《结构力学》第十一章 影响线

+S 0 -S
RR1 1
S R1 y1 R2 y2 R3 y3
3
x
Ri yi
i 1
RR2 2
RR3 3
当荷载移动x相应有:
yi x tgi
y1
1 0
x
y 2 0 y2
x
y3 3 0
S S R1 ( y1 y1)
R2 ( y2 y2 )
R3 ( y3 y3 )
(2)RB M A 0
1
I.L RB
RB
x l
P
x l
0
x
4
l
x
P=1
A
C
RA
a
l
b
1
1
bl
al
a
ab
l
2020/11/1
3 QC 分段考虑
B
RB
I.L RA
P=1在AC段，取CB段
QC
RB
x l
P=1在CB段，取AC 段
QC
RA
l
l
x
P=1 P=M1 C
PP==11
1
A
C
B
I.L RB RA a QC
使S成为极小值的临界位置 必须满足的条件：
S 0,即x Ri tgi 0
S 0,即x Ri tgi 0
x 0 Ri tgi 0
x 0 Ri tgi 0
x 0 Ri tgi 0
x 0 Ri tgi 0
一般情况下 Ri tgi 0
2020/11/1 小结：极值位置时只要荷载移动 Ri tg i 就变号。
第十一章
2020/11/1
1
§11-1 移动荷载与影响线的概念
移动荷载的例子
目的：解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。 内容：1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置——最不利荷载位置。 方法：在各种荷载中抽象出单位荷载（P =1）。
2020/11/1
2
利用平衡条件建立影响线方程:
l2
l (2)RB
1
1 l2 l
x RB l ,
l1 x l l2
7
x
P=1
A
C
a
b
l1
l
RA
l1
1
l
a
bl1 l
2020/11/1
bl
al
I.L QC
ab l
I.L MC
3 QC 分段考虑
B
P=1在C以左，取C以右
l2
RB
x QC RB l
(l1 x a)
P=1在C以右，取C以左
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。
（１）一个集中荷载
（２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
q
q
max
q
min
2020/11/1
21
三、临界位置的判定
(1)求出使S值达极值时荷载的位置,称临界位置。 (2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。 如何求临界位置呢？
3
S Ri yi i 1
2020/11/1 S Ri yi Ri x tgi x Ri tgi
22
S Ri yi Ri x tgi x Ri tgi
R1
R2
R3
y1 y 2 0 y2
1 0 x
y3 3 0
S
x x S 0
S
x x S 0
使S成为极大值的临界位置 必须满足的条件：
P=1
A
CD E
dd 22
l=4d
3d
（1）RA和 RB与以前一样； B
（2）I.L MC 与以前一样
C 点的纵标：ab d 3d 3 d l 4d 4
4
15d
5d 16 3d
yC 8
4 yE
I.L M C
（3）I.L MD，先作后证明,先假 设为非结点荷载，D点的纵标值
yD
1.5d 2.5d 4d
P
C
A
a
b
ab
l
1
x P=1 QC
A
a QCC
b
b l
a l
（2）M C
B
MC PP 0
MC
P (x)
令 1则MC P (x)
b
B1
（3） QC
I.L QC
例：绘制I.LRC .M1.Q2和QA
P=1
AB
CD
1
2m 2m 2m 1m 2m
1
RC
EF
G
H
2m 1m
4m
2m
AB
CD
RC 1
8
5
0
x
0, Ri
tgi
10
1.6 4
15 5 20 1.6
8
4
0
Mmin 34.5kN m
2020/11/1
26
影响线为三角形时的情形。
P1 R左P2 P3Pc P4 R右P5 P6
P1 a
P2
P3
Pc
P4
P5
P6
2020/11/1
c
b
注意荷载移出影 响线范围以外的 情形。
M
2d
C
N1
0
M
C
h
P 1在C点
2d h
4d
2020/11/1 3h I .LN1
小结：弦杆内力影响线的画法。
4d h
M
C
1 a b l
2d 4d 6d
4d 3
4d
N1 3h 12
a b cⅡ d e f g
h
A
2
B CD E F
G
3. I.L N2
Ⅱ
取截面Ⅱ－Ⅱ
l = 6d
dx
l
22
M
max
R
l 2
a 2
2
1 l
M
c
注 1.R应是梁上实有荷载的合力 意 2.应选几个可能的Pc计算相应的Mmax其中最大的即为绝对最大弯矩。
20203/1.1P/1c到R的方向以向右为正。
29
续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。 R
RB
x l
P
x l
0
x
l
RB的影响线(I . L)－Influence Line
影响线的应用例：
x P=1 P=1 P=1
P=1
P
l
RB
y1
y2
0.25 0.5
0.75 1.0
P1
P2
RB P1 y1 P2 y2
l
RB
定义：当单位荷载（P=1）在结构上移动时，表示结构某一指
定2截020/面11/1中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线3 。
l2
1
l
QC
RA
l
l
x
(a x l l2)
b
4 MC
al2 l
8
A
l1
RA
P=1 l
I.L M D
I.L QD
2020/11/1
P=1
x
D
Bd
l2
RB
d
伸臂部分影响线
(5) M D x,
0 x d
(6) QD 1
1
0 x d
9
§11-4 结点荷载作用下梁的影响线 主梁只承受结点荷载
4）比较各S值，得出最大值。
24
10 15 510 2105(kN5) 20(kN) 3m 3.5m 43mm 3.5m 4m
c
5.6m
3m
6m
3m
14m
1.8m
3.36m
d
4m
8m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于截面C处由判别式有：
x
0,
Ri
tgi
10
15
3.36 5.6
5
l=4d
15d
5d
3d
16
yC 8
4 yE
1
1
2
1 4
2020/11/1
B
（4）I.L QD
I.L MD
小结
1、先按直接荷载作用画出 内力影响线；
2、投影各结点与影响线相 交，各交点间连以直线。
I.L QD
1
11
aa
bb 1Ncc1
§11-5 桁架影响线 dd 上承ee ff gg
方法：结点法与截面法 1、I.L RA及RG
若存在情形：
R左 tg ( Pc R右 )tg 0
( R左 Pc )tg R右 tg 0
tg c
a
tg c
b
R左 Pc R右
a
b
R左 Pc R右
a
b
则是一临界位置
27
§11-12 简支梁的包络图和绝对最大弯矩
设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。
分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。
20
3.36 8.4
5
0
x
0,
Ri
tg i
10
3.36 5.6
15
5
20
3.36 8.4
10
0
Mmax 83kN m
设 PK 20kN 置于截面d处由判别式有：
x
0,
Ri
tgi
10
15
5Hale Waihona Puke Baidu
20
1.6 4
20
0
2020/11/1
x
0, Ri
tgi
10 15 5 1.6
15
§11-6 多跨静定梁的影响线
理论基础：虚位移原理。 特 点：把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。 优 点：不经计算可以得到影响线的形状。
x
P=1
A
l
x
P=1
P
2020/11/1
I.L RB
B
（1）RB
RB P P 0
RB
RB
Px
1
令 1则RB P (x)
16
x
P=1 MC
P=1 移动
实际 固定
横座标
表示荷载位置
表示截面位置
2020/11/1 纵座标 表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力分布规律 6
二、伸臂梁的影响线
x
P=1
A
C
a
b
l1
l
RA
1 l1
l1
I.L RA
l1 l
2020/11/1
I.L RB
P=1
B
l2
RB
(1)RA
lx RA l ,
l1 x l l2
4 此处不是临界位置
20 1.6
8
12 0
25
c
5.6m
3m
6m
3m
14m
1.8m
3.36m
10 15 5 20(kN) 3m 3.5m 4m
d
4m
8m
I .L M C
1.6m
设 PK 15kN 置于d截面处由判别式有：
x
0, Ri
tgi
10 15
1.6 4
5
20 1.6
b
RB
I.L QC
1
b
(4) M C 分段考虑 P=1在AC段，取CB段
MC
RB
b
x l
b
P=1在CB段，取AC 段
I.L MC
MC
RA
a
lx l
a
5
（5）内力影响线与内力图的比较
P=1
P
A
B
l
1
bl
al
ab
I.L QC
1
a
b
l
Pb
l
Q
Pa
l
a
l
b
I.L MC
M
Pab
影响线
内力图 l
荷载大小 荷载性质
P=1
P=1
c
Mc 0
N2
M
c
h
A
B
RA
4d
RG
3h
I.LN 2
2020/11/1
13
a
A
RA
A
RA
1
bcde
N3Y
N
Y 3
3
B CD E
l = 6d
P=1
P=1
2 3
1
6
2020/11/1
fg
h
F
G
RG
B
RG
4、斜杆N3－
I
.L
N
Y 3
Ｐ＝１在Ｂ以左：
N
Y 3
RG
Ｐ＝１在Ｃ以右：
N
Y 3
RA
15 d 16
x1
I.L MD
由比例可得：
yC
5d 8
, yE
3d 4
d xC
Ex
d
dd
在C、E两点间连一直线，即得 MD影响线。
当P=1作用在C和E两点时,与直接
C DE
作用一样,纵标值仍为 yC 和 yE
2020/11/1 利用叠加原理,
yD
yC
d
d
x
yE
x d
10
P=1
A
CD E
dd 22
N
Y 3
QB C
I
.L
N
Y 3
1
14
a bcde
N4 4
5
A
B CD E
RA
l = 6d
P=1
P=1
A
RA
1
下承
3
1 上承
1
2
2020/11/上1 承 1
fg
5、竖杆N4
h
F
G
RG
B
RG
Ｐ＝１在C以左：
N 4 RG
Ｐ＝１在D以右：
N4 RA N4 QCD
1
I.L N4
下承
6、N5
I.L N5
23
极值位置时只要荷载移动 Ri tg i 就变号，它就是一个判别式。
在什么情形下它才会变号呢？
R1R1
R2R2
R3R3
临界位置
y1 y 2 0 y2
1 0 x
y3 3 0
临界荷载
总结： 1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；
2）利用判别式，看是否变号；
3）求出每个临界位置对应的S值；
2020/11/1
P1
P2 P3
a
y1
C
b
b
y3
l
a y2
lq
A
2020/11/1
B
dx
b
l
a
y
l
QC P1 y1 P2 y2 P3 y3
I.L QC
B
QC
q dx y
A
B
qA ydx
I.L QC
q AB
AB－影响线面积代数和
20
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
xx a a l-xl--xa-a
P11 PPP12c PRc PR3 PP34 P4
A
B
m
A
a2
a2
B R表示梁上实有荷 载的合力
RA
l/2
l/2
RB M B 0,
lxa RA R l
Pc作用点的弯矩 ：
M
RA x Mc
R
l
x l
a
x
M
c
由
dM 0
R l 2x a 0
x l a
N1
hh
2、 I.L N1 M C 0
P 1在ⅠⅠ以左,取右隔离体
AA
RA
BB CCC DD E下E 承 FF P=1
ll == 66dd
GG
RG
N1 h RG 4d 0
N1
h
M
C
M
C
N1
M
C
h
P=1
P=1
P 1在ⅠⅠ以右,取左隔离体
C A
RA
B
RG
N1
h
N1 h
M
C
RA
EF
1.25
G
H
I.L RC
AB
2020/11/1
1 D
C
1
0.5
EF
G
H
I.L M1
18
AB 2m 2m
AB
2
CD 2m 1m 2m
D
C
EF
G
H
2m 1m
4m
2m
EF
G
H
A
B
1.0
2020/11/1
0.25 1.0
D C
0.25
I.L Q2
EF
G
H
I.L QA
19
§11-7 影响线的应用
一、求实际荷载作用的影响
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律或最不利荷载 位置，内力影响线都是最基本的工具。
影响线有两种画法；静力法和机动法。
§11-3 静力法作静定梁的影响线
x
P=1
一、简支梁的影响线
A
RA
l
1
2020/11/1
B
(1)RA
MB 0
RB RA l 1 l x 0
I.L RA
RA
l
l
x
,
0 x l
x
P=1
A
C
B
RA
a
l
b
RB
ab
l
I.L MC
0.09 0.16 0.21 0.24 0.25
2020/11/1
28
求绝对最大弯矩。可以分为两个步骤：
1）它出现在那一个截面？ 2）在那一个集中荷载下面？ 1）直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载下面，因 此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载下面的截面。