高中数学数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义： a n 1 a n

d （ d 为常数）， a

a

n 1 d

n

1

等差中项： x ， A ， y 成等差数列

2A x y

a 1

a n n n n 1

d

前 n 项和 S n

na 1

2

2

性质： a n 是等差数列

（1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；

（2）数列 a 2n 1 , a 2n , a 2n 1 仍为等差数列， S n ， S 2 n S n ， S 3n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数列， 公差为 n 2 d ； （3）若三个成等差数列，可设为 a d ，a ， a d

（4）若 a n ， b n 是等差数列，且前 n 项和分别为 S n ， T n ，则

a m

S 2m 1

b m

T

2m 1

（5）

a n 为等差数列 S n an 2 bn （ ，

为常数，是关于

n 的常数项为 0

的二次函数）

a b

S n 的最值可求二次函数 S n

an 2

bn 的最值；或者求出 a n 中的正、负分界项， 即：当 a 1 0， d 0 ，解不等式组

a n

a

n 1

可得 S n 达到最大值时的 n 值 .

当 a 1 0， d

a n 0

可得 S n 达到最小值时的 n 值 .

0，由

a

n 1

(6)项数为偶数 2n 的等差数列 a n ，有

S 2 n

n(a 1 a 2n ) n( a 2

a 2n 1 )

n(a n a n 1 )(a n , a n 1为中间两项 )

S 偶 S 奇 nd ，

S 奇

a

n .

S 偶 a n 1

（7）项数为奇数 2n

1的等差数列

a

n

，

有

S

2 n

1

( 2n 1)a n ( a n 为中间项 ) ，

S 奇

S 偶

a n ，

S 奇

n .

S 偶 n 1

2.等比数列的定义与性质

定义： a n 1q （q为常数， q0 ），a n a1q n 1

a n.

等比中项： x、 G、 y 成等比数列2

G xy ，或Gxy .

na1 (q1)

前 n 项和： S

a1 1q n （要注意！）

n(q 1)

1q

性质： a n是等比数列

（1）若 m n p q ，则a m·a n a p· a q

（2）S n，S2 n S n，S3n S2n⋯⋯仍为等比数列,公比为 q n.注意：由 S n求 a n时应注意什么？

n 1 时，a1S1；

n 2 时，a n S n S n 1.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列 a n

111

，求 a n ，a1

2

2 a2⋯⋯

2

n a n 2n 5

2

（2）叠乘法

如：数列 a n中，a1

a

n 1n，求 a

n 3，

n 1

a n

（3）等差型递推公式

由 a n a n 1 f (n)， a1a0，求 a n，用迭加法

［练习］数列a n中， a1

n 1

a n 1 n 2 ，求a n（

a n13n1 1，a n 32）

（4）等比型递推公式

a n ca n1 d （c、d为常数， c0， c1， d0 ）

可转化为等比数列，设 a n x c a n 1x a n ca n 1c 1 x

令 ( c1)x d ，∴ x d，∴ a n d是首项为 a1d

， c 为公比的等比数列

c 1

c1c1

∴ a n d a1d· c n 1，∴ a n a1d c n 1d

1 c1c1c1c （5）倒数法

如： a1，2a n，求 a n

1 a n 1

a n2

附：

公式法、利用 a n S1( n 1 )

S n S n 1 ( n 2 ) 、累加法、累乘法.构造等差或等比a n 1 pa n q 或

a n 1pa n f ( n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4.求数列前 n 项和的常用方法

(1)裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如： a n是公差为 d 的等差数列，求

n1

k 1 a k a k 1

（2）错位相减法

若 a n为等差数列，b n为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前 n 项和，可由S n qS n，求 S n，其中 q 为 b n的公比 .

如： S n 1 2x 3x 2

4x 3 ⋯⋯ nx n 1

①

x · S n

x 2x 2

3x 3 4x 4 ⋯⋯ n 1 x n 1

nx n

②

①—② 1 x S n

1 x x

2 ⋯⋯ x n 1 nx n

1 x n

n

n n

1

x 1 时， S n

nx

， x 1 时， S n 1 x 2

1 2 3 ⋯⋯ n

1 x

2

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加

.

S n a 1 a 2 ⋯⋯ a n 1

a n 相加 2S n a 1 a n a 2 a n 1

⋯ a 1 a n ⋯

S n a n

a

n 1

⋯⋯ a 2

a 1

x 2

［练习］已知 f (x)

1 x

2 ，则

1 1 1 f (1) f (2)

f

f (3) f

f (4)

f

2

3

4

(附：

a.用倒序相加法求数列的前 n 项和

如果一个数列 {a n } ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个

和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，

更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和

公式的推导，用的就是 “倒序相加法 ”。

b.用公式法求数列的前 n 项和

对等差数列、等比数列，求前 n 项和 S n 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前 n 项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前

n 项和。

d.用错位相减法求数列的前 n 项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法， 应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列 {a n ·n

中，{a n

成等差数列，

n

b }

成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求

}

{b }

出前 n 项和。

e.用迭加法求数列的前 n 项和

迭加法主要应用于数列 {a n

满足 n+1 n

，其中 f(n) 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个

式子变成 a n+1

n

}

a =a +f(n)

n ，

，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出

-a =f(n)

a

从而求出 S n 。

f.用分组求和法求数列的前 n 项和