不定方程(初二)及答案

2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二不定方程一、赛点分析1、两个变量的不定方程 ax by c ,其中a,b,c 为整数，且a, b 都不为0,则有以下性质:（1）不定方程有整数解的充要条件是（a,b ）|c ；2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与 方法：奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘 法公式、不等分析等。

二、例题精讲例1、求方程4x 5y 21的整数解。

4k 代入已知方程得x 5 （1 4k ） k 4 5k 。

x 4 5k所以（k 为整数）是方程的整数解，y 1 4k并且当k 取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。

变式1、求方程7x 4y 100的正整数解。

x 4x 4 4t 士解：通过观察得方程的一个特解：•万程的通解是（t 为整数），y 18y 18 7t4 4t 13 17•/ x 、y 为正整数，•-t18 7t 147•/ t 为整数，••• t 0, 1或2，将它们分别代入通解,（2）设不定方程有整数解（x 0, y 0），则所有整数解有:X oy o（t 为整数）。

解：设x 、y 是已知方程的整数解，由x,y21之中较小的系数4去除各项得x 214 2154把21和54中的整数分离出来，得4 41 y5 y 4因为5 y 和x 都是整数，则 J 也是整数，设• J k ， 44k 为整数，则y 1 4k ，解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有:共花了 142元，问两种纪念册最少共买了多少本? 解：设小明买了 x 本小纪念册，y 本大纪念册，则有 5x142 2v再设xy a，•5a 2y 142, a 十••• a 是正整数，y 的值越大，a 的值越小，0 y 20 ,•依次取y =20, 19, 18, 17代入a 142 2y 试算，a 都不是正整数。

5变式1:小燕付出了 14.85元买了 A 、B 两种卡片，A 卡片的单价是2.16元，B 卡片的单价是4.23元。

问小燕共买了多少张卡片？解：设小燕买了 A 、B 两种卡片的张数分别为 x 、y ，则2.16x4.23y 14.85 ,• 24x 47y165，可知：y 是奇数，y 是3的倍数；•••当y 3时，x 1 ;当y 9时，显然不合题意; •小燕共买了 4张卡片.例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？得原方程的正整数解为:x 4 x 8 y 18y 1112。

4变式2：求方程7x 19y 213的所有正整数解。

解：方程的一个特解：y25，方程的特解是225 19t （t 为整数），7t•/ x 、y 为正整数，•••25 19t 02 7t 025 19••• t 1或0,二原方程的正整数解为25例2、（ 2005年希望杯）小纪念册每本 5元, 大纪念册每本 7元。

小明买这两种纪念册7y 142，当y 16时，a 22，所以两种纪念册最少共买了22本。

x y z 1005x 3y -3消去z得：7 x1004y 100,显然x 0 , y25是方程的一个特解，•通解为xy4t(t为整数)，25 7t于是有z 100x y 100 4t (257t) 75 3t,由x,y, z 0 ,4t 0即25 7t 0,且t为整数可得t 0, 1, 2 , 3,将t的值代入通解得75 3t 0(X,y,z) = (0, 25, 75), (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84 )。

变式1:旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？解：三人间、二人间、单人间分别为x、y、z间，则有x y z 20 口x10z得这里x、y、z都是非负数, 3x 2y z 50y102z由于y 10 2z 0, / • 0z 5 , •z只能取0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,•••( X, y,z) = (10, 10, 0), (11, 8, 1), ( 12, 6, 2),(13, 4, 3), (14, 2, 4), (15, 0, 5)。

•/ 50人住宿的总消费为W 60x 60y 50z 1200 10z,•••当z 5时，即(x, y,z) = (15 , 0 , 5),总消费最低。

变式2、(2003年全国初中数学竞赛题)若4x 3y 6z 0, x 2y 7z 0 ( xyz 0 ),则代数式5x2 2y22x2 3y22z10z2的值等于(C、15 13解：••• 4x3yx 2y6z7z2 2x 3z 45z 8z代入得：原式-一y 2z 18z2 12z2 10z2z 2 13 ,选D。

例4、求方程x2105的正整数解。

解：••• x2 y2 105 ,• (x y)(x y) 3 5 7 ,•/ x 、y 都是正整数，x y ,••• x y x y ,x y 105 x y 35 x y 21x y13 x y 1 x y 3x y 5x y 7x 53x 19x 13 x 11y 52 y 16y 8 'y。

4- 一 一 一 一 1 1 2 变式2、设p 是大于2的质数且x y ，求方程一 一 一的正整数解。

x y p尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是5,求这个四位数。

解：设四位数分成的前后两位数分别为a 、b ，则10a ab 100a b ,• (a 1)(b 90)90 ,••• a 0, • b 90 0,•/ b 是两位数，且个位数字是 5,「. b 95，贝U a 1 18 , • a 19。

故所求的四位数是 1995.A 、0B 、1c 、 8D 、无穷x y 1x y 1991x y 1 C ••• (x y)(x y) 11 181 , •11991’x y 1991x y x y x y 1991 x y 11 x y 181 x y 11 x y 181 x y 1 x y 181’ x y 11 ' x y181’x y11 '变式1、方程x 2y 2 1991的整数解的个数是（ )这8个方程组的解均为整数，.••原方程的整数解的个数为 8。

(2x p)(2yp) p 2,•p 疋大于 2的质数且xy ,2x p 12x p 2p • 2ppx 2x p 12 2y 2 p p ，2y p , (1)y P 1 ' y 2p py解：•- 一一 Z ，/. 2xyx y p 2 2变式3、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末20 , • 4xy 2 px 2 py ppx py , • 2xy px py变式4、（2009年全国初中数学竞赛试题）关于 x , y 的方程x 2 xy 2y 2 29的整数解（x ，y ）的组数为（ ）.A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组解：可将原方程视为关于 x 的二次方程，将其变形为 x 2 yx （2y 229） 0 .由于该方程有整数根，则判别式>0，且是完全平方数.2 2 2 2116 由 y 4（2y29） 7y 116 > 0，解得y <16.57 .于是显然，只有y 时， 是完全平方数，符合要求.当y 4时，原方程为x 2 4x 3 0，此时x 1 1,x 2当y = — 4时，原方程为x 2 4x 30，此时x 3易知x 1 0，x •- yx 12 x x 1 1 ，: x,y 都是整数，•x 1• x 11c ,x2x 0• •• x 2或x 0,从而。

y 8y 0t x 当 2时, 代入y ax b得: :2a b 8 0;y 8当x 0时，代入y ax b 得：b 0。

y 0 综上所述，a,b 满足的关系式是 2a b 80或b 0 （ a 为任意实数）1凶所以，原方程的整数解为1, Y 1 4;x23,Y 2 4;X 3 1, y 34；x 4 3, y 44.例5、（2004年全国初中数学竞赛试题）已知a,b 是实数，关于x,y 的方程组3 2x ax ax bbx 有整数解x, y ），求a, b 满足的关系式。

解：T y x 3 ax 2bxx 3x(ax b)， y ax b ，二 y33x xy ，即 y(x 1) x ，x 3变式1、方程y 0的整数解有( )x 1A、1组B、2组C、3组D、4组x3 2D y 1 为整数，••• x 1 1, 2，解得x 0, 2,1,3，故有4组。

x 1 x 1、、1 1 1变式2、求方程的正整数解。

x y 2•原方程的正整数解为例6、求方程x y 1 z的质数解。

x y 1能被x 1整除，且x y 1 x 1 1 ,可知x y 1可以分解，即x y 1不等于质数z，但y又是质数，得y 2 ；•- z x2 1 22 1 5 ,••• z 为奇质数，于是x2 z 1 为偶数，• x 2, z 5, 故原方程的质数解是x 2, y 2, z 5。

一 2 2变式1、方程x 2y 1的质数解是 ___________________________ 。

x 3 2•/1为奇数，2y2为偶数，• x必为奇数，令x 2m 1,y 2由x2 (2m 1)2 4(m2 m) 1 4n 1 ( m, n 为正整数)，可得：4n 1 2y2 1 ,2• y 2n ,.•• y为偶数，又T y为质数，• y 2，从而x 3。

变式2、求证对于任意自然数n，方程x2 1 3y n 0无整数解。

证明：当当设x 3k , 3k 1, 3k 2 ( k为自然数)当x 3k时，原方程化为9k2 1 3y n 0,即3(y n 3k2) 1，这是不可能的; 当x 3k 1时，3( y n 3k22k) 2，这是不可能的；1解：•••-y空竺亠2丄x 2 x 2 x 2••• x、y都是正整数, (x 2)|4 , x 2 1 , 2 , 4 ,• x 3, 4, 6, 解：首先y必须是偶数。

否则，由当x 3k 2 时，3( y n 3k2 2k 1) 2，这也是不可能的；所以，方程无整数解。

三、能力训练：1、（2000希望杯）若a,b均为正整数，且2a b , 2a b 10,则b的值为（D ）A、一切偶数B、2或4或6或8C、2或4或6D、2或42、（2006希望杯）方程x y z 7的正整数解有（C ）A、10 组B、12 组C、15 组D、16 组3、方程（x 1）2（y 2）2 1的整数解有（C ）A、1组B、2组C、4组D、无数组4、（2005年希望杯）购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（B ）A . 4.5 元B . 5元C. 6元 D . 6.5 元5、方程6y 6x xy0的正整数解的个数是（)A、1B、2C、3D、4c 36D x 6 -,T x, y均为正整数，•••-36-6且6 y是36的正约数，6 y 6 y从而6 y 9,12,18,36，解得y 3,6,12,30，二•原方程的正整数解有4个。