圆锥曲线练习题及答案

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圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)

圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。

答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。

答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。

答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。

答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。

答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。

答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。

答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。

答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。

答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。

答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。

13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。

答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。

答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3（C） I （D ） 2.设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 ky= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x(B )1 3 (C)—2(D )23•双曲线 2 x C ： Ta 2y_1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为'、3，贝U C的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4D.4•已知椭圆 C ：0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为丄3，过F 2的直线l3交C 与A 、B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则C 的方程为（）2 A. x_3 B. 2x 2彳 xr y 1C.2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知已知双曲线 2 x ~2a 1(a 0,b 0）的一条渐近线平行于直线 I ：y 2x 10,双曲 2 B — 20 2为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（也1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 21 C.— 25 占八、、的焦点， uu uuuOA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则-1^/2 87.抛物线 =X 2的准线方程是4(A) y (B)2(C)) D M 辽.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（）x 1(D)8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为A. 4B. 13C.D.9.设F为抛物线C A, B两点，贝S AB =(A)旦3 2 c:y =3x(B)10.已知抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于(C) 12 (D)7、、3x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲4X0，则X o ()A. 1B. 2C. 4x2 11.已知双曲线—a拆A. 2 B.- D. 82y3、5C. -D.121(a 0)的离心率为2，则a20)与C 交于点P , PF 丄x 轴，所以- 2，所以k=2 ,1选D.3.C4.A5.A••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a2 2A x- y_ 1.5206. B试卷答案 1.B试题分析：如图，在椭圆中， OF c, OB b, OD 2b -b2在 Rt OFB 中，| OF | |OB| |BF | |OD |，且 a 2 b 22c ，代入解得x2 2 a 4c ，所以椭圆的离心率为： e 1，故选B. k焦点F(1,0)，又因为曲线y (k xy2= x ••• F（］,0）,设人（％2,%）弋（『22°2）,%>0, y2<0, B=v OAOB>4OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • （y』2+ 2）（%丫2-1） = 0,即yy = -21 1 1 1 - •…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0cos0=驴！. 4 22 4 2= < 222|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥％+1）（y2 +1）1_______ = 1/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5i14 2 i14 2 2，— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —8 y1 8 y17. A8. C【答SIC【解析】试題分析；由已知得，抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳，且过点故一彳=一2,则左二4,2 2-r 3-0 3戸（2卫＞则直线AF的斜率肛=-- =—「选U-2-24【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率.9. C3设AF = 2m, BF = 2n, F（-,0）.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，43 3 3 32m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n，解得m= —（2+、3）,n 二（2八3）, • m+n =6.4 4 2 2AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.10. A根据抛物线的定义可知AF1 5X0 - - X0，解之得X0 1 .选A4 411.D 注？?：=3.选 BS AAOF2 3由双曲线的离心率可得7a------- 2，解得a 1，选D.a。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线习题及答案

金材教育圆锥曲线未命名一、解答题1．过抛物线L ：x y 42=的焦点F 的直线l 交此抛物线于A 、B 两点， ①求||||||||FB FA FB FA ⋅+；②记坐标原点为O ，求△OAB 的重心G 的轨迹方程.③点),(00y x P 为抛物线L 上一定点，M 、N 为抛物线上两个动点，且满足0=⋅，当点M 、N 在抛物线上运动时，证明直线MN 过定点。

【答案】①||||1||||FA FB FA FB +=⋅②98342-=x y ③证明见解析。

【解析】①由F （1，0），设直线l 的方程为 x y x k y 4)1(2=-=与联立得1,42 0422122212222=+=+∴=+--x x k k x x k x x k x k ……2分由222121242||||1||1||kk x x FB FA x FB x FA +=++=++=+=，得， 1||||||||44||||22=⋅++=⋅FB FA FB FA kk FB FA ，所以 …………4分②设3,3423),(212221y y y k k x x x y x G +=+=+=，则 …………5分由kk x x k x k x k y y 42)()1()1(212121=-+=-+-=+ ……7分化简得轨迹方程为 98342-=x y …………9分 ③证明：由直线MN 的方程不可能与x 轴平行可设直线MN 的方程为),(),,(),,(,002211y x P y x N y x M a my x +=202221214,4,4x y x y x y ===分别相减得202020101014,4y y x x y y y y x x y y +=--+=--由 1002020101-=--⋅--=⋅x x y y x x y y PM 有，∴1440201-=+⋅+y y y y即 016)(2021021=++++y y y y y y （*式） …………11分联立 044422=--⎩⎨⎧=+=a my y x xy amy x 得，消去有01644 )*(442002121=++⋅+-⎩⎨⎧-==+y m y a ay y m y y 得式，代入，所以 44020++=my y a ，代入直线MN 的方程有 44020=++=my y my x 2．如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且3DM DP=.当点P 在圆221x y +=上运动时，（1）求点M 的轨迹方程.（2）过点1(1,)3Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l 的方程．【答案】（1）221(0)9x y x +=≠（2）320x y +-=【解析】【分析】（1）设()()00,,,M x y P x y ，3DMDP =,所以03x x =，()0,D y ,0y y =，003x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线l 的方程为()113y k x =-+，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.【详解】（1）解析:设()()00,,,M x y P x y ，则()0,D y ,0y y =,0DP x =，DM x = ∵3DM DP=,所以03x x =∵003x x y y =⎧⎨=⎩∴003x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩①∵P 在圆221x y +=上，∴2201x y +=，代入①得2219x y +=3,0DM DP DP=∴≠Q,∴0x ≠,∴()22109x y x +=≠.（2）由题意知直线l 的斜率存在，l 过点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为()113y k x =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2211319y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，()22211191899033k x k k x k ⎛⎫⎛⎫++-++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵点11,3⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆内部，∴不论k 取何值，必定有0∆>.由韦达定理知212218619k kx x k -++=-+ ∵()()1122,,,A x y B x y 的中点是11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122x x +=，即2122186219k kx x k-++=-=+，解得13k =-， ∴直线l 的方程为320x y +-=. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．3．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴上，过点F 的直线交抛物线于,A B两点，线段AB 的长度为8， AB 的中点到x 轴的距离为3. （1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m 在y 轴上的截距为6，且抛物线交于,P Q 两点，连结QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.【答案】（1）24x y =; （2）162y x =±+. 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，直接运用抛物线的定义分析求解；（2）依据题设建立直线方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系，建立方程求解：（1）设所求抛物线方程为()()211222(0),,,,x py p A x y B x y =>，则128AB AF BF y y p =+=++=，又1232y y +=，所以2p =. 即该抛物线的标准方程为24x y =.（2）由题意，直线m 的斜率存在，不妨设直线:6m y kx =+，()()3344,,,P x y Q x y ，由26{4y kx x y =+=消y 得24240x kx --=，即34344{·24x x k x x +==-（*）抛物线在点233,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()233342x xy x x -=-，令1y =-，得23342x x x -=，所以2334,12x R x ⎛⎫--⎪⎝⎭，而,,Q F R 三点共线，所以QFFR k k =及()0,1F ，得242343111442x x x x ---=-. 即()()22343444160x x x x --+=，整理得()()22343434344216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦，将（*）式代入上式得214k =，即12k =±，所以所求直线m 的方程为162y x =±+.4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3＋，3－. （1）求椭圆的方程；（2）如果直线 )(R t t x ∈=与椭圆相交于A,B ，若C （－3,0），D(3,0），证明：直线CA 与直线BD 的交点K 必在一条确定的双曲线上；（3）过点Q(1,0 )作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于M,N 两点，与y 轴交于点R ，若RM μλ==,，求证：μλ+为定值.【答案】（1）1922=+y x （2）直线CA 与直线BD 的交点K 必在双曲线1922=-y x 上. （3）49-=+μλ 【解析】(1)由题意可知a+c,和a-c,所以可求出a,c 的值,进而求出b 的值.(2) 依题意可设),(,),(,),(00y x K y t B y t A ，且有19202=+y t ，然后求出CA 、DB 的方程,解出它们的交点再证明交点坐标是否满足双曲线1922=-y x 的方程即可.(3) 设直线l 的方程为)1(-=x k y ，再设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，然后直线方程与椭圆C 的方程联立，根据λ=，可找到)1(33x x -λ=,331x x -=λ,同理441x x -=μ,则443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++,然后再利用韦达定理证明（1）由已知⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+223223c a c a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==223c a ，1222=-=c a b ，所以椭圆方程为1922=+y x 4分（2）依题意可设),(,),(,),(00y x K y t B y t A ，且有19202=+y t ，又)3(3:0++=x t y y CA ，)3(3:0---=x t y y DB ，)9(922202---=x t y y ，将19202=+y t 代入即得19,)9(912222=--=y x x y 所以直线CA 与直线BD 的交点K 必在双曲线1922=-y x 上. 9分（3）依题意，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)1(-=x k y ，设),0(,),(,),(54433y R y x N y x M ，则N M ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=19)1(22y x x k y ，消去y 整理得9918)91(2222=-+-+k x k x k ，所以224322439199,9118k k x x k k x x +-=+=+，① 因为RM λ=，所以()[]),(0,1),(33533y x y y x -=-λ，即⎩⎨⎧-=--=35333)1(y y y x x λλ，因为l 与x 轴不垂直，所以13≠x ，则331x x -=λ，又μ=，同理可得441x x -=μ，所以434343434433)(1211x x x x x x x x x xx x ++--+=-+-=+μλ由①式代人上式得49-=+μλ 5．在平面直角坐标系xOy 中， ,M N 是x 轴上的动点，且228OM ON +=，过点,M N分别作斜率为22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）直线AB 的斜率为定值34-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)设(),P m n，直线):PM y n x m -=-，令0y =，得,0M m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，同理得,0N m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，根据22228OM ON m m ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r 化简可得结果；(Ⅱ) 设,,(0)AQ QC BQ QD λλλ==>u u u r u u u r u u u r u u u r,可得1,1A C A C x x y y λλλλ=+-=+-①，同理1,1B D B D x x y y λλλλ=+-=+-②，以上两式结合点差法，可得34C D C D y y x x -=--.试题解析：(Ⅰ)设(),P m n ，直线():2PM y n x m -=-，令0y =，得,0M m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭直线):PN y n x m -=-，令0y =，得,0N m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴22222222828133343n m n OM ON m n m n m ⎛⎫⎛⎫+=-++=+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r . ∴曲线E 的方程是22143x y +=； (Ⅱ)∵//AB CD，设,,(0)AQ QC BQ QD λλλ==>u u u r u u u r u u u r u u u r,()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,则()()1,11,1A A C C x y x y λ--=--,即1,1A C A C x x y y λλλλ=+-=+-①，同理1,1B D B D x x y y λλλλ=+-=+-②将()(),,,A A B B A x y B x y ，代入椭圆方程得2222143{143A AB B x y x y+=+=,化简得()()()()34A B A B A B A B x x x x y y y y +-=-+-③ 把①②代入③，得()()()()()()()()()3223422422C D C D C D C D C D C D x x x x x x y y y y y y λλλλλ+--+-=-+-+++-将()(),,,C C D D C x y D x y ，代入椭圆方程，同理得()()()()34C D C D C D C D x x x x y y y y +-=-+-代入上式得()()34C D C D x x y y -=--.即34C D C D y y x x -=--，∴直线AB 的斜率为定值34-. 【方法点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线的斜率、韦达定理、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）若()()1122,,,A x y B x y 为曲线C 上的两点，记11,2y m x ⎛⎫= ⎪⎝⎭v， 22,2y n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且m n ⊥v v，试问AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 2214y x +=；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，由两圆相内切，得122OM FP =-，又12OM PF ='，从而得4PF PF FF +=>''，由椭圆定义得椭圆方程；（2）当AB x ⊥轴时，易得1AOB S ∆=，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆联立得()2224240k x kmx m +++-=，由0m n ⋅=v v，得121240y y x x +=，结合韦达定理得2224m k =+，由1212AOB S m x x ∆=⋅-利用韦达定理求解即可. 试题解析：（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切， ∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，∴点P 的轨迹是以,F F '为焦点的椭圆，其中24,2a c ==2,a c ==，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=. （2）当AB x ⊥轴时，有12x x =， 12y y =-，由m n ⊥v v，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =1y =∴11112122AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由22{ 14y kx my x =++=得()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+， 212244m x x k -=+，由0m n ⋅=v v，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，∴2224m k =+，∴1212AOBS m x x ∆=⋅-12=21m==，综上所述， AOB ∆的面积为定值1.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C :222x y +=上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)点P 是圆C 上一点，过点P 作圆C 的切线交椭圆E 于A ，B 两点，求|AB |的最大值.【答案】（1）22142x y +=；（2）2 【解析】【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，由于椭圆焦点和短轴端点都在圆C :222x y +=上，可得到b ，c 的值，即可求出椭圆方程。

圆锥曲线高考真题专练(含答案)

（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线基础训练题及答案

圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为（）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为（）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是（） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是（）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是（）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为（）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为（）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是（）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是（）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是（）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线专题20题练习含答案

1．如图，曲线22:1(0,0)x y E m n m n+=>>与正方形L（1）求m n +的值；（2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在这AB 成等差数列？若存在，求出实数b样的曲线E ，使得CA ，的取值范围；若不存在，请说明理由．2.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．3．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若()11,A x y ，()22,B x y 为曲线C ，且⊥m n ，试问AOB △的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ= ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.5．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=.（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围.6. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.2:4E x y =F (),0P a x（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.7.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点()3,04M m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭作斜率不为0的直线，交椭圆E 于,A B 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PB ⋅ 为定值．（1）求椭圆E 的方程；（2）求OAB △面积的最大值．9．已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：12（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数的取值范围． 10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；0a ≠P l E l P 1l 2l 1l 2l E A B C D FAB ∆FCD ∆a(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.11. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围；（2）求|||PA PQ ⋅的最大值.12. 如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =CD =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．13.(本小题满分12分）已知椭圆C: 12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22，过右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，0为坐标原点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设经过点M(0,2)作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值及相应的直线l 的方程.1．【答案】（1）16m n +=；（2【解析】（1，得()28160n m x mx m mn +-+-=，有()()2644160m m n m mn ∆=-+-=，···········2分化简的()4640mn m n mn +-=．又0m >，0n >，所以0mn >从而有16m n +=；···········4分（2）由2AB CA BD =+，AB =···········5分，得()2220n m x bmx mb mn +++-=，由2224440nmb n m m n ∆=-++>可得216b m n <+=，且122bmx x n m-+=+，212mb mn x x n m -=+，···········7分···········8分 323=，···········10分符合216b m n <+=，故当实数b 时，存在直线和曲线E ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．···········12分 2.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=--1(,)2PF x y =-- ，(,2)PH PF x y +=-- ，()0HF PH PF += ，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+ MA MB ⊥ ，0MA MB ∴= ，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+，过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+= 01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．3．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ， ∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =1y =∴11112122AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分 ∴2224m k =+，12m21m==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分5.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵Q F P F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(kk ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616kk -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得，=2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 6.解：（1）设切点为则. ∴点处的切线方程为. ∵过点，∴，解得或. 当时，切线的方程为或. （2）设直线的方程为，代入得， ①，得， ②由题意得，直线的方程为，同理可得，即， ③ ②×③得，∴.④设，，则，.∴.点到的距离为，200,3x Q x ⎛⎫⎪⎝⎭002x x l x yk ===Q ()200042x x y x x -=-l P ()200042x x a x -=-02x a =00x =0a ≠l 0y =20ax y a --=1l ()y k x a =-24x y =2440x kx ka -+=216160k ka ∆=->()0k k a ->2l ()y k x a =--()0k k a --->()0k k a +>()2220k k a ->22a k <()11,A x y ()22,B x y 224x x k +=224x x ka=AB =FAB d =∴的面积为同理的面积为由已知得，化简得， ⑤欲使⑤有解：则，∴.又，得，∴. 综上，的取值范围为或或.7.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：224x y +=上，则2244x y +=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=．（2）由（1）知，E的方程为2214x y +=，因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ，所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=，设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22814kx k =-+，12|||BP x x =-=由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >，FAB ∆41S =+FCD ∆41S =-4141+=-()2221a k -=22a <a <22212a k k=-<21k ≠21a ≠a 1a <<-11a -<<1a <<设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，则||BT ==10-=，即221(14(14k k +=+所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=，由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，故22122111198188(81)k k k k +==+--．因为20k >，所以21810k ->，因此22119188(81)8k k =+>-，又因为0k >，所以k >，又因为1k k ≠，所以2222180k k k k ++-≠，所以428210k k --≠，又因为0k >，解得2k ≠，所以)k ∈+∞ ，综上所述，k的取值范围为(,()-∞+∞ ．8．（本小题满分12分）【答案】（1）2212x y +=；（2）．【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分又椭圆Ea =···········3分于是有2221b ac ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=．···········4分（2）设11,A x y （），22,B x y （），直线的方程为：x ty m =+，由2222x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+，···········6分 115(,)4PA x y =- ，225(,)4PB x y =- ， 121255()()44PA PB x x y y ⋅=--+ 2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+222225(2)(2)5722216m m t m m m t -+-+-=+--+．···········8分要使PA PB ⋅ 为定值，则22522212m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分当1m =时，2122|)2t AB y y t +==+﹣，···········10分点O 到直线AB的距离d =，···········11分OAB △面积1s ==． ∴当0t =，OAB △··········12分 9．【答案】（1）1C ：22143x y +=．22:4C y x =；（2）,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x =≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求22:4C y x =．·········2分设()2222:10x y C a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭代入得： 222412614⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩=a ab ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()()22284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k+=-+，则122634m y y k +=+，·········7分所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．·········8分又线段MN 的垂直平分线的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········9 由点P 在直线上，得22314134348m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24830k km ++=，所以()21438m k k =-+，·········10分由①得()2222434364k k k +<+，所以2120k >，即k <或k >，所以实数的取值范围是,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分 10.(1)依题意： PF 1 + PF 2 − F 1F 2 2=r ,则 PF 1 + PF 2 − F 1F 2 =4−2 3，即2a −2c =4−2 3又c a = 32,联立解得：a =2,c = 3，故b =1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1 (2)设, 联立直线和椭圆的方程得：, 当时有：由得：,即, 整理得：,所以, 化简整理得：，代入得：, 解之得：或, 点到直线的距离, 设，易得或，则, 当时；当时，, 若，则；若，则，当时，综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.11.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-.（2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716. 12.解：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，1230k k k k +=+=，即34k k =-2l ∴垂直于x轴，得2AB a ==，223b CD a ==得a b =，∴椭圆E 的方程为：22132x y +=．（Ⅱ）焦点12,F F 坐标分别为()()1,0,1,0-当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为12,m m ，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2222111236360m x m x m +++-= 由求根公式并化简得：211221623m x x m +=-+或2112213623m x x m -⋅=+ 121212112112121212111422y y x x x x m k k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 同理：2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+ ，()()1212212212442022m m m m m m m m -=-⇒⋅+-=--，由题意知：210m m -≠，1220m m ∴⋅+=．设(),P x y ，则+2=01+1y y x x ⋅-，即()22112y x x +=≠± 当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，使得PM PN +为定值，定值为。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题目(含答案解析)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2．。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程；（2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ，所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈．综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++，所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++，即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==，即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++．因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==，化简得4259m=，所以m =，所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=．（3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =．代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =，联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ．所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =，由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==；（2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件；设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+，即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-，当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==，所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=，由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭，即()200022110kx x x m-++-=，可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点，所以()0,4F ，则42p=，解得8p =，故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ，所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =，设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =，故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-，而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-，且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

圆锥曲线练习题含答案

2y 1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，贝UP到另一焦点距离为16P到点M （1,0）及点N （3,0）的距离之差为A .双曲线B .双曲线的一支4•设双曲线的半焦距为C，两条准线间的距离为A . 2 B. 325.抛物线y =10x的焦点到准线的距离是5 匚A .B . 526.若抛物线y2 =8x上一点P到其焦点的距离为A . （7, _、14）B . （14, _、,14）2 27.如果x - ky =2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A . 0, ：：B .0,2C . 1, D.0,12 x&以椭圆—— 2y=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（)25 162 2 2 2 2 2 2 2x A .y =1 x y ’B . 1 C.x y -1或x y =1 D.以上都不对16 48 9 27 16 48 9 279.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ , F1是另-一焦点，若/PF1Q ，则双曲线的离心率2e等于（)A. 2 -1 B . ■. 2 C . 2 1D.2 22 210 . F1,F2是椭圆— - 1的两个焦点,9 7为（)A. 77B .—42 2、选择题圆锥曲线专题练习2.A. 2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为2 2x y19 162 2 2x y xB. 1C.25 16C. 5D. 718，焦距为6，则椭圆的方程为2 2 2y 亠x y ,1或 1 D .以上都不对25 16 16 25C.两条射线D. 一条射线d，且c = d，那么双曲线的离心率e等于（）C . 2D . 、3( )15C .—D. 1029，则点P的坐标为( )C . (7,2 14)D . (-7, _2.i4)2，则点P的轨迹是( ）1•已知椭圆2 x253. 动点A为椭圆上一点，且/ AF1F^ 450，则△ AF1F2的面积7、52x y -2x 6y 9=0的圆心的抛物线的方程（）C . y 2 = -9x 或 y = 3x 2D . y = _3x 2 或 y 2 = 9x11.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆A . y = 3x 2 或 y 二 -3x 2B . y = 3x 22设AB 为过抛物线y =2px （p 0）的焦点的弦，则 AB 的最小值为（）pA .B . pC . 2pD .无法确定2若抛物线y 2 =x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）A .(需B . y . (]]) D .(占4 4 8 4 4 4 8 4x 2 y 2椭圆1上一点P 与椭圆的两个焦点 F 1、F 2的连线互相垂直，则△ PF 1F 2的面积为49 24A . 20B . 22C . 28D . 24若点A 的坐标为（3,2） , F 是抛物线y 2 =2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使 MF|+|MA 取得那么k 的取值范围是（（ 3 A .-2填空题=1的离心率为，则它的长半轴长为2双曲线的渐近线方程为 x -2^0，焦距为10，这双曲线的方程为2 2若曲线 — -1表示双曲线，则k 的取值范围是4+k 1-k抛物线y 2 =6x 的准线方程为 ____ . _____2 2椭圆5x ky =5的一个焦点是（0,2），那么k 二12. 13. 14. 15. 16.17.18.19. 20. 21 . 22. 23.最小值的M 的坐标为（ A . 0,0'2,1； <2丿C . 1「2D . 2,2x 2与椭圆一4共焦点且过点 Q （2,1）的双曲线方程是（2xA .22-y2 x=1 B .4 y 2 =122x y C .1若直线y =kx 2与双曲线 x 2=6的右支交于不同的两点,A .(.15 . 15 ，—33V15(03•、15,0) 3•. 15厂1 )抛物线2二2x 上两点 A(X 1,yJ 、B(X 2,y 2)关于直线 y=Xm 对称，且花x 二-丄，则m 等于2x 2 my 2 若椭圆21 =1的离心率为一，则k 的值为225.双曲线8kx 2 — ky 2 =8的一个焦点为(0,3)，则k 的值为 ____________________26. 若直线x-y =2与抛物线y 2 =4x 交于A 、B 两点，则线段 AB 的中点坐标是 ________________227. 对于抛物线y =4x 上任意一点Q ，点P(a,0)都满足PQ 3 a ，则a 的取值范围是__2 2x y29 .设AB 是椭圆— 2 =1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点,a b则 k AB 1 kOM -x 2y 230•椭圆1的焦点F 1、F 2，点P 为其上的动点，当/ F 1 P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范9 4围是 __________________ 。

(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)

一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝时，的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(

高考经典圆锥曲线习题(含答案)

高考圆锥曲线试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为（）2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（）（A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163B ．83C ．316D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P （0，-4）作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且＝。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

全国名校2024届高三年级专项(圆锥曲线小题)练习卷(附答案)

全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==，故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。

圆锥曲线专题40大题练习（含答案）

圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。

〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。

〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。

的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。

4B。

5C。

7D。

82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。

若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。

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