NP完全问题分析
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可以把前述判定问题的提法改变：给定两个大 小均为n的集合A和B，判断这两个集合中是否不 存在着相同的元素？ 这个问题是前述问题的补 定义：令C是一类问题，如果对C中的任何问 题C，如果的补也在C中，则称C类问题在 补集下封闭
2.1.4 P类问题在不集下封闭定 理
定理：P类问题在补集下是封闭的
定义：如果对某个判定问题，存在着一个非 负整数k，对输入规模为n的实例，能够以O(nk) 的时间运行一个确定的算法，得到yes或no的答 案，则称该判定问题是一个P（Polynomial）类 判定问题 举例：给定两个大小均为n的集合A和B，判断 这两个集合中是否存在着相同的元素？
2.1.3 在补集下封闭的定义
2.1.7 判定问题规约定理示例
问题是：给定一个长度为n整数数组D和一个整数k判断是否存 在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数 数组E和一个整数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等 假设问题的输入实例I是一个长度为n=4的数组{2, 4, -1, 8}， 和一个整数3，转换算法A如下： int[] transfer(int n, int[] inst_ba){ int[] inst = new int [n*(n-1)/2]; int count = 0; for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<i; j++){ inst[count] = inst_bar[i] + inst_bar[j]; count++; } }
2.1.6 判定问题规约的定理
定理：令和是两个判定问题，如果P，并 且 p ，那么P
证明：根据和 的规约特性，存在着多项式 算法A，把的实例I转换为的实例I，并且二者 运算结果一致。由于A是多项式的，因此，其输出 也是多项式的。A的运算结果（就是I）是一个多 项式规模的结果。而的实例可以用多项式规模的 时间运算得到结果。处理的实例I所需时间是： I向I转换所需时间 + 处理I所需时间，这两个时间 都是多项式级别的，因此处理的实例I是多项式 级别的
1.3 优化问题向判定问题的转换
判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一个正整数k， 是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其最短路径 长度的哈密尔顿长度是多少？
如果上述判定问题用下面函数解决： boolean Hamilton(Graph g, int k); 则上述优化问题可以用二分的方式在下面的函数中解 决：
计算复杂性理论有两个基本论题：Church-Turing论题和 Cook-Karp论题 Church-Turing论题：一个问题时可计算的当且仅当它在 图灵机上经过有限次计算得到正确的结果。这个论题把人 类所面临的问题分为两类：一类是可计算的，另一类是不 可计算的。但“有限次计算”是一个宽松的条件
return no; //修改为yes
}
2.1.5 判定问题规约的定义
定义：令和是两个判定问题，如果存在一个 具有如下性能的算法A，可以用多项式的时间，把 问题的实例I转换为问题的实例I，使得I与I的 答案一致，就称以多项式时间规约于，记为 p
举例：问题是：给定一个长度为n整数数组D 和一个整数k判断是否存在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数数组E和一个整 数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等。 用于的实例I向的实例I转换的多项式算法A
Байду номын сангаас
函数transfer输出一个数组{6, 1, 3, 10, 12, 7}，规模是n的多项式 级别。它含有3，因此原问题结果是yes，否则原问题结果为no
Cook-Karp论题：一个问题是实际可计算的当且仅当它 在图灵机上经过多项式时间（步数）计算得到正确的结果。 Cook-Karp论题将可计算问题类进一步划分成两类：一类 是实际可计算的，另一类是实际不可计算的
1.2 问题分类
有两类问题，一类是判定问题，另一类是优化问题 判定问题的解只涉及两种情况：yes或no；优化问题 则涉及极值问题 判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一 个正整数k，是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回 路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其 最短路径长度的哈密尔顿长度是多少？
第12章 NP完全问题
1. NP完全问题概述 2. P类和NP类问题
3. NP完全问题
4. co_NP类和NPI类问题
1. NP完全问题概述
1.1 Church-Turing论题和Cook-Karp论题 1.2 问题分类 1.3 优化问题向判定问题的转换
1.1 Church-Turing论题和CookKarp论题
证明：对于P类问题中的任意问题，只要修 改相应的多项式级别算法A的代码，把返回yes的 改为返回no，把返回no的改为返回yes即可
boolean judgeEqual(int n, Elem[] a, Elem[] b){ for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<n; j++) if (a[i] == a[j]) return yes; //修改为no
int minHamilton(Graph); //二分查找中调用Hamilton函数
2. P类和NP类问题
2.1 P类问题 2.2 NP类问题
2.1 P类问题
2.1.1 确定性算法 2.1.2 P类判定问题
2.1.3 在补集下封闭的定义
2.1.4 P类问题在不集下封闭定理
2.1.5 判定问题规约的定义
2.1.6 判定问题规约的定理
2.1.7 判定问题规约定理示例
2.1.1 确定性算法
定义：假设A是问题的一个算法。如果 算法在处理实例的执行过程中每一个步骤 都有一个确定的选择，则称算法A是确定性 算法 对于问题的确定性算法A，每一个实例 执行多次的结果是严格一致的
2.1.2 P类判定问题
2.1.4 P类问题在不集下封闭定 理
定理：P类问题在补集下是封闭的
定义：如果对某个判定问题，存在着一个非 负整数k，对输入规模为n的实例，能够以O(nk) 的时间运行一个确定的算法，得到yes或no的答 案，则称该判定问题是一个P（Polynomial）类 判定问题 举例：给定两个大小均为n的集合A和B，判断 这两个集合中是否存在着相同的元素？
2.1.3 在补集下封闭的定义
2.1.7 判定问题规约定理示例
问题是：给定一个长度为n整数数组D和一个整数k判断是否存 在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数 数组E和一个整数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等 假设问题的输入实例I是一个长度为n=4的数组{2, 4, -1, 8}， 和一个整数3，转换算法A如下： int[] transfer(int n, int[] inst_ba){ int[] inst = new int [n*(n-1)/2]; int count = 0; for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<i; j++){ inst[count] = inst_bar[i] + inst_bar[j]; count++; } }
2.1.6 判定问题规约的定理
定理：令和是两个判定问题，如果P，并 且 p ，那么P
证明：根据和 的规约特性，存在着多项式 算法A，把的实例I转换为的实例I，并且二者 运算结果一致。由于A是多项式的，因此，其输出 也是多项式的。A的运算结果（就是I）是一个多 项式规模的结果。而的实例可以用多项式规模的 时间运算得到结果。处理的实例I所需时间是： I向I转换所需时间 + 处理I所需时间，这两个时间 都是多项式级别的，因此处理的实例I是多项式 级别的
1.3 优化问题向判定问题的转换
判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一个正整数k， 是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其最短路径 长度的哈密尔顿长度是多少？
如果上述判定问题用下面函数解决： boolean Hamilton(Graph g, int k); 则上述优化问题可以用二分的方式在下面的函数中解 决：
计算复杂性理论有两个基本论题：Church-Turing论题和 Cook-Karp论题 Church-Turing论题：一个问题时可计算的当且仅当它在 图灵机上经过有限次计算得到正确的结果。这个论题把人 类所面临的问题分为两类：一类是可计算的，另一类是不 可计算的。但“有限次计算”是一个宽松的条件
return no; //修改为yes
}
2.1.5 判定问题规约的定义
定义：令和是两个判定问题，如果存在一个 具有如下性能的算法A，可以用多项式的时间，把 问题的实例I转换为问题的实例I，使得I与I的 答案一致，就称以多项式时间规约于，记为 p
举例：问题是：给定一个长度为n整数数组D 和一个整数k判断是否存在D中的一个元素和k相等。 问题是：给定一个长度为m整数数组E和一个整 数k判断是否存在E中的两个元素，其和与k相等。 用于的实例I向的实例I转换的多项式算法A
Байду номын сангаас
函数transfer输出一个数组{6, 1, 3, 10, 12, 7}，规模是n的多项式 级别。它含有3，因此原问题结果是yes，否则原问题结果为no
Cook-Karp论题：一个问题是实际可计算的当且仅当它 在图灵机上经过多项式时间（步数）计算得到正确的结果。 Cook-Karp论题将可计算问题类进一步划分成两类：一类 是实际可计算的，另一类是实际不可计算的
1.2 问题分类
有两类问题，一类是判定问题，另一类是优化问题 判定问题的解只涉及两种情况：yes或no；优化问题 则涉及极值问题 判定问题举例：给定一个带整数权的有向图G和一 个正整数k，是否存在着一条长度小于k的哈密尔顿回 路？ 优化问题举例：给定一个带整数权的有向图G，其 最短路径长度的哈密尔顿长度是多少？
第12章 NP完全问题
1. NP完全问题概述 2. P类和NP类问题
3. NP完全问题
4. co_NP类和NPI类问题
1. NP完全问题概述
1.1 Church-Turing论题和Cook-Karp论题 1.2 问题分类 1.3 优化问题向判定问题的转换
1.1 Church-Turing论题和CookKarp论题
证明：对于P类问题中的任意问题，只要修 改相应的多项式级别算法A的代码，把返回yes的 改为返回no，把返回no的改为返回yes即可
boolean judgeEqual(int n, Elem[] a, Elem[] b){ for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<n; j++) if (a[i] == a[j]) return yes; //修改为no
int minHamilton(Graph); //二分查找中调用Hamilton函数
2. P类和NP类问题
2.1 P类问题 2.2 NP类问题
2.1 P类问题
2.1.1 确定性算法 2.1.2 P类判定问题
2.1.3 在补集下封闭的定义
2.1.4 P类问题在不集下封闭定理
2.1.5 判定问题规约的定义
2.1.6 判定问题规约的定理
2.1.7 判定问题规约定理示例
2.1.1 确定性算法
定义：假设A是问题的一个算法。如果 算法在处理实例的执行过程中每一个步骤 都有一个确定的选择，则称算法A是确定性 算法 对于问题的确定性算法A，每一个实例 执行多次的结果是严格一致的
2.1.2 P类判定问题