北京市育英中学2019-2020学年第二学期九年级模拟考试数学试卷

北京市育英中学2019-2020学年第二学期初三模拟考试

数学试卷

2020年4月16日 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．如左图所示，该几何体的主视图是（ ）

2. 为应对“新冠疫情”，近日，财政部表示，截至3月21日，中央财政已累计安排有关防控资金257.5亿元， 支持地方做好患者救治、医护人员补贴发放，以及建立疫情防控短缺物资储备、开展药品和疫苗研发等工作。 据官方此前消息，截止到3月13号，全国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元。将1169亿 元用科学计数法表示为（ ）元 。 A ．

B ．

C ．

D ．

3. 如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是 （ ）

A ．a b <

B ．a b >-

C ．2a >-

D ．b a >

42x -x 的取值范围为（ ） A ．2x >

B ．2x ≥

C ．2x =

D ．2x ≠

5. 如果30x y -=，那么代数式()22

22x y

x y x xy y +?--+的值为（ ）

A ．27

-

B ．

27

C ．72

-

D ．

72

6．方程组 ???=-=-732,

2y x y x 的解为（ ）

A ．?

??==31

y x

B.?

??=-=31

y x

C.

???-=-=31

y x D.???==1

3y x

7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°） 近似满足函数关系c bx ax y ++=2

（0≠a ）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )

D

C B A

A.18°

B.36°

C.41°

D.58°

8. 已知：∠BAC ．

（1）如图，在平面内任取一点O ；

（2）以点O 为圆心，OA 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3）连接DE ，过点O 作线段DE 的垂线交⊙O 于点P ； （4）连接AP ，DP 和PE ．

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：

① △ADE 是⊙O 的内接三角形； ② AD=DP=PE ； ③ DE=2PE ； ④ AP 平分∠BAC ．， 所有正确结论的序号是 ．

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9.分解因式: 2

2

3

44-+=a b ab b . 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果

，则∠ACD 的度数是_________．

D

C E

B

O A

(第10题图) (第11题图) (第14题)

11. 中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为__________.

12. 若多项式2

x ax b ++可以写成()2

x m +的形式，且0ab ≠，则a 的值可以是_____，b 的值可以是_____ ．

13. 小华同学的身高为170 cm ，测得他站立在阳光下的影长为85 cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为105 cm ，

那么小华举起的手臂超出头顶的长度为____________ cm.

14. 如图所示，在一条笔直公路l 的两侧，分别有A 、B 两个小区，为了方便居民出行，现要在公路l 上建一个公共自行车存放点，使存放点到A 、B 小区的距离之和最小，你认为存放点应该建在 处（填“C ”“E ”或“D ”），

l

E

C

D

A

B

y / m 3

x /度

18 O 54 72

0.1360.150

0.125

理由是 ____________________________．

15. 为了解同学们对网络游戏的喜好和作业量多少的相关性，小明随机对年级50名同学进行了调查，并将调查的情况

进行了整理，如下表：

如果小明再随机采访一名同学，那么这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性 “不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性. （填“>”，“=”或 “<”）

16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算：(

)

1

16tan 3021122-??

-?-

-+ ???

． 18. 解不等式组: 32431.22

x x x +

?-??，≥

19．已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°.

求作：射线CG ，使得CG ∥AB ．

下面是小东设计的尺规作图过程． 图1 图2 作法：如,2，

①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点； ②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ； ③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在∠FCB 内部交于点G ；

认为作业多

认为作业不多

合计 喜欢网络游戏 18 9 27 不喜欢网络游戏

8 15 23 合计

26

24

50

作业量多少

网络游戏的喜好

E

D

C C

A

B

A

④作射线CG ．所以射线CG 就是所求作的射线． 根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：连接FG 、DE .

∵△ADE ≌ △_________， ∴∠DAE = ∠_________．

∴CG ∥AB （__________________________）（填推理的依据）．

20．关于x 的一元二次方程()2210x x n +--=有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；

（2）若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

21．如图，在△ABC 中，AC =BC ，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF ． （1）求证：四边形DFCE 是菱形；

（2）若∠A =75°，AC =4，求菱形DFCE 的面积． （1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，

∴DE =

1

2BC =FC ， DF =1

2

AC =EC ． …………………………………………………………1分

∵AC =BC ，

∴DE =FC =DF =EC ． ………………………………………………………2分 ∴四边形DFCE 是菱形． …………………………………………………3分

（2）解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，如图．

∵AC =BC ， ∴∠A =∠B ． ∵∠A =75°，

∴∠C =180°－∠A －∠B =30°． ∵AC =4，

∴CE =CF =2．

在Rt △EHC 中，EH =

1

2

CE =1， ∴菱形DFCE 的面积=CF ·EH =2． …………………………………………5分

22.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-与双曲线k

y x

=（0k ≠）的一个交点为(6,)P m . （1）求k 的值；

（2） 将直线y x =-向上平移b (b>0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，

与双曲线k

y x =

（0k ≠）的一个交点记为Q .若2BQ AB =，求b 的值.

解：（1）∵在直线上,

∴． ………………………1分 ∵在双曲线上，

∴． ………………………2分

图1 图2

(2) ∵向上平移(0b >)个单位长度后，与轴，轴分别交于A ，B ，

∴． ………………………3分 作⊥轴于H ，可得△∽△．

如图1，当点Q 在AB 的延长线上时， ∵，

∴

3===AB AQ

OA HA OB HQ ． ∵OA OB b ==， ∴，2HO b =.

∴的坐标为． 由点在双曲线6

y x

=-

上， 可得1b =． ………………………4分 如图2，当点Q 在AB 的反向延长线上时， 同理可得，的坐标为． 由点在双曲线6

y x

=-

上，可得． 综上所述，或． ………………………5分

23. 如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C ∠=∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；

（2）当⊙O 的半径为5，2

sin 5

DBA ∠=

时，求EF 的长. (1) 证明：连接OB

∵CD 为⊙O 的直径 ，

∴?=∠+∠=∠90OBD CBO CBD . ∵AE 是⊙O 的切线， ∴?=∠+∠=∠90OBD ABD ABO . …………………1分

E

B

C O F

D A

∴CBO ABD ∠=∠.

∵OB 、OC 是⊙O 的半径，

∴OB=OC .

∴CBO C ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵C E ∠=∠， ∴E ABD ∠=∠.

∴ OE ∥BD .…………………………………………………2分

(2)解：由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 2

5，

在Rt △OBE 中, sin ∠C ,OC =5 ∴ . …………………………………3分

∵90CBD EBO ∠=∠=?，C E ∠=∠，

∴△CBD ∽△EBO . ∴ .

∴ . …………………………………4分

∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB .

∴ .

∴ .…………………………………5分 24．如图，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ^于点Q ．已知7AB =cm ，设

A P ，两点间的距离为x cm ，A Q ，两点间的距离为1y cm ，P Q ，两点间的距离为2y cm ．

小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：

25

BD

CD ==

4BD =BD CD BO EO =252

EO =122OF BD ==21

2

EF OE OF =-=

2y /cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82

4.20

5.33

6.41

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()1x y ，，()2x y ，，并画出函数1y ，

2y 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30°时，AP 的长度约为 cm ． 解：本题答案不唯一，如： （1）

x /cm

0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7

1y /cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37

2.61 2.72 2.76 2.78

2y /cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.02

4.20

5.33

6.41

（2）

（2.82-3.22之间即可） (1)

注意图象要平滑不出头） (4)

（

（3）5.49或2.50． （5.29-5.69或2.30-2.80） (6)

25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a ．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ?，5060x ?，6070x ?，7080x ?，

8090x ?，90100x ＃）

： 76543218

7

6

5

4

3

2

1

y /cm x /cm

O

7

6

5

4

3

2

1

87654321y /cm

x /cm O

频数(学生人数)

/分

b ．甲学校学生成绩在8090x ?这一组的是：

80 80 81 81.5 82 83 83 84 85

86

86.5

87

88

88.5

89

89

c ．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）甲学校学生A ，乙学校学生B 的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更

靠前的是______（填“A ”或“B ”）；

（2）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_______________（至少从两个不同的角度

说明推断的合理性）；

（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生

才可以入选．

解：（1）A ． ·······················1 （2）乙． ·······················2 理由：甲校优秀率40%，低于乙校，说明乙校综合展示水平优秀人数更多；

通过图表，估计甲校平均数为79，低于乙校，说明乙校整体水平高于甲校;

甲校中位数为81.25，乙校为84，说明乙校综合展示水平一半的同学高于84分，而甲校一半同学的综合展示水平仅高于81.25.

综合以上三个（两个）理由，说明乙校的综合素质展示水平更高.

(4)

（3）88.5． ·······················6 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+． （1）当2m =时，

①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；

②若点A （2-，1y ），B （2x ，2y ）都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围

是_____；

（2）已知点P （1-，2），将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当3n =时，若抛物线与线段PQ 恰有一个

公共点，结合函数图象，求m 的取值范围． 解：（1）①∵2m =， ∴抛物线为22y x x n =-+．

∵2

12

x -=-

=， ∴抛物线的对称轴为直线1x =． …………………………………………1分 ∵当1x =时，121y n n =-+=-， ∴顶点的纵坐标为1n -． …………………………………………………2分 ②22x <-或24x >． …………………………………………………………4分 （2）∵点P （1-，2）向右平移4个单位得到点Q ， ∴点Q 的坐标为（3，2）． ∵3n =，

∴抛物线为23y x mx =-+．

当抛物线经过点Q （3，2）时，22333m =-+，解得103

m =

． 当抛物线经过点P （1-，2）时，22(1)3m =-++，解得2m =-．

当抛物线的顶点在线段PQ 上时，2

1224

m -=，解得2m =±．

结合图象可知，m 的取值范围是2m ≤-或2m =或10

3

m >． ……………6分

27.如图1，已知∠DAC =90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E . （1）如图1，猜想∠QEP = °；

（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长． 解： (1) ∠QEP = 60 °．………………1分

G

Q

P

E

D

C

B

A

∴ ∠QEP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，

△GBC 为等腰直角三角形． ∵ AC =4，

∴ 22GC =，26GQ =．

∴ 2622BQ =-． ………………7分

28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.

（1）当⊙O 的半径为1时，

○

1分别判断在点D （21，1

4

），E （0，3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有__________； ○

2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程. ○

3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3

23y x =+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．

答案：

（1）①D ,E . …………2分

②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分 （2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离

小于等于3，且不等于1时时，符合题意.

∵ 点P 在直线3y x =-+上，

∴03p x ≤≤. …………6分 （3）09C x ≤≤. …………8分