彩色图象的二维变形.
计算机图形学二维变换
y
b=0
A
B c=-1
O
x
D
C
（c）沿-x方向错切
b=1 y
c=0
B
A
O
x
C
D
y
A
O
D
b=-1 c=0 B
x
C
y
b=1
B
c=1
A
O
x
C
D
（d）沿+y方向错切
（e）沿-y方向错切
图5-5错切变换
（f）沿+x和+y方向错 切
x' x cy
沿x，y方向的错切变换的坐标表示为：
y'
bx
y
相应的齐次坐标矩阵表示为：
5.2.1 平移变换矩阵
y
平移变换是指将坐标 6
点P(x,y)从位置移动到 5
P‘(x’,y‘)位置的过程，如 4 3
图5-1所示。平移变换 2
的坐标表示为：
1
O
x' x Tx
y'
y
Ty
P’
P
Tx
Ty
123456x
图5.1 平移变换
相应的齐次坐标矩阵表示为：
1 0 0
x' y' 1 x Tx
旋转变换的坐标表示为：
x' r cos( ) x cos y sin
y'
r
sin(
)
x sin
y
cos
相应的齐次坐标矩阵表示为：
x' y' 1 x cos y sin xsin y cos 1
cos sin 0
x y 1 sin cos 0
二维图形基本变换规则及应用
二维图形基本变换规则及应用（07级信息与计算科学傅强070350221）摘要利用计算机绘制的图形与我们日常见到的图片、照片是有相似之处。
除图片、照片等图形外，自然界中还存在丰富多彩的有形物体。
一般，根据图形所在空间的不同，可将图形分为：三维图形和二维图形。
图片、照片属二维图形，自然界中形形色色的物体属于三维图形。
在计算机绘图的过程中，二维图形的绘制是绘制三维图形的基础，研究计算机图形的生成必须从研究二维图形开始。
计算机绘制图形时，无论图形多么复杂，都是利用一些相应图形基元经过图形变换组成的。
在计算机绘图中，经常用到图形变换，图形变换是指图形信息经过几何变换后产生新的图形。
基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、旋转和变比等规则。
本文主要介绍二维图形的一些基本变换规则及其应用关键词：直角坐标系内；平移；旋转；应用ABSTRACTUsing the computer graphics and see our daily drawings, photographs are similarities. Besides the drawings, photographs and other graphic, nature also exist rich and colorful tangible objects. In general, according to the different space, the graphics can be divided into: 3d graphics and 2d graphics. The drawings, photographs of 2d graphics, all kinds of objects in the nature belongs to 3d graphics. In computer graphics, the process of 2d graphics rendering 3d graphics drawing is the basis, research of computer graphics generation must start from the 2d graphics. Computer graphics, no matter how complex, graphics are using some corresponding graphic element composed by graphical transformation. In computer graphics, often use graphics transformation, graphics transform refers to the graphical information through after new graphics geometry transform. The basic research object coordinate geometry transform in cartesian coordinate system in translation, rotation and change rules than etc. This paper mainly introduces some basic transformation of 2d graphics and its application in the rules.Keywords: a cartesian coordinate system, Translation, Rotating, application1用户坐标到屏幕坐标的变换实际图纸上坐标系是实数域中的直角坐标系或极坐标系，统称为用户坐标系；计算机设备（如屏幕）上采用的坐标系为整数域（如屏幕一般为直角左手系），称为设备坐标系。
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
第6章 二维变换及二维观察
向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和
变换过程。
Y
2 A'
B'
3/2
A
B
2019/9/6
1/2
C'
C
O 1/2 1 3/2 2
X
图 6-8 针 对 固 定 方 向 的 拉 伸
30
6.3.7 坐标系之间的变换
问题：
y y' p(xp,yp) x'
2019/9/6
y0
θ
O'
O
x0
x
图 6-9 坐 标 系 间 的 变 换
x' axby m y' cx dy n
仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射
变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可 以表示为这五种变换的复合。
2019/9/6
39
二维几何变换具有如下一些性质： 直线的中点不变性； 平行直线不变性； 相交不变性； 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长 度的不变性；
第6章 二维变换及二维观察
提出问题
• 如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 • 如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察
2019/9/6
1
第6章 二维变换及两维观察
6.1 基本概念
6.1.1 齐次坐标
齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。 齐次坐标的不唯一性
规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标？
在图形 设备上
输出
图6-19 两维观察流程
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
二维小波变换纹理特征
二维小波变换纹理特征小波变换是一种数学工具，用于将信号分解成不同频率的子信号，并且能够保存信号的时间和频率信息。
在图像处理领域，小波变换被广泛应用于图像压缩、图像增强、特征提取等任务中。
二维小波变换可以将图像分解成不同尺度和方向的子图像，这些子图像包含了图像的纹理特征，在图像分析中起着重要作用。
纹理是图像中的一种局部统计特征，描述了图像的细微变化和重复规律。
在图像识别和分类任务中，纹理特征往往能够帮助我们区分不同的物体和场景。
通过二维小波变换，我们可以从图像中提取出具有纹理信息的子图像，然后通过对这些子图像进行统计分析和特征提取，来描述图像的纹理特征。
在二维小波变换中，我们通常使用不同类型的小波基函数来分解图像，常见的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数在不同尺度和方向上都具有不同的特性，可以用来提取不同频率的信息。
通过多尺度的小波变换，我们可以获得图像在不同尺度下的纹理信息，从而更全面地描述图像的纹理特征。
在图像处理中，我们通常使用小波变换的高频子图像来描述图像的纹理特征。
高频子图像包含了图像的细节信息，通常对应于图像中的纹理部分。
通过对高频子图像进行统计分析，比如计算均值、方差、能量等统计特征，我们可以得到图像的纹理特征描述。
这些特征可以用来训练机器学习模型，从而实现图像的分类、检测等任务。
除了统计特征以外，我们还可以通过二维小波变换得到图像的纹理特征显著性图。
纹理特征显著性图可以帮助我们找到图像中最具有代表性的纹理特征，进而实现目标检测和识别任务。
通过对纹理特征显著性图进行分割和聚类，我们可以实现对图像的纹理特征提取和分类。
总的来说，二维小波变换是一种有效的方法，用于提取图像的纹理特征。
通过对图像进行多尺度的小波分解，我们可以得到图像在不同尺度下的纹理信息，然后通过对这些信息进行统计分析和特征提取，来描述图像的纹理特征。
这些特征可以帮助我们实现图像的分类、识别、检测等任务，对于图像处理和计算机视觉领域具有重要意义。
二维图形几何变换
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
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矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
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01
02
03
04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
计算机图形学课件二维图形变换分解共76页文档
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
76
计算机图形学课件二维图形变换分解
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
彩色图像的二值化及二值化彩色图像的隐藏和恢复方法
（19）中华人民共和国国家知识产权局（12）发明专利申请（10）申请公布号CN102629323A（43）申请公布日 2012.08.08（21）申请号CN201210035891.5（22）申请日2012.02.06（71）申请人重庆医科大学地址400016 重庆市渝中区医学院路1号（72）发明人陈龙聪;王志芳;杨佳仪;谭超;谢正祥（74）专利代理机构代理人（51）Int.CIG06K9/38;G06T1/00;权利要求说明书说明书幅图（54）发明名称彩色图像的二值化及二值化彩色图像的隐藏和恢复方法（57）摘要一种彩色图像的二值化方法，其特征在于包括下列步骤：(一)选择源图像，获取源图像每个像素点的红、绿、蓝三种分量的色度值并计算源图像的亮度值；(二)计算源图像的平均亮度；(三)利用Zadeh-X变换方法对源图像的红、绿、蓝三个分量进行二值化变换，生成变换后的彩色图像并计算该变换后彩色图像的平均亮度；(四)比较源图像与变换后彩色图像的平均亮度值，确定二值化变换的结果图像。
本发明的有益效果是：能够基于彩色图像进行二值化处理，得到真正的二值化彩色图像，且二值化彩色图像与源图像相比喜度变化不大。
法律状态法律状态公告日法律状态信息法律状态2012-08-08公开公开2012-10-03实质审查的生效实质审查的生效2014-01-08授权授权2016-03-23专利权的终止专利权的终止权利要求说明书彩色图像的二值化及二值化彩色图像的隐藏和恢复方法的权利要求说明书内容是....请下载后查看说明书彩色图像的二值化及二值化彩色图像的隐藏和恢复方法的说明书内容是....请下载后查看。
彩色图像二维变形技术的研究
ｃ 一一 ＋ 一 （ ｛纠 ５ ｌ ４ ｌ ）
ｌ ｏ
ｒ — ＋ ｆ １２
利用 上述 插值 函数
可采用下述步 骤求 出ｆｘ ．０ ． ｆ。ｙ）
双 线 性 插值 法是 对 最 近 邻域 法 的一 种 改 进
根 据
囤 ２ 越 巍性 插 伍 浩
ｆＣ】 【 ＋ ｝ ｛ －１ ｙ ） （ ）【 ． －１ 十 （ 一 ） ｆ ＝ｃ １ ｘ ｆ ｘ ． －１ 十ｃ Ｘ ｆ ｘ ｙ ） ｃ １ ｘ ｆ ｃ＋１ ｖ・ ） （ － ）（ 十２ ｙ ） ｘ ．・ １ ＋ｃ ２ ｘ ｆ ｘ ．一１ ｆ０】 ｃ １ ｘ ｆ ｘ ｙ ） ）（ ． － ） ｃ １ ｘ ｆ 【 ＝ 【 ＋ ） ｛ －１ －２ ＋ｃ ｆ Ｘ ｙ ２ 十 一 ） ｃ Ｘ ｃ ｃ ＋１ ｙ－ 】 － ）ｃ ＋２ ｙ ２ ｘ ．－２ ＋ｃ ｘ ｆ ｘ ． － ） ｃ ２
【。ｙ） 四个 邻域 点 的灰度值 插值 计算 出 【…Ｙ】 ｘ ｎ点 点的灰
度值 ．具体 算法如 下
同 理 求 出
ｆＢ ＝ｃ １ ）ｃ 一 ． ） ｃ ｘ ｆ ｖ ＋ 【 －Ｉ ｆ ＋１ ｖ Ｉ ｆ ＋ ｆＸ １ ｙ ＋ ｆ ）【 】 ｃ １ ） ｌ ｃ ） ｘ ．） ＋ ｌ －ｘ ｆｘ ） ｃ ２ ）｛ ＋２ ｙ
善 ］
其中 ．＾ ＾ 分 别为图像在 Ｘ和 Ｙ方 向的放大倍数 。 ２ 图像平移
结 果图像 区域 内． 取原 像素值加 以显示 由于原 图像区域
与结 果 图像 区域所包含像 素点 的数 目一般不相 同 ． 甚至相 差很 大 ．因此 会造成结 果图像 中的像素点 未被赋 值 ． 形成 令 人讨厌 的空洞 ． 或者被 多次赋值 ． 费 了时间 ．总的效 浪 果不理想 其 二是利 用坐标 变换公 式的反 变换 ． 将结果图 像 内的每一 像素点 反变换至原 图像 内的对 应点 ． 一般此点 具有实数 坐标 ．可 以通过 插值 ．确定其像 素值 这样 结 果图像 中的每一像 素点均被赋 值 ， 且是惟 一 的一次 如此 既提高 了精度 ，又可避免不 必要的 赋值 使用效 果较好 。
二维图形几何变换
R R(1 ) R( 2 ) R(1 2 )
4.1.3 复合变换
其它二维复合变换
cos sin 0 cos R sin cos 0 0 0 1 0 0 1 tg 0 cos 0 tg 1 0 0 cos 0 0 0 1 0
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上的覆盖率](Gray(x)表示某点的灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上的覆盖率+ Gray(2) × A在2上的覆盖率+ Gray(3) × A在3上的覆盖率
n
光栅变换
n
∑ [Gray(i) × Si]
Gray(A)=
平行直线不变性；
相交不变性； 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不 变性； 比例变化可改变图形的大小和形状； 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸 变。
0 cos 0
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
0 1
0
复合变换
6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移
o y P’
θ F(xF,yF)
a b c d y 1 l m p q s
问题：S>1时缩还是放？
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
y/s
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s
s/s]
旋转变换
二维图形的变换
平移、旋转、放大或缩小、对称
Δy
Δx
y
(Cx,Cy)
x
如何实现图形变换？
变换的数学基础
• 1.矢量（向量）运算和性质 vx u x • 矢量
U u y u z
V v y vz
• 矢量和
u x vx U V u v y y u z vz kux k U ku y kuz
• -平移变换 • void move_change(int *coor1,int tx,int ty) • { • int i; • for(i=0;i<4;i++) • { • coor1[2*i]=coor1[2*i]+tx; • coor1[2*i+1]=coor1[2*i+1]+ty ; • } • }
• 对称变换的特点：只 改变图形方位，不改 变其形状和大小。
(x,y) (-x,-y)
• -错切变换 • DEF:如果变换前坐标点(x,y)于变换后
对应的新坐标点(x´,y ´)的关系为 x´=x+cy y ´ =y • 则称这一变换为沿x轴的错切变换，式 中c为错切系数。
•x´=x+cy •y´=y
#define XC 300 //原点横坐标 #define YC 300 //原点纵坐标 void draw_coordi()//画坐标 { setcolor(WHITE); line(0,YC,639,YC); line(XC,0,XC,479); } void my_line(int x1,int y1,int x2,int y2)//画
• 问题（举例）
•矩阵的乘法适 •合交换律吗？
[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT
![[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/cd1cee150b4c2e3f57276323.png)
连续旋转变换
应用于点P的两个连续旋转，得到的点P’的 坐标可计算为 P’ = R(θ2)[ R(θ1)P]= [R(θ2)R(θ1)]P 可以证明：两个连续旋转是可叠加的 R(θ2)*R(θ1)= R(θ1+θ2) 则P’的坐标可计算为 P’ = R(θ1+θ2)P
Other Transformations
大多数图形软件包中包含了平移、旋转和 缩放这些基本变换。有些软件包还提供一 些有用的其它变换，如反射(Reflection)和 错切(Shear)
2018/12/2
28
Reflection对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点 ty)P
2018/12/2 25
对于绕坐标原点的旋转变换
可简写为：P’ = R(θ)P
2018/12/2 26
对于相对于坐标原点在X和Y方向上的缩放变换
可简写为：P’ =S(sx , sy)P T、R和S分别时平移、旋转、缩放变换距阵
2018/12/2 27
2018/12/2
9
标准的旋转是当基准点在坐标 原点时，即物体绕坐标原点的 旋转。点P绕原点逆时针旋转θ, 得到P’点。则P和P’的坐标之 间的关系，如图，可如下表示 x’=rcos(θ+Ψ) =rcosθcosΨ - rsinθsinΨ y’=rsin(θ+Ψ) =rsinθcosΨ + rcosθsinΨ
P2 M 1 P1 M 2
21
齐次坐标：
是Maxwell.E.A在1946年从几何的角度提出来
的，它的基本思想是把一个n维空间的几何问 题转换到n+1维空间中去， 从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示 一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空 间中的点。
掌握二维形的放大与缩小
掌握二维形的放大与缩小在数学中，二维形状的放大与缩小是一个基础而重要的概念。
通过掌握二维形的放大与缩小，我们可以更好地理解几何图形的特性和变化规律。
本文将详细介绍二维形状的放大与缩小的定义、方法和应用。
一、放大与缩小的定义放大与缩小是指通过改变二维形状的尺寸，使其变大或变小的过程。
在放大与缩小中，尺寸的变化是按照一定的比例进行的。
放大是指将形状扩大，使其尺寸变大；缩小是指将形状缩小，使其尺寸变小。
比例是进行放大与缩小时的关键要素，它决定了形状的最终尺寸与原尺寸的比值。
二、放大与缩小的方法1. 直接测量法直接测量法是通过使用测量工具（如尺子、量角器等）对图形进行实际尺寸的测量，然后按照一定比例进行计算和调整。
这种方法适用于平面上的简单形状，如矩形、正方形等。
2. 利用比例关系法利用比例关系法是通过确定两个形状之间的比例关系来进行放大与缩小。
具体做法是，首先确定原始形状与目标形状的对应部分，然后计算两者之间的尺寸比例，最后根据比例关系调整尺寸。
这种方法适用于各种形状的图形，尤其适用于复杂的多边形和曲线。
三、放大与缩小的应用放大与缩小在生活和工作中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 地图的放大与缩小在地图上，为了显示更多的细节或将整个地区装入一张纸上，我们需要对地图进行放大或缩小。
通过对地图上的各个地点进行比例尺的转换，可以实现地图的放大与缩小。
2. 建筑设计与模型制作在建筑设计和模型制作中，为了更好地展示建筑物的细节和整体效果，我们需要进行放大和缩小操作。
通过按照一定的比例对建筑图纸进行调整，可以使得建筑物的尺寸符合实际需求。
3. 电子产品的显示效果调整在电子产品中，如电视、手机等，用户可以通过调整屏幕的大小和分辨率来实现图像的放大和缩小。
这样可以根据个人需求，获得更舒适的观看和使用体验。
4. 艺术作品的复制与放大在艺术创作中，有时需要复制和放大某个作品，以满足展览或商业需求。
通过按比例对原始艺术作品进行调整，可以制作出与原作相似的大型复制品。
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彩色图象的二维变形
2008-01-20
摘要该文讨论了彩色图像的变形扭曲技术，并针对二维变形给出了一个速度、精度均令人满意的算法。
一、引言
在图像处理的应用中，一般图像所覆盖区域边界是规则的矩形。
为获得某种特殊效果，常常需要将图像变换到具有任意不规则边界的二维区域或映像到三维空间曲面，简单地说，这就是所谓的图像变形技术。
本文重点讨论了其中的任意二维多边形区域的变形问题，并针对彩色图像给出一个切实可行的算法。
而三维情况下，则属于计算机图形学中的纹理贴面范围，一般均会牵涉到立体图形消隐、明暗处理等技术，比较复杂，本文未作深入探讨。
二、变换原理
本文所要讨论的二维变形问题可以形式化说明如下:图像定义在矩形区域ABCD 之上，源多边形区域P=p1p2…pnp1(Pi为顶点，i=1，2，…n)完全包含在ABCD 内；变形就是通过变换f，将P上的图像变换到目的多边形区域
Q=Q1Q2…QnQ1(Qi为顶点，i=1，2，…n)，其中，P与Q中的各顶点一一对应，即有:Qi=f(Pi)(i=1,2…n)。
图1是变形的一个简单例子:图中的源多边形区域是矩形区域ABCD，目的多边形为任意四边形EFGH，阴影部分在变换前后的变化清楚地说明了变形的效果。
@@T5S13200.GIF;图1@@
那么，变换应该如何进行呢?
一种直接的思路是显式地求出变换f的表达式。
而f的实施又分两种方法；其一为正向变换法，即用f将P内的任一像素点变换到Q内，取原像素值加以显示。
由于P与Q所包含像素点的数目一般不相同，甚至相差很大，造成Q中的像素点或者未被赋值，形成令人讨厌的空洞，或者被多次赋值，浪费了时间，总的效果不理想；其二利用f的反变换f-1，将Q内的.每一像素点反变换至P 内的对应点，一般此点具有实数坐标，则可以通过插值，确定其像素值，这样，结果图像中的每一像素点均被赋值唯一的一次，既提高了精度，又可以避免不必要的赋值，使用效果较好。
上述显示求变换(或反变换)的表达式的思路，比较精确，但是这往往牵涉到复杂的多元方程求解问题，并非轻易可以完成。
本文所给出的另外一条思路是:既然P与Q中各顶点一一对应，组成变换对，即源多边形P中的任一顶点
Pi(i=1,2…n)经过变换f，得到目的多边形Q中的顶点Qi(i=1,2…n)，则Qi的反变换点也必为Pi。
这样，对Q内(包括边界)的各像素点A，可以利用各顶点
的反变换点的坐标值通过双线性插值技术近似求出其反变换点B；再用点B的坐标值在源图像中进行插值，最终求得结果像素值，用于显示A。
第二种方法在保留一定精度的前提下，避免了变换表达式的显式求解，实现简便。
本文基于此思想，设计了一个快速变形算法；另外，算法中还借鉴了多边形区域扫描转换的扫描线算法的思路，以实现对Q内各像素点的高效扫描。
以下，本文首先介绍了插值技术及增量计算技术，然后将给出二维变形算法的详细步骤。
三、插值技术
已知目的多边形Q各顶点Qi(i=1,2…n)的变换坐标值，如何求出Q内任一像素的反变换坐标呢?双线性插值法是一种简单快速的近似方法。
具体做法是:先用多边形顶点Qi(i=1,2…n)的反变换坐标线性插值出当前扫描线与多边形各边的交点的反变换坐标，然后再用交点的反变换坐标线性插值出扫描线位于多边形内的区段上每一像素处的反变换坐标值用于以后的计算。
逐条扫描线处理完毕后，Q内每一像素点的反变换坐标值也就均求出来了。
如图2中所示，扫描线Y(纵坐标=Y)与多边形相交于点A和B两点，D则是位于扫描线上位于多边形内的区段AB上的任一点。
已知多边形的3个顶点Qi(i=1,2，3)的反变换坐标为(RXi,RYi)；
又令A、B及D各点的反变换坐标分别是(RXa,RYa),(RXb,RYb)和(RXd,RYd)。
则RXp可按以下公式求出:
RXa=uRX1 (1-u)RX2 式1
RXb=vRX1 (1-v)RX3式2
RXd=tRXa (1-t)RXb 式3
其中，u=|AQ2|/|Q1Q2|，v=|BQ3|/|Q1Q3|，t=|DB|/|AB|，
称为插值参数。
RYd的值亦可完全类似地求出，甚至不必改变插值参
[1] [2] [3]。