习与巩固（30分钟）通过一些例题和实际问题，带领学生进行练习，加深对极限和导数的理解。
教师可以根据学生水平适当调整难度，提供不同层次的练习题目。
4. 拓展应用（10分钟）引导学生将所学的知识应用到实际问题中，例如求斜率、速率、最值等问题，并让学生能够独立思考并解决这些问题。
极限的运算教案
极限的运算教案教案标题：极限的运算教案教案目标：1. 理解极限的概念及其运算规则。
2. 掌握极限运算的基本技巧。
3. 能够应用极限运算解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，通过提问和实例引导学生思考。
2. 回顾函数的极限定义和求解方法。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 解释每个运算法则的推导过程和应用条件。
3. 提供示例演示运用运算法则解决极限问题。
三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题册，让学生独立完成一些基础的极限运算练习。
2. 鼓励学生在小组内相互讨论解题思路和方法。
3. 选取几道典型题目进行讲解和解答，帮助学生理解和掌握运算法则的应用。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用极限运算解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学表达式，并进行极限运算。
3. 学生展示解题过程和结果，并进行讨论和评价。
五、总结与归纳（5分钟）1. 总结极限的运算法则及其应用要点。
2. 强调极限运算在数学和实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生完成的练习题和解题过程。
3. 针对学生的学习情况，提供个别辅导和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的极限运算问题。
2. 引导学生研究不同函数类型的极限运算规律。
3. 扩展到多元函数的极限运算。
教案备注：1. 教师应提前准备好教学材料和示例题目。
2. 鼓励学生积极参与讨论和解答问题，激发他们的学习兴趣。
3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度。
高考数学专题复习数列极限与导数教案
一、教学目标1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 掌握数列极限的求解方法。
3. 理解导数的定义及其性质。
4. 掌握基本函数的导数公式。
5. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的概念与性质极限的定义极限的性质无穷小与无穷大2. 数列极限的求解方法单调有界定理夹逼定理单调无界定理3. 导数的定义与性质导数的定义导数的性质导数的运算4. 基本函数的导数公式常数函数的导数幂函数的导数指数函数的导数对数函数的导数5. 导数在实际问题中的应用求解函数的极值判断函数的单调性求解曲线的切线方程三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索数列极限和导数的关系。
2. 通过例题讲解，让学生掌握数列极限和导数的求解方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示数列极限和导数的概念和性质。
4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课安排适量的练习题，及时巩固所学知识。
2. 课后作业：布置相关的数列极限和导数的题目，让学生独立完成。
3. 单元测试：定期进行数列极限和导数的测试，了解学生的掌握情况。
4. 学生互评：组织学生互相评价，促进学生之间的交流和学习。
五、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 课件：数列极限和导数的PPT课件3. 练习题：数列极限和导数的习题集4. 教学视频：数列极限和导数的讲解视频5. 网络资源：数列极限和导数的在线教程和习题库六、教学步骤1. 数列极限的概念与性质引入数列极限的概念，解释极限的含义。
通过示例说明极限的性质，如保号性、单调性等。
讲解无穷小与无穷大的概念，区分它们与极限的区别。
2. 数列极限的求解方法介绍单调有界定理，解释其含义并给出证明。
讲解夹逼定理的原理，并通过例题演示其应用。
解释单调无界定理，并通过实例说明其应用。
3. 导数的定义与性质引入导数的定义，解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
讲解导数的性质，如导数的单调性、连续性等。
2024全新教学设计教案标准完整版
2024全新教学设计教案标准完整版一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第二章“函数、导数与极限”的第3节“函数的极限”。
具体内容包括：1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 函数极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
二、教学目标1. 理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质；2. 学会运用极限的运算法则，解决实际问题；3. 能够判断函数极限的存在性，了解无穷小与无穷大的概念。
三、教学难点与重点难点：函数极限的存在性判断，无穷小与无穷大的概念。
重点：函数极限的定义，极限的性质，极限的运算法则。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：教材，笔记本，练习本。
五、教学过程1. 引入：通过展示函数图像，让学生观察函数值的变化趋势，引出函数极限的概念；2. 新课导入：讲解函数极限的定义，阐述函数极限的基本性质；3. 例题讲解：讲解极限的运算法则，结合实际例子，让学生掌握极限的运算方法；4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识；5. 知识拓展：介绍无穷小与无穷大的概念，讲解极限存在的条件；7. 课堂小结：让学生回顾本节课所学内容，检查学习效果。
六、板书设计1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
七、作业设计1. 作业题目：① lim(x→0) (sinx)/x；② lim(x→1) (x^2 1)/(x 1)；① y = 1/x；② y = x + 1/x；（3）已知函数f(x) = x^3 3x，求x→3时f(x)的极限。
2. 答案：（1）① 1；② 2；（2）① 0；② ∞；（3）f(x)在x→3时的极限为18。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对函数极限的定义和性质掌握较好，但在判断极限存在性方面存在困难，需要在课后加强练习；2. 拓展延伸：引导学生了解其他数学分支中的极限概念，如微积分中的定积分、级数等，提高学生的数学素养。
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》
高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》一、引言微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的变化以及极限与导数的概念。
本教案主要针对高中数学的微积分入门，重点介绍极限与导数的基本概念和性质。
通过对极限和导数的学习，学生可以更好地理解函数的变化规律，为以后更深入的微积分学习打下基础。
二、极限的概念与性质A. 极限的引入1. 引入函数逼近的思想在日常生活中，我们经常会遇到一些无法精确求解的问题，例如计算圆周率π的值。
而函数逼近的思想正是通过将一个问题转化为求解一系列逼近值来解决这类问题。
2. 极限的定义与解释极限是函数逼近中非常关键的概念，它描述了函数在某一点附近的变化规律。
通过适当选择趋近的过程，能够找到函数在该点附近的极限值。
B. 极限的性质与计算1. 极限的唯一性和局部性极限具有唯一性和局部性的特点，这意味着当函数在一点的极限存在时，它的极限值是唯一的，并且可以通过该点附近的情况来确定。
2. 极限的四则运算法则根据极限的性质，我们可以进行一些基本的四则运算。
例如，两个函数的极限之和等于两个函数极限的和，两个函数的极限之积等于两个函数极限的积等等。
C. 极限的图像与实例分析通过绘制函数的图像，我们可以更清晰地理解极限的含义和性质。
例如，在极限为无穷大时，函数的图像会趋于无穷远；在极限为负无穷大时，函数的图像会趋于负无穷远。
通过实例分析，学生可以更好地掌握极限的应用方法和注意事项。
三、导数的概念与计算A. 导数的引入与定义1. 函数的变化率导数是描述函数变化率的重要工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
通过导数，我们可以了解函数在某一点附近的变化情况。
2. 导数的几何意义导数在图像上表示为函数曲线上一点处的切线斜率，它可以帮助我们更好地理解函数在该点的变化特征。
B. 导数的性质与计算1. 导数存在的条件函数在某点处的导数存在的条件是函数在该点处连续，并且在该点的两侧导数存在且相等。
2. 导数的四则运算法则与极限类似，导数也具有四则运算法则，可以通过基本函数的导数来求解复合函数的导数。
高中数学备课教案函数的极限与导数
高中数学备课教案函数的极限与导数高中数学备课教案：函数的极限与导数一、引言函数的极限与导数是高中数学中重要的概念和工具之一。
正确理解和掌握这些内容，对于学生的数学学习和未来的应用都有着重要的影响。
本教案旨在通过适当的教学方法和案例分析，帮助学生深入了解函数的极限与导数的概念、性质和应用。
二、函数的极限1. 极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
引入极限的概念可以更准确地描述函数的性质和行为。
2. 极限的计算通过借助极限的定义和相关性质，可以计算各种类型函数的极限，包括多项式函数、分式函数、指数函数和三角函数等。
在计算极限时，可以运用基本的极限性质和极限运算法则，灵活使用代换法、夹逼准则等方法。
3. 极限存在与不存在有些函数在某些自变量取值下可能存在极限，而在其他自变量取值下则不存在极限。
教师应通过案例引导学生思考极限存在与不存在的条件，并帮助学生理解这一概念的实际意义。
三、导数的概念与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用来衡量函数在该点的瞬时变化程度。
导数的定义基于极限的思想，通过极限的计算可以得到函数的导数。
2. 导数的几何意义导数可以理解为函数图像上某点处的切线斜率，其正负表示函数在该点的增减性。
教师可以通过几何图像和实际问题建立导数与函数变化的直观联系。
3. 导数的性质和运算法则导数具有一系列的性质和运算法则，包括常数导数、幂函数导数、和差法则、乘积法则和商法则等。
了解这些性质和法则有助于简化导数的计算过程。
四、函数的极限与导数的应用1. 极值与最值问题通过极值定理和导数的概念，可以分析函数的极值点和临界点，并通过判定导数的正负来确定函数的极大值和极小值。
2. 函数的单调性通过导数的正负可以判断函数在某一区间上的单调性，例如递增和递减区间。
这对于函数图像的绘制和函数性质的分析都具有重要意义。
3. 函数的凸凹性与拐点利用导数的二阶导数可以判断函数在某一区间上的凹凸性，并确定函数的拐点。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限值。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大数据。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，极限的表示方法。
2. 极限的性质：极限的保号性、极限的传递性、极限的唯一性。
3. 无穷小和无穷大：无穷小的概念，无穷大的概念，比较无穷小和无穷大数据。
4. 极限的运算法则：极限的四则运算法则，极限的复合函数运算法则。
5. 极限在数学分析中的应用：极限在求解函数极值、导数、积分等方面的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，无穷小和无穷大的概念。
2. 难点：极限的运算法则，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考问题来理解极限的概念和性质。
2. 通过实例讲解，让学生掌握求函数在某一点的极限值的方法。
3. 利用数学软件或图形计算器，动态展示极限过程，帮助学生直观理解极限概念。
4. 开展小组讨论，让学生在合作中探讨极限的运算法则和应用。
五、教学安排1课时：介绍极限的概念和表示方法；1课时：讲解无穷小和无穷大的概念；1课时：讲解极限的性质；1课时：讲解极限的运算法则；1课时：讲解极限在数学分析中的应用。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的极限题目，检测学生对极限概念和性质的理解。
2. 课后作业：布置求函数在某一点的极限值和应用极限解决实际问题的题目。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和教学内容。
2. 针对学生的疑难问题，进行解答和讲解。
3. 探索更多有效的教学资源，如数学软件、图形计算器等，以提高教学效果。
八、拓展与提高1. 极限在数学分析中的其他应用：如微分、积分等。
2. 极限在实际问题中的应用：如物理学、工程学等领域的应用。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。
六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。
同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
高中数学极限、导数精华教案,家教教学专用
高中数学-极 限1.极限主要分为数列极限和函数极限2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k n k n ∈=∞→③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q qa S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义 ，因为0x x →并不要求0x x =.（)(x f 在0x 是否有定义与)(x f 在0x 处是否存在极限 ⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(l i m 0x f x x →存在的 条件）如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x → ⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 举个例子?⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→xx x ④e xx x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：① 数f （x ）在点0x x =处 ；②)(lim 0x f x x → ； ③函数f （x ）在点0x x =处的极限值 该点的函数值，即表达式为⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在； ③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理(主要是压轴题会用到，暂时初步了解)：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf .⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n kn ,0(0)(ln lim εε=+∞→为常数）高中数学 导 数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的（） 也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：---''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：⑵常数的判定方法:7. 极值的判别方法：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：III. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。
高中数学备课教案函数的极限与导数的应用
高中数学备课教案函数的极限与导数的应用高中数学备课教案：函数的极限与导数的应用导言高中数学备课教案的主题是函数的极限与导数的应用。
通过本教案的学习，学生将了解函数的极限和导数的概念，并能够运用它们解决实际问题。
本教案主要包括函数的极限概念、函数的极限性质、极限的运算法则、导数的概念与性质以及导数的应用等内容。
通过教学设计，学生将发展数学思维，培养解决问题的能力，提高数学应用能力。
一、函数的极限函数的极限是函数与自变量趋近于某一点时的取值趋势。
学生需要了解极限的定义以及相关的概念和性质。
1.1 极限的定义学生首先需了解函数在某一点处的极限定义，即当自变量趋近于某一点时，函数的取值是否趋近于某一确定值。
以数列极限的概念作为引入，引导学生理解函数极限的概念和含义。
1.2 极限的性质在了解了极限的定义后，学生还需掌握极限的性质。
例如，两个函数的和（差）、积、商的极限等，以及函数与常数的乘积的极限等。
通过数学推理和例题练习，巩固学生对极限性质的理解和掌握。
二、函数的导数函数的导数是函数在某一点上的变化率。
学生需要了解导数的定义、性质以及导数的计算方法。
2.1 导数的概念学生需了解导数的概念，即函数在某一点上的变化率。
通过引入切线的概念，引导学生理解导数的几何意义和物理意义。
2.2 导数的性质在了解了导数的定义后，学生还需学习导数的性质。
例如，导数与函数的连续性、导数与函数的单调性等。
通过理论证明和实例分析，帮助学生掌握导数性质的应用。
2.3 导数的计算学生还需要掌握导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等函数的导数计算。
通过规律总结和实例演练，提高学生的导数计算技能。
三、函数极限与导数的应用根据函数的极限与导数的理论基础，学生需要掌握如何将其应用于实际问题的解决过程。
3.1 极值问题学生需通过实际问题分析，了解如何通过极限和导数的概念求解函数的极值问题。
例如，求解函数的最大值和最小值，以及函数图像上的拐点等。
极限的四则运算教案
极限的四则运算教案教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程设计（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：例1 求下列极限：师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2 求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．A．2 B．-2C．1 D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．3．贯穿数学思想，提高解题能力．本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例6中的方程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横联系，提高解题能力的要求．。
高数极限的运算法则教案
课题名称极限的运算法则授课时间授课地点授课课型讲授学时安排2学时教学目标知识目标：掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限能力目标：能够熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的素质目标：培养学生的数学的思维和数学兴趣教学重点会利用函数极限的运算法则求函数的极限教学难点函数的极限的运算法则。
教学方法教法：以讲授为主，师生互动、习题训练为辅学法：讲练结合教学资源PPT、教学过程教学环节教学内容师生活动教学资源复习旧课5’导入新课5’一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）2、函数的左右极限。
（理解）二、导入新课在学习了函数极限的概念后，我们返现有些函数的极限可以利用观察法直接得到，如（1）函数xxf1)( 的图形。
提问、复习讲授新课启发式教学提问式教学PPT讲授新课20’（2）观察函数当时的极限。
（3）观察函数当时的极限。
但是对于比较复杂的一些极限问题，就没办法直接通过观察法得出，所以还要研究极限的运算法则。
三、讲授新课极限的运算法则（熟记）设则有（1）极限的可加（减）性；（2）极限的可乘性；（3）极限的可除性。
根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。
推论1 常数可以提到极限号前，即CAxfCxCf==)(lim)(lim。
推论2若m为正整数，则[]mmm Axfxf==)]([lim)(lim。
注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。
常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因对比教学法小组讨论法例题讲述20学生练习教师点评25’子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。
四、例题讲述例1：求极限解：例2：222234lim3xx xx→-+-解：因为时，分母的极限不为0，所以222234lim3xx xx→-+-=2222lim234lim3xxx xx→→-+-（）（）=2222222lim2lim3lim4lim lim3x x xx xx xx→→→→→-+-=2222222lim2lim lim lim3lim4lim lim3x x x x xx xx x xx x→→→→→→→-+-=例3：求极限.解：.例4：求极限.解：当时，分子、分母的极限均不存在(为无穷大)，不能直接使用极限运算法则.注意到时,所以可用除分子与分母，然后再求极限，即五、课堂演练练习1：求下列函数的极限（1）444lim222-+-→xxxx；（2）hxhxh22)(lim-+→；（3）213lim2xxx→+-；（4）3232231lim532xx xx x→∞-++-；讲练结合。
高中数学 函数极限的运算法则函数极限的运算法则教案 新人教A版选修1
函数极限的运算法那么教学目标：掌握函数极限的运算法那么，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法那么求极限教学难点：函数极限法那么的运用教学过程：一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim .假设求极限的函数比较复杂，就要分析函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法那么：限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商〔作为除数的函数的极限不能为0〕. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oo x x x x →→= n x x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→= 这些法那么对于∞→x 的情况仍然适用.三 典例剖析例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x 分析：当4→x 4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法那么.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法那么计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法那么求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法那么计算了。
高等数学 第二章 极限和导数2-5极限的运算法则
( x − 4 )( x + 2 ) = lim x → − 2 ( x + 2 )( x 2 − 2 x + 4 )
1 x−4 =− . = lim 2 2 x → −2 x − 2 x + 4
x2 + 1 − αx − β ) = 0 例5-1 已知 lim ( x→ ∞ x + 1
( ∞ − ∞型 )
1. 在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x )存在， 在自变量的某个极限过程中， 存在， lim g ( x )不存在，那么 不存在， (2) lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？ 是否一定不存在？ 答： 不一定. 不一定
1 反例： 反例：① f ( x ) = x , g ( x ) = sin x lim f ( x ) = 0 , lim g ( x )不 存 在 ， 但
无穷多 项和的 极限
公式求和变 为有限项
二、 复合函数的极限运算法则
定理2.8 设 定理 当 0 < x − x 0 < δ 1 时, 则有
u→ a
u = ϕ (x) ≠ a , 又
x → x0
lim f [ϕ ( x ) ] = lim f ( u ) = A
o
①
注 1° 定理 中的条件：ϕ ( x ) ≠ a , x ∈ U ( x 0 , δ 1 ) ° 定理2.8中的条件 中的条件： 不可少. 否则，定理2.8 的结论不一定成立. 不一定成立 不可少 否则，定理 的结论不一定成立
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？ 是否一定不存在？
2 3 n 1 2. lim 2 + 2 + 2 + L + 2 = ? n→ ∞ n n n n
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函数极限的运算法则（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o
==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.
二 、新课讲授
限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o x x x x →→= n x x n x x x f x f o
o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求)3(lim 2
2x x x +→
例2 求1
12lim 231++-→x x x x
例3 求4
16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.
例4 求1
33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2
x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k
x x ∈==∞→∞→
例5 求1
342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 21
-→x x ； （2）)132(lim 22
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ； （4）1
4312lim 221-++→x x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，
要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定
不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x
（4）)14
13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x x x x x x -++→
（7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x
（10）x
m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23203526lim x x x x x x x ----→ （18）323
23526lim x x x x x x x ----∞→。