椭圆的第二定义

叫焦半径∣PF左∣＝a+ex0， ∣PF右∣＝a-ex0
Rmax=a+c
Rmin=a-c
2)AB过焦点的弦, AB左 =2a+e(XA+XB)
AB右 =2a-e(XA+XB) 3)通经:过焦点且与长轴垂直的弦 d
2b2
d=
a
(当焦点在y轴上时----------- )
• 例2:在椭圆 x2 + y2 =1求一点P使它到左焦点
焦点 顶点 离心率
(c,0)、(c,0) (a,0) (0,b)
e c 0 e 1
a
(0,c)、(0,c) (b,0) (0,a)
例1 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4 ，求点M的轨迹。
4
5
解：设d是点M到直线l : x 25的距离，根据题意，
ed1
PF1 e
10
F1
0 F2
x
例1
P（x0，y0）是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（a＞b＞0）
上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，
PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0 ∣PF
右∣＝a-ex0， (法一) 证明:由题意得d1=x0+
d1 y
F1(-C,0o)
d2
又: = P(x0,y0)
25 9
距离是到右焦点距离的2倍.
• 例2:在椭圆 x2 + y2 =1求一点P使它到左焦点
距离是到右焦25 点距9 离的2倍.
解:P设F左P(=x0a,y+0e)x0由=5题+ 意54 x得0 a=5
c=4
4
e= 5
PF右
a ex0 =5 -
4 5
x0
又 PF左 =2 PF右
∴
4
5+ 5 X0
x a2
线
c
焦点准线
y
右
a2
上 准
准 x
线
c
线
P
F1
O F2
x
下 准 线
y y a2
c
P
F2
x
O
F1 y a 2 c
x2 y2 1a b 0
a2 b2 a2
左焦点(-c,0), 左准线 x c
a2
右焦点(c,0),
右准线 x c
y2 a2
x2 b2
1a
b 0
a2 下焦点(0,-c), 下准线 y c
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
,
l Md
H
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225,
即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
猜想证明
猜想
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定
5
20
9
例题讲解
例3
椭圆方程为
x2
y2
1,其上有一点P,它
100 64
到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离.
解:由椭圆的方程可知
a 10,b 8,c 6, e c 3
由第一定义可知:
a5
| PF1 | 2a | PF2 | 20 14 6
y
d1 P
d2
由第二定义知:
PF1 d1
a2 上焦点(0,c), 上准线 y c
例题讲解
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3，
离心率为 5 的椭圆标准方程.
3
解:依题意设椭圆标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
由已知有
c a
a2
c
5 3
3
解得a= 5
c=
5 3
b2
a2
c2
20 9
所求椭圆的标准方程为
1 x2 y2
PF 1
PF 2
F1(C,0)x
∴
d 1
d 2
PF 1
=ed1=e(x0+
a2 c
d2
= a2
c
=e =
c a
a2
c )= a+ex0
-
x0
PF 2
=ed2=e(
a2 c
-
x0)= a-ex0
(法二):利用两点距离公式
焦半径：
1)P（x0，y0）是椭圆
（a＞b＞0）
上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x a2 c
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为 2a
短轴长为 2b的椭圆.
概念分析
由线此的可 距知离的,当比点是M一与个一常个数能的定不距点e 能离的c说与距(0 到M离e到直和 1F线它) (时到x-c,,一0这)a条个2 定点直的 轨迹是椭圆,这就是椭圆的的第距二离a定比义也，是定离点是椭c 圆的
直线l: x 的 距a2离的比是常数 c
动点P的轨迹是椭圆.
(0<ec<a)c,则 a
猜想证明
证明:由已知，得 y
(x c)2 y2 c
| a2 x |
a
P
c
0 F(c,0) x
将上式两边平方并化简得:
(a2 c2)x2 a2 y2 a2 (a2 c2)
设a2 c2 b2
则原方程可化为:
椭圆第二定义
一定个框义，四个点|M，F1注|+意|M光F2滑|=2和a圆(2扁a>，|F莫1F忘2|)对称要体现
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
|x| a |y|b
|x| b |y| a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
心率e呢? 焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率.
y M
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
1(a
b
0)
相应于焦点 F (c,0)的准线
F(c,0) 0
F (c,0)
x方程是 x a2 c
x a2 c
x a2 c
由椭圆的对称性，相应于焦点
F(c,0)的准线方程是 x a2
c
左 准
4
= 2( 5 - 5 X0)
∴
X0=
25 12
代入
x2 25
+
y2 9
=1
得:y0=±
119 4
所以
25
P( 12
,± 1419)