信号与线性系统分析第二章
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a 1, b 2, c 5
对等号两端从0-到0+进行积分
0 0
y(t ) (t ) 2 (t ) r 1(t )
0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt r1 (t )dt
y(0 ) y(0 ) 2
y(0 ) 1 已知 y(0 ) 1 对等号两端从0-到0+进行积分 y(t ) (t ) 2 (t ) 5 (t ) r 0(t )
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt 5 (t )dt r0 (t )dt
第 9页
3. 全解
自由响应
强迫响应
完全解 = 齐次解 + 特解
注意：特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；
齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。 • 齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关 与激励f(t)的函数形式无关 又叫固有响应或自由响应 •特解的函数形式： 由激励确定 又叫强迫响应
( j) zi
yzi (t ) C zij e
( j) zi
j 1
n
jt
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f ’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=1，f(t)=ε(t) 求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：求解零输入响应
第 7页
• 特解Py(t)： t t y ( t ) Pe • 当 f (t ) 2e ， 其特解可设为： P • 将特解代入微分方程中：
y P (t ) 5 yP (t ) 6 yP (t ) f (t )
y P (t ) Pe
t
y P ( t ) Pe
(t ) 3 y 当t>0时， yzs zs ( t ) 2 yzs ( t ) 6
t
yP (t ) Pe t
P 5P 6P 2 • 整理得： • 微分方程的特解为： yP (t ) e t
• 则微分方程的全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e 2t C2e 3t e t
第 8页
y(t ) C1e 2t C2e 3t e t
y zs ( t ) a ( t ) r 0( t ) y zs ( t ) r 1( t ) y zs ( t ) r 2( t )
代入微分方程得： a 2
yzs (0 ) yzs (0 ) 0, y zs (0 ) yzs (0 ) 2 2
j 1
n
jt
y p (t )
其中：Czsj---待定系数
yp(t)---特解
第 15 页
五. 全响应
由y(j)(0+)
n
由yzi(j)(0+)
y(t) = yzi(t) + yzs(t)
i t
由yzs(j)(0+)
jt
n
y( t ) C i e y p ( t ) C zij e
C cos(t ) D sin( t )e at 或Ae at cos(t ), Ae at C jD
r重共轭复根
第 5页
2. 特解
特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特 解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。
激励f(t) 常数 响应y(t)的特解yp(t) 常数
• • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质
第 2页
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-与0+值 三、零输入响应 四、零状态响应 五、全响应
第 3页
一、微分方程的经典解
对于单输入-单输出系统的激励为f(t)，响应为 y(t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数 学模型是n阶常系数线性微分方程，它可写为： y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 或缩写为： a
y(t ) 2 y(t ) y(t ) f (t ) 2 f (t ) • 已知 y(0 ) 1, y(0 ) 1, f (t ) (t ),求y(0 )和y(0 )
• 解：
y(t ) 2 y(t ) y(t ) (t ) 2 (t )
0 0 0 0 0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) 5
已知
y(0 ) 1
y(0 ) 4
第 13 页
三.零输入响应
yzi ( t ) :没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；
微分方程为齐次方程，即：
a
j 0
n
j
yzi ( t ) 0
j
第二章 连续系统的时域分析
概述： 1.LTI连续系统的时域分析： 建立线性微分方程并 求出响应与激励关系 时域分析法：函数的变量----t 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换 域分析法的基础 经典法 3.时域分析法主要内容： 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分
第 1页
第二章 连续系统的时域分析
y(t ) 2C1e 2t 3C2e 3t e t
由已知条件： y(0) 2, y(0) 1
y(0) C1 C 2 1 2 y(0) 2C1 3C 2 1 1
C1 3，C2 2 联立求解得：
齐次解 特解 2t 3t t y( t ) 3 e 2 e e ,t 0 自由响应 强迫响应
yzi(t)形式同齐次方程： yzi ”(t) + 3yzi ’(t) + 2yzi (t) = 0
齐次方程的特征根为 ： –1， – 2 零输入响应： yzi (t) = Czi1e –t + Czi2e –2t yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)
yzi (0 ) C zi 1 C zi 2 2 y zi (0 ) C zi 1 2C zi 2 1
i 1
n
j 1
C zsj e
j 1
jt
y p (t )
自由响应
强迫响应
零输入响应
零状态响应
第 16 页
响应及各阶导数初始值
响应：
y(t) = yzi(t) + yzs(t)
y（j) (t) = yzi(j)(t) + yzs(j)(t)
(j=0,1,2,-------n-1)
j 1
n
jt
y p (t )
y zs ( t ) 3 yzs ( t ) 2 yzs ( t ) 2 (t ) 6 ( t )
yzs (0 ) y 初始状态： zs (0 ) 0 先求：yzs (0 ), yzs (0 )
( j) yzs (0 ) 0
第 10 页
二．关于0-和0+值
t=0-
f(t)接入 t=0
t=0+
t
y(j)(0-) 初始状态或起始值 反映的是历史状态 与激励f(t)无关
可能变化
f(t)
y(j)(0+)
（0-、 f(t)）共同决定0+
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=右侧是否包含δ(t)、δ (t)--冲击函数匹配法
第 11 页
,
0-和0+初始值举例
• 例：描述某LTI系统的微分方程为
（ Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t
α=r重特征根
P1 cos t P2 sin t 特征根≠±jβ
第 6页
全解=齐次解+特解 例 题
例：描述某LTI系统的微分方程为： y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) t f ( t ) 2 e , t 0; y(0) 2, y(0) 1时的全解。 求输入 解：齐次解yh(t) 齐次微分方程: y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) 0 其特征方程为： 2 5 6 0 其特征根 1 2，2 3 2 t 3 t y ( t ) C e C e 则微分方程的齐次解为： h 1 2
• 配平的原理：微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数 应该平衡，令
y(t ) a (t ) b (t ) c (t ) r 0(t )
y(t ) a (t ) b (t ) r 1(t )
y( t ) a ( t ) r 2( t )
第 12 页
y (0) y (0) y( j ) (0)
yzi (0+)=yzi (0-)= y (0-)
,
,
,
解得：C zi 1 5，C zi 2 3
yzi (t ) 5e t 3e 2t , t 0
第 18 页
系统的零输入响应为:
求解零状态响应
y zs ( t ) C zsj e
且
y（j) (0-) = yzi (j)(0-) + yzs (j)(0-)
y（j) (0+) = yzi (j)(0+) + yzs(j)(0+)
( j) yzs (0 ) 0
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0)
第 17 页
零输入响应和零状态响应举例
j 0 n j
y ( t ) bi f ( i ) ( t )
( j) i 0
m
an=1
高等数学中经典解法：完全解 = 齐次解 + 特解。
y(t ) yh (t ) y p (t )
第 4页
1. 齐次解
齐次方程： 特征方程： 特征根：
y n ( t ) an1 y n1 ( t ) a1 y1 ( t ) a0 y( t ) 0
t
m
Pm t m Pm1t m1 P1t P0 特征根均不为0 t r ( Pm t m Pm1t m1 P1t P0 ) 有r重特征根为0
e
t
α≠特征根 （ P1t P0 )e t α=特征根
Pe t
cos t sin t
yzs ( t ) : 系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的
响应。 方程为非齐次方程:
a
j 0
n
j
( j) yzs ( t ) ai f ( i ) ( t ) i 0
n
( j) (0 ) 0 初始状态: yzs 若微分方程的特征根均为单根,则其零状态响应为：
y zs ( t ) C zsj e
n an1n1 a1 a0 0
i i 1,2, n
齐次解的形式由特征根定:
特征根λ n个单实特征根 r重实根
2 a j 1对共轭复根 1，
i 1
待定系数Ci在求得全解 后由初始条件定
yh ( t )
齐次解
ci e
n
i t
(cr 1t r 1 cr 2 t r 2 c1t c0 )e t
a (t ) (2a b) (t ) (a 2b c) (t ) [r0 (t ) 2r1 (t ) r2 (t )] (t ) 2 (t )
等号两端 (t ) 及其各阶导数的系数应分别相等
a 1, b 2a 0, c 2b a 2
若其特征根均为单根，则其零输入响应:
yzi (t ) C zij e
j 1 n
jt
Czij-----待定系数
由于输入为零，故初始值:
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0),( j 0,1, , n 1)
第 14 页
四. 零状态响应
对等号两端从0-到0+进行积分
0 0
y(t ) (t ) 2 (t ) r 1(t )
0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt r1 (t )dt
y(0 ) y(0 ) 2
y(0 ) 1 已知 y(0 ) 1 对等号两端从0-到0+进行积分 y(t ) (t ) 2 (t ) 5 (t ) r 0(t )
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt 5 (t )dt r0 (t )dt
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3. 全解
自由响应
强迫响应
完全解 = 齐次解 + 特解
注意：特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；
齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。 • 齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关 与激励f(t)的函数形式无关 又叫固有响应或自由响应 •特解的函数形式： 由激励确定 又叫强迫响应
( j) zi
yzi (t ) C zij e
( j) zi
j 1
n
jt
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f ’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=1，f(t)=ε(t) 求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：求解零输入响应
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• 特解Py(t)： t t y ( t ) Pe • 当 f (t ) 2e ， 其特解可设为： P • 将特解代入微分方程中：
y P (t ) 5 yP (t ) 6 yP (t ) f (t )
y P (t ) Pe
t
y P ( t ) Pe
(t ) 3 y 当t>0时， yzs zs ( t ) 2 yzs ( t ) 6
t
yP (t ) Pe t
P 5P 6P 2 • 整理得： • 微分方程的特解为： yP (t ) e t
• 则微分方程的全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e 2t C2e 3t e t
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y(t ) C1e 2t C2e 3t e t
y zs ( t ) a ( t ) r 0( t ) y zs ( t ) r 1( t ) y zs ( t ) r 2( t )
代入微分方程得： a 2
yzs (0 ) yzs (0 ) 0, y zs (0 ) yzs (0 ) 2 2
j 1
n
jt
y p (t )
其中：Czsj---待定系数
yp(t)---特解
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五. 全响应
由y(j)(0+)
n
由yzi(j)(0+)
y(t) = yzi(t) + yzs(t)
i t
由yzs(j)(0+)
jt
n
y( t ) C i e y p ( t ) C zij e
C cos(t ) D sin( t )e at 或Ae at cos(t ), Ae at C jD
r重共轭复根
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2. 特解
特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特 解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。
激励f(t) 常数 响应y(t)的特解yp(t) 常数
• • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质
第 2页
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-与0+值 三、零输入响应 四、零状态响应 五、全响应
第 3页
一、微分方程的经典解
对于单输入-单输出系统的激励为f(t)，响应为 y(t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数 学模型是n阶常系数线性微分方程，它可写为： y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 或缩写为： a
y(t ) 2 y(t ) y(t ) f (t ) 2 f (t ) • 已知 y(0 ) 1, y(0 ) 1, f (t ) (t ),求y(0 )和y(0 )
• 解：
y(t ) 2 y(t ) y(t ) (t ) 2 (t )
0 0 0 0 0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) 5
已知
y(0 ) 1
y(0 ) 4
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三.零输入响应
yzi ( t ) :没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；
微分方程为齐次方程，即：
a
j 0
n
j
yzi ( t ) 0
j
第二章 连续系统的时域分析
概述： 1.LTI连续系统的时域分析： 建立线性微分方程并 求出响应与激励关系 时域分析法：函数的变量----t 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换 域分析法的基础 经典法 3.时域分析法主要内容： 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分
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第二章 连续系统的时域分析
y(t ) 2C1e 2t 3C2e 3t e t
由已知条件： y(0) 2, y(0) 1
y(0) C1 C 2 1 2 y(0) 2C1 3C 2 1 1
C1 3，C2 2 联立求解得：
齐次解 特解 2t 3t t y( t ) 3 e 2 e e ,t 0 自由响应 强迫响应
yzi(t)形式同齐次方程： yzi ”(t) + 3yzi ’(t) + 2yzi (t) = 0
齐次方程的特征根为 ： –1， – 2 零输入响应： yzi (t) = Czi1e –t + Czi2e –2t yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)
yzi (0 ) C zi 1 C zi 2 2 y zi (0 ) C zi 1 2C zi 2 1
i 1
n
j 1
C zsj e
j 1
jt
y p (t )
自由响应
强迫响应
零输入响应
零状态响应
第 16 页
响应及各阶导数初始值
响应：
y(t) = yzi(t) + yzs(t)
y（j) (t) = yzi(j)(t) + yzs(j)(t)
(j=0,1,2,-------n-1)
j 1
n
jt
y p (t )
y zs ( t ) 3 yzs ( t ) 2 yzs ( t ) 2 (t ) 6 ( t )
yzs (0 ) y 初始状态： zs (0 ) 0 先求：yzs (0 ), yzs (0 )
( j) yzs (0 ) 0
第 10 页
二．关于0-和0+值
t=0-
f(t)接入 t=0
t=0+
t
y(j)(0-) 初始状态或起始值 反映的是历史状态 与激励f(t)无关
可能变化
f(t)
y(j)(0+)
（0-、 f(t)）共同决定0+
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=右侧是否包含δ(t)、δ (t)--冲击函数匹配法
第 11 页
,
0-和0+初始值举例
• 例：描述某LTI系统的微分方程为
（ Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t
α=r重特征根
P1 cos t P2 sin t 特征根≠±jβ
第 6页
全解=齐次解+特解 例 题
例：描述某LTI系统的微分方程为： y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) t f ( t ) 2 e , t 0; y(0) 2, y(0) 1时的全解。 求输入 解：齐次解yh(t) 齐次微分方程: y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) 0 其特征方程为： 2 5 6 0 其特征根 1 2，2 3 2 t 3 t y ( t ) C e C e 则微分方程的齐次解为： h 1 2
• 配平的原理：微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数 应该平衡，令
y(t ) a (t ) b (t ) c (t ) r 0(t )
y(t ) a (t ) b (t ) r 1(t )
y( t ) a ( t ) r 2( t )
第 12 页
y (0) y (0) y( j ) (0)
yzi (0+)=yzi (0-)= y (0-)
,
,
,
解得：C zi 1 5，C zi 2 3
yzi (t ) 5e t 3e 2t , t 0
第 18 页
系统的零输入响应为:
求解零状态响应
y zs ( t ) C zsj e
且
y（j) (0-) = yzi (j)(0-) + yzs (j)(0-)
y（j) (0+) = yzi (j)(0+) + yzs(j)(0+)
( j) yzs (0 ) 0
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0)
第 17 页
零输入响应和零状态响应举例
j 0 n j
y ( t ) bi f ( i ) ( t )
( j) i 0
m
an=1
高等数学中经典解法：完全解 = 齐次解 + 特解。
y(t ) yh (t ) y p (t )
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1. 齐次解
齐次方程： 特征方程： 特征根：
y n ( t ) an1 y n1 ( t ) a1 y1 ( t ) a0 y( t ) 0
t
m
Pm t m Pm1t m1 P1t P0 特征根均不为0 t r ( Pm t m Pm1t m1 P1t P0 ) 有r重特征根为0
e
t
α≠特征根 （ P1t P0 )e t α=特征根
Pe t
cos t sin t
yzs ( t ) : 系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的
响应。 方程为非齐次方程:
a
j 0
n
j
( j) yzs ( t ) ai f ( i ) ( t ) i 0
n
( j) (0 ) 0 初始状态: yzs 若微分方程的特征根均为单根,则其零状态响应为：
y zs ( t ) C zsj e
n an1n1 a1 a0 0
i i 1,2, n
齐次解的形式由特征根定:
特征根λ n个单实特征根 r重实根
2 a j 1对共轭复根 1，
i 1
待定系数Ci在求得全解 后由初始条件定
yh ( t )
齐次解
ci e
n
i t
(cr 1t r 1 cr 2 t r 2 c1t c0 )e t
a (t ) (2a b) (t ) (a 2b c) (t ) [r0 (t ) 2r1 (t ) r2 (t )] (t ) 2 (t )
等号两端 (t ) 及其各阶导数的系数应分别相等
a 1, b 2a 0, c 2b a 2
若其特征根均为单根，则其零输入响应:
yzi (t ) C zij e
j 1 n
jt
Czij-----待定系数
由于输入为零，故初始值:
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0),( j 0,1, , n 1)
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四. 零状态响应