18讲 最优控制-线性二次型-输出跟踪
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
线性二次型讲解
(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
现代控制理论线性二次型最优控制
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
2023/12/21
1
线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
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13
6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
2023/12/21
线性二次型最优控制问题.ppt
上式所示的性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)
（1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影 响系统的工作品质。例如，提高S阵中某一元素的比重，说明 更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t) 阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较 好的快速响应特性；而提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着 需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的 能量消耗。这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如 何安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要 而又十分困难的工作 。
J
1 2
eT
(t f
)Se(t f
)
1 2
tf t0
[eT (t)Q(t)e(t) U T (t)R(t)U (t)]dt
(6.1.2)
2019年8月3
3
为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定
对称常数矩阵，Q(t)是ll半正定对称时变矩阵，R(t)是mm正 定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。
但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法 检测到。因此式（6.2.3）的最优调节作用在工程上是难以实 现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系 统状态变量X(t)的函数。令：
(t) P(t)X (t)
其中P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得
(t) P(t)X (t) P(t)X (t)
2019年8月3
5
（2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为 能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及 较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然 会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的 因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。
线性二次型最优控制问题
线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。
1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。
二次型性能指标的线性系统最优控制
1 T e (t )Q (t )e(t ) 代表整个过程中误差 e(t ) 的 2
矩阵 F Q(t ) R(t ) 则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要 程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时间函数，以表示在不同时刻 的不以加权。
因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控 制能量来获得较小误差的最优控制。
(10-26)
Q, R 为常值矩阵，并满足 Q 为正半定的，R 为正定的。求最优 点控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
这里讨论的问题与第二节相比，有以下几点不同：
1.系统是时不变的，性能指标的权矩阵为常值矩阵。 2.端时刻 t f 。在前节讨论已知，即使线性系统是时不变的， 求得的反馈增益矩阵是时变的，这使系统的结构大为复杂。终端时 刻 t f 取作无穷大，目的是期望能得到一个常值反馈增益矩阵。 3. 终值权矩阵 F 0 ，即没有终端性能指标。这是因为人们总在 关注系统在有限时间内的响应，当 t f 时，这时的终值性能指标 就没有多大实际意义了，并且终端状态容许出现任何非零值时，由 于积分限为[t0 , ] ，都会引起必须指标趋于无穷。
因此二次型性能指标的线形系统最优控制问题被广泛应用到 各种工程实际中，例如：导弹的角度控制、电冰箱的温度控制等。
导弹角度控制
电冰箱温度控制
二次型性能指标线性系统最优控制问题可以描述如下：
设线性系统状态方程及输出方程为：
(t ) A(t ) x (t ) B(t )u(t ) x y (t ) G (t ) x (t )
(10-6)
终端时刻 t f 固定。要求寻找最优控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
这个问题的求解可以用极小值原理或动态规划法，这里，我们应 用极小值原理来求解。首先列写哈密尔顿函数
线性二次型最优控制
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2Biblioteka xＴ(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
维时变系统矩阵、增益矩阵和输出矩阵。 假定 0≤l≤m≤n，且控制变量 u(t)不受限制。用 yr(t)表示期望输出向量，
yr (t) ∈ Rl ，有误差向量
e(t) = yr (t) − y(t)
(4-1-3）
二次型最优控制要解决的问题是，选择最优控制 u*(t)，使二次型性能指标
J
(u)
=
1 2
四．线性二次型最优控制
线性二次型最优控制问题，一般也称做 LQ 或 LQR（Linear Quadratic Regulator）问题，在最优控制理论与方法体系中具有非常重要的地位。线性二 次型最优控制问题的重要性在于其具有如下特点： （1） 对于用线性微分方程或线性差分方程描述的动态系统，最优控制指标具
+
u
Ｔ
(t)R(t)u(t)]
+ [u(t) + R Ｔ (t)B Ｔ (t)P(t)x(t)]Ｔ P(t)[u(t) + R Ｔ (t)B Ｔ (t)P(t)x(t)]
(4-2-27）
对上式两边由 t0 到 tf 积分，经整理得
线性系统二次型最优控制律
线性系统二次型最优控制律线性系统二次型最优控制定义使用二次型性能指标的线性系统最优控制。
它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。
性能指标线性系统状态方程及输出方程为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)y(t)=C(t)x(t) (2)式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。
设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义e(t)=z(t)-y(t) (3)误差向量。
线性二次型最优控制问题的性能指标这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。
假设tf固定。
要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。
其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。
因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。
性能指标的第一项则表示终值误差。
状态调节器问题系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为P(tf)=F (7)由式(6)解出P(t)后，可得最优控制规律为u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)由式(8)可以看出，最优控制规律是一个状态线性反馈规律，控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成，构成状态反馈，并且呈线性关系。
这样，能方便地实现闭环最优控制，这一点在工程上具有十分重要的意义。
P(t)是一对称矩阵，一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。
P(t)是时间函数，即使线性系统是定常的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。
线性二次型最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
1 2
e
T
(t
f
)Fe(t f
)
1 2
tf t0
eT
(t)Q(t)e(t)
uT
(t ) R(t )u(t ) dt
演变为
J
1 2
xT (t f
)Fx(t f
)
1 2
tf t0
xT (t)Q(t) x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向
2021年4月30日
第7章第14页
可以证明，只要系统是能控的，无限时间状态调节器与有限时间状态调节器的求解过 程基本相同。最优控制为
u R1BT Px(t)
其中， P 是黎卡提矩阵方程
PA AT P PBR1BT P Q 0
的解。最优轨线满足如下方程
性能指标最小值为
x(t) A BR1BT P x ， x(0) x0
P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) Q(t) 0 满 足 边 界 条 件
P(t1) S 的解。
2021年4月30日
第7章第12页
有限时间状态调节器问题的求解步骤：
（1）求解如下黎卡提矩阵微分方程
P AT P PA PBR1BP Q
量，使性能指标 J
1 2
yT (t f
)Fy(t f
)
1 2
tf t0
yT
(t)Q(t)
y(t)
uT
(t ) R(t ) u(t) dt
极小，即
使得系统状态 x(t) 始终保持在零平衡状态附近。因而，这一类线性二次型最优控制问题称
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。
首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
线性二次型讲解
x(t f ) 11 x(t ) 12 (t )
(8) (9)
(t f ) 21 x(t ) 22 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
（9）-（8）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 )(t ) 0
0 1 0 (t ) x x(t ) u (t ) 0 0 1 y (t ) 1 0x(t )
二次型性能指标为：
求使性能指标为极小值时的最优控制。 解：
a 2 b p 1
*
a 2 1
最优控制为：
u(t )* R1BT Px(t ) x1 (t ) a 2x2 (t )
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优状态调节器系统结构图
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
线性二次型(LQ)最优控制问题
(6)
可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。
线性二次型(LQ)最优控制问题
例 已知二阶系统的状态方程为 0 1 0 (t ) x x(t ) u (t ) 0 0 1
二次型性能指标为：
1 2 2 J [ x1 (t ) 2bx1 (t ) x2 (t ) ax2 (t ) u 2 (t )]dt 2 0 2 式中a b 0(Q正定）
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
令P(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) (12)
(13)
(11)
(t ) P(t ) x(t )
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yr 1 x 50
0.5 0
0
-50 -0.5
-100 -1
-1.5
0 0005） 类方波信号跟踪最优控制响应曲线（ r 0.0005
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 52
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-150
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
t
1
t , t t t , t
1 f f f
tf
t
t f , C T Q yr d
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 001） 正弦信号跟踪最优控制响应曲线（r 0.001
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
3）类方波信号跟踪响应：
15
最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
尽可能多地利用系统中的信息，必然有 利于实现最优控制，而状态向量包含了 系统的全部信息，输出向量仅仅提供系 统的部分信息，所以，输出调节器最优 控制问题中，最优控制u*(t) 仍然由状态 向量反馈构成，而不由输出反馈构成。
5
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
6
最优控制——线性二次型 本次课程内容
概述 线性二次型最优控制问题 状态调节器
•有限时域状态调节器问题 •无限时域状态调节器问题
输出调节器 跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 7
最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
一个工程实际系统，当工作于调节器状 态时，总是希望系统一旦受扰偏离原平 衡状态，系统的输出能最优地恢复到原 平衡状态，这样的问题称为最优输出调 节器问题。
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
无限时域线性定常系统输出调节器问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
T 1 T T t A t B t R t B t P t t C t Q t yr t
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例
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解：
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
t P t A t P t B t R 1 t B T t P t P C T t Q t C t AT t P t
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 15） 阶跃跟踪最优控制响应曲线（r 1.15
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
46
1 0.8
yr t sin 2 t 2）正弦信号跟踪响应：
P
yr x u
0.6
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
一般来说，期望输出往往难以事先确定，因而 设计最优跟踪系统时，常常采用两种方式： 1）假设期望输出具有某种典型变化规律。此 时，系统的工作性能取决于期望输出的实际值 与预定值的符合程度。 2）把期望输出视为随机信号。此时，系统的 工作性能在平均意义下最优，但不能保证在任 一次试验中，系统的响应都是满意的。
例
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
跟踪问题 •当要求系统在期望输出信号的作用下， 实际输出可以最优地跟随期望输出的变 化，使得规定的性能指标最小，这样的 问题成为最优跟踪问题。 •实际上，调节器问题是一种特殊的跟踪 问题，即零轨迹的跟踪问题。
t
R1 t BT t
u t
t A t x t B t u t x
P t
x t
C t
yt
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
对于有限时间线性时变系统跟踪系统的最 优控制，有如下几点说明： （1）最优控制的反馈结构与期望输出无 关，和最优输出调节器的反馈结构相同。 （2）最优跟踪系统的闭环特征根与最优 输出调节器的闭环特征根相同，因此，跟 踪系统的动态性能也与期望输出无关。
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
yr t
CT t Q t
1 T A t B t R t B t P t T
无限时域状态调节器
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最优控制——线性二次型 5.2.2无限时域状态调节器
1 T t x A BR B P x t Ax t ,
x t0 x0
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制——线性二次型 前次课程回顾
概述 线性二次型最优控制问题 状态调节器
•有限时域状态调节器问题 •无限时域状态调节器问题
输出调节器 跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 2
最优控制——线性二次型 5.2.2无限时域状态调节器
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
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最优控制——线性二次型 5.2.1 有限时域状态调节器
重点掌握
1.线性定常输出调节器问题 2.有限时域线性时变系统跟踪问题
能源与iao@ d
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
若被控系统完全可观测，则系统的输出 调节器问题可以转化为等价的状态调节 器问题，并可将状态调节器的结论加以 推广，得到输出调节器的最优控制律。
• 在上节，讨论了状态调节器这一最基本的
线性二次型最优控制问题之后，就可以以 此为基础讨论其他类型的线性二次型最优 控制问题。
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有限时域线性时变系统输出调节器问题
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0.6
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0.9
1
正弦信号跟踪最优控制响应曲线（ r 1 ）
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yr t sin 2 t 2）正弦信号跟踪响应：
P
6 yr x u 4
2
0
-2
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40
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1.6 1.4
yr t 1 1）阶跃跟踪响应：
P
yr x u 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
阶跃跟踪最优控制响应曲线（ r 1）
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1 T 1 tf T T J e t f Fe t f e t Q t e t u t R t u t dt 2 2 t0