中考二次函数性质拔高真题
二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)
B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限y=ax+1 与二次函数y=x +a 的图象可能是（
y＞0，则x 的取值范围是（
9、已知函数y=x -2x-2 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1 成立的x 的取值范围是（）
类型二：二次函数的性质
1、（2010?兰州）二次函数y=-3x -6x+5 的图象的顶点坐标是（
A．（-1，8）B．（1，8）C．（-1，2）D．（1，-4）
y=-2（x-3）+5，则此抛物线（
B．顶点坐标为（-3，5）
D．当x＞3 时y 随x 的增大而减小
4、（2012?德阳）设二次函数y=x +bx+c，当x≤1 时，总有y≥0，当1≤x≤3 时，总有y≤0，那么 c 的取
标为（2，-3）．④点（- ，-9）在抛物线上．⑤抛物线与
6、（2012?河北）如图，抛物线y1= a（x+2）-3 与y2= （+1 交于点A（1，3），过点 A 作x 轴的平行
B，C．则以下结论：
abc，b -4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，请分别判断其值①c＜1；②2a+b=0；③b ＜4ac；④若方程ax +bx+c=0
y=ax +bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
C．4 个D．1 个。
九年级数学中考复习：二次函数拔高专题精讲精练(解析版)
2019-2020学年中考复习：二次函数拔高专题精讲精练（含答案解析）1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。
解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），2．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题。
初三数学二次函数拔高题及答案
二次函数试题一;选择题：1、 y =（m-2）x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=（）A-1B2C-1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系的解析式是（B y=—(x+2) 2+2C y=—x+2) 2+25、抛物线y=1X 2-6X +242 B (— 6, 6) A (— 6,— 6) 6、 已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示, ① abc 〈0 ② a + c 〈bA 1B 27、函数 y=ax 2-bx+c b a c C (a ^ 0) cA -1 C (6, 6) ③ a+b+c > 0 ④ 3 D 4 的图象过点（-1 , 0），则 a b 1 C - 2y= ax+c 与二次函数的值是（ 12y=ax_+bx+c (a * 0), 8、已知一次函数 它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=- x 2,则抛物线 A y=—(x-2) 2+22 217、抛物线y= ( k+1) x +k -9开口向下，且经过原点，则k = ----------解答题：(二次函数与三角形)391、已知：二次函数y=_x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点(2,-—)•44AMC (1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧)，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大, 并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中, 抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴交于点C (0, 4),顶点为( 1, ! )•(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求岀S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.4 23、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 3X + bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N •问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 27(二次函数与四边形) 4、已知抛物线y =-x2_mx • 2m __ .2 2(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x- 1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx2- 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且 / BAC=90°.(1)填空：OB = _ ▲，OC = _ ▲;(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于x轴的直线I: x= n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值.l: x= n学习资料收集于网络，仅供参考6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC // AD，/ BAD=90 ° , BC与y轴相交于点M，且M是BC 的中点，A、B、D三点的坐标分别是A ( _1，0 )，B ( _1，2 )，D (3, 0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y =ax2亠bx亠C经过点D、M、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值.27、已知抛物线y二ax -2ax -3a (a ::: 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF 上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a^0的图象经过M (1, 0)和N (3, 0)两点，且与y轴交于D (0, 3),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2) 若过点A (- 1 , 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.3) 点P在抛物线的对称轴上，。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质》拔高练习
《二次函数的图象和性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣22．（5分）若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所以满足条件的整数a的是（）A．﹣2B．1C．0D．33．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．4a﹣2b+c＞04．（5分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间．下列判断中，正确的是（）A．b2＜4ac B．2a+b＝0C．a﹣3b+c＞0D．＜b＜25．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知二次函数y＝﹣+m的图象上有三点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（请用“＜”连接）．7．（5分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2mx+2上．当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，则m的取值范围为．8．（5分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是．9．（5分）把抛物线y＝3x2沿y轴向下平移2个单位后，所得新抛物线的函数表达式是．10．（5分）过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，0），（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．12．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．13．（10分）已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．14．（10分）（1）解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用配方法求抛物线y＝x2+2x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．（10分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．《二次函数的图象和性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）A．开口向上B．顶点（2，﹣1）C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误，顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（5分）若数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x+b，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所以满足条件的整数a的是（）A．﹣2B．1C．0D．3【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【解答】解：解分式方程+＝2可得y＝，∵分式方程+＝2的解是非负实数，∴a≥﹣2，∵y＝x2+（a﹣1）x+b，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴≤﹣1，解得a≥3，综上可知满足条件的a的值为3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．3．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．4a﹣2b+c＞0【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵c＝﹣3，∴abc＞0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（2，0），∴对称轴方程为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，故C错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．4．（5分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间．下列判断中，正确的是（）A．b2＜4ac B．2a+b＝0C．a﹣3b+c＞0D．＜b＜2【分析】根据抛物线与x轴有两个交点故得到b2＞4ac，故A选项错误；根据对称轴方程得到2a﹣b＝0，故B选项错误；由抛物线的开口向上，得到a＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，得到a﹣3b+c＜0，故C选项错误；由于抛物线与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，得到﹣3＜c＜﹣2，当x＝1时，a+b+c＝0，求得c＝﹣a﹣b，得到a ＝b，解不等式组得到＜b＜2，故D选项正确．【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，经过点（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴△＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A选项错误；∵﹣＝﹣1，∴2a＝b，∴2a﹣b＝0，故B选项错误；∵抛物线的开口向上，∴a＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0，∴﹣3b+c＜﹣9a，∴a﹣3b+c＜﹣9a+a＝﹣8a＜0，∴a﹣3b+c＜0，故C选项错误；∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，∴﹣3＜c＜﹣2，当x＝1时，a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＝b，∴c＝﹣b，∴﹣3＜﹣b＜﹣2，∴＜b＜2，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故①正确；②当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，故②错误；③由对称轴可知：＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；④由图象可知：a＜0，c＞0，对称轴可知：＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故④正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知二次函数y＝﹣+m的图象上有三点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2（请用“＜”连接）．【分析】分别计算自变量为﹣1，0，3对应的函数值得到y1，y2，y3的值，然后比较它们的大小．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣+m＝﹣+m；当x＝0时，y2＝﹣+m＝m；当x＝3时，y3＝﹣+m＝﹣+m；所以y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．（5分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2mx+2上．当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，则m的取值范围为m≥﹣2．【分析】根据二次函数图象的对称轴和二次函数图象的增减性解答．【解答】解：如图，当2＜x1＜x2时，满足y1＜y2，此时点A、B均在直线x＝2的右侧．而y＝x2+2mx+2＝（x+m）2+2﹣m2，对称轴是直线x＝﹣m，所以﹣m≤2，所以m≥﹣2．故答案是：m≥﹣2．【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要掌握二次函数图象的增减性和二次函数图象的对称性质．8．（5分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是﹣3．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（2，﹣3），也就是当x＝2时，函数有最大值﹣3．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴此函数的顶点坐标是（2，﹣3），且抛物线开口方向向下，即当x＝2时，函数有最大值﹣3．故答案是：﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．9．（5分）把抛物线y＝3x2沿y轴向下平移2个单位后，所得新抛物线的函数表达式是y ＝3x2﹣2．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝3x2向下平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为：y ＝3x2﹣2．故答案为：y＝3x2﹣2．【点评】本题考查主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．（5分）过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+2．【分析】本题可以根据三点坐标来设二次函数的一般式y＝ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组解出a、b、c，但是本题所给条件很特殊，因为（﹣1，0）、（3，0）都在x轴上，很容易看出对称轴是直线x＝1，再看到第三个点坐标正好是（1，2），由此可知，这一点肯定是抛物线的顶点，所以也可以设顶点式来解决这一题更方便．【解答】解：由于抛物线过（﹣1，0）、（3，0）可知抛物线对称轴是直线x＝1，而又因抛物线过（1，2），所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+2得a＝﹣故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2【点评】本题考查的是根据条件用待定系数法求二次函数的解析式，掌握解析式的三种基本形式是重点，关键要学会分析条件选取合理设法，才能使问题简单化．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，0），（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y＝2x2﹣5x+3；（2）抛物线解析式为y＝2x2﹣5x+3＝2（x﹣）2﹣，将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，解析式变为y＝2x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．12．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，由勾股定理得，BC＝＝5，设直线BC的解析是为y＝kx+b，则，解得，，∴直线BC的解析是为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（a，﹣a+3），DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴＝，即＝，解得，DE＝DM∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，当a＝2时，DE取最大值，最大值是．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．13．（10分）已知一抛物线y＝ax2+bx和抛物线y＝﹣2x2的形状及开口方向完全相同，且经过点（1，6）（1）求此抛物线解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【分析】（1）先求出a，再把点的坐标代入解析式，即可求出b；（2）先化成顶点式，即可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的形状和开口方向与y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2+bx∵图象经过点（1，6）代入得：6＝﹣2+b，解得：b＝8，∴抛物线的解析式是y＝﹣2x2+8x；（2）y＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，即抛物线的顶点坐标是（2，8）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．14．（10分）（1）解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；（2）用配方法求抛物线y＝x2+2x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标．【分析】（1）先把方程变形得到x2﹣2x＝，再利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：（1）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，2）．【点评】此题考查了二次方程的解法和二次函数的性质，关键是根据配方法和直接开平方法解方程．15．（10分）将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），求a、b的值．【分析】根据抛物线平移后经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），利用方程组求得a，b的值即可．【解答】解：二次函数图象向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，﹣5），可得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5），得，解得a＝﹣2，b＝4．【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线平移规律求得原二次函数图象经过点（1，3）、（3，﹣5）是解题的关键．。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一次函数综合(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一次函数综合1．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1）你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y=−x+b的图象交于A，C两点．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积；（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．3．如图，已知，抛物线l1：y=ax2﹣4ax+5+4a（a＜0）的顶点为A，直线l2：y=kx+3过点A，直线l2与抛物线l1及y轴分别交于B，C．（1）求k的值；（2）若B为AC的中点，求a的值；（3）在（2）的条件下，直接写出不等式ax2﹣4ax+5+4a＜kx+3的解集．4．有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1（万元）与投资成本x（万元）满足如图①所示的二次函数y1=ax2；种植柏树的利润y（万元）与投资成本x（万元）满足如图②所示的正比例函数y2=kx．2（1）分别求出利润y1（万元）和利润y2（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？5．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）6．如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(−1,2)，B(2,5).（1）求线段AB与y轴的交点坐标；（2）若抛物线y=x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；（3）若抛物线y=x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围. 7．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．8．某商场以每千克40元的价格购进某种海鱼，计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种海鱼销售量y（kg）与每千克降价x （元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）商场在销售这种海鱼中要想获利2090元，则这种海鱼每千克应降价多少元？共销售了多少千克这种海鱼？9．定义：连接抛物线上两点的线段叫抛物线的弦，在这两点之间抛物线上的任意一点P与此两点构成的三角形称作抛物线的弦三角，点P称作弦锥，设点P的横坐标为x．已知抛物线经过A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）三点，P是抛物线上AC之间的一点，以AC为弦的弦三角为△P AC.（1）图一，当m＝2，n＝1时，求该抛物线的解析式，若x＝k1时△P AC的面积最大，求k1的值．（2）图二，当m＝2，n≠1时，用n表示该抛物线的解析式，若x＝k2时△P AC的面积最大，求k2的值．k1与k2有何数量关系？（3）图三，当m≠2，n≠1时，用m，n表示该抛物线的解析式，若x＝k3时△P AC的面积最大，求k3的值．观察图1，2，3，过定点A、C，根据B在各种不同位置所得计算结果，你发现通过两个定点的抛物线系中，以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时，弦锥的横坐标有何规律？10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1经过点A(2，−1)，它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC=∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC=∠DBC+45°，直接写出点P坐标．11．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间t为何值时，EC=ED？（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与轴交于点C(0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在轴下方的动点，过M作MN△y轴交直线BC于点N.求线段MN的最大值；（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 13．如图，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过点C交x轴于E（6，0）．（1）写出顶点D的坐标和直线l的解析式．（2）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于NN连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点.（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD△AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.15．已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b(ab≠0)．在同一平面直线坐标系中（1）若函数y1的图象过点(−1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．①求证：2a+b=0．②当1<x<32时，比较y1，y2的大小．16．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣42+bx+c经过点A，B．3x（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M 的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．答案解析部分1．【答案】（1）解：解方程组{y=x2y=2x得{x=0y=0或{x=2y=4，所以A点坐标为(2， 4)（2）解：①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图，当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，而A(2， 4)，所以P点坐标为(4， 0)．②当OA=OP时，∵A(2， 4)，∴OA=√22+42=2√5，则P(±2√5， 0).③当AP=OP时，如图，过点P作PQ⊥AO于点Q．设P(t， 0)．则Q(1， 2)．故12OA⋅PQ=12OP×4，即12×2√5×√(1−t)2+22=12t×4，解得t=5，即(5， 0)．综上所述，符合条件的点P的坐标是(4， 0)或(2√5， 0)或(−2√5， 0)或(5， 0)2．【答案】（1）解：当y=0时，x2−2x−3＝0，解得：x1=−1，x2=3，∴抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）．∵直线y=−x+b经过A点，∴0=−(−1)+b，∴b＝−1；（2）解：把y=−x−1代入y=x2−2x−3中得：x2−2x−3＝−x−1，整理得x2−x−2＝0解得：x=−1（舍），x=2，把x=2代入y=−x−1，得y=−3，∴C（2，－3），∴S△ABC=12×[3−(−1)]×|−3|＝6（3）解：根据图象可得：在线段AC部分，直线函数值在抛物线函数值上方，结合A （－1，0），C（2，－3），∴−1<x<2，当−1<x<2时，一次函数值大于二次函数值．3．【答案】（1）解：∵y=ax2﹣4ax+5+4a=a（x﹣2）2+5，∴顶点A的坐标为（2，5），∵y=kx+3过点A（2，5），∴2k+3=5，∴k=1（2）解：∵一次函数的解析式为y=x+3，∴C（0，3），∵B为AC的中点，∴B（1，4），把B（1，4）代入y=a（x﹣2）2+5得a+5=4，∴a=﹣1（3）解：不等式ax2﹣4ax+5+4a＜kx+3的解集为x＜1或x＞24．【答案】（1）把（4，1）代入y1=ax2中得：16a=1，a= 116，∴y=116x2．1把（2，1）代入y2=kx中得：2k=1，k= 12 ，∴y 2=12x ；（2）设种植桃树的投资成本x 万元，总利润为W 万元， 则种植柏树的投资成本（10﹣x ）万元，则W= y 1+y 2 = 116x 2+12(10−x) = 116(x −4)2+4 ，由图象得：当2≤x≤8时，当x=4时，W 有最小值，W 小=4， 当x=8时，W 有最大值，W 大= 116 （8﹣4）2+4=5．答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．5．【答案】（1）解：设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：{100＝60k +b 80＝70k +b，解得： {k ＝−2b ＝220，故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）解：设药店每天获得的利润为W 元，由题意得： w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x=80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.6．【答案】（1）解：设线段 AB 所在直线函数解析式为 y =kx +b ，则 {−k +b =22k +b =5 ，解得 {k =1b =3∴y =x +3 ，故交点为 (0,3) .（2）解：∵抛物线 y =x 2+mx +n 经过A ，B 两点， ∴{1−m +n =24+2m +n =5 ， 解得 {m =0n =1,,∴y =x 2+1（3）解：∵抛物线 y =x 2+mx +3 与线段 AB 有两个公共点， ∴{y =x 2+mx +3y =x +3 ， 可得 x +3=x 2+mx +3 ， 整理得， x 2+(m −1)x =0∵抛物线 y =x 2+mx +3 与线段 AB 有两个公共点， ∴x 2+(m −1)x =0 有两个不等的实数根， 即 Δ=b 2−4ac =(m −1)2>0 ， 即当m≠1时， (m −1)2>0 ； 解方程 x 2+(m −1)x =0 得， x 1=0,x 2=1−m ，∵线段AB 的取值范围为： −1≤x ≤2 ， ∴①−1≤1−m <0 时，得 1<m ≤2 ， ②0<1−m ≤2 时，得 −1≤m <1 ， 综上，m 的取值范围为 −1≤m ≤2 且m≠1.7．【答案】（1）解：由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度（2）解：由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，可设y=a （x ﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣ 15，则y=﹣ 15（x ﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣ 15（x ﹣1）2+0.45，解得：x 1= 52，x 2=﹣ 12 （舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是 52m（3）解：①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（ 52，0），代入y=a （x ﹣3）2+k ，得（ 52﹣3）2a+k=0，化简得：k=﹣ 14 a ；②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，由题意可得，扣杀路线在直线y= 110 x 上，由①得，y=a （x ﹣3）2﹣ 14a ，令a （x ﹣3）2﹣ 14 a= 110 x ，整理得：20ax 2﹣（120a+2）x+175a=0， 当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时符合题意， 解方程得：a 1= −6+√3510 ，a 2= −6−√3510， 当a 1= −6+√3510 时，求得x=﹣ √352 ，不符合题意，舍去；当a 2= −6−√3510 时，求得x= √352，符合题意8．【答案】（1）解：设y 关于x 的函数表达式为y=kx+b (k ≠0) ，根据题意，得 {2k +b =1204k +b =140 ，解得 {k =10b =100，所以y 关于x 的函数表达式为y=10x+100；（2）解：由题意，得（60-40-x ）（10x+100）=2090， 整理得 x 2−10x +9=0 ， 解得：x=1，或x=9，因为要让顾客得到更大的实惠，所以x=9， 当x=9时， y =10×9+100=190 （kg ）.答：商场要想获利2090元，则这种海鱼每千克应降价9元，共销售了190千克这种海鱼.9．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ，当m ＝2，n ＝1时，把A （1，2）、B （2，1）、C （3，﹣2）代入，得 {a +b +c =24a +2b +c =19a +3b +c =−2 ，解得： {a =−1b =2c =1 ， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x+1，∵A （1，2）、C （3，﹣2），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x+4，∵P （k 1，﹣k 12+2k 1+1），过点P 作PD△x 轴于点D ，交直线AC 于点E ，如图4，则点E（k1，﹣2k1+4），∴PE=−k12+2k1+1+2k1−4=−k12+4k1−3，∴SΔPAC=12PE×(x C−x A)=12PE×2=PE=−k12+4k1−3=−(k1−2)2+1，∴当k1＝2时，△PAC的面积最大；（2）解：当m＝2，n≠1时，把A（1，2）、B（2，n）、C（3，﹣2）代入，得：{a+b+c=24a+2b+c=n9a+3b+c=−2，解得：{a=−nb=4n−2c=4−3n，∴抛物线的解析式为：y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），①若n>0，∵P（k2，﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)），过点P作PD△x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，则点E（k2，﹣2k2+4），∴PE=﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)+2k2－4=﹣nk22+4nk2﹣3n，∴SΔPAC=12PE×(x C−x A)=12PE×2=PE=−nk22+4nk2−3n=−n(k2−2)2+ n，∴当k2＝2时，△PAC的面积最大；②若n<0，如图5，则PE=﹣2k2+4+nk22－（4n﹣2）k2－(4﹣3n)=nk22－4nk2+3n，∴SΔPAC=12PE×(x C−x A)=12PE×2=PE=nk22−4nk2+3n=n(k2−2)2−n，∴当k2＝2时，△PAC的面积最大；综上，当k2＝2时，△PAC的面积最大；∴k1＝k2；（3）解：当m≠2，n≠1时，把A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）代入，得：{a+b+c=2m2a+mb+c=n9a+3b+c=−2，解得：{a=2m+n−4m2−4m+3b=−2m2+4n−10m2−4m+3c=4m2−10m+3nm2−4m+3，∴抛物线的解析式为：y=2m+n−4m2−4m+3x2−2m2+4n−10m2−4m+3x+4m2−10m+3nm2−4m+3，则P（k3，2m+n−4m2−4m+3k32−2m2+4n−10m2−4m+3k3+4m2−10m+3nm2−4m+3），①若2m+n−4m2−4m+3<0，过点P作PD△x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，则点E（k3，﹣2k3+4），∴PE=2m+n−4m2−4m+3k32−2m2+4n−10m2−4m+3k3+4m2−10m+3nm2−4m+3+2k3−4=2m+n−4m2−4m+3(k32−4k3+3)，∴SΔPAC=12PE×(x C−x A)=12PE×2=PE=2m+n−4m2−4m+3(k32−4k3+3)=2m+n−4 m2−4m+3(k3−2)2−2m+n−4m2−4m+3，∴当k3＝2时，△PAC的面积最大；②若2m+n−4m2−4m+3>0，如图5，则PE= −2k3+4−2m+n−4m2−4m+3k32+2m2+4n−10 m2−4m+3k3−4m2−10m+3nm2−4m+3=−2m+n−4m2−4m+3(k32−4k3+3)，∴SΔPAC=12PE×(x C−x A)=12PE×2=PE=−2m+n−4m2−4m+3(k32−4k3+3)=−2m+n−4 m2−4m+3(k3−2)2+2m+n−4m2−4m+3，∴当k3＝2时，△PAC的面积最大；综上，当k3＝2时，△PAC的面积最大；综上所述，过定点A、C，根据B在各种不同位置所得计算结果，可以发现通过两个定点的抛物线系中，以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时，弦锥的横坐标均相等．10．【答案】（1）解：∵点A(2，−1)在抛物线y=ax2+bx−1上，∴4a+2b−1=−1，∴−b2a=1，∴对称轴为x=1，∴B(1，0)；（2）解：∵直线y=x+1与此抛物线的对称轴x=1交于点C，∴C(1，2)，∴BC=2，∵∠DEB=45°，∠xBA=45°，∴∠BCD=∠CBA=135°，∵∠BDC=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BCAB=CD BC∴BC2=CD×AB，∴CD=2√2，设点D(m，m+1)，∵C(1，2)，∴(m−1)2+(m+1−2)2=(2√2)2，∴m=3或m=−1（舍），∴D(3，4)，∵点D在抛物线y=ax2+bx−1上，∴9a+3b−1=4，∵4a+2b−1=−1，∴a=53，b=−103，∴抛物线解析式为y=53x 2−103x−1；（3）解：如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，∵直线CD：y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=−1，∴F(0，1)，E(−1，0)，∴OF=1=OB，OE=OF=1，∴∠OBF=∠CBF=45°，∠OEF=∠OFE=45°，∴∠PDC=∠DBC+45°=∠DBF，∵∠CFB=∠OEF+∠OBF，∴∠CFB=90°，∵BF=√12+12=√2，FD=√(3−0)2+(4−1)2=3√2，∴tan∠DBF=DFBF=3√2√2=3，∴tan∠PDC=3，连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，∴tan∠PDC=GHHD=3，设HD=x，则GH=3x，∵∠GFH=∠OFE=45°，∴GH=FH=3x，∴DF=4x=3√2，解得x=3√24，∵GF=√GH2+FH2=3√2x，∴GF=92，∴GO=92+1=112，∴G(0，112)，设直线 PD ：y =kx +112 ，代入点 D(3，4) ，得 k =−12 ，∴ 直线 PD ：y =−12x +112，令 y =−12x +112=53x 2−103x −1 ，整理得 10x 2−17x −39=0 ，解得 x =3 或 −1310，∴P 的坐标为 (−1310，12320) ．11．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2−3x +4 与 x 轴分别交于点 A 和点 B ，交 y 轴于点 C ，∴当 x =0 时， y =4 ，即 C(0,4) ，当 y =0 时， −x 2−3x +4=0 ， x 1=−4 ， x 2=1 ，即 A(−4,0) ， B(1,0) ，设直线 AC 的解析式为： y =kx +b 则 {0=−4k +b 4=b ，∴{k =1b =4， ∴直线 AC 的表达式： y =x +4 ．（2）解：∵点 P 沿 OA 以每秒1个单位长度的速度由点 O 向点 A 运动， ∴OP =t ， P(−t,0) ， ∵DP ⊥x 轴，∴E(−t,−t +4) ， D(−t,−t 2+3t +4) ， ∴DE =−t 2+4t ∵A(−4,0) ， C(0,4) ， ∴OA =4 ， OC =4 ， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠CAO =45° ，由勾股定理得： AC =4√2 ， ∵DP ⊥x 轴，在 Rt △APE 中， ∠CAP =45° ， ∴△AEP 也是等腰直角三角形，∴AP =PE =4−t ， AE =√2(4−t) ， ∴EC =AC −AE =√2t ，∴当 −t 2+4t =√2t 时，即 t =0 或 t =4−√2 时， EC =ED ．（3）解：在 Rt △AEP 中， ∠OAC =45° ， ∴AP =EP ，∴△EBP 的周长： EP +BP +BE =AP +BP +BE =AB +BE ． ∴当 BE 最小时 △EPB 的周长最小． 当 BE ⊥AC 时， BE 最小， ∵B(1,0) ， ∴AB =5 ，在 Rt △AEB 中， ∠AEB =90° ， ∠BAC =45° ， AB =5 ， BE ⊥AC ，∴PB =12AB =52，∴OP =PB −OB =32，∴P(−32,0) ．12．【答案】（1）解：把点B （3，0）、C （0，3）分别代入抛物线解析式得{9+3b +c =0c =3解得 {b =−4c =3∴抛物线的解析式为：y=x 2-4x+3； （2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+3 把点B （3，0）代入得，k=-1 ∴直线BC 的解析式为y=-x+3 设点M 的坐标为（m ，m 2-4m+3），∵MN△y 轴∴点N 的坐标为（m ，-m+3）∴线段MN=-m+3-（m 2-4m+3）=-m 2+3m=- (m −32)2+94∵1<m<3∴当m= 32 时，MN 最大值= 94,（3）存在这样的点F ，理由如下 ： ①当以AB 为对角线时，如图1.∵四边形为平行四边形，EA=EB ∴平行四边形AFBE 是菱形∴点F 也在对称轴上，即F 点为抛物线的顶点， ∴F(2,-1)②当以AB 为边时，如图2.以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，∴EF=AB=2，即F 2E=2或F 1E=2∴F 1的横坐标为0，F 2的横坐标为4对于y=x 2-4x+3当x=0时，y=3,当x=4时，y=3∴F 1（0,3），F 2(4,3)综上所述，F 点坐标为（2,-1）、(0,3）、(4,3）13．【答案】（1）解：当x=0时，y=﹣x 2+x+6=6，则C （0，6），y=﹣x 2+x+6=﹣（x ﹣ 12 ）2+ 234 ，则D 点坐标为（ 12 ， 234）， 设直线l 的解析式为y=kx+b ，把C （0，6），E （6，0）代入得 {6k +b =0b =6 ，解得 {k =−1b =6， ∴直线l 的解析式为y=﹣x+6（2）解：存在．直线CN 交x 轴于P ，作PH△l 于H ，如图，利用折叠的性质得CN 平分△MCM′，则根据角平分线的性质得PO=PH ，设OP=t ，则PH=t ，PE=6﹣t ，∵OC=OE ，∴△OCE 为等腰直角三角形，∴△PEH=45°，∴△PEH 为等腰直角三角形，∴PE= √2 PH ，即6﹣t= √2 t ，解得t=6（ √2 +1），∴P（6（√2+1），0），设直线PC的解析式为y=mx+n，把C（0，6），P（6（√2+1），0）代入得{n=66(√2+1)m+n=0，解得{m=−(√2+1)n=6，∴直线PC的解析式为y=﹣（√2+1）x+6，解方程组{y=−x2+x+6y=−(√2+1)x+6得{x=0y=6或{x=2+√2y=2−3√2，∴N（2+ √2，2﹣3 √2），∴QN△x轴，∴Q（2+ √2，0）．14．【答案】（1）解：OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）解：抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）解：直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴△OAC＝△OCA＝45°，∵PH△y轴，∴△PHD＝△OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HPsin△PFD＝√22（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣√22x2+2 √2x，∵−√22＜0，∴PD 有最大值，当x ＝2时，其最大值为2 √2 ， 此时点P （2，﹣6）.15．【答案】（1）解：由题意得 {0=a −b 2=a +b , ，解得： {a =1b =1,（2）解：①∵y 1=ax 2+bx =a(x +b 2a )2−b 24a ，∴顶点坐标为： (b −2a ，−b 24a) ，∵函数 y 2 图象过 y 1 顶点，∴−b 24a =a(−b 2a )+b ，即： −b 22a=b ，∴b 2=−2ab ，∵ab ≠0 ，∴b =−2a ，∴2a +b =0 ．②∵b =−2a ，∴y 1=ax 2+bx =ax 2−2ax =ax(x −2) ， y 2=ax +b =ax −2a =a(x −2) ，∴y 1−y 2=a(x −2)(x −1) ，∵1<x <32 ，∴x −2<0 ， x −1>0 ， (x −2)(x −1)<0 ，当 a >0 时， a(x −2)(x −1)<0 ， y 1<y 2 ；当 a <0 时， a(x −2)(x −1)>0 ， y 1>y 2 ．16．【答案】（1）解：∵y=﹣ 23x+c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ， ∴0=﹣2+c ，解得c=2，∴B （0，2），∵抛物线y=﹣ 43x 2+bx+c 经过点A ，B ， ∴{−12+3b +c =0c =2 ，解得 {b =103c =2， ∴抛物线解析式为y=﹣ 43 x 2+ 103x+2 （2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣ 23x+2，∵M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，∴P （m ，﹣ 23 m+2），N （m ，﹣ 43 m 2+ 103 m+2），∴PM=﹣ 23 m+2，PA=3﹣m ，PN=﹣ 43 m 2+ 103 m+2﹣（﹣ 23 m+2）=﹣ 43m 2+4m ，∵△BPN 和△APM 相似，且△BPN=△APM ，∴△BNP=△AMP=90°或△NBP=△AMP=90°，当△BNP=90°时，则有BN△MN ，∴N 点的纵坐标为2，∴43m 2+103m +2=2 ，解得m=0（舍去）或m=52， ∴M （52，0）；当△NBP=90°时，过点N作NC△y轴于点C ，则△NBC+△BNC=90°，NC=m，BC=43m2+103m+2−2= 43m2+103m，∵△NBP=90°∴△NBC+△ABO=90°∴△ABO=△BNC∴Rt△NCB△Rt△BOA，∴NCOB=CBOA∴m 2=−43m2+103m3，解得m=0（舍去）或m=118，∴M（118，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（52，0）或（118，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣23m+2），N（m，﹣43m2+ 103m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣23m+2）=﹣43m2+ 103m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= 1 2；当M为线段PN的中点时，则有﹣23m+2+（﹣43m2+ 103m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣23m+2=2（﹣43m2+ 103m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣1 4；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为12或﹣1或﹣14。
专题22.1 二次函数的图形和性质(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年九年级数学上册真题汇编
2024-2025学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题22.1 二次函数的图形和性质（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.59姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•青岛二模）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2分）（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥13．（2分）（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣44．（2分）（2022秋•连云港期末）在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2）、Q（m，n2﹣1），其中m≥0，则下列函数的图象可能同时经过P、Q两点的是（）A．y＝2x+b B．y＝ax2+2ax+c（a＞0）C．y＝ax+2（a＞0）D．y＝﹣x2﹣2x+c（c＞0）5．（2分）（2023秋•金安区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y26．（2分）（2022秋•恩施市期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．（2分）（2022秋•江汉区校级期末）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y1），B（m，y2），C（n，y3），且|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）（2023•青秀区校级开学）若y＝（m﹣2）﹣x+1是二次函数，则m的值是（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．（2分）（2023•呼和浩特）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣＜m≤﹣或≤m＜．④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2分）（2023•新建区校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+k与y＝kx+a（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•越城区期末）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是．12．（2分）（2023•东洲区模拟）已A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则yy2，y3的大小关系为．1，13．（2分）（2022秋•泗阳县期末）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是．14．（2分）（2022秋•雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），，（2，y3）在该函数图象上，y2＜y3＜y1，其中正确结论有．（填序号）15．（2分）（2023•新市区校级开学）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，D（0，1），若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．16．（2分）（2023•长乐区校级开学）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下表格：x… 1 2 3 4 …y＝ax2+bx+c…0 ﹣1 0 3 …那么该二次函数在x＝0时，y＝．17．（2分）（2023•仓山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E 分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为．18．（2分）（2023•盘龙区校级开学）已知点A（2，y1）、B（3，y2）在二次函数y＝﹣x2+2的图象上，那么y1y2（填“＞”、“＝”、“＜”）．19．（2分）（2023•鼓楼区校级开学）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是．20．（2分）（2023•沭阳县二模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4x图象x轴下方的部分关于x 轴翻折，得到函数y＝|x2﹣4x|的图象，已知直线y＝x+m（m为常数）与该图象有三个交点，则m的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•工业园区校级二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m．（1）当m＝3时，求二次函数y＝x2+3x+m上的“零和点”；（2）若二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，求m的值．22．（6分）（2023•海淀区校级开学）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1 ﹣0 1 2 3 …y…m﹣1 ﹣﹣2 ﹣﹣1 2 …（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当0≤x≤3时，y的取值范围是．23．（8分）（2023•深圳模拟）小明对函数y1＝的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为1时，函数值为4；当自变量x的值为2时，函数值为3；探究过程如下，请补充完整：（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝3x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式y1≤y2的解集：．24．（8分）（2023•柘城县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A（0，2）和B（4，6）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线AC向上平移，在平移的过程中，直线AC与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若5≤DE≤8，求点D的纵坐标y D的取值范围．25．（8分）（2023•南明区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y 轴交于点C．抛物线y＝﹣+bx+c经过点A、C．（1）求抛物线解析式及顶点M坐标；（2）P为抛物线第一象限内一点，使得△PAC面积最大，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）当m≤x≤m+1时，（1）中二次函数有最大值为﹣2，求m的值．26．（8分）（2023•海淀区校级开学）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．（1）求二次函数的对称轴；（2）当A（﹣1，0）时，①求此时二次函数的表达式；②把y＝ax2﹣2ax﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．。
二次函数拔高综合题全集（含答案）
1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22¹+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式； （2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
的坐标；若不存在，请说明理由。
．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+ìí=î，．···································································· （1分）分）解得124a c ì=-ïíï=î，． ················································································································ （2分）分） \所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分）分） （2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ^轴于点G ． 由21402x x -++=，得12x =-，24x =． \点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分）分） 6AB \=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC \△∽△．EG BQCO BA\=， 即246EG m +=．243m EG +\=． ············· （5分）分） CQECBQEBQ S S S\=-△△△YXECA DQBO28题图题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +æö=+-ç÷èø 2128333m m =-++··························· （6分）分） 21(1)33m =--+．又24m -≤≤，\当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分）分） （3）存在．）存在．在ODF △中．中． （ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF \===．又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC \Ð=．45DFA OAC \Ð=Ð=．90ADF \Ð=．此时，点F 的坐标为(22)，． 由21422x x -++=，得115x =+，215x =-． 此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分）分） （ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ^轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM \=， \在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F \，． 由21432x x -++=，得113x =+，213x =-．此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ················································· （9分）分）（ⅲ）若OD OF =，4OA OC ==，且9042AOC AC Ð=\=，，\点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．是等腰三角形． ······································ （10分）分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，速运动，运动的速度为每秒运动的速度为每秒1个单位长度，个单位长度，设运动的时间为设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，的对称轴，\在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB \=-=-=．2CE \=．E \点坐标为（2，4）． ································································································· 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD \-+= ． 解得：52CD =．D \点坐标为502æöç÷èø，······································································································· 3分 （2）如图①PM ED ∥，APM AED \△∽△．PM AP ED AE \=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM \=´=， 又5PE t =-． 而显然四边形PMNE 为矩形．为矩形．215(5)222PMNEtS PM PE t t t\==´-=-+矩形 ························································· 5分 21525228PMNES t æö\=--+ç÷èø四边形，又5052<<\当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ^，P \为AE 的中点，的中点， 1522t AP AE \===．yx B C O AD E 图5-1 y x BC OADE 图5-2 PMNyxB C OADE P M NF又PM ED ∥，M \为AD 的中点．的中点．过点M 作MF OA ^，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，的中位线，1524MF OD \==，1522OF OA ==，\当52t =时，5052æö<<ç÷èø，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524æöç÷èø，． · 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO æö=+=+=ç÷èø． 过点M 作MF OA ^，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED \△∽△． AP AMAE AD\=． 5525552AM AE t AP AD´\====，152PM t \==． 5MF MP \==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，\当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524æöç÷èø，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
二次函数拔高试题1
二次函数拔高试题11、如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．2、如图，已知直角坐标系中，A 、B 、D 三点的坐标分别为A （8，0），B （0，4），D （﹣1，0），点C 与点B 关于x 轴对称，连接AB 、AC ．（1）求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交线段CA 于点M ，连接PA 、PB ，设点E 运动的时间为t （0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使得△ABH 是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．212y x bx c =++3、如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线A，且B为线段AO的中点．（1）求abC2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．5、如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．6、如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．7、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．9、抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (m ，0)，与y 轴交于C . (1) 若m ＝－3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；(2) 如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使S △ACE ＝ 10 3S △ACD ，求E 点的坐标； (3) 如图2，设F (－1，－4)，FG ⊥y 轴于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使 ∠OBP ＝∠FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10、已知如图，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．若A (－1，0)，且OC ＝3OA ；(1) 求抛物线的解析式；(2) 若M 点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC 、CM 、MB ，求四边形MBAC 面积的最大值；(3) 将直线BC 沿x 轴翻折交y 轴于N 点，过B 点的直线l 交y 轴、抛物线分别于D 、E ，且D 在N 的上方．将A 点绕O 顺时针旋转90°得M ，若∠NBD ＝∠MBO ，试求E 点的坐标。
二次函数图像与性质拔高题【答案】
2016/11/24 14:57:23一．选择题（共10小题）1．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=03．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤6．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y310．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．二．选择题（共10小题）11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．14．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．15．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）16．如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为．17．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．18．抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为．20．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=．三．选择题（共6小题）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．22．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A （4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．23．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．24．如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为，顶点坐标为（用含k的代数式表示）．（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．25．已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．26．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．四．选择题（共3小题）27．在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式．28．如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．五．解答题（共1小题）30．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）2016/11/24 14:57:23参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•毕节市）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．故选C．2．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B．3．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．4．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．5．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．6．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．7．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．8．（2016•随州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．9．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．10．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．故选：D．二．选择题（共10小题）11．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．12．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）13．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a ﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．14．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．15．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．16．（2016•绵阳校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC 的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为1．【解答】解：连接BC，如图，根据题意得A（0，mc），即OA=mc，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=BC，OA与BC互相垂直平分，∴C点坐标为（，），把C（，）代入y=ax2+mc得a•（）2+mc=，整理得amc=﹣2，∵ac=﹣2，∴m=1．故答案为1．17．（2016•新县校级模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥﹣1．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴≤1，解得：m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．18．（2016•同安区一模）抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是（，﹣）．【解答】解：将（p，0）代入得：p2﹣p+p=0，p2=0，p=0，则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣）．19．（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为（1，）．【解答】解：由抛物线y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1可知A（0，2），对称轴为x=1，∴OA=2，∵OB=2OA，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB为y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴C（1，）．20．（2016•闸北区二模）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1．【解答】解：∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=（x+1）2+b﹣1故对称轴是直线x=1．故答案为：1．三．选择题（共6小题）21．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．22．（2016•封开县二模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx 的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．【解答】解：（1）由题意，可得8=16a﹣4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣2x，直线的解析式为y=2x．（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2﹣2t），则PQ=2t﹣（t2﹣2t）=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．23．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，S△OAD=OD•AD=×2×4=4；S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．24．（2016•江西模拟）如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣k﹣4）（用含k的代数式表示）．（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0），∴对称轴为直线x=﹣=1，当x=1时，y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4，∴顶点P为（1，﹣k﹣4），故答案为直线x=1，（1，﹣k﹣4）；（2）由y=kx2﹣2kx﹣4=k（x﹣2）x﹣4可知，无论k取何值，抛物线总经过定点（0，﹣4）和（2，﹣4）两个点，∵交点Q与点P关于x轴对称，∴Q（1，k+4），∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q，∴k+4=k+2k﹣1，解得k=，∴P（1，﹣），∵线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，∴设直线PC的解析式为y=x+b，代入P（1，﹣）得﹣=+b，解得b=﹣9，∴直线PC的解析式为y=x﹣9．故存在定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，直线PC的解析式为y=x﹣9．25．（2016•萧山区模拟）已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由，解得，即交点M坐标为；（2）∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点为，且当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，∴≤2，解得m≤，∴m的取值范围为m≤；（3）∵m=6，∴顶点为（3，2），∴抛物线为y=（x﹣3）2+2，∴函数y有最小值为2，∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，∴t﹣1≤3，t+3≥3，解得0≤t≤4．26．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，当t=2时，S最大=4，∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．四．选择题（共3小题）27．（2016秋•宁县校级期中）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得，解得：，则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．28．（2016秋•丹江口市校级月考）如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上，∴4=a×22，∴a=1，则二次函数y2=x2，又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上，∴n=（﹣1）2，∴n=1，则A（﹣1，1），又A、B两点在一次函数y1=kx+b上，∴，解得：，则一次函数y1=x+2，答：一次函数y1=x+2，二次函数y2=x2；（2）根据图象可知：当﹣1＜x＜2时，y1＞y2．29．（2016春•江阴市校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．【解答】解：（1）将C（0，4）代入y=ax2+bx﹣4a中得a=﹣1 又∵对称轴为直线x=，∴，得b=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4，∵y=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+．∴顶点坐标为：（，），∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y≤．（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=﹣m2+3m+4，解得：m=﹣1，或m=3；∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4）．又∵C（0，4），∴CD∥AB，且CD=3．当y=﹣x2+3x+4=0时，解得：x=﹣1，或x=4，∴B（4，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∴OB=OC=4，∴∠OCB=∠DCB=45°，∴点E在y轴上，且CE=CD=3，∴OE=1．即点E的坐标为（0，1）．五．解答题（共1小题）30．（2016秋•临沭县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，﹣3）代入得a×（﹣1）×3=﹣3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3．（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为6，∴AB•|n|=6，解得：n=±3，当n=3时，m2+2m﹣3=3，解得：m=﹣1+或﹣1﹣，∴P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）；当n=﹣3时，m2+2m﹣3=﹣5，解得m=0或m=﹣2，∴P（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）；故P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）．。
中考专题复习练习 二次函数图像与性质拔高题
A. B. C. D.A. B. C. D.Rt△AOB AB⊥OB AB=OB=3x=t4．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为()S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的 A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝﹣1，则b2＝4a．其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N 上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．8．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为______．9．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．10．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB，若抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为_____．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．12．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+2与y轴交于点A，点B是抛物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为_____．25．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D重合，点E 在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）=×OD×CD=t2S=ty=×(x+2×（-x=-x y=（××=x。
二次函数难题(拔高题)
1． 正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=BF=CG=DH ．设小正方形EFGH 的面积为y ，AE=x ．则y 关于x 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．2． 如图，二次函数y=﹣x 2﹣2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线上有一点P ，满足 S △AOP =3，则点P 的坐标是（ ）A ． （﹣3，﹣3）B ． （1，﹣3）C ． （﹣3，﹣3）或（﹣3，1）D ． （﹣3，﹣3）或（1，﹣3）3．如图，二次函数y=x 2﹣4x+3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为（ ）A ． 6B ． 4C ． 3D ． 14．二次函数y=x 2﹣8x+15的图象与x 轴相交于M ，N 两点，点P 在该函数的图象上运动，能使△PMN 的面积等于的点P 共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题：5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 _________ ．6. 如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m ，•跨度为•40m ，• 现把它的示意图放在平面直角坐标系中••，••则此抛物线的函数关系式为__________．7. （2012•日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．8．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+n）x+m+n=0①．）（1）求证：方程①有两个实数根；（n0（2）求证：方程①有一个实数根为1；（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2﹣（2m+n）x+m+n的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离．。
二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)
二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)二次函数图像和性质的提升训练类型一：二次函数的图像1.（2012•泰安）已知二次函数y=a（x+m）2+n的图像如图，那么一次函数y=mx+n的图像经过（）。
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2、（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=1/x在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）。
A、B、C、D3、（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图像可能是（）。
A．y=x2-2x+3B．y=-x2-2x+3 C．y=-x2+2x+3D．y=-x2+2x-34、（2010•达州）抛物线的图像如图所示，根据图像，抛物线的解析式可能是（）。
5、（2011•威海）二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示。
当y<0时，自变量x的取值范围是（）。
A．-13D．x36、已知函数y1=x2与函数y2=-1/x+3的图像大致如图。
若y1<y2，则自变量x的取值范围是（）。
A．-3/32或x27、（2006•厦门）如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围（）。
A．x≥1B．-2≤x≤1C．≤x≤1D．x≤18、抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，要使y>0，则x的取值范围是（）。
A．-41D．x19、已知函数y=x2-2x-2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）。
A．-1≤x≤3B．-3≤x≤1C．x≥-3D．x≤-1或x≥310、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，4），则a-b+c的值为（）。
A．-1B．0C．1D．2类型二：二次函数的性质1、（2010•兰州）二次函数y=-3x2-6x+5的图像的顶点坐标是（）。
(完整)二次函数经典拔高题
二次函数经典拔高题1、 已知：关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.2、 已知：如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与轴交于A 、两点，点A 的坐标为(1,0)-．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标； （3）求APD ∆的面积．3、 已知：如图，等边△A BC 中，AB=1，P 是AB 边 上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ， 垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.（1）设BP=x ，AQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长；已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；x B（2）设0<m ，且方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且y ＝1216x x -，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程02=-+m y 的解．4、 已知如图，ABC ∆中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.5、 已知抛物线C ：()112++-=x m x y 的顶点在坐标轴．．．上． （1）求m 的值； （2）0>m 时，抛物线C 向下平移()0>n n 个单位后与抛物线1C ：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点()3,n ，求1C 的函数关系式；（3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点()0,1y P ．问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由．6、 已知关于 的一元二次方程．（1）若此一元二次方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若关于x 的二次函数和的图象都经过x 轴上的点（n ，0），求m 的值；（3）在（2）的条件下，将二次函数的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数的图象．请你直接写出二次函数的解析式，并结合函数的图象回答：当x 取何值时，这个新的二次函数的值大于二次函数的值．7、 在平面直角坐标系xOy 中，关于y 轴对称的抛物线 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是这条抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，3）是y 轴上的一点． （1）求抛物线的解析式及点P 的坐标；x 2(2)210m x x +--=21(2)21y m x x =+--22(2)1y m x mx m =++++21(2)21y m x x =+--3y 3y 3y21(2)473m y x m x m -=-+-+-x8、 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点C （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标。
二次函数的图像与性质1(含作业和拔高题)
2.1二次函数（一）复习回顾：1.函数的概念：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有__________的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是叫_____， y叫______．2.函数的表示方法：__________、__________、__________（二）合作探究：【探究一】设人民币定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（）．（不考虑利息税）【探究二】某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）问题中有哪些变量？哪些是自变量？哪些是因变量？变量：____________________________________________________________自变量：______________________________因变量：______________________________（2）假设果园增种．．x棵橙子树，那么果园共有棵_______橙子树，这时平均每棵树结_______个橙子。
（3）如果果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的关系式。
【探究三】在上述两个关系式中，y是x的函数吗？y是x的一次函数？是反比例函数？与以前学过的函数有什么不同？（三）归纳总结：1．一般的，形如 ( ，）的函数，叫做y是x的二次函数．其中，叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a叫做，b叫做注:①a,b,c为常数，且②b,c 为0（填“可以”或“不可以”）③正方形面积S与边长x的关系，S x的二次函数（“是”或“不是”）（四）课堂练习：1.在下列函数中(x，t为自变量),哪些是二次函数?①y ＝-21+3x 2 ②y ＝23x 2-x 3+25 ③xy=1.5 ④y ＝32-2x ⑤y ＝1+t-5t 2 ⑥y=22x⑦y ＝ax 2+bx+c ⑧y ＝-2t +5t 2 ⑨y=πx 2 ⑩y=8x 2+x(1-8x) ⑾y=2(x+1)2-2 答：二次函数有它们的二次项分别是： ，二次项系数分别是： 它们的一次项分别是： ，一次项系数分别是： 它们的常数项分别是：2、用16m 长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y （cm 2）与长方形的长x （cm ）之间的关系式是__________________.3、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．y ＝ax 2+bx+c （a,b,c 为常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数；2.2二次函数y=ax 2的图象和性质（1）（三）二次函数y=ax 2的性质1. 二次函数y=ax 2的图象的形状是2. 二次函数y=ax 2是 对称图形，对称轴是 。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数动态几何问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数动态几何问题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交x轴于A(−1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)，直线CD平行于x周，与抛物线另一个交点为D .（1）求函数的解析式；（2）若M是x轴上的动点，N是抛物线上的动点，求使以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的M的横坐标.3．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB 上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并在右图中画出函数的图象；（2）求△PBQ面积的最大值.4．如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．5．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以√2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE△y轴，交AB于点E，过点Q作QF△y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF△PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．6．抛物线y=ax2+bc+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y 轴的交点为C，其中A(−1，0)，OC=3．（1）求出抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标；（3）点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．7．如图，已知抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，ΔABC的面积为6（1）求抛物线的表达式；（2）过D(−2，0)的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求MN DM的最大值．8．如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)．（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．9．已知二次函数y=ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)，且对称轴为直线x=1，过点B,C作直线BC．（1）求二次函数和直线BC的表达式；（2）利用图象求不等式x2−3x≥0的解集；（3）点Р是函数y=ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB,PC，①若ΔPBC面积最大时，求点Р的坐标及ΔPBC面积的最大值；②在x轴上是否存在一点Q，使得以P,C,Q,B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11．抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3).（1）求抛物线的解析式.（2）如图甲，若P为BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.（3）如图乙，M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.12．如图，抛物线y=12x2+mx+n与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A（0，3），C（3，0）.（1）抛物线的解析式；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒√2个单位的速度运动到A后停止.若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标.13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ△x轴于点M，DQ与BC相交于点M．DE△BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值；（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与△CAO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=−12x2+bx+c的图象经过点C(0,2)，交x轴于点A(−1,0)和B，连接BC，直线y=kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）求EFDF的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．（1）填空：b=，c=；（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x2+bx+c没有交点？（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣32），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．答案解析部分1．【答案】（1）解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，{0=9a −3b −30=a +b −3，解得，{a =1b =2，∴抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3， 令x ＝0，则y ＝﹣3， ∴B （0，﹣3），把A （﹣3，0）和B （0，﹣3）代入y ＝kx+b ， 得，{0=−3k +b −3=b ，解得，{k =−1b =−3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， ∵PE△x 轴， ∴E （x ，﹣x ﹣3）， ∵P 在直线AB 下方，∴PE ＝﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x+32）2+94，当x ＝﹣32时，y ＝x 2+2x ﹣3＝−154，∴当PE 最大时，P 点坐标为（﹣32，−154）（3）解：存在，理由如下， ∵x ＝﹣22×1＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝-1， 设Q （-1，a ），∵B （0，-3），A （-3，0），①当△QAB ＝90°时，AQ 2+AB 2＝BQ 2， ∴22+a 2+32+32＝12+（3+a ）2， 解得：a ＝2，∴Q 1（-1，2），②当△QBA ＝90°时，BQ 2+AB 2＝AQ 2， ∴12+（3+a ）2+32+32＝22+a 2， 解得：a ＝﹣4， ∴Q 2（-1，﹣4），③当△AQB ＝90°时，BQ 2+AQ 2＝AB 2， ∴12+（3+a ）2+22+a 2＝32+32，解得：a 1＝−3+√172或a 1＝−3−√172，∴Q 3（-1，−3+√172），Q 4（-1，−3−√172），综上所述：点Q 的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，−3+√172）或（-1，−3−√172）．2．【答案】（1）解： ∵ 二次函数的图象交 x 轴于 A(−1，0) 、 B(3，0) ，∴ 设二次函数的解析式为 y =a(x +1)(x −3) 展开得： y =ax 2−2ax −3a ， ∵ 二次函数的图象交 y 轴于 C(0，3) ， ∴−3a =3 ，得 a =−1∴ 二次函数的解析式为 y =−x 2+2x +3 （2）解：联立方程组得： {y =3y =−x 2+2x +3，解得 {x =0y =3 或 {x =2y =3 ， ∴D 点坐标为 (2，3) ，当以 B 、 D 、 M 、 N 为顶点四边形是平行四边形时，有两类情形； ①BD 是平行四边形的边时， 联立方程组 {y =−3y =−x 2+2x +3 ， 解得， x N =1±√7如图，此时 x M′=0+1=1 ，或 x M′′=1−√7−1=−√7 或 x M′′′=1+√7−1=√7②BD是平行四边形的对角线时∵B、D两点的中点坐标为(2+32，32)=(52，32)，∴设M′′′′(m，0)，可得N′′′′的坐标为(5−m，3)，将N′′′′的坐标(5−m，3)代入y=−x2+2x+3，得−(5−m)2+2(5−m)+3=3，解得m=3（舍去），m=5，得x M′′′′=53．【答案】（1）解：∵S△PBQ= 12PB·BQ，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y= 12（18－2x）x，即y=－x2+9x（0<x≤4）；函数图象如下图：（2）解：由（1）得：y=－x2+9x=－(x－92）2 + 814，∴顶点坐标为（92，814）∴当0<x≤ 92时，y随x的增大而增大，∵x的取值范围是0<x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.4．【答案】（1）52（2）解：如图2，过点C作CE△x轴于E，∴△AEC=△BOA=90°．∵△BAC=90°，∴△OAB+△CAE=90°．∵△OAB+△OBA=90°，∴△OBA=△CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB△△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA=2OB，∴AB2=5OB2，由（1）知，S△ABC= 52= 12AB2= 12×5OB2，∴OB=1，∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣12x+1；（3）解：由（2）知，AB2=5，∴AB= √5，①当0≤m≤ √5时，如图3．∵△AOB=△AA'F ，△OAB=△A'AF ，∴△AOB△△AA'F ，∴AA ′OA =A ′F OB ，由运动知，AA'=m ，∴m 2=A ′F 1，∴A'F= 12 m ，∴S= 12 AA'×A'F= 14 m 2，②当 √5＜m≤2 √5 时，如图4同①的方法得：A'F= 12 m ，∴C'F= √5 ﹣ 12 m ，过点C 作CE△x 轴于E ，过点B 作BM△CE 于E ，∴BM=3，CM=1，易知，△ACE△△FC'H ，∴AC C ′F =CE CH ，∴√5√5−12m =2C ′H ∴C'H=2√5−m√5 ．在Rt△FHC'中，FH= 12 C'H= 2√5−m √5由平移知，△C'GF=△CBM ．∵△BMC=△GHC'，∴△BMC△△GHC'，∴BM GH =AMC ′H ，∴3GH =12√5−m √5∴GH=3(2√5−m)√5 ，∴GF=GH ﹣FH= 5(2√5−m)√5 ∴S=S △A'B'C '﹣S △C'FG = 52 ﹣ 12 ×√5−m)√5× 2√5−m √5 = 52 ﹣ 14 （2 √5 ﹣m ）2，即：S= {14m 2(0≤m ≤√5)52−14(2√5−m)2(√5<m ≤2√5)． 5．【答案】（1）解：∵y=﹣x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴当y=0时，x=3，即A 点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），将A （3，0），B （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得 {−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =2c =3∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）解：∵OA=OB=3，△BOA=90°，∴△QAP=45°．如图①所示：△PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= √2t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，QAPA=√22，即：√2t3−t=√22，解得：t=1；如图②所示：△QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= √2t，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，PAQA=√22，即：3−t√2t=√22，解得：t= 32．综上所述，当t=1或t= 32时，△PQA是直角三角形；（3）解：如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2．∵EP△FQ，EF△PQ，∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）解：如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）√2．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴MB= √12+12= √2．当△BOP△△QBM时，MBOP=BQOB即：√2t=(3−t)√23，整理得：t2﹣3t+3=0，△=32﹣4×1×3＜0，无解：当△BOP△△MBQ时，BMOB=BQOP即：√23=(3−t)√2t，解得t= 94．∴当t= 94时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．6．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为(−1，0)，则点B(3，0)，二次函数表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，∴−3a＝−3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3（2）解：S△BOC＝12OB·OC=12×3×3=92由题意得：S△POC＝2S△BOC=9，设P（x，x2−2x−3）则S△POC=9=12OC·|x|=32·|x|所以|x|=6则x＝±6，所以当x=6时，x2−2x−3=21，当x=−6时，x2−2x−3=45故点P的坐标为(6，21)或(−6，45)；（3）解：如图所示，将点B 、C 坐标代入一次函数y ＝kx +b 得表达式得 {c =−33k +b =0，解得：{k =1b =−3， 故直线BC 的表达式为： y ＝x −3，设：点M 坐标为(x ，x −3)，则点D 坐标为(x ，x 2−2x −3)，则MD =x −3−x 2+2x +3=−(x −32)2+94，故MD 长度的最大值为94．7．【答案】（1）解：∵抛物线 y =ax 2−2ax −3 ，∴与 y 轴交点 C(0，−3) ，对称轴为直线 x =1 ， ∴OC =3 ．∵抛物线与 x 轴交于点 A ，B ，且 ΔABC 的面积为6，∴12AB ×3=6 ，则 AB =4 ， ∴点 A(−1，0)，B(3，0) ． ∵抛物线过点 A ， ∴0=a +2a −3 ， ∴a =1 ，∴抛物线的表达式为 y =x 2−2x −3 ．（2）解：如图，过点 D 作 DE ⊥x 轴交 BC 的延长线于点 E ，过点 N 作 NF//y 轴交线段 BC 于点 F ，则 DE//FN ．∵B(3，0)，C(0，−3) ，∴直线 BC 的表达式为 y =x −3 ， ∵D(−2，0) ，∴点 E 的坐标为 (−2，−5) ．设 N(m ，m 2−2m −3) ，则 F(m ，m −3) ． ∵DE//FN ，∴MN DM =FN DE =m−3−m 2+2m+35=−15(m −32)2+920 ， ∴MN DM 的最大值为 920． 8．【答案】（1）解：∵A ，B 两点关于x=1对称，∴B 点坐标为（3，0），根据题意得：{0=9a +3b +c 0=a −b +c −3=c ，解得a=1，b=-2，c=-3． ∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3． （2）解：（3）解：存在一个点P ．C 点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3）， 令直线AC'的解析式为y=kx+b ∴{−3=2k +b 0=−k +b，∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1． 当x=1时，y=-2， ∴P 点坐标为（1，-2）．9．【答案】（1）解： ∵ 抛物线的对称轴为 x =1,B(3,0) ，∴A(−1,0) ．设抛物线的解析式为 y =a(x +1)(x −3) ， 将点 C 的坐标代入得： −3a =−3, 解得 a =1,∴ 抛物线的解析式为 y =x 2−2x −3 ． 设直线 BC 的解析式为 y =kx +b ， 将点 B 和 C 的坐标代入得： {3k +b =0b =−3 ，解得 k =1,b =−3 ，直线 BC 的解析式为 y =x −3（2）解：由 x 2−3x ≥0 可得到 x 2−2x −3≥x −3 ， 由函数图象可得到 x ≥3 或 x ≤0（3）解：①作 PM ⊥x 轴，垂足为 M ，交 BC 与点 N ．设 Р(m,m 2−2m −3) ， 则 N(m,m −3) ．∴PN =m −3−(m 2−2m −3)=−m 2+3m ．∴S ΔPBC =12PN ⋅(OM +MB)=12PN ·⋅OB =−32m 2+92m =−32(m −32)2+278 ． 当 ΔPBC 的面积最大时，点 P 的坐标为 (32,−154) ， ΔPBC 的面积的最大值为 278②∵ 点 B 和点 Q 均在 x 轴，以 P,C,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PC//BQ,PC =BQ ，∴ 点 P 与点 C 关于 x =1 对称， ∴ 点 P 的坐标为 (2,−3) ．∴CP =2,∵BQ =PC =2,B(3,0) ，∴ 点 Q 的坐标为 (1,0) 或 (5,0) ．10．【答案】（1）解：将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0， 解得： {b =43c =8，∴抛物线的解析式为y=﹣ 49 x 2+ 43 x+8（2）解：①∵OA=8，OC=6， ∴AC= √OA 2+OC 2 =10， 过点Q 作QE△BC 与E 点，则sin△ACB= QE QC = AB AC = 35 ，∴QE 10−m = 35 ， ∴QE= 35（10﹣m ），∴S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m ）=﹣ 310m 2+3m ；②∵S= 12 •CP•QE= 12 m× 35 （10﹣m ）=﹣ 310 m 2+3m=﹣ 310 （m ﹣5）2+ 152 ， ∴当m=5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣ 49 x 2+ 43 x+8的对称轴为x= 32 ，D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当△FDQ=90°时，F1（32，8），当△FQD=90°时，则F2（32，4），当△DFQ=90°时，设F（32，n），则FD2+FQ2=DQ2，即94+（8﹣n）2+ 94+（n﹣4）2=16，解得：n=6± √72，∴F3（32，6+ √72），F4（32，6﹣√72），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（32，8），F2（32，4），F3（32，6+ √72），F4（32，6﹣√72）．11．【答案】（1）解：由题意得{−9+3b+c=0，c=3.解得{b=2，c=3.∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3（2）解：设点P的坐标为(m，−m2+2m+3)，如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G.∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴直线BC的解析式为y=−x+3.∴点G的坐标为(m，−m+3).∴PG=−m2+3m. S△PBC =12PG⋅OB=12(−m2+3m)×3=−32⋅(m−32)2+278∴当m=32时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为(32，154)（3）解：存在点N满足要求.∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴顶点M的坐标为(1，4).∴直线MC的解析式为y=x+3.设直线MC与x轴交于点E，则点E的坐标为(−3，0).∴DE=DM=4.∴∠CMD=45°.设满足要求的点N坐标为(1，n)，则MN=|4−n|.如图，过点N作NG⊥ME于点G，则NG=√22MN=√22|4−n|.∵NG=NA，∴NG2=NA2.又NA2=n2+4，∴(√22|4−n|)2=n2+4.整理得n2+8n−8=0.解得n=−4±2√6.∴存在点N满足要求，点N的坐标为(1，−4+2√6)或(1，−4−2√6). 12．【答案】（1）y＝12x2﹣52x+3（2）（2，1）13．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0-3）＝3，解得：a＝-1，∴y＝-（x+1）（x-3）＝-x2+2x+3，∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x+3（2）解：设D （m ，-m 2+2m+3），且0＜m ＜3，如图1，在Rt△BOC 中，BO ＝3，OC ＝3， ∴BC ＝ √BO 2+OC 2=√32+32=3√2 ，设直线BC 的解析式为y ＝kx+n ，将B （3，0），C （0，3）代入， 得： {3k +n =0n =3 解得： {k =−1n =3∴直线BC 的解析式为y ＝-x+3， ∴G （m ，-m+3），∴DG ＝-m 2+2m+3-（-m+3）＝-m 2+3m ， ∵DE△BC ，∴△DEG ＝△BOC ＝90°， ∵DG△x 轴， ∴DG△y 轴， ∴△DGE ＝△BCO ， ∴△DGE△△BCO ， ∴DE DG =BO BC ， ∴DE −m 2+3m =33√2，∴DE ＝- √22m 2+3√22m =−√22(m −32)2+9√28∴当m ＝32时，DE 取得最大值，最大值是9√28.（3）解：存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等． ∵点F 是AB 的中点，A （-1，0），B （3，0），C （0，3）， ∴F （1，0），∴OF ＝1，OC ＝3，BC ＝4， ∴tan△CFO ＝OC OF＝3，如图2所示，过点B 作BG△BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH△x 轴于点H ，①若△DCE ＝△CFO ， ∴tan△DCE ＝tan△CFO ＝3， ∵tan△DCE ＝GB BC =3，∴GB ＝12，∵BG△BC ，GH△x 轴，∴△CBG ＝△GHB ＝△BCO ＝90°， ∴△CBO+△GBH ＝△BGH+△GBH ＝90°， ∴△CBO ＝△BGH ， ∴△CBO△△BGH ， ∴GH BO =HB OC =GB BC ， ∴GH ＝9，HB ＝9， ∴OH ＝OB+BH ＝3+9＝12， ∴G （12，9），设直线CG 的解析式为y ＝k 1x+b 1， ∴{12k 1+b 1=9b 1=3， 解得： {k 1=12b 1=3， ∴直线CG 的解析式为y ＝12x+3，联立方程组，得：{y =12x +3y =−x 2+2x +3，解得：{x 1=32y 1=154,，,{x 2=0y 2=3（不合题意，舍去）， 当x ＝32时，y ＝12×32+3＝154，∴D （32，154）；②若△CDE ＝△CFO ， ∴tan△CDE ＝tan△CFO ＝3， ∵BG△BC ，DE△BC ， ∴△CBG ＝△CED ＝90°， ∴GB△DE ， ∴△CDE ＝△CGB ，∴tan△CDE ＝tan△CGB ＝BC GB ＝3，∴GB ＝13BC ＝13×3√2＝√2 ，∵△CBO△△BGH ， ∴GH BO =HB OC =GB BC， ∴GH ＝13BO ＝1，HB ＝13OC ＝1，∴OH ＝OB+BH ＝3+1＝4， ∴G （4，1）；同①方法，易求得直线CG 的解析式为y ＝-12x+3，联立方程组，得 {y =12x +3y =−x 2+2x +3解得：{x 1=52y 1=74,，,{x 2=0y 2=3（不合题意，舍去）， ∴D （52，74），综上所述，存在点D 使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等，点D 的坐标为（32，154）或（52，74）．14．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−12x 2+bx +c 的图象经过点 C(0,2)∴c =2将点 A(−1,0) 代入 y =−12x 2+bx +2 得， 0=−12×(−1)2−b +2解得， b =32；∴抛物线的表达式 y =−12x 2+32x +2 ，当 y =0 时， −12x 2+32x +2=0解得， x 1=−1, x 2=4 ∴点B 的坐标为 (4,0) （2）解：存在，理由如下：由题意知，点E 位于y 轴右侧，作 EG//y 轴，交 BC 于点G ，如图1，∴CD//EG, ∴EF DF =EG CD∵直线 y =kx +1(k >0) 与y 轴交于点D ，则 D(0,1) ． ∴CD =2−1=1 ．∴EFDF =EG ．设 BC 所在直线的解析式为 y =mx +n(m ≠0) ． 将 B(4,0),C(0,2) 代入，得 {4m +n =0n =2．解得 {m =−12n =2． ∴直线 BC 的解析式是 y =−12x +2 ．设 E(t,−12t 2+32t +2) ，则 G(t,−12t +2) ，其中 0<t <4 ．∴EG =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12(t −2)2+2 ． ∴EF DF =−12(t −2)2+2 ． ∵−12<0 ，∴当 t =2 时， EF DF存在最大值，最大值为2，此时点E 的坐标是 (2,3)（3）存在， M 1(√342,√34+22), M 2(−√342,−√34+22), M 3(3,4), M 4(176,236)15．【答案】（1）﹣4；3（2）解：∵将直线AB ：y=﹣x+3向下平移h 个单位长度，得直线EF ， ∴可设直线EF 的解析式为y=﹣x+3﹣h ．把y=﹣x+3﹣h 代入y=x 2﹣4x+3，得x 2﹣4x+3=﹣x+3﹣h ． 整理得：x 2﹣3x+h=0． ∵直线EF 与抛物线没有交点， ∴△=（﹣3）2﹣4×1×h=9﹣4h ＜0， 解得h ＞ 94．∴当h ＞ 94时，直线EF 与抛物线没有交点；（3）解：∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点C （2，﹣1）．设直线AC 的解析式为y=mx+n ．则 {n =32m +n =−1 ，解得 {m =−2n =3 ， ∴直线AC 的解析式为y=﹣2x+3．如图，设直线AC 交x 轴于点D ，则D （ 32 ，0），BD= 32 ．∴S △ABC =S △ABD +S △BCD = 12 × 32 ×3+ 12 × 32×1=3．∵直线x=m 与线段AB 、AC 分别交于M 、N 两点，则0≤m≤2，∴M （m ，﹣m+3），N （m ，﹣2m+3），∴MN=（﹣m+3）﹣（﹣2m+3）=m ．∵直线x=m 把△ABC 的面积分为1：2两部分，∴分两种情况讨论：①当 S △AMN S △ABC = 13 时，即 12m 23 = 13 ，解得 m=± √2 ；②当 S△AMN S △ABC = 23 时，即12m 23= 23，解得 m=±2∵0≤m≤2，∴m= √2 或m=2．∴当m= √2 或2时，直线x=m 把△ABC 的面积分为1：2两部分．16．【答案】（1）解： y =mx 2−2mx −3m =m(x −3)(x +1)，∵m≠0，∴当y=0时， x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1，0)，B(3，0)（2）解：设 C 1：y =ax 2+bx +c ，将A. B. C 三点的坐标代入得：{a−b+c=09a+3b+c=0 c=−32，解得{a=12b=−1c=−32，故C1：y=12x2−x−32.如图：过点P作PQ△y轴，交BC于Q，由B. C的坐标可得直线BC的解析式为：y=12x−32，设P(x，12x2−x−32)，则Q(x，12x−32)，PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，当x=32时，S△PBC有最大值，S max=2716，12×(32)2−32−32=−158，P(32，−158)；（3）解：y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m，顶点M坐标(1，−4m)，当x=0时，y=−3m，∴D(0，−3m)，B(3，0)，∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；DM2+MB2=BD2.时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=−√22( m=√22舍去).综上，m=−1或−√22时，△BDM为直角三角形.。
二次函数拔高综合题全集(含答案)
1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式； （2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+⎧⎨=⎩，．···································································· （1分）解得124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．················································································································ （2分） ∴所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分） （2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ⊥轴于点G ． 由21402x x -++=，得12x =-，24x =． ∴点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分） 6AB ∴=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC ∴△∽△．EG BQCO BA∴=， 即246EG m +=．243m EG +∴=． ············· （5分） CQE CBQ EBQ S S S ∴=-△△△YXE CA D QB O28题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2128333m m =-++ ··························· （6分）21(1)33m =--+．又24m - ≤≤，∴当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分） （3）存在．在ODF △中．（ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF ∴===． 又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC ∴∠= ．45DFA OAC ∴∠=∠=．90ADF ∴∠= ．此时，点F 的坐标为(22)，．由21422x x -++=，得115x =+，215x =-． 此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分） （ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM ∴=， ∴在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F ∴，． 由21432x x -++=，得113x =+，213x =-． 此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ·················································· （9分） （ⅲ）若OD OF =，4OA OC == ，且9042AOC AC ∠=∴=，， ∴点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形． ······································ （10分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB ∴=-=-=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ·································································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ······································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．PM APED AE∴=，又知AP t =，52ED =，5AE =5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =- ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+ 矩形 ························································· 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥ ，P ∴为AE 的中点， 1522t AP AE ∴===．y x B C O AD E 图5-1yxBC OA DE 图5-2PMNyxB C O ADE图①P M NF又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． · 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 5525552AM AE t AP AD ⨯∴==== ，152PM t ∴==．5MF MP ∴==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，∴当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数一、基本知识点：<1>、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数.<2>、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 （a b ac a b 44,22--）；对称轴是直线ab x 2-=. <3>、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合. <4>、抛物线y=ax*2+bx+c 的a ，b ，c 符号的确定a 的符号：由抛物线的开口方向确定。
开口向上a>0;开口向下a<0。
b 的符号：a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的 右侧。
（简称：左同右异）b=0时抛物线的对称轴是y 轴。
C 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定。
交点在x 轴上方时c>0；交点在x 轴下方时c<0；经过坐标原点时c=0。
<5>、二次函数解析式的三种形式：（1）已知抛物线上的三点，设一般式：)0(2≠++=a c bx ax y （2）已知抛物线顶点坐标（h, k ），设顶点式：k h x a y +-=2)(（3）已知抛物线与x 轴的两个交点(X1,0)、 (X2,0)交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x轴的交点坐标是（0,1x ）和（0,2x ）.<6>、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）.<7>、（1）当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （0,1x ）和B （0,2x ）。
（2）当ac b 42-=0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根（或说一个根）ab x x 221-==，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点在x 轴上，其坐标是（0,2a b -）. （3）当ac b 42-＜0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点.yxODCB (4,4)A (1,4)<8>、二次函数的最值问题和增减性： 系数a 的符号 abx 2-=时， 最值a b ac 442- 增减性a ＞0最小值 的增大而增大；随时，x y abx 2-〉a b x 2〈-时y 随x 的增大而减小.a ＜0最大值的增大而减小；随时，x y abx 2-〉a b x 2〈-时y 随x 的增大而增大.二、经典例题剖析：1.（2011年）对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220112011A B A B A B +++L 的值是（ ）A ．20112010B ．20102011 C ．20122011 D ．201120122．（2010－2011）如图，点A ，B 的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．83.(2011山西）二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图像经过点（－1，2），且与x x 1，x 2，其中－2＜x 1＜－1,0＜x 2＜1有下列结论：①abc ＞0,②4a －2b+c ＜0,③2a －b ＜0,④b 2其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4.已知二次函数y = 2y ax bx c =++的图像如图所示，令M=︱4a －2b+c ︱+︱a+b+c ︱－︱︱2a －b ︱，则以下结论正确的是……………( )A.M ＜0B.M ＞0C.M=0D.M 的符号不能确定5. (2011) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46．（2011年）向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒7．（2011年）抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图像大致为 ( )8.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为 （ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= －2，c=－1 D. b= －3， c=2 9．（江西省九校2010—2011第一次联考）下列函数中，其图象与x 轴有两个交点的是【 】A ．y ＝8(x +2009)2+2010B ．y ＝8(x -2009)2+2010C ．y ＝-8(x -2009)2-2010D ．y ＝-8(x +2009)2+201010．（2011年北京）已知抛物线m 2x x y 2+-=，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是（ ）A ．（0 ，5 ）B ．（2 ，5）C ．（3 ， 5 ）D ．（4 ， 5 ）11. （2011年杭州）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=o，6cm CD =，2AD =cm ，动点,P Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm /s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运yxO1x = 1- 2- xxxxxPQADCB 第9题动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．则能正确表示整关系运动中y 关于t 的函数关系的大致是图象是 B12点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF 、EF ．设AF ＝x△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） 13如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y =ax 2－2ax +32 （a ＜0）的图象上，点A 、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点，则点D 的坐标为 （2，32 ） ．14、(2011浙江杭州模拟14)x<2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x<2时y>0.数______________.答案： 答案不唯一.例如：2(2)1y x =-+15、(2011浙江杭州模拟15)甲、乙两位同学对问题“求函数221xx y +=的最小值”提出各自的想法。
甲说：“可以用配方法，把它配成2)1(2-+=xx y ，所以函数的最小值为－2”。
乙说：“我也用配方OxOOOxxxyyyyABCDABC DF EB ACDxy O法，但我配成2)1(2+-=xx y ，最小值为2”。
你认为__________（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。
17如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o ,在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2 (x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 _______________ .源答案：(3，3) ,(133，13) , (23，2) , (233，23)18我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。
如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D 的坐标为（0，－3）AB 为半圆直径，半圆圆心M （1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。
经过点C 的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。
答案：y=x 2－2x －3, y=－2x －319.（2011年浙江杭州27模）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。
如一次函数，反比例函数等。
请问123--=x x y 可以由x y 1=通过_________________________平移得到。
答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位20．（2011北京四中模拟）如图示：己知抛物线1C ，2C 关于x 轴对称，抛物线1C ，3C 关于y 轴对称。
如果抛物线2C 的解析式是()23y=-214x -+，那么抛物线3C 的解析式（ ）练习：1（江西中考）6.已知二次函数y=x 2+bx －2的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ）.A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）2(2011湖北黄冈)15.已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为( )OxAyHCy =x 2yx3CO1C 2CA.0B.1C.2D.33（2011广东广州）5.下列函数中，当x>0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A.A2x y = B. 1-=x y C.x y 43= D. x y 1=4（2011年安徽芜湖市）10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )5（湖南株洲2011）8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米6（2010湖北省咸宁市）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ． 有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）6、 小李从如图所示的二次函数c bx ax y ++=2的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b 2－4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）ab ＞0；（4）a －b ＋c ＜0. 你认为其中错误．．的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个第8题图)y (米) yxD CA B O F E（第16题）y–1 33O x第1题P1 7、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝2(x + 2)2－2B ．y ＝2(x －2)2 + 2C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2 + 28根据下列表格的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a≠0）一个解x 的取值范围（ ）x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c－0.06－0.020.030.09A 、3<x<3.23B 、3.23<x<3.24C 、3.24<x<3.25D 、3.25<x<3.269、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ）A 、b=3，c=7B 、b=－9，c=－15C 、b=3，c=3D 、b=－9，c=2110、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时，就会停产，现有一生产季节性产品的企业，其中一年中获得的利润y 与月份n 之间的函数关系式为y=－n 2+14n －24，则该企业一年中停产的月份是（ ）A 、1月，2月，3月B 、2月，3月，4月C 、1月，2月，12月D 、1月，11月，12月 11、函数图象y=ax 2+（a －3）x+1与x 轴只有一个交点则a 的值为（ ）A 、0，1B 、0，9C 、1，9D 、0，1，912. （2011年江苏盐都中考模拟）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的对称轴是过点（1,0）且平行于y 轴的直线，并且经过点P （3，0），则a －b+c 的值为 （ ）13、（2011杭州模拟）已知二次函数)0(2>++=a c bx ax y 经过点M （－1,2）和点N （1，－2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 则……( ) ①2-=b ； ②该二次函数图像与y 轴交与负半轴③ 存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上 ④若2,1OC OB OA a =⋅=则 以上说法正确的有：A ①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③14抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是A ．（0，－2）B ．19,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭15. (2011湖北省天门市一模) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.416．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值。