积分的对称性问题

常用方式为： ∫L f (x)ds = ∫L f ( y)ds = ∫L f (z)ds ；∫∫ f (x)ds = ∫∫ f ( y)ds = ∫∫ f (z)ds 。
S
S
S
∫ 例
3：已知积分曲线
L
:
⎧x +
⎨ ⎩
x2
y +
+ z =1 y2 =1
，其周长为
a，求积分
（3x
L
+
y
+
2z）ds 。
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 分析：由曲线
（4）
D
D
常用方式为
∫∫
D
f
(x)dσ
=
∫∫
D
f
( y)dσ
=
1 2
∫（∫ f
D
(x) +
f
( y)）dσ
。
∫∫ ∫∫ 例如，
x2dσ = 1 （x2 + y2）dσ
x2 + y2≤1
2 x2+ y2≤1
其中（1）（2）（3）为二重积分的奇偶对称性定理，（4）称为二重积分的轮换对称性定理。对于三重积分也有类似情形。
y2 +z2 ≤R2
1
+
⎛ ⎜ ⎝
∂x ∂y
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎝
∂x ∂z
⎞2 ⎟⎠
dydz
>0
又曲面 S 关于 Oyz，Ozx，Oxy 面都对称，
∴ ∫∫ x2ds = 0 ，S 关于 Oyz 对称，f（x，y，z）= x2 关于 x 为偶函数。
S
∫∫ xdydz = 2 ∫∫ xdydz = 2 ∫∫ R2 − y2 − z 2 dydz > 0，S 关于 Oyz 面对称，f（x，y，z）= x 关于 x 为奇函数。
中国教育研究论丛（2006）
关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用
顾庆凤 浙江林学院理学院
在多元函数积分中，常常碰到积分区域是对称区域和被积函数是奇（偶）函数的问题，很多学生对这类题型不能充分和
正确利用对称性解题。下面结合各类积分的对称性定理给出具体例子，希望能给读者带来帮助，在以后能够快速和正确地解
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D3 o
x
∫∫ A．2 sin ye−x2−y2 dxdy D
B．2∫∫ xydxdy
D4
D1
D1
∫∫ C．4 （xy + sin ye−x2−y2）dxdy
D1
D．0
（－1，－1）
图1
·154·
CHINA EDUCATION RESEARCH ANALECTS
高等教育研究 — 学科探讨
分析：这里应选 A。事实上，如图 1，D=D1∪D2∪D3∪D4，由对称性知 ∫∫ xydxdy = 0， ∫∫ xydxdy = 0。∴ ∫∫ xydxdy = 0。
（1）
2．如果积分域 D 关于 y 轴对称，f（x，y）为 x 的奇（或偶）函数，D2 为 D 中 x ≥ 0 的部分，则：
⎧0,
∫∫
D
f (x, y)dσ
=
⎪
∫∫ ⎨ 2
⎪⎩ D2
f (x, y)dσ ,
f (−x, y) = − f (x, y) f (−x, y) = f (x, y)
（2）
3．如果积分域 D 关于原点对称，f（x，y）同时为 x，y 的奇（或偶）函数，D1 为 D 中 y ≥ 0 的部分，则：
⎧0 ,
∫∫
D
f
(x,
y)dσ
=
⎪
∫∫ ⎨2
⎪⎩ D1
f
(x,
y)dσ ,
f (−x, −y) = − f (x, y) f (−x, −y) = f (x, y)
（3）
4．如果积分域 D 是轮换区域，即 D 关于直线 y = x 对称，则有：
∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f ( y, x)dσ
二、调查结果与分析
1．在各项运动项目损伤的发生率调查中，足球、篮球、排球、体操、田径在学生中受伤率较高。因为在部分成人高校
里，由于受场地和器材等条件限制，一般球类和田径项目开展的相对多一些，所以受伤面要广一些，其次为体操、武术、健
美操见表 1。
表 1 各项运动项目运动损伤发生率
项目 篮球 足球 排球 跳高 跳远 短跑 单杠 双杠 支撑跳跃 武术 健美操 合计
定理三：第二型曲面积分的对称性定理
若 f（x，y，z）关 z 为偶函数（或奇函数），积分区域 S 关于 Oxy 面对称，则对第二型曲面积分有：
⎧⎪⎪∫S∫ f (x, y, z)dxdy = 0, (S关于Oxy对称，f (x, y, −z) = f (x, y, z))
⎨
⎪∫∫
f
(x,
y,
z)dxdy
A．∫∫ x2ds，∫∫ x2dydz
B．∫∫ xds，∫∫ xdydz
C．∫∫ xds，∫∫ x2dydz
S
S
S
S
S
S
分析：曲面 S 关于 Oyz，Ozx，Oxy 面都对称。
D．∫∫ xyds，∫∫ ydydx
S
S
∴ ∫∫ xds = 0 ，S 关于 Oyz 对称，f（x，y，z）= x 关于 x 为奇函数。
L
:
⎧x +
⎨ ⎩
x2
y +
+ z =1 y2 =1
中
x，y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
位置对称，得
xds =
L
yds，所以 （3x + y + 2z）ds = 2 （x + y + z）ds = 2 ds = 2a。
L
L
L
L
∫ 例 4：已知曲线 L : x2 + y2 = 1，其周长为 a，求积分 （2xy + 3x2 + 4y2）ds 。
⎪⎩ S
S1
f (−x, y, z) = − f (x, y, z) f (−x, y, z) = f (x, y, z)
（6）
类似地，可写出关于 y 和关于 z 为奇偶函数的结果（略）。 2．轮换对称性：若积分区域 L 和 S 中 x，y，z 的地位对称，则在被积函数中互换 x，y，z，结果不变。
D
D1
在第一型曲线、曲面积分中，也有与重积分完全类似的对称性定理。
定理二：第一型曲线积分、曲面积分的对称性定理
1．奇偶对称性：若 f（x，y，z）关于 x 为奇函数（或偶函数），积分区域 L 或 S 关于 oyz 面对称，则对第一型曲线积分有
（L1 为 L 的一半）：
⎧⎪∫L f (x, y, z)ds = 0,
=
2∫∫
f
(x,
y,
z), (S关于Oxy对称，f
(x,
y,
−z)
=
−
f
(x,
y,
z)
⎪⎩ S
S1
类似地，可写出关于 x 和关于 y 为奇偶函数的结果（略）。（用法见例 5、例 6） 注意点：①第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理相反。②第二型曲面积分的奇偶 性只能一项一项地用，即 dydz 项用曲面 S 关于 Oyz 面对称；dzdx 项用曲面 S 关于 Ozx 面对称；dxdy 项用曲面 S 关于 Oxy 面对称。不能三项一起用，而且 dydz 项只能用曲面 S 关于 Oyz 面对称，不能用关于 Ozx，Oxy 面对称。 针对这两点，下面给出两个例子加以说明。 例 5：设 S 为球面：x2＋y2＋z2 = R2 在下列四组积分中，同一组的两个积分均为 0 的是（ ）。
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
利用二重积分的积分区域 D 的对称性及被积函数 f（x，y）的奇偶性解题，一方面可减少计算量，另一方面也可避免出错。
特别值得注意的是：①当且仅当积分域 D 的对称性与被积函数 f（x，y）的奇偶性同时具备时才能使用该命题。②f（x，y）
关于 x、y 的奇偶性，只能分别对一个变量来考虑，而不能将两个变量混在一起来考虑。下面举例说明：
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
D2 D1
（1，1）
例 2：设 D 是以（1，1），（－1，1）和（－1，－1）为顶点的三角形域，D1
∫∫ 为 D 在第一象限的部分。则 （xy + sin ye−x2−y2）dxdy =（ ）。
A．∫∫ x2dydz = 0
B．∫∫ ydydz = 0
C．∫∫ xdydz = 0
D．∫∫ y2dydz = 0
S
S
S
S
分析：曲面 S 关于 Oyz 面对称，且被积函数中的 x2；y；y2 关于 x 为偶函数，其积分为零。则 A、B、D 对，因此选 C。
以上定理及例题说明，在解重积分、曲线积分、曲面积分时要充分利用积分域的对称性及被积函数的奇偶性，且注意重 积分、第一型曲线（曲面）积分具有相同的对称性定理，而第二型曲面积分的对称性定理与重积分的对称性定理相反。这样 就会使得很多看似复杂的积分计算变得简单、快捷，这对于改进高等数学教学、提高学生的解题和运算能力，甚至考研辅导， 都有着重大而实际的意义。
f (−x, y, z) = − f (x, y, z)
∫ ∫ ⎨
⎪⎩
f (x, y, z)ds = 2 f (x, y, z)ds，
L
L1
f (−x, y, z) = f (x, y, z)
（5）
对第一型曲面积分有（S1 为 S 的一半）：
⎧⎪⎪∫S∫ f (x, y, z)ds = 0,
⎨
⎪∫∫ f (x, y, z)ds = 2∫∫ f (x, y, z)ds,
x2 + y 2 ≤1
∫∫ 积分区域 D： x2 + y2 ≤ 1关于 x 轴对称，而被积函数 f ( x, y ) = xy 为 y 的奇函数，由定理 1（1）知： xydσ = 0 。
x2+ y2≤1
∫∫ ∫∫ 又积分区域 D： x2 + y2 ≤ 1关于 y = x 对称，由定理 1（4）知： x2dσ = y2dσ。
至发生多次损伤。发生运动损伤的原因很多，发生的部位各有不同，我们对部分成人高校学生运动损伤的情况进行了问卷调
查，进行了观察和分析，并提出一些指导性建议。
一、调查对象和方法
以湖北省部分成人高校学生为对象，采取问卷式调查方式，收回有效问卷 167 份，损伤示例 194 人，其中对各项运动的
运动损伤率、运动损伤部位、损伤类型和因素进行了统计和观察。
S
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·155·
中国教育研究论丛（2006）
，S 关于 Oyz 对称，f（x，y，z）= xy 关于 x 为奇函数。
∫∫ xyds = 0
∫∫ ∫∫ ∫∫ S x2ds = 2
x2ds = 2
(R2 − y2 − z2)⋅
S
S I{x≥0}
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
参考文献 1．陈文灯、黄先开.数学复习指南（理工类）［M］.北京：世界图书出版公司北京公司 2．赵达夫.高等数学的辅导讲义［M］.北京：新华出版社
对部分成人高校学生运动损伤的调查与分析
左绿化 长江大学体育学院
前言：成人高校学生无论是在体育教学和课后锻炼过程中，发生运动损伤的现象是较普遍的。有的学生在在校期间，甚
例数 35
46
18
11
16
26
10
16
4
8
4
194
%
18.0 23.7 9.3
5.7
8.2 13.4 5.1
8.2
2.1
4.1
2.1
100
2．在受伤性质和受伤部位调查中，各项运动受伤部位主要集中在踝、膝、腰、腕、指关节。四个部位占总调查量的 79.3%。
决此类问题。
定理一：二重积分的对称性定理
1．如果积分域 D 关于 x 轴对称，f（x，y）为 y 的奇（或偶）函数，D1 为 D 中 y ≥ 0 的部分，则：
⎧0,
f (x, − y) = − f (x, y)
∫∫
D
f (x, y)dσ
=
⎪
∫∫ ⎨ 2
⎪⎩ D1
f (x, y)dσ ,
f (x, − y) = f (x, y)
S
S I{x≥0}
y2 +z2 ≤R2
∫∫ ydzdx = 2 ∫∫ ydzdx = 2 ∫∫ R2 − z 2 − x2 dzdx > 0，S 关于 Ozx 面对称，f（x，y，z）= y 关于 y 为奇函数，因此选 C。
S
S I{ y≥0}
z2 + x2 ≤R2
例 6：设 S 为球面：x2＋y2＋z2 = 1 的上半部分的上侧，则下列错误的是（ ）。