高三数学综合练习2

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高三数学综合练习题二

高三数学综合练习题二在高三数学的学习过程中，综合练习题是提高学习效果、加强对知识点理解和应用的重要途径。

通过多次的练习，我们能够更加熟练地掌握各个知识点，提高解题能力。

下面将为大家带来一套高三数学综合练习题，希望能够帮助大家巩固知识，提高成绩。

第一题：已知函数f(x)=2x+1，求f(3)的值。

解析：根据题目已知条件可知，函数f(x)=2x+1，我们需要求出f(3)的值。

将x=3代入函数f(x)中，得到f(3)=2(3)+1=7。

因此，f(3)的值为7。

第二题：已知等差数列{an}满足a1=3，d=4，求a5的值。

解析：由等差数列的通项公式可知，an=a1+(n-1)d。

根据题目已知条件可知，a1=3，d=4，我们需要求出a5的值。

将n=5代入通项公式中，得到a5=3+(5-1)4=3+4*4=19。

因此，a5的值为19。

第三题：已知等差数列{bn}满足b1=5，d=-2，求n满足bn=-15的最小值。

解析：由等差数列的通项公式可知，bn=b1+(n-1)d。

根据题目已知条件可知，b1=5，d=-2，我们需要求出满足bn=-15的最小值。

将bn=-15代入通项公式中，得到-15=5+(n-1)(-2)，化简得到n=8。

因此，满足bn=-15的最小值为n=8。

第四题：已知函数g(x)=x^2-4x+3，求解方程g(x)=0的解。

解析：根据题目已知条件可知，函数g(x)=x^2-4x+3，我们需要求解方程g(x)=0的解。

将g(x)置为零，得到x^2-4x+3=0。

通过配方法可以将方程化简为(x-1)(x-3)=0，因此方程的解为x=1或x=3。

第五题：已知函数h(x)=2x^2-5x-3，求h(x)的最小值。

解析：为求函数的最小值，我们可以利用最值点的性质。

对于一元二次函数h(x)=2x^2-5x-3，最值点的横坐标为x=-b/2a，即x=-(-5)/(2*2)=5/4。

将x=5/4代入h(x)中，得到h(5/4)=2*(5/4)^2-5*(5/4)-3=-5/8-25/4-3=-72/8=-9。

高三文科数学小综合专题练习--应用问题

高三文科数学小综合专题练习——应用问题一、选择题1. 某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍.10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数是A.640B.1280C.2560D.51202. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区的时间为A.5.0小时B.1小时C.5.1小时D.2小时 3. 客车从甲地以h km 60的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以h km 80的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中，正确的是4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t （分钟）与打出电话费s （元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差A.10B.20C.30D.340二、填空题6. 某人向东走了x 千米，然后向右转0120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好tOB As 50 100 15013千米，那么x 的值是___________.7. 里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅是001.0，则此次地震的震级为_________;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.8. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分 568.0 50及以下的部分 288.0 超过50至200的部分 598.0 超过50至200的部分318.0超过200的部分 668.0 超过200的部分 388.0若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9．有一批材料可以建成m 200的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)10．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增00x ，八月份销售额比七月份递增00x ，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．三、解答题11. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的C B A ,,三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求DEF ∠的余弦值。

第7章立体几何专练14—小题综合练习(二)-2021届高三数学一轮复习

小题综合练习（二）一、单选题1．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( ) A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确；对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误；对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误；对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误．故选：A ．2．鳖臑bi ē n ào 是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，，，则三棱锥的外接球的体积是 A ．B ．C ．D ．解：如图，由，，且，可得平面，则，又，且，，)A BCD -AB BC ⊥AB BD ⊥BC CD ⊥6AB =3BC =2DC =A BCD -()493π3432π49π3436πAB BC ⊥AB BD ⊥BCBD B =AB ⊥BCD AB CD ⊥BC CD ⊥AB BC B =CD AC ∴⊥则为三棱锥的外接球的直径．，，，，故三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的外接球的体积是．故选：．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为A ．17斛B ．25斛C ．41斛D ．58斛解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，则，，米堆的体积为（尺，米堆的斛数为（斛．故选：．4．已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到AD A BCD -6AB =3BC =2DC =7AD ∴=A BCD -72A BCD -347343()326V ππ==D ()r 12104r π⨯=20r π=∴2211120()666.674312V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯≈3)∴66.67411.62≈)C S ABCD -ABCD //AD BC 120BAD ∠=︒SAD ∆SA AB ==P S ABCD -P平面的距离为，若平面平面，则的最大值为ABCD解：依题意，，取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，是的外心，作平面，平面，则是人锥的外接球的球心，且，，设四棱锥的外接球半径为，则，则，当四棱锥的体积最大时，．故选：．5．已知正四面体的棱长为，，分别是，上的点，过作平面，使得，均与平行，且，到的距离分别为2，4，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为A ．B ．C ．D ．ABCD d SAD ⊥ABCD d ()12123MBC π∠=BC E E ABCD F SAD ∆OE ⊥ABCD OF ⊥SAB O S ABCD -3OF DE ==2AF =S ABCD -R 22213R SF OF =+=1OE DF ==∴S ABCD -1max d R OE =+=A A BCD -M N AC AD MN αAB CD αAB CD αA BCD -α()11π18π26π27π解：将正四面体补形成棱长为6的正方体，则的外接球球心即为正方体的中心，故球的半径，因为，均与平行，故与面，平行，到面，的距离分别为2和4，因为到面的距离为3，故此时到的距离为1，故被球所截圆半径从而截面圆的面积为．故选：．6．已知长方体，，，是的中点，点在长方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是A ．6B ．C ．D ．9解：如图所示，，，，，分别为，，，，的中点，则，，A BCD -APBQ ECFD -A BCD -O O R ==AB CD ααAPBQ ECFD αAPBQ ECFD O APBQ O ααO r 226r ππ=C 1111ABCD A B C D -2AB AD ==14AA =M 1BB P //MP 11AB D P ()E F G H N 11B C 11C D 1DD DA AB 11////EF B D NH 1////MN B A FG所以平面平面，所以动点的轨迹是六边形及其内部．因为，，所以，，到，所以．故选：．7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M，N 分别为棱AB ，11C D 的中点．平面α过1B ，M 两点，且//BN α．设平面α截正方体所得截面面积为S ，且将正方体分成两部分的体积比为12:V V ，有如下结论：①34S =，②98S =，③12:1:3V V =，④12:7:17V V =，则下列结论正确的是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：取AD 的中点H ，连结HM ，1HD ，11B D ，由题意得//BD MH ，BD ⊂/平面11HMB D ，MH ⊂平面11HMB D ，//MEFGHN 11AB D P MEFGHN 2AB AD ==14AA =EF HN ==EM MN FG GH ===GM =E GM 229EFGH S S ===梯形D//BD ∴平面11HMB D ，∴平面α即平面11HMB D ，∴截面11HMB D 为等腰梯形，由已知可得11B D =2MH =，11MB HD ==其面积为19(2248S =⨯=．故选：D ．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，AP 2AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是( )A ．92π B ． C ．18π D ．40π解：设ABC ∆的外接圆半径为r ，外接圆心为1O ，过点1O 做底面ABC 的垂线，则球心在垂线上，设球心为O ，连接1OO ，1AO ，1CO ，得到Rt △1OO C ，如图所示：120BAC ∠=︒，2AB AC ==，∴由余弦定理，得222cos1202AB AC BC AB AC+-︒=，解得BC =，在ABC ∆中由正弦定理，得2sin120BCr =︒，2r ∴=，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则在Rt △1OO C ，中，OCR =，112OO PA ==12CO r ==， ∴222R r =+，∴292R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积是2944182R ππ=⨯=，故选：C ．9．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和，且长为的棱异面，则的取值范围是A． B ． C ．D ．解：设四面体的底面是，，，顶点为，在三角形中，因为两边之和大于第三边可得：（1）取中点，是中点，直角三角形全等于直角，所以在三角形中，a a a ()BCD BC a =1BD CD ==A AD =BCD 02a <<BC E E ACE DCE AED AE ED =两边之和大于第三边得（负值0值舍）（2）由（1）（2）得．另解；可设，，，可得、为等腰直角三角形，可得，即有，故选：．10．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是A ．B ．平面C ．与平面所成的角等于与平面所成的角∴0a <0a <<AD a =1AB AC BD CD ====BC =ABC ∆BCD∆AE DE ==0a <<A S ABCD -SD ⊥ABCD ()AC SB ⊥//AB SCD SA SBD SC SBDD ．与所成的角等于与所成的角解：底面，底面为正方形，连接，则，根据三垂线定理，可得，故正确；，平面，平面，平面，故正确；底面，是与平面所成的角，是与平面所成的，而，，即与平面所成的角等于与平面所成的角，故正确；，与所成的角是，与所成的角是，而这两个角显然不相等，故不正确；故选：．二、多选题11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，下列结论中正确的是( )AB SC DC SA SD ⊥ABCD ABCD ∴BD BD AC ⊥AC SB ⊥A //AB CD AB ⊂/SCD CD ⊂SCD //AB ∴SCD B SD ⊥ABCD ASO ∠SA SBD CSO ∠SC SBD SAO CSO ∆≅∆ASO CSO ∴∠=∠SA SBD SC SBD C //AB CD AB ∴SC SCD ∠DC SA SAB ∠DDA ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与平面11BCC B 垂直C ．EF 与1CD 所成的角为45︒D ．//EF 平面ABCD解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2E ，1，1)，(1F ，2，1)，(2B ，2，0)，1(2B ，2，2)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(1EF =-，1，0)，1(0BB =，0，2)，∴10EF BB =，EF ∴与1BB 垂直，故A 正确；(1EF =-，1，0)，(0CB =，2，0)，2EF CB =，EF ∴与CB 不垂直，EF ∴与平面11BCC B 不垂直，故B 错误；(1EF =-，1，0)，1(0C D =，2-，2)-，1111cos 2||||2EF C D EF C D EF C D ∴<>===-，EF ∴与1C D 所成的角为60︒，故C 错误；(1EF =-，1，0)，平面ABCD 的法向量(0n =，0，1)，0EF n =，EF ⊂/平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，故D正确．故选：AD ．12．如图，四棱锥P ABCD∆是等边三角形，底面ABCD -中，平面PAD⊥底面ABCD，PAD是菱形，且60∠=︒，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有BAD()A．直线PB与平面AMC平行B．直线PB与直线AD垂直C．线段AM与线段CM长度相等D．PB与AM所成角的余弦值为4解：如图，连接MN，可知//PB面AMC，故A正确；MN PB，由线面平行的判定定理得//在菱形ABCD中，60∆为等边三角形．∠=︒，则BADBAD设AD的中点为O，连接OB，OP，则OP AD=，⊥，又OP OB O⊥，OB AD由线面垂直的判定定理得出AD⊥平面POB，PB⊂平面POB，AD PB∴⊥，故B正确；平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB ∆为直角三角形，设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=12MN PB =在MAN ∆中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=故异面直线PB 与AM ．在MAN ∆中，222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．13．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，P 是平面11DCC D 内不同的两点，N ，Q 是平面ABCD 内不同的两点，且M ，P ，N ，Q CD ∉，E ，F 分别是线段MN ，PQ 的中点．则下列结论正确的是( )A ．若//MN PQ ，则//EF CDB ．若E ，F 重合，则//MP CDC ．若MN 与PQ 相交，且//MP CD ，则NQ 可以与CD 相交 D ．若MN 与PQ 是异面直线，则EF 不可能与CD 平行解：若//MN PQ ，则M 、N 、P 、Q 四点共面γ，当MN PQ <时，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，则三条交线交于一点O ，则CD 与平面γ交于点O ，则EF 与CD 不平行，故A 错误；若E 、F 两点重合，则//MP NQ ，M 、N 、P 、Q 四点共面γ，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，由//MP NQ ，得////MP NQ CD ，故B 正确；若MN 与PQ 相交，确定平面γ，平面11DCC D 、平面ABCD 、平面γ两两相交有三条交线，分别为MP 、NQ 、CD ，//MP CD ，////MP NQ CD ∴，则NQ 与CD 不可能相交，故C 错误；当MN 与PQ 异面时，如图，连接NP ，取NP 中点G ，连接EG ，FG ，则//EG MP ，MP ⊂平面11DCC D ，EG ⊂/平面11DCC D 、则//EG 平面11DCC D ，假设//EF CD ，CD ⊂平面11DCC D 、EF ⊂/平面11DCC D ，//EF ∴平面11DCC D ，又EFEG E =，∴平面//EFG 平面11DCC D ，同理可得，平面//EFG 平面ABCD ，则平面11//DCC D 平面ABCD ，与平面11//DCC D 平面ABCD CD =矛盾，则假设错误，EF 不可能与CD 平行，故D 正确．故选：BD ．14．已知空间中两条直线，所成的角为，为空间中给定的一个定点，直线过点a b 50︒P l P且与直线和直线所成的角都是，则下列选项正确的是 A ．当时，满足题意的直线不存在B ．当时，满足题意的直线有且仅有1条C ．当时，满足题意的直线有且仅有2条D ．当时，满足题意的直线有且仅有3条解：过点作，，则相交直线、确定一平面．与夹角为或，设直线与、均为角，作面于点，于点，于点，记，或，则有．因为，所以．当时，由，得；当时，由，得．故当时，直线不存在；当时，直线有且仅有1条；当时，直线有且仅有2条；当时，直线有且仅有3条；当时，直线有且仅有4条；当时，直线有且仅有1条．a b (090)θθ︒<︒()15θ=︒l 25θ=︒l 40θ=︒l 60θ=︒l O 1//a a 1//b b 1a 1b α1a 1b 50︒130︒OA 1a 1b θAB ⊥αB 1BC a ⊥C 1BD b ⊥D 1AOB θ∠=22(25BOC θθ∠==︒65)︒12cos cos cos θθθ=1090θ︒︒20cos cos θθ225θ=︒0cos cos25θ︒2590θ︒︒265θ=︒0cos cos65θ︒6590θ︒︒25θ<︒l 25θ=︒l 2565θ︒<<︒l 65θ=︒l 6590θ︒<<︒l 90θ=︒l故，，均正确，错误．故选：．三、填空题15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB BC ==，11CC =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为．解：连接1B C ，交1BC 于点O ，则点O 为1B C 的中点，取AC 的中点D ，连接BD 、OD ，1//OD AB ∴，BOD ∴∠即为异面直线1AB 与1BC 所成角．120ABC ∠=︒，2AB BC ==，11CC =，1BD ∴=，112OD AB ==112OB BC = 在BOD ∆中，由余弦定理知，2225513cos 25OB OD BD BOD OB OD +-+-∠===．故答案为：35．A B C D ABC16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ，1F 分别为11A B ，11A C 的中点，则下列说法正确的是．①1//BE 平面1AFC ②1//DF 平面1AE C ③1CE ⊥平面1?ABF ④1A C ⊥平面11AF D解：由正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ，1F 分别为11A B ，11A C 的中点，知：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，对于①，(2B ，2，0)，1(2E ，1，2)，(2A ，0，0)，1(1F ，1，2)，(0C ，2，0)，1(0BE =，1-，2)，1(1AF =-，1，2)，(2AC =-，2，0)，设平面1AFC 的法向量(n x =，y ，)z ，则120220n AF x y z n AC x y ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，0)， 110BE n =-≠，1BE ∴与平面1AFC 不平行，故①错误；对于②，(0D ，0，0)，1(1DF =，1，2)，1(0AE =，1，2)，(2AC =-，2，0)，设平面1AE C 的法向量(m a =，b ，)c ，则120220m AE b c m AC a b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1c =，得(2m =-，2-，1)，12DF m =-，1DF ∴与平面1AE C 不平行，故②错误；对于③，1(2CE =，1-，2)，(0AB =，2，0)，12CE AB =-，1CE ∴与平面1ABF 不垂直，故③错误；对于④，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2，2)-，1(1AF =-，1，2)，1(2AD =-，0，2)，112240A C AF =+-=，11440A C AD =-=，11AC AF ∴⊥，11AC AD ⊥，又11AF AD A =，1A C ∴⊥平面11AF D ，故④正确．故答案为：④．17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ= ．解：如图，设P ，Q 分别是棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即三棱柱11DFC D EC -的外接球，三棱柱11DFC D EC -是直三棱柱，∴其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，记直线OC 与MN 所成角为θ，则θ的最小值是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则2EQ =，1ED =△11EC D 为等腰三角形，∴△11EC D外接圆直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠，则54GE =，53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，1(0D ，0，2)，(0C ，2，0)，(2F ，1，0)，(O 34，1，1)， 1(0DD =，0，2)，(2DF =，1，0)，3(4OC =-，1，1)-，设平面1DD EF 的法向量(n x =，y ，)z ，则12020n DD z n DF x y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，2-，0)，则||sin ||||5n OC n OC θ==tan 42θ=．∴当θ最小时，tan θ．．18．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为高为其内切球与面PAB 切于点M ，球面上与P 距离最近的点记为N ，若平面α过点M ，N 且与AB 平行，则平面α截该正四棱锥所得截面的面积为．解：取AB ，CD 中点Q ，R ，连结PQ ，PR ，QR ，取QR 中点S ，连结PS ，则RQ AB ⊥，S 为正方形ABCD 的中心，四棱锥P ABCD -是正四棱锥，PS ∴⊥平面ABCD ，PS ∴=在Rt PSQ ∆中，PQ同理，PR =PQR ∴∆是正三角形，∴正四棱锥P ABCD -内切球的球心为正PQR ∆的内心O ，内切球的半径是正PQR ∆的内切圆半径为内切球与平面PAB 的切点M 为正PQR ∆内切圆与直线PQ 的切点，M ∴为PQ 中点，球面上与P 距离最近的点为连结OP 与球面的交点，即在OP 之间，且ON =N ∴为OP 中点，连结MN 并延长交PR 于I ，平面α过M ，N ，I 与直线AB 平行，设平面α分别与平面PAB ，平面PCD 交于EF ，GH ，AB ⊂平面PAB ，//EF AB ∴，又//AB CD ，CD α∴⊂/，//CD α∴，同理可证//GH CD ，//EF GH ∴，连结GF ，HE ，则梯形EFGH 为所求的截面， RQ AB ⊥，PS AB ⊥，PSRQ S =，AB ∴⊥平面PQR ，IM ⊂平面PQR ，AB IM ∴⊥，//AB EF ，EF IM ∴⊥，连结OQ ，则OQ 为POS ∠的角平分线，30PQO ∴∠=︒，M ，N 是PQ ，PO 的中点，//MN OQ ∴，30PMI PQO ∴∠=∠=︒，而60MPI ∠=︒，90PIM ∴∠=︒，cos30MI PM ∴=︒=sin304PRPI PM =︒==，又//HG CD ，4CDHG ∴==，∴截面梯形EFGH 的面积为11()22S MI EF GH =+=⨯故答案为：。

高三数学综合练习题

高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。

2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。

3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。

4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。

5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。

综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。

2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。

3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。

4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。

综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。

2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。

3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。

4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。

综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。

2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习

2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度2．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（）A ．B ．C ．D ．23．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．16．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，7．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，8．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（）AB ．C ．D ．10．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学二轮复习同步练习2知识归纳

专题21．(2011·北京海淀)已知函数f (x )＝(ax －1)e x，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，所以当a ＝1时，f ′(x )＝xe x，令f ′(x )＝0，则x ＝0，所以f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝－1.(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x )≥0，对x ∈(0,1)恒成立．又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立即可，解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，则要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≥0g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥02a －1≥0成立，解得a ≥1. 解法二：因为x >0，所以只要a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，所以只要a ≥g (0)＝10＋1＝1.2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x 人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－81100x万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ [解析] 设重组后，该企业年利润为y 万元，依题意得y ＝(2000－x )(3.5＋1－81100x )－0.5x＝－5(x ＋324x)＋9000.81， ∴y ＝－5(x ＋324x)＋9000.81，(0<x ≤100且x ∈N )， y ＝－5(x ＋324x)＋9000.81 ≤－5×2324＋9000.81＝8820.81， ∴当且仅当x ＝324x，即x ＝18时取等号，此时y 取得最大值．即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．3．(2011·皖南八校)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N *，b ∈N ，c ∈Z . (1)若b >2a ，且f (sin x )(x ∈R )的最大值为2，最小值为－4，试求函数f (x )的最小值； (2)若对任意实数x ，不等式4x ≤f (x )≤2(x 2＋1)恒成立，且存在x 0使得f (x 0)<2(x 20＋1)成立，求c 的值．[解析] (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，对称轴方程为x ＝－b 2a .∵b >2a ，且a ∈N *，b ∈N ，∴－b2a<－1. ∵sin x ∈[－1,1]，∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[－1,1]上为增函数．于是f (sin x )的最大值为f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，最小值为f (－1)＝a －b ＋c ＝－4，由此可得b ＝3.∵b >2a ，且a ∈N *， ∴a ＝1，从而c ＝－2.∴f (x )＝x 2＋3x －2＝(x ＋32)2－174.即f (x )的最小值为－174.(2)令x ＝1，代入4x ≤f (x )≤2(x 2＋1)得 f (1)＝4，即a ＋b ＋c ＝4.从而b －4＝－a －c . 又由f (x )≥4x ，得ax 2＋(b －4)x ＋c ≥0. ∵a >0，故Δ＝(b －4)2－4ac ≤0.即(－a －c )2－4ac ≤0，(a －c )2≤0.从而a ＝c . ∵b ≥0，∴a ＋c ≤4,2c ≤4. 又a ＝c ∈N *，∴c ＝1或c ＝2.当c ＝2时，b ＝0，f (x )＝2x 2＋2.此时x 0不满足f (x 0)<2(x 20＋1)．故c ＝2不符合题意，舍去．所以c ＝1，经检验c ＝1满足题意．4．(2011·安徽理，16)设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． [解析] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.(1)当a ＝43f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.5．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x －12a －4(a ∈R )． (1)证明：曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f (x )在x ＝x 0处取得最小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3－6a由f (0)＝12a －4，f ′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a )x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线经过点(2,2)．(2)由f ′(x )＝0，得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0(ⅰ)当－2－1≤a ≤2－1时，f (x )没有极小值． (ⅱ)当a >2－1或a <－2－1时，由f ′(x )＝0得 x 1＝a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1 故x 0＝x 2，由题设知，1<－a ＋a 2＋2a －1<3 当a >2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解当a <－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a <－2－1综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的取值范围是(－52，－2－1)．6．(2011·宁夏银川模拟)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0.(1)解不等式f (x ＋12)<f (1－x )；(2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． [解析] (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1) ＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )是增函数．由f (x ＋12)<f (1－x )得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1－1≤1－x ≤1x ＋12<1－x，解得0≤x <14.故不等式f (x ＋12)<f (1－x )的解集为[0，14)．(2)由于f (x )为增函数，所以f (x )的最大值为f (1)＝1，所以f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]，x ∈[－1,1]总成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]总成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]总成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，由a ∈[－1,1]知其图像是一线段．所以t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]总成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)t ≥0t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0t 2－2t ≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2 ⇔t ≤－2或t ＝0或t ≥2.7．(2011·徐州二模)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋94)e x ，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数f (x )的图像在x ＝0处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值与最小值． [解析] (1)因为f (x )＝(x 2－3x ＋94)e x ，所以f (0)＝94，又f ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋94)e x ＝(x 2－x －34)e x ，所以f ′(0)＝－34，所以函数f (x )的图像在x ＝0处的切线方程为： y －94＝－34，即3x ＋4y －9＝0. (2)由(1)得f (x )＝(x －32)2e x ，f ′(x )＝(x ＋12)(x －32)e x.当x 变化时，函数f (x )，f ′(x )在区间[－1,2]上的变化情况如下表：函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x )max ＝max{f (－12)，f (2)}，最小值f (x )min ＝min{f (－1)，f (32)}．∵f (2)－f (－12)＝14e 2－4e －12＝e 5－164e<35－2564e<0，f (32)－f (－1)＝0－254－1<0， ∴f (x )max ＝f (－12)＝4e －12，f (x )min ＝f (32)＝0.。

北京市东城区2022-2023学年高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题及答案

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学2023.5本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{15}A x x =∈-<<N ，{0,1,2,3,4,5}B =，则(A)A ⫋B (B)A B=(C)B A ∈(D)B A⊆（2）已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（A ）1（B（C ）2（D ）4（3）已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（A ）1116（B ）3116（C ）11（D ）31（4）在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转4π，则所得向量对应的复数为(A)(B)(C)1-(D)i-（5）已知点M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（A ）30 （B ）60（C ）120 （D ）150（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（A ）13种（B ）14种（C ）15种（D ）16种（7）设函数22,,(),.x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（A ）(0,4]（B ）[2,4]（C ）[2,+)∞（D ）[4,)+∞（8）“cos 0θ=”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0l x ky +=将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）无数个（10）设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数的底数，则（A ）a b c >>（B ）b a c>>（C ）b c a >>（D ）a c b>>。

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三第2周综合练习卷数学文试题 Word版含答案

高三文科数学综合练习卷（2）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}U 2,1,0,1,2=--，{}1,2A =，{}2,1,2B =--，则()UAB =ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2D ．{}1 2、已知i 为虚数单位，复数()2z i i =-的模z =（）A ．1 BCD ．3 3、下列函数中，既是奇函数又在()0,+∞单调递增的函数是（） A ．3y x = B ．x y e = C ．1y x -= D ．ln y x = 4、如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A ．4B ．6C ．8D ．10 5、在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是（） A ．5和1.6 B ．85和1.6 C ．85和0.4 D ．5和0.46、在C ∆AB 中，若60∠A =，45∠B =，C B =C A =（） ABC． D．7、已知向量()1,a x =，(),3b x =，若//a b ，则a =（）A ．1 BC ．4D ．2 8、已知x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =-的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 9、设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若αβ⊥，//l α，则lβ⊥C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ 10、下列命题中是假命题的个数是（） ①α∃，R β∈，使()cos cos sin αβαβ+=+ ②0a ∀>，函数()2ln ln f x x x a =+-有零点③若a ，b 是两个非零向量，则“a b a b +=-”是“a b ⊥”的充要条件 ④若函数()21x f x =-，则1x ∃，[]20,1x ∈且12x x <，使得()()12f x f x >A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、函数()2lg 23y x x =+-的定义域是．（结果用区间表示）12、如图，已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，过抛物线的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，F 3A =，则p = ；直线AB 的斜率等于．13、已知各项不为零的等差数列{}n a 满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知直线l 的方程为()c o s s i n 1ρθθ+=，点Q 的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点Q 到l 的距离d 是． 15、（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形CD AB 中，:1:2AE EB =，F ∆AE 的面积为12cm ，则平行四边形CD AB 的面积是 2cm ．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()cos f x x x =+（R x ∈）．()1求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；()2求()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 的值．17、（本小题满分12分）2014年春节期间，高速公路车辆剧增．高速公路管理测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查，将它们的车速（km /h ）分成六段[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100，[)100,105，[)105,110后得到如图的频率分布直方图．()1测控中心在采样中，用到的是什么抽样方法？并估计这40辆车车速的平均数；()2从车速在[)85,90的车辆80,90的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[)数的概率．参考数据：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4高三文科数学综合练习卷（2）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B B C D C D B 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、()(),31,-∞-+∞ 12、4- 13、16（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）1415、24三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1 ()x x x f cos sin 3+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx …………………2分6sin26sin 267sin 2365sin 265πππππππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f …………………4分1-= ………………………………………………………6分()222ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x …………………7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时，()2max =x f …………………10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时，()1min -=x f …………………12分17、解：()1根据“某段高速公路的车速（km /h ）分成六段”，符合系统抽样的原理，故此调查公司在采样中，用到的是系统抽样方法．（注意每间隔50辆就抽取一辆这一条件）…………………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯19.4597=⨯=…………………6分()2从图中可知，车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=（辆），分别记为12,B B ；车速在[85,90)车辆数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B …………………9分抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，…………………11分故所求的概率62()155P A ==…………………12分。

江苏省大港中学2013届高三上学期数学综合练习(2)

（第7题）江苏省大港中学2013届高三数学综合练习（2）一．填空题1.若二次函数242-+=x ax y 有零点，则实数a 的取值范围是．2.0x ∃<，使得2()lg(21)0f x x x =--≥的否定形式是 .3.从1，2，3，4是．4.若执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为 .5.方程lg(2)1x x +=有个不同的实数根．6.函数1((1)()22(1)xx f x x ⎧<-⎪=⎨⎪≥-⎩的值域是 .7.设2(sin)12a π=，tan122b π=，2log (cos12c π=，则,,a b c 由小到大的顺序为．8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 . 9.已知角α的终边经过点)6,(--x P ,且135cos -=α,则=+ααtan 1sin 1 ． 10.若存在．．实数[1,2]x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是 . 11.已知实数,x y 满足x y =-，则x y +的最大值为 .12.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上是单调递增，若0)2(lg ))5(lg 50lg 2(lg 2<-++⋅x f f ，则x 的取值范围为．13.若)21(log )(2+-=ax ax x f a 在23,1[上恒正，则实数a 的取值范围是．14.已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值为 .二．解答题 15. 已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合}0x |x {B },R x ,01x )2a (x |x {A 2>=∈=+++=且∅=⋂B A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.16．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =AB AC的值．17.已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++- （1）求函数()f x 的定义域；（2）记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域；（3）若不等式()f x m >有解，求实数m 的取值范围.18.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习(二)

重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习（二）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（） A ．42B ．21C ．7D ．37．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>8．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．09．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-10．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 11．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

大题专项训练6：三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则．解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则．解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈，故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =，因为(0,)2B π∈，所以3B π=，由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =，所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<，因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2，故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。

山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习(一)数学试题试卷

山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习（一）数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 4．已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（）A ．914B ．514C ．37D ．9289．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．128011．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-12．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市丰台区高三下学期综合练习(二)数学试卷含详解

北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,32.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i+ B.1i-+ C.1i - D.1i--3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B. C.4D.4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x =B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．12.若)4117+=+=a ______．13.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos 2A A +=．（1）求A ；（2）若ABC 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC 的面积．条件①：2a b -=；条件②：cos 14B =；条件③：8c =．17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,3【答案】C【分析】由补集和交集的定义求解.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，{}2,4,5U A =ð，{}1,4,5U B =ð，()(){}4,5U U A B ⋂=痧.故选：C2.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i + B.1i-+ C.1i- D.1i--【答案】A【分析】依据题意可得复数z ，然后根据共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数z 的对应点为(1,1)-，则1z i =-所以1z i =+故选：A【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B.C.4D.【答案】C【分析】根据题意，分别取1p q ==，2p q ==然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，取1p q ==，则2112a a a =⋅==，取2p q ==，则422224a a a =⋅=⨯=，则44a =.故选：C4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x = B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x【答案】B【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD 选项，利用()0f x '>判断B 选项即可.【详解】对于A ，因为()()11f x f x x x -===-，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()11f x x x==，是反比例函数，在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()()22ln 2xxf x -=-'，0,21,021x x x ->∴><< ，()0f x ∴'>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()()()sin sin =f x x x f x -=-=--，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()sin f x x =不单调，故C 错误；对于D ，因为()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()tan f x x =不是单调递增函数，故D 错误；故选：B.5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>【答案】D【分析】举反例即可求解ABC ，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于a b >，取1,1a b ==-，22111112a b =++=，221a b ab ==，无法得到221111a b <++，22a b ab >，故AB 错误，取0,2a b ==-,则220,0,4a ab b ===，无法得到22a ab b >>，C 错误，由于a b >，则22a b a b >+>，所以2a ba b +>>，故选：D6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥【答案】B【分析】利用给定条件得到n m ，判断A ，利用给定条件得到m n ⊥判断B ，举反例判断C ，D 即可.【详解】对于A ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则n m ，故A 错误，对于B ，若,,m n αβαβ⊂⊥∥，则m n ⊥，故B 正确，对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故C 错误，对于D ，若,,m n αβαβ⊥⊂∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故D 错误.故选：B7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-【答案】A【分析】根据题意，求导可得()()cos f x x ωωϕ'=+，从而可得()()y f x f x '=-的解析式，再结合函数图像代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，则()()cos f x x ωωϕ'=+，则()()()()co sin s y f x f x x x ωωϕωϕ'=+=-+-()x ωϕθ=+-⎡⎤⎣⎦，其中tan 1ωθω==，，即=，且0ω>，所以1ω=，π4θ=，即π4y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又函数过点()0,1-，将点()0,1-代入可得π14ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ππ32,2k k ϕ=+∈Z ，或2π2π,k k ϕ=+∈Ζ，又ππ22ϕ-<<，则当ππ32,2k k ϕ=+∈Z 时，无解，当2π2π,k k ϕ=+∈Ζ时，1k =-，则0ϕ=，所以1ω=，0ϕ=.故选：A8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点【答案】C【分析】根据曲线C 的对称性，分别讨论当直线l 与曲线C 的上、下半部分相切时b 的取值即可求解.【详解】曲线2:1C y x =+的图象如图所示，若1k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由21y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得210x x b -+-=，由()()2Δ14110b =--⨯⨯-=得34b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由21y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得210x x b +++=，由()2Δ1410b =-⨯+=得34b =-，结合曲线C 图象的对称性可得，当34b =或34b =-时，曲线C 与直线l 有一个交点，当3344b -<<时，曲线C 与直线l 没有交点，当34b >或34b <-时，，曲线C 与直线l 有两个交点，AB 说法错误；若2k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由212y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得2210x x b -+-=，由()()2Δ24110b =--⨯⨯-=得0b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由212y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得2210x x b +++=，由()2Δ24110b =-⨯⨯+=得0b =，结合曲线C 图象的对称性可得，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点，C 说法正确，D 说法错误，故选：C9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】对于充分性，已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当“πd =”时，集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素{}11sin ,sin S αα=-，故充分性成立，对于必要性，当3πd =时，“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N也恰有两个元素”，故必要性不成立，故“πd =”是“集合{}*sin ,nS x x n α==∈N 恰有两个元素”的充分而不必要条件.故选：A10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33【答案】D【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得134PO PQ=，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的,,a b c ，结合椭圆的离心率即可得到结果.【详解】设2AB r =，由于PB α⊥，所以PB AM ⊥，在等边三角形PAB 中，点M 为PB 的中点，于是3AM r =，在平面α中，由椭圆的对称性可知，1132AO MO r ==，连接11,OO PO ，延长1PO 与AB 交于点Q ，由于1,O O 为中点，所以在ABM 中，13,2PM r MO r ==，由勾股定理可得2222113722PO PM MO r r ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，在PQO 中，3PO r =，172PO r =，112OO r =，由余弦定理可得222222111171332144cos 2147232r r r PO PO OO OPO PO POr r+-+-∠==⋅⨯⨯，在Rt PQO △中，由于1cos PO OPO PQ∠=，所以137cos 332114PO r PQ OPO ===∠，于是有17324273r PO PQ r ==，设椭圆1O 短轴的两个顶点为,G H ，连接,PG PH 分别交圆锥于,E F ，由于PGH PEF ∽，所以134PG PO PEPQ==，由于PE 为圆锥母线，所以2PE PA r ==，从而有3332442PG PE r r ==⨯=，在1Rt PGO中，由勾股定理可得12GO r ==，所以在椭圆1O中，12a MO r ==，12b GO ==，则12c ==，则离心率为12332r c e a ====.故选：D【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得,a b ，从而得到结果.第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．【答案】1【分析】先求出()0g ，再求()()0f g 即可.【详解】易知()()20log 010g =+=，故()()()00021f g f ===，故答案为：112.若)4117+=+=a ______．【答案】12【分析】根据题意，将)41+展开计算，即可得到结果.【详解】)(42131717=+=++，所以12a =.故答案为：1213.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．【答案】4【分析】根据向量的线性运算可得11,122AE AB AD AG AB AD λλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，即可利用数量积的运算律求解.【详解】设BG BF λ=,则()1111122222AE AG AB AD AB BF AB AD AB AD AB AB AD AB AD λλλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2211311111444224222AB AB AD AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅+=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：414.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为33②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）【分析】选①，根据四边形11BDD B 的面积即可判断，选②，根据三棱锥111A AD B -为正三棱锥，利用等体积法求解1AA 与平面11AD B 所成角的正弦值即可求解②.【详解】若选①，平面11BDD B 是过直线MN 的平面．此时四边形11BDD B 即为该平面截正方体所得截面，由于四边形11BDD B 的面积为1233BD BB ⋅>=,故①为假命题，若选②，由于三棱锥111A AD B -为正三棱锥，所以1111,,A A A B A D 与平面11AD B 所成角均相等，故平面α//平面11AD B ，设1A 到平面11AD B 的距离为h，则1111111111111111111222·2··AD A A AD B B AD A AD B AD A AD B S A B V V S h S A B h S --⨯⨯⨯=⇒=⇒=所以1AA 与平面11AD B所成角的正弦值为13h AA =，故sin 3θ=，②为真命题故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【分析】根据0x ≥时，()0f x =即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时2a b -→，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断0m >，继而根据对称性联立方程得==，根据122PQ PQ +=可得2132x x -=，代入即可求解④.【详解】当0m =时，0x ≥时，()0f x =，故在(),∞∞-+上不是单调递减，①错误；对于②，当0m =显然不成立，故0m ≠，当0x ≥时，令()0f x =，即0=，得0x =，0,0x x m x m <+=⇒=-，要使()f x 有且仅有两个零点，则0m -<，故0m >，②正确，对于③,当0m <时,(),0,0.x m x f x x --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,此时()f x 在(),0-∞单调递减，在[0,+∞）单调递增，如图：若()()f a f b =，由2m x -=⇒=，故2a b ->，所以a b -的取值范围为()2,∞+；③正确对于④,由①③可知：0m ≤时，显然不成立,故0m >，要使()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上，则只需要0,x y x m >=--的图象与()0,x f x ≥=故120x m x <-<<，))12121221322PQ PQ m x m m x x m x x +=-++=++=⇒-=，由对称可得()111f x x m x m -==---=+，化简可得10x m ++=，故20m =⇒()222f x x m x m -==---=--，化简得20m +==由于12,x x--均大于0==，因此222221x x⎛-=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==由于0m>，()43142f m m m=+为()0,+∞单调递增函数，且()912f=，此时2132x x-==，因此1m=，④正确，故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos2A A+=．（1）求A；（2）若ABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC的面积．条件①：2a b-=；条件②：7cos14B=；条件③：8c=．【答案】（1）π3（2）见解析.【分析】（1）根据辅助角公式可得πsin16A⎛⎫+=⎪⎝⎭，即可求解π3A=，（2）选择①②，根据正弦定理可得b a=>与2a b-=矛盾，即可求解，选择②③，根据71cos142B=<,故π3B >，a b <，这与2a b -=矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，根据余弦定理可得5b =，7a =，即可由面积公式求解.【小问1详解】cos 2A A +=得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π,Z 623A k A k k +⇒∈=+=+,由于()0,πA ∈，所以π3A =【小问2详解】若选①2a b -=，②7cos 14B =，则7π321cos 0,sin 14214B B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，,由正弦定理可得3213sin sin 142a b a b b a A B =⇒⇒=>=，这与2a b -=矛盾，故不可以选择①②，若选①2a b -=，③8c =，由余弦定理可得()222222821cos 2216b b c b a A bc b+-++-===，解得5b =，7a =，此时2224964257cos 227814a cb B ac +-+-==≠⨯⨯，不满足②，符合题意；此时113sin 58222ABC S bc A ==�△选②7cos 14B =，③8c =，由于7πcos 0,142B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭,又71cos 142B =<,故π3B >，而π3A =，故a b <，这与①2a b -=矛盾，因此可以选择②③；则321sin 14B =，()21sin =sin sin cos cos sin 7C A B A B A B +=+=，由正弦定理可得8sin =sin 217c Aa C==所以11sin 82214ABC S ac B △==创�.17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定E 点位置，再由空间向量法求二面角．【小问1详解】如图，连接1BC ，1,FE FD ，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由AB 与11C D 平行且相等得11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，所以1//BC 平面1AD E ，1BC ⊂平面11BCC B ，平面1AD E 平面11BCC B EF =，所以1//BC EF ，E 是1BB 中点，所以F 是11B C 的中点；【小问2详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AA m =（0m >），则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,)D m ，(1,1,2mE ，(1,1,0)AC =- ，1(1,0,),(0,1,)2mAD m AE =-= ，设平面1AD E 的一个法向量是(,,)t x y z =，则102t AD x mz mt AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(,,1)2m t m =- ，因为直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，所以πcos ,sin3t ACt AC t AC⋅==，解得2m =（负值舍去），所以(2,1,1)t =-，平面11AA D 的一个法向量是(0,1,0)n =，平面1AD F 即为平面1AD E ，则6cos ,6t n t n t n ⋅===- ，二面角11A AD F --为锐角，因此其余弦值为66．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）分布列见解析，()1E X =（3）a c b<<【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.（3）依据题意猜测结论即可.【小问1详解】设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件A ，易知共有3个基本事件，则1()3P A =．【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3.328(0)()327P X ===，123124(1)C (339P X ==创=，223122(2)C ()339P X ==创=，33311(3)C ()327P X ==´=，所以，X 的分布列如下：X0123P82749291278421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】结论：a c b<<证明：易知3113(39a =⨯=，3126(39c =⨯=，3166()39b =3⨯⨯=，故a c b <<得证.19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3y =（2）340e a -<<或20a -<<【分析】（1）求导，代值可得()()10,13f f '==，即可求解切线，（2）求导得()()()21f x x+'=，对a 分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.【小问1详解】当1a =时，()2ln f x x x =+，则()21f xx'=，所以()()10,13f f '==，故()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为3y =【小问2详解】()()()()()22202102x a f x a a xxx x +'=+==≠>，当0a >时，则20+>，令()0,f x '>则21x a>，令()0,f x '<则210x a <<，故()f x 在21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在210,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故当21x a=，()f x 取极小值也是最小值，则222211122ln 34ln f a a a a a ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()min 34ln 0f x a =+<，解得340e a -<<；当0a <时，则10<，令()0,f x '>则24x a >，令()0,f x '<则240x a<<，故()f x 在24,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在240,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故当24x a =，()f x 取极小值也是最小值，则222222444422ln 2ln 4ln 22ln f a a a a a a ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()2min 4ln 22ln 0f x a =-+<，解得20a -<<；综上可得340e a -<<或20a -<<.20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．【答案】（1）22143x y +=（2）0【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理12122269,3434t y y y y t t --+==++，即可根据中点关系以及向量共线得2135y y -=，代入韦达定理中即可求解213t =，进而可求解.【小问1详解】由于121212242MF MF F F F F +==>=，所以M 是以()()121,0,1,0F F -为焦点，以4为长轴长的椭圆，故2,1==⇒=a cb 故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】由于MN 斜率不为0，故设直线MN 方程为：1x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2,0,(2,0)A B -,由于点B 为线段NP 的中点，则()224,P x y --，又P 是直线AM 与直线BN 的交点，所以//AP AM,()()22116,,2,AP x y AM x y =--=+,故()()212162x y y x -=-+，()()22121121353535y ty y y ty y y y --=-+⇒=-⇒=，将2135y y -=代入12122269,3434t y y y y t t --+==++可得22222223235569,35434t y y t y y t --=-==-+++，故2225695234343t t t ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得213t =，故222953343y t --⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭，由2222143x y +=可得20x =，故点N 的横坐标为0.21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．【答案】（1）3A 的前2项为3，8；4A 的前2项为5，11；（2）证明见解析；（3）6,8.m n ==【分析】（1）直接利用数列定义求解；（2）证明{}(,)(,1)f m n f m n --为等差数列即可求解；（3）先利用数学归纳法证明22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++进而求得(,)f m n 的表达式，利用累加法再解方程求解【小问1详解】数列3A 的前2项为3，8；数列4A 的前2项为5，11；【小问2详解】首先2(1,)f n n =，当2n ≥时，(1,)(1,1)21f n f n n --=-结论成立；当2m ≥时，对于相邻的两个数列：1:(1,1),(1,2),,(1,1),(1,),,:(,1),(,2),,(,1),(,),,m m A f m f m f m n f m n A f m f m f m n f m n ------- 149162536496426122030425672381524354863805111929415571897142334476279981018284054708810813223346617897118172739536987107129因为(,1),(1,)f m n f m n --都在数列2m N -中，且(,1)f m n -在(1,)f m n -之前，所以(,1)(1,)f m n f m n -<-在数列1,m m A A -中，必有(1,)(,)f m n f m n -<，所以(,1)(1,)(,)f m n f m n f m n -<-<，所以(,)(,1)(1,)(1,1)1f m n f m n f m n f m n --=----+所以{}(,)(,1)f m n f m n --构成首项为(1,)(1,1)21f n f n n --=-，公差为1的等差数列，所以(,)(,1)(21)(1)2 2.f m n f m n n m n m --=-+-=+-【小问3详解】由各个数列生成的规则知，{}2221,2,,2n n n n +++ 中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想：集合{}2221,2,,2n n n n +++ 中的每个元素，且仅是数列2321,,,n A A A + 中某个数列的项.具体地可概括成结论P ：对任意,n *∈N ,1i i n ∈-N ≤，有22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++下面用数学归纳法证明：(i)当1n =时，(2,1)2,(3,1)3,f f ==由题意数列23,A A 的首项分别是2,3，结论成立；(ii)假设当N ()n k k *=∈时，结论成立，即对N,1i i k ∀∈-≤，22(22,1)1,(212,1)1f k i i k i f k i i k k i -+=+++-+=+++那么由第（2）问的结论知：当N,1i i k ∈≤-时，(22,2)(22,1)2(2)(22)2f k i i f k i i i k i -+=-++++--22(1)22(1)2k i k k i =++++=+++,[](212,2)(212,1)2(2)2122f k i i f k i i i k i +-+=+-+++++--2(1)(23)k k i k =+++++2(1)(1)2k k i =+++++,上式表明，集合{}222(1)1,(1)2,,(1)2(1)k k k k +++++++ 中除了22(1)1,(1)(2)k k k +++++的每一个元素都是数列2321,,,k A A A + 中的某个数列的项，还剩下两个元素：22(1)1,(1)(2)k k k +++++，它们必是数列2223,k k A A ++的首项，结果只有22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++.根据(1)(2)知，结论P 成立.由结论P 可得，数列2k A 的首项为21k +，21k A +的首项为21k k ++，即22221,1,44(,1)(1)111,,1,,424m m m m f m m m m m m ⎧⎧++⎪⎪⎪⎪==⎨⎨---⎪⎪+++⎪⎪⎩⎩为偶数，为偶数，为奇数为奇数另一方面，由第（2）问的结论：(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-得：(,2)(,1)2f m f m m -=+，(,3)(,2)4f m f m m -=+，…(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-，相加得：(,)24(22)(1)(1)()(,1)f m n n n m n n m f m =+++-+-=-++ ，当1n =时，上式也成立．所以22(1)(1)(),4(,)1(1)(1)(),.4mn n m m f m n m n n m m ⎧++-+⎪⎪=⎨-⎪++-+⎪⎩为偶数，为奇数221,211,.24m n n m mn n m ⎧⎛⎫+-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩为偶数，为奇数令2(1)1082m n n +-+=，则2(1)108,2mn n +-=-所以(1)2mn =--．由12m≥得2108n n +≤，所以9n ≤，所以108[99,107)n -∈，10=.所以8n =(81)3-=，所以6m =；令21(1)10824m n n +-+-=，有2(22)4334m n n +-=-，22m n =-．由m 1≥得2108n ≤，所以10n ≤．所以4334(393,429)n -∈*,N 无解.综上，当(,)108f m n =时，6,8.m n ==【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++，进而得到(,)f m n 的表达式.。

数学高三综合练习题

数学高三综合练习题1. 已知函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，请计算 f(2) 的值。

解答：将 x = 2 带入函数 f(x)，得到f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 1= 8 - 8 + 6 - 1= 5因此，f(2) = 5。

2. 已知函数 g(x) = 2x + 1，求 g(4) 的值。

解答：将 x = 4 带入函数 g(x)，得到g(4) = 2(4) + 1= 8 + 1= 9因此，g(4) = 9。

3. 已知直线 Ax - By = C，其中 A = 3，B = 2，C = 6，请将此直线的斜率表示为分数的形式。

解答：根据直线的一般方程形式，斜率可以表示为 -A/B。

将 A = 3，B = 2 带入，得到斜率 = -A/B = -3/2因此，直线的斜率表示为 -3/2。

4. 求解方程组：2x + 3y = 73x - 4y = 14解答：可以使用消元法来求解方程组。

首先，将第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，得到：6x + 9y = 216x - 8y = 28然后，两个方程相减，消去 x，得到：6x - 6x + 9y + 8y = 21 - 2817y = -7解方程，得到 y = -7/17。

将 y 的值带入第一个方程，得到：2x + 3(-7/17) = 72x - 21/17 = 72x = 7 + 21/17解方程，得到 x = 79/34。

因此，方程组的解为 x = 79/34，y = -7/17。

5. 求解不等式组：x + y ≥ 52x - 3y ≤ 6解答：首先，我们将第一个不等式转化为y ≤ 5 - x。

然后，将第二个不等式乘以 -1，使不等号方向翻转，得到 -2x + 3y ≥ -6。

接下来，我们需要找到两个不等式的交集部分。

绘制图形来表示不等式，发现两个不等式的交集部分为一个封闭的区域。

因此，不等式组的解为x + y ≥ 5 且 2x - 3y ≤ 6。

统考版2022届高考数学一轮复习专练24高考大题专练二三角函数与解三角形的综合运用练习理含解析

专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3.[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．4.设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．5.[2021·某某某某一中高三测试]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211. 2．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 3．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 4．解析：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22 ＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 5．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

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高三数学综合练习系列2 姓名：_________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．下列函数中,在其定义域上是增函数的有：（） ①x y a =(1)a >,②log (01)a y x a =<<,③tan y x =,④1y x=,⑤3y x x =+ A . 1个 B .2个 C .3个 D . 4个2．,a b 是常数, 则“0a >且240b a -<”是“对任意x R ∈,有210ax bx ++>”的：（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 3．若1()y f x -=为函数()y f x =的反函数,且()y f x =的图象过点(3,1),则12(log )y f x -= 的图象必过点：（） A . (1,8) B . (8,1) C . (2,3) D . (3,2)4．已知,a b 为实数，集合,1b M a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0N a =，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +等于：（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 1±5．设点O 是ABC ∆所在平面内一点，若满足=∙=∙∙，则点O 必为ABC ∆的：（） A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心6．数列{a n }中，a 3=2,a 7=1, 数列{1a 1n +}是等差数列，则a 11等于：（）A . 2/3B . 1/2C . 0D .－1/2 7．若0为平行四边形ABCD 的中心，122123,6,4e e e BC e AB -==则等于：（） A ． B ． C ．D ．8．数)1lg(,2,2.02.02-+===b a c b a,则c b a ,,的大小关系为：（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD.b>c>a 9．已知,log 1)(2x x f +=设数列}{n a 满足*))((1N n n fa n ∈=-，则数列}{n a 的前n 项和n S 等于：（）A ．12-nB ．121--n C ．141--nD ．14-n10．函数12log y x =定义域[],a b ，值域[]0,2，则区间[],a b 长度b a -的最小值是（）A ．3B ．34C ．2D ．3211．已知直线6π=x 是函数x b x a y cos sin -=图象的一条对称轴，则函数x a x b y cos sin -=图象的一条对称轴方程是：（）A . 6π=x B . 3π=x C . 2π=x D . π=x12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意12121212,(),()()x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”的只有：（）Ａ．()f x =1xＢ．()f x =x Ｃ．()f x =2x Ｄ． ()f x =2x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上. 13．不等式12x π<<成立是不等式(1)tan 0x x ->成立的条件. 14．数列)1(1+=n n a n ,其前n 项之和为109,则在直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为__ ___. 15. 不等式3)13(log 21-≥-x解集是______________________.16．设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42AB i j =+，34AC i j =+，则△ABC 的面积等于____________.17．已知数列{}n a ，nna )(231⋅=，把数列{}n a 的各项排成三角形状，如图所示．记)n ,m (A 表示第m行，第n 列的项，则)8,10(A =____________. 18．对于在区间],[n m 上有意义的两个函数)(x f 与 )(x g ，如果对于任意],[n m x ∈，均有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在],[n m 上是接近的. 若函数322+-=x x y 与函数23-=x y 在区间],[n m 上是接近的，给出如下区间①[1，4] ②[1，3] ③[1，2]∪[3，4] ④]4,3[]23,1[ ，则区间],[n m 可以是 .（把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．（本小题满分12分）已知: 命题)(:1x fp -是x x f 31)(-=的反函数,且2)(1<-a f.命题:q 集合{}R x x a x x A ∈=+++=,01)2(2,{}0>=x x B ,且φ=⋂B A .求实数a 的取值范围,使命题p 、q 有且只有一个是真命题. 1a2a 3a4a 5a 6a7a 8a 9a 10a．．．．．．．．．．．．．．．．．．BB （第19题图）20．（本题满分12分）已知x ∈R ，OA →＝（2a cos 2x ，1），OB →＝（2，23a sin2x ＋2－a ），y ＝OA →·OB →， ⑴求y 关于x 的函数解析式y ＝f (x )，并求其最小正周期（a ≠0时）；⑵当x ∈[0，2]时，f (x )的最大值为5．求a 的值及函数y ＝f (x )（x ∈R ）的单调递增区间．21．(本题满分12分）如图，设矩形ABCD （AB >AD ）的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P . 设AB =x , 求△ADP 的最大面积及相应的x 值.22．（本小题满分12分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

山东省济南四校2024年高三4月综合练习(一模)数学试题试卷

山东省济南四校2024年高三4月综合练习（一模）数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π2．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度3．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭4．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（）A ．1B ．1eC ．21e D ．1e5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．1010C ．7210D ．310106．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必条件9．设ln 2m =，lg 2n =，则（） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>-> 10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+11．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．22B ．32C ．212+ D ．312+ 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A ．36B ．26C ．5D 53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学客观题综合练习题(二)

高三数学客观题综合练习题(二)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |－1<x ≤2} C.{x |1<x ≤2} D.{x |0<x <1}答案 B解析由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选B.2.已知z ＝2－i ，则z (z －＋i)＝( ) A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i答案 C解析因为z ＝2－i ，所以z (z －＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i ，故选C.3.已知点(1，1)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，则抛物线C 的焦点到其准线的距离为( ) A.14 B.12 C.1 D.2答案 B解析因为点(1，1)在抛物线C 上，所以1＝2p ，p ＝12，故抛物线C 的焦点到其准线的距离为12.故选B.4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如图，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱长与底面外接圆半径的比为( )A.33sin θB.33cos θ C.12sin θ D.12cos θ答案 C解析设底面边长为a ，则其外接圆的半径为a .在侧面等腰三角形中，顶角为2θ，两腰为侧棱，底边长为a ，所以侧棱长为a2sin θ，所以侧棱长与底面外接圆半径的比为a 2sin θa ＝12sin θ.故选C.5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1).设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比( ) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定答案 C解析根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a ，整机面积为b ，b >a ，则升级前的“屏占比”为ab ，升级后的“屏占比”为a ＋m b ＋m ，其中m 为升级后增加的面积，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，所以升级后“屏占比”变大，故选C.6.已知函数f (x )＝sin 4x －2cos 4x ，若对任意的x ∈R 都有f (x )≥f (x 0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝( )A.0B. 5C.－ 5D.1答案 A解析法一由题意得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，又x 0＋14T ＝x 0＋π8，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8，0是f (x )图象的一个对称中心，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝0.法二由题意可得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)，因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，于是4x 0－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则x 0＝k π2－π8＋φ4，k ∈Z ，所以x 0＋π8＝k π2＋φ4，k ∈Z ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋φ4－φ＝5sin 2k π＝0.7.若曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线与曲线y ＝ln x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为( ) A.(e ，1) B.(1，0) C.(2，ln 2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2 答案 D 解析 y ＝－x ＋1的导数为y ′＝－12x ＋1，可得曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线斜率为－12.设P (m ，ln m )，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，得曲线y ＝ln x 在点P 处的切线斜率为k ＝1m ，由两切线垂直可得1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得m ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2.故选D.8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A 、B 、C 出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B 进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A 进行比赛.假设甲与A 或B 比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A 或B 比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C 比赛，丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的结果互不影响.那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( ) A.0.24 B.0.25 C.0.38 D.0.5答案 C解析记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”“恰好经过4场比赛A 所在球队获胜”分别为事件D ，E ，F ，则E ，F 互斥，且P (D )＝P (E )＋P (F ).若事件E 发生，则第4场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (E )＝0.6×(0.4×0.5×0.5＋0.6×C 12×0.5×0.5)＝0.24.若事件F 发生，则第4场比赛B 获胜，且前3场比赛A 所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以A 所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (F )＝0.4×(0.6×0.5×0.5＋0.4×C 12×0.5×0.5)＝0.14，所以P (D )＝P (E )＋P (F )＝0.38，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.已知(2x －a )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是( ) A.a ＝1 B.a 0＝1C.a 2＝36D.a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12答案 ABD解析令x －1＝t ，∴x ＝t ＋1，原展开式为(2t ＋2－a )9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9，令t ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4－a )9＝39， ∴a ＝1，故A 正确；∴(2t ＋1)9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9，令t ＝0，得a 0＝1，故B 正确；(2t ＋1)9的展开式中含t 2的项为C 79(2t )2·17＝144t 2， ∴a 2＝144，故C 错误；令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9＝39，① 令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝－1，② ①－②2得，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12，故D 正确.10.已知△PAB 中，AB ＝2，PA ＝PB ，C 是边AB 的中点，Q 为△PAB 所在平面内一点.若△CPQ 是边长为2的等边三角形，则AP →·BQ →的值可能是( )A.3＋ 3B.1＋ 3C.3－ 3D.1－ 3答案 BD解析如图(1)，若点Q 与点B 在CP 的同侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC→＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos π6＋2×2×cos π3＝3＋1.如图(2)，若点Q 与点B 在CP 的异侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos 5π6＋2×2×cos π3＝－3＋1.故选BD.11.下列选项中，是关于x 的不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件的是( ) A.a ＝0 B.a ≥－3＋2 2 C.a >0 D.a ≤－3－2 2答案 AC解析设y ＝ax 2＋(a －1)x －2，令ax 2＋(a －1)x －2＝0.当a >0时，显然y >0有实数解；当a ＝0时，y ＝－x －2，由y >0解得x <－2；当a <0时，若y >0有实数解，则需Δ＝(a －1)2＋8a ＝a 2＋6a ＋1>0，得a <－3－22或－3＋22<a <0.综上所述，当a >－3＋22或a <－3－22时，不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解.结合选项可知，a ＝0，a >0是不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件.12.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F 分别是棱AB ，A 1B 1的中点，点P 在四边形ABCD 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是( ) A.若P 是线段BC 的中点，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若P 在线段AC 上，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2C.若PD 1∥平面A 1C 1E ，则点P 的轨迹的长度为 2D.若PF ∥平面B 1CD 1，则线段PF 长度的最小值为62 答案 AC解析对于A ，如图1，P ，E 分别是线段BC ，AB 的中点，故△ABP ≌△DAE ，则∠PAB ＝∠ADE ，∠PAB ＋∠DEA ＝∠ADE ＋∠DEA ＝π2，所以AP ⊥DE .易知EF ⊥平面ABCD ，又AP ⊂平面ABCD ，所以EF ⊥AP ，又DE ∩EF ＝E ，从而AP ⊥平面DEF ，又AP ⊂平面AB 1P ，所以平面AB 1P ⊥平面DEF ，故A 正确.图1对于B ，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ，所以D 1P 与A 1C 1所成的角为D 1P 与AC 所成的角.连接D 1A ，D 1C ，则△D 1AC 为正三角形，所以D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故B 错误.对于C ，如图2，设平面A 1C 1E 与直线BC 交于点G ，连接C 1G ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取AD ，DC 的中点M ，N ，连接D 1M ，MN ，D 1N ，易知D 1M ∥C 1G ，又D 1M ⊄平面A 1C 1E ，C 1G ⊂平面A 1C 1E ，所以D 1M ∥平面A 1C 1E .同理可得D 1N ∥平面A 1C 1E ，又D 1M ∩D 1N ＝D 1，所以平面D 1MN ∥平面A 1C 1E ，由此结合PD 1∥平面A 1C 1E ，可得直线PD 1⊂平面D 1MN ，所以点P 的轨迹是线段MN ，易得MN ＝2，故C 正确.图2对于D，如图3，取BB1的中点R，BC的中点G，DC的中点N，连接FN，因为FB1∥NC，FB1＝NC，所以四边形FB1CN为平行四边形，所以FN∥B1C，又FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1.连接BD，NG，则NG∥BD，又BD∥B1D1，所以NG∥B1D1，又NG⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以NG∥平面B1CD1.连接FR，GR，易知GR∥B1C，又B1C∥FN，所以GR∥FN，故F，N，G，R四点共面，所以平面FNGR∥平面B1CD1.因为PF∥平面B1CD1，所以PF⊂平面FNGR，所以点P的轨迹为线段NG.由AB＝2知，FN＝22，NG＝ 2.连接FB，FG，在Rt△FBG中，FG2＝FB2＋BG2＝(5)2＋1＝6，所以FG＝6，所以FN2＝NG2＋FG2，得∠FGN为直角，故线段FP长度的最小值为6，故D错误.故选AC.图3三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0，1]恒成立，且f(x)在[0，1]上不是增函数”的一个函数：________.答案f(x)＝sin 5π2x(答案不唯一)解析答案不唯一，如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142，f (x )＝sin 5π2x 等.14.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积是________. 答案 12解析设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，若|OP |＝|OF |，则点P 在以F 1F 为直径的圆上，所以PF 1⊥PF ，故S △OPF ＝12S △FPF 1＝12b 2tan π4＝12×1×1＝12. 15.如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，当三棱锥P-BCM 体积最大时，三棱锥P-BCM 外接球的表面积为________.答案 5π解析当三棱锥P-BCM 体积最大时，平面PBM ⊥平面BCM .如图，三棱锥P-BCM 为长方体的一角，故其外接球的半径R ＝MP 2＋MC 2＋MB 22＝52.外接球的表面积为4πR 2＝4×π×54＝5π.16.若∀x >0，不等式ln x ＋2＋a x ≥b (a >0)恒成立，则ba 的最大值为________. 答案 e 2解析设f (x )＝ln x ＋2＋a x ，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.因为a >0，所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝x －a x 2<0，则函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝x －ax 2>0，则函数f (x )单调递增.所以f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋3≥b ，则b a ≤ln a ＋3a .令g (a )＝ln a ＋3a ，则g ′(a )＝1－ln a －3a 2＝－2＋ln aa 2.由g ′(a )＝0可得，a ＝e －2.所以当a ∈(0，e －2)时，g ′(a )＝－2＋ln aa2>0，则函数g (a )单调递增；当a ∈(e －2，＋∞)时，g ′(a )＝－2＋ln a a 2<0，则函数g (a )单调递减.所以g (a )max ＝g (e －2)＝ln e －2＋3e －2＝e 2，即ba 的最大值为e 2.。

北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)

A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率；（2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；

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1y综合练习2 一、选择题：1.已知集合则（） A. B. C. D.2.已知i 为虚数单位,则复数2(1)(1)i i -+等于（） A.22i -+ B.22i -- C.22i + D.22i -3.“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知点)43cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为（） A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π5.已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则（）A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜16．在中，，，，则（） A ．-9 B ．0 C ．9 D ．157、在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（）A.31B.π2C.21D.32 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图像是（）2{|10},{|0},A x x B x x x =+>=-<A B ={|1}x x >-{|11}x x -<<{|01}x x <<{|10}x x -<<3πα=1cos 2α=ABC ∆||3BC =||4AB =||5AC =AC BC ⋅=A ．B ．C ．D ． 9.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A. B.10、已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A 、0B 、12C 、1D 、52二、填空题：11、2360=215sin cos -- ；12、设nS 是等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，632a =，则3S =；13、在二项式的展开式中，含的项的系数是________________14、函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a ____．15、右边的流程图最后输出的S 的值是．12,F F 1F 2ABF ∆1)(x f x )()1()1(x f x x xf +=+)25(f 251()x x -4x16、已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.w.w.k.s.5.u17、若关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=时有解，则a 的取值范围是_____________三、解答题：18、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分。

（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

19、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PCE ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求二面角P CE A --的余弦值．20、已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且BC ABBC AB 与,6=⋅的夹角为α，（Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求αααα22cos 3cos sin 2sin )(++=x f 的最小值。

21、已知函数.2)(24ax x x f -= （I ）求证：方程1)(=x f 有实根；（II ）x x f x h -=)()(在[0，1]上是单调递减的，求实数a 的取值范围；（III ）当1|)(|,]1,0[>'∈x f x x 的不等式关于时的解集为空集，求所有满足条件的实数a 的值。

参考答案：一、选择题：1.已知集合则（ A ）A. B. C. D.2.已知i 为虚数单位,则复数2(1)(1)i i -+等于（ D ） A.22i -+ B.22i -- C.22i + D.22i -3.“”是“”的（ B ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知点)43cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为（ D ） A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π5.已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则（ A ）A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜12{|10},{|0},A x x B x x x =+>=-<A B ={|1}x x >-{|11}x x -<<{|01}x x <<{|10}x x -<<3πα=1cos 2α=1y6．在中，，，，则 C A ．-9B ．0C ．9D ．157、在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( A).A.31B.π2C.21D.32 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图像是（ B ）A ．B ．C ．D ． 9.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ C ）A. B.10、已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（A ）A 、0B 、12C 、1D 、52二、填空题：ABC ∆||3BC =||4AB =||5AC =AC BC ⋅=12,F F 1F 2ABF ∆21)(x f x )()1()1(x f x x xf +=+)25(f11、2360=215sin cos -- ；212、设nS 是等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，632a =，则3S =；713、在二项式的展开式中，含的项的系数是________________ 14、函数93)(23--+=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取到极值，则=a 4 ． 15、右边的流程图最后输出的S 的值是．16、已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________3. w.w.w.k.s.5.u.c. o.m17、若关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=时有解，则a 的取值范围是_5,14⎛⎤- ⎥⎝⎦18、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分。

（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

18、解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A ，则31)(=A P ，32)(=A P ，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。

818)32()31(3341==C P ，811)31(42==P ，9121=+=∴P P P （6分）（2）ξ的可能取值为4,2,0,2,4--，则251()x x -4x 108116)32()4(4==-=ξP ；8132)32)(31()2(314==-=C P ξ； 8124)32()31()0(2224===C P ξ；818)2(==ξP ；811)4(==ξP ； ∴481481281081)2(814-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=ξE19、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PCE ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求二面角P CE A --的余弦值．19、证明: （1）取PC 的中点FG 、EG ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴分∵ABCD 为矩形，E 为AB 的中点∴ ∴∴四边形AEGF 是平行四边形 ………………2分 ∴AF ∥EG ………3分又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ………4分 ∴AF ∥平面PCE ………………………………………5分（2）20、已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且与,6=⋅的夹角为α，（Ⅰ）求α的取值范围；（Ⅱ）求αααα22cos 3cos sin 2sin )(++=x f 的最小值。

（Ⅰ）由题意知6cos ||||=⋅=⋅ααcos 6||||=⋅αααααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=⨯⨯=⋅=-⋅=S……………………3分333≤≤S3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即……………………4分与是α 的夹角，],0[πα∈∴]3,4[ππα∈∴……………………6分（Ⅱ）=++=++=ααααααα222cos 22sin 1cos 2cos sin 2sin )(f )42(222cos 2sin 22πααα++=++……………………9分]3,4[ππα∈ ]1211,43[42πππ∈+∴a )(3121142απαππαf 时即当当==+∴有最小值。

)(αf 的最小值是233+……………………12分21．（本题满分16分）已知函数.2)(24ax x x f -= （I ）求证：方程1)(=x f 有实根；（II ）x x f x h -=)()(在[0，1]上是单调递减的，求实数a 的取值范围；（III ）当1|)(|,]1,0[>'∈x f x x 的不等式关于时的解集为空集，求所有满足条件的实数a 的21．解：（I ）要证01224=--ax x 的实根，也就是证明方程0122=--at t 有非负实数根。

而.,012,0442122t t at t a 的两根为故可设=-->+=∆ 012.,,0122121=--∴∴<-=at t t t t t 方程一正一负有正根1)(=∴x f 方程有实根；（II ）由题设知对任意的01441)()(]1,0[3≤--=-'='∈ax x x f x h x 时恒成立， 0=x 时显然成立； (].,43,43)1(,1,041)()41(,41,102max 22⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∴=≥∴-=-≥∴-≥≤<的取值范围为上单调递增在而对任意的a g a xx x g xx a x x a x（3）由题设知，当1|44|,]1,0[3≤-∈ax x x 时恒成立 ),3)(3(12412)(,0;,444)1(,0,44)(23ax a x a x x F a a F a ax x x F +-=-='>≥-=≤-=而故不满足条件则若记①当]1,3[,]3,0[)(,3013aa x F a a 在上递减在时即<<<上递增，于是1}44,338max {)}1(),3(max {|)(|max ≤-=-=a aa F a F x F ，解之得：.43=a第- 6 -页共8页 ②当844)1(|)(|,]1,0[)(,313max ≥-=-=≥≥a F x F x F a a 于是上递减在时即与题意矛盾。