2018年秋经济数学基础形考任务四网上作业参考答案

经济数学基础形考任务四网上作业参考答案
（2018年秋季）
一、计算题（每题6分，共60分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）
题目1
1．设，求．
2．已知，求．
3．计算不定积分．
4．计算不定积分．
5．计算定积分．
6．计算定积分．
7．设
，求．
8．设矩阵，，求解矩阵方程．
9．求齐次线性方程组的一般解．
10．求为何值时，线性方程组
参考答案：
1． y’ = (-x 2)’x −x 2
+(2x)’(-sin(2x))
= -2x x −x 2
-2sin(2x)
2. d(x 2)+d(x 2)-d(xy)+d(3x)=0 2xdx+2ydy-ydx-xdy+3dx=0 (2x-y+3)dx+(2y-x)dy =0 dy=
2x −x +3
x −2x
dx 3. ∫x √2+x 2xx =1
2∫√2+x 2x (x 2+2)
令u=x 2+2,
1
2
∫√2+x 2x (x 2+2)=1
2∫√xxx
=12∗2
3x 32+C =13(2+x 2)3
2+C
4. 解法一： 令u=x
2,
∫xxxx (x
2)xx =∫2x ∗sin ⁡(x )x (2x )
=4∫x ∗sin (x )xx =−4∫xx (cos ⁡(x )) =−4(u ∗cos (u )−∫cos ⁡(x )xx ) =−4u ∗cos (u )+4sin (u )+C
=−2xcos (x
2)+4sin (x
2)+C
解法二：
求导列 积分列
X sin x
2
2cos x
2
4sin x
2
∫xxxx (x 2)xx =−2xcos (x 2)+4sin (x
2)+C
5. ∫x 1
x
x 2xx
21=−∫x 1
x x (1
x )2
1
令u =
1x , −∫x 1x x (1x
)21=−∫x x xx =−(x 1
2−x )=x −√x 12
1
6. 解法一： ∫xxxxxx x
1=12∫xxxx (x 2)x
1
=1
2
((ln (x )x 2)|x 1−∫x 2x (xxx )x
1
)=12
((ln (x )x 2)|x 1−∫xx (x )x
1) =1
2((ln (x )x 2)|x 1−12
x 2|x 1
) =1
2(x 2−0−12x 2+1
2)
=
x 2+1
4
解法二： 求导列 积分列
1
2x 2
∫xxxxxx =1
2x 2xxx −1
2∫1
x x 2xx =
12x 2xxx −1
2
∫x xx =
1
2
x 2xxx −1
4
x 2+c ∫xxxxxx x
1=(1
2x 2
xxx −1
4x 2)|1x =(1
2x 2
xxx −1
4x 2)−(1212
xx1−1
412)= x 2+1
4
7. I +A =[100010001]⁡⁡⁡+⁡[−113
1−151−2−1]⁡⁡=[0131051−20]
(x +x )∗
=[10−65
5−33−21−1
]
|x +x |=|013
0251−20
|=|13
25
|=−1
(x +x )−1
=[−106−5−5
3−32
−11
]
8. x ∗
=[−43−2
−86−5−75−4
]
|x |=|12−3
0−450−56
|=1
x
−1
=[−43−2−86−5−75−4
]
X =B x
−1
=[1−30027][−43−2
−86−5−75−4
]=[20−1513−6547−38
]
9. 系数矩阵为 A =[102−1−11−32
2−15−3
]→[102−101−11
0−11−1]⁡→[102−101−11
0000
]
一般解为： {
x 1=−2x 3+x 4,
x 2=x 3−x 4
⁡(x 3,x 4是自由未知量)
10. x ̅̅̅=[1−1422−1−113−23x ]→[1−14201−9−301−9x −6]→[10−5−1
01−9−3000x −3
]
秩(A)=2.
若方程组有解，则秩(x ̅̅̅)=2，则λ−3=0 即λ=3 一般解为：
{
x 1=5x 3−1,
x 2=9x 3−3
⁡(x 3是自由未知量)
二、应用题（每题10分，共40分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）
题目2
1．设生产某种产品个单位时的成本函数为（万元），
求：①
时的总成本、平均成本和边际成本；②产量为多少时，平均成本最小．
2．某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价
格为
（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？
3．投产某产品的固定成本为36（万元），边际成本为（万元/百台）．试
求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 4．生产某产品的边际成本为
（万元/百台），边际收入为
（万
元/百台），其中为产量，求：①产量为多少时利润最大；②在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会发生什么变化． 参考答案：
1．(1) 总成本为 C(10)=100+0.25*102+6*10=185(万元) 平均成本为C(10)/10=18.5(万元) C ’(q)=0.5q+6
边际成本为C ’(10)=56 (2) 平均成本x ̅̅̅(x )=100+0.25x 2+6x
x
x ̅̅̅′(x )=−100
x 2+0.25
令x ̅̅̅′(x )=0，q=20 (q=-20舍去)
该平均成本函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，平均成本函数有最小值，因此，当产量q 为20时，平均成本最小
2. 总收入为R(q)=pq=(14-0.01q)q=14q-0.01x 2
总利润为L (q )=R (q )−C (q )=14q −0.01x 2−20−4x −0.01x 2
=−0.02x 2+10x −20
边际利润L ′(q )=−0.04q +10
令L ′(q )=0，得驻点q=250, 该利润函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，L(q)有最大值，此时L(250)=1230
产量为250时利润最大，最大利润为1230元
3. （1）总成本的增量：
ΔC =C (6)−C (4)=∫
x ′(x )xx
=∫(2x +40)xx =(x 2+40x )|466
4
6
4
=100
即产量由4百台增至6百台时总成本的增量为100万元.
（2）总成本为C (x )=∫x ′(x )xx =∫(2x +40)xx =x 2+40x +x
固定成本为36,即当x=0时，c(0)=36,得C=36, 所以C (x )=x 2+40x +36 平均成本x ̅̅̅(x )=c (x )
x =
x 2+40x +36
x
=x +40+36
x
令x ̅̅̅′(x )=1−
36
x 2
=0,则 x=6 (x=-6舍去)
x ̅̅̅(x )仅有一个驻点x=6; x ̅̅̅"(x )=72
x 3 x ̅̅̅"(6)=
7263
>0
即产量为6时，可使平均成本达到最低
4. (1)边际利润为L ’(x)= R ’(x)-C ’(x)=100-2x-8x=100-10x
令L ’(x)=0,即100-10x =0，得驻点x=10，该函数没有导数不存在的点。

因为L ”(x)=(100-10x)’=-10 所以L ”(10) =-10<0
x=10是利润函数的极大值点，即产量为10百台时，利润最大 (2) ΔL =L (12)−L (10)
=∫x′(x )12
10xx =∫(100−10x )12
10xx =(100x −10x 2)|1012=-20
即在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会减少20万元。