2019年四川省阿坝州中考数学试卷 解析版
近几年甘孜州阿坝州数学中考试卷真题
阿坝、甘孜州二O 一O 年初中毕业会考暨高中阶段学校招生统一考试数学试卷2.全卷共10页，用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔直接答在试卷上.3.本试卷由A 卷和B 卷组成.A 卷满分100分，B 卷满分50分.120分钟内完卷.A 卷（100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）：以下每小题给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号填在括号内．1．（-3）2的结果是( ) A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 2．下列计算正确的是( )A.（m+n ）2=m 2+n 2B.m 2·m 3=m 5C. 2m +3n =5mnD.3．如图，已知直线AC ∥ED ，∠C =30°，∠BED =70°，则∠CBE 度数是 ( ) A.20° B.100° C. 55° D. 40°4．下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ( )5．某市统计局发布的统计公报显示，2006年到2010年，某市GDP 增长率分别为9.9%、10.1%、10.3%、10.5%、10.2%. 经济评论员说，这5年该的GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小. A.中位数 B. 方差 C.众数 D.平均数A.所有正方形都全等B. C.相等的圆周角所对的弧相等D. 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形7．数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的三角形学具进行展示. 设三角形的一边长为x cm ，该边上的高为y cm ，那么这些同学所制作的三角形的高y （cm ）与边长x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )8．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( )A.∠ACB=∠AOEB.AD=BDC. 12AOB ABC S S ∆∆=D.AE BE=9．如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字． 若数字为6的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（Ａ．5Ｂ．4Ｃ．3Ｄ．210．如图，OAB△绕点O 逆时针旋转80°得到OCD △，若110A ∠=°，40D ∠=°，则α∠的度数是（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．分解因式：39x x -= ．12．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，4AB =，分别以AC ，BC 为边向外作正方形，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．(第9 B（第10题）中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(40)，，点B 的纵坐标是1-，则顶点A 的坐标是 _．14．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为 .三、解答题：（本大题共5小题，共44分）15.(本小题满分6分)1012)4sin 60|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°.16. （本小题满分6分）解方程：22333x x x -=---17.(本小题满分7分)某镇开展了党员干部“一帮一扶贫”活动．为了解贫困群众对帮扶情况的满意程度，有关部门在该镇所管辖的两个乡内，分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查．根据收集的信息进行了统计，并绘制了下面尚不完整的统计图．已知在甲区所调查的贫困群众中，非常满意的人数占甲区所调查的总人数的35%．根据统计图所提供的信息解答下列问题：（1）甲区参加问卷调查的贫困群众有多少人？（2）请将统计图补充完整；（3）小明说：“因为甲区有30人不满意，乙区有40人不满意，所以甲区的不满意率比乙18.（本小题满分7分）杨佳和杨靓是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，杨佳和杨靓都想先挑选．于是杨佳设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则杨佳先挑选；否则杨靓先挑选．（1）用树状图或列表法求出杨佳先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．第17题图19、（本小题满分8分）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数xmy =的图象相交于点A （1, 4-）、点B （3，n ）. （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．20、（本小题满分10分）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 的外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：AE ⊥DA ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．B 卷（50分）四、填空题（每小题4分，共20分） 21．已知x 2+3x －3=0，那么4x 2+12x +2010的值为 . 22．a 、b 、c 、d 为实数，先规定一种新的运算：a c ad bcb d=-，那么3423(1)5x =-时，x = .23．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD AC的值等于.第23题 第25题24．若点(－2, a )，(－1, b )，(1, c )在反比例函数1y x=的图象上，则a 、b 、c 的大小关系为 .（用“<”连接）25．如图AB 是半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC 交半圆O 于点D ，已知CD =1，AD =4，则tan ∠CAB = .五、解答题：（本大题共3小题，共30分） 26．（本题共10分）某商店专销一种文具盒，进价12元/个，售价20元/个，为了促销，商店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如，某人买20个文具盒，于是每个降价0.10×(20－10)=1元，就可以按19元/个的价格购买），但是最低价为16元/个.（1）求顾客一次至少买多少个，才能以最低价购买？（2）有一天，一位甲顾客买了46个，另一位乙顾客买了50个，求商店在甲乙顾客的购买中分别赚了多少元？（3）写出当顾客一次购买x 个时（x >10），商店利润y (元)与购买量x (个)之间的函数关系式.27．（本题共10分） 如图，已知F 是以AC 为直径的半圆O 上任一点，过AC 上任一点（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若BF=AF，求证：AF2=EF·CF如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(－2, 4)，直线x=－2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；③当线段PB最短时，在抛物线对称轴的右侧是否存在一点Q，使△PMQ为直角三角形.阿坝、甘孜州二O 一O 年初中毕业会考暨高中阶段学校招生统一考试数学试题参考答案及评分意见说明：1. 正式阅卷前务必认真阅读参考答案和评分意见，明确评分标准，不得随意拔高或降低标准．2. 全卷满分150分，参考答案和评分意见所给分数表示考生正确完成当前步骤时应得的累加分数．3. 参考答案和评分意见仅是解答的一种，如果考生的解答与参考答案不同，只要正确就应该参照评分意见给分．合理精简解答步骤，其简化部分不影响评分．4. 要坚持每题评阅到底．如果考生解答过程发生错误，只要不降低后继部分的难度且后继部分再无新的错误，可得不超过后继部分应得分数的一半，如果发生第二次错误，后面部分不予得分；若是相对独立的得分点，其中一处错误不影响其它得分点的评分．A 卷（100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）：以下每小题给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号填在括号内．1.C2.B3.D4.D5.B6.A7.B8.C9.D 10.B 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. (3)(3)x x x +- 12. 16 13. (2,1) 14. 4 三、解答题：（本大题共6小题，共44分） 15. (本小题满分6分) 解：原式=1+3+4×2-………………………………4分 =4……………………………………………………6分16.(本小题满分6分) 解：17.(本小题满分7分)223133223(3)322394255526x x x x x x x x x x -=-----=----=--+==……………………………………分……………………………………分………………………………………分……………………………………………………分5经检验：=是原方程的根…………………………分2解：（1）1200 ························································································································ 2分 （2）图形正确（甲区满意人数有500人） ··········································································· 4分 （3）不正确． ························································································································ 5分 ∵甲区的不满意率是30 2.5%1200=，乙区的不满意率是402%70076050040=+++， ∴甲区的不满意率比乙区的不满意率高． ············································································ 7分18.（本小题满分7分）.解：（1）根据题意可列表或树状图如下：第一次第二次1 2 3 41—— （1，2） （1，3） （1，4） 2（2，1） —— （2，3） （2，4） 3（3，1） （3，2） —— （3，4） 4（4，1） （4，2） （4，3） —— ··································································································· 4分···················································································································· 4分从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P （和为奇数）23=·········································································································· 5分 （2）不公平． ························································································································ 6分 ∵杨佳先挑选的概率是P （和为奇数）23=，杨靓先挑选的概率是P （和为偶数）13=，∵2133≠，∴不公平． ··········································································································· 7分19、（本小题满分8分）解：（1）将点A （1, 4-）代入x m y =中，41m -= ∴m =－4∴反比例函数解析式为4y x =-······································································ 2分 将B （3，n ）代入4y x =-中，43n =-,∴B 点坐标为（3，43-）………………………………………… ················· 3分 （1，2） （1，3） （1，4） 2 3 4 1 （1，1） （2，3） （2，4） 1 3 4 2 （3，1） （3，2） （3，4） 1 2 4 3 （4，1） （4，2） （4，3） 1 2 3 4 第一次摸球第二次摸球将A （1, 4-）、B （3，43-）的坐标分别代入y kx b =+中，得4433k b k b +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得43163k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴一次函数的解析式为41633y x =-………………………… ······················ 5分（2）设一次函数解析式图象与x 轴交与点C ，当y =0时，416033x -=， x =4,∴C 点坐标（4，0） ∴OC =4 …………………… 6分S △AOC =21·OC ·| y A | =21×4×4=8, S △BOC =21·OC ·| y B | =21×4×43=83S △AOB = S △AOC －S △BOC =883-=163······························································· 8分20、（本小题满分10分）解：（1）证明：1212 18011()18090422905AD BAC BAD BAC AE BAF BAE BAF BAC BAF BAD BAE BAC BAF DAE AE DA ⎫∠⇒∠∠⎪⎪⎪∠⇒∠∠⎬⎪⎪⎪∠+∠=︒⎭⇒∠+∠∠+∠=⨯︒=︒⇒∠=︒⇒⊥平分＝平分＝＝分分（2）AB ＝DE ，理由是：………………………………6分907 B 9 90 90810AB AC AD BC ADB AD BAC AE D BE AE AEB DAE AB DE=⎫⎫⇒⊥⇒∠=︒⎬⎪∠⎭⎪⎪⇒⎬⎪⊥⇒∠=︒⎪⎪∠=︒⎭⇒=分平分四边形是矩形分分分B 卷四、（每小题4分，共20分）21．∵x 2+3x －3=0，∴x 2+3x =3 4x 2+12x =12，4x 2+12x +2010=12+2012=202422．∵3×5－4(1－x )=23，∴15－4+4x =23 11+4x =23 4x =12 ∴x =3 23．AD AC =24．b <a <c25．12五、解答题：（本大题共3小题，共30分） 26．（本小题满分10分）解：（1）设至少购买a 个 20－16=40.10×(a －10)=4元a =50个 ………………………………………………2分 （2）甲顾客降0.10×(46－10)=3.6元 每个利润：20―12―3.6=4.4元/个4.4×46=202.4元 …………………………4分 乙顾客降：0.10×(50－10)=4元 每个利润：20―12―4=4元/个4×50=200元 ……………………………………6分 ∴商店在甲顾客处赚了202.4元，在乙顾客处赚了200元。
2019年四川省各市中考数学试题汇编(1)(含参考答案与解析)
2019年四川省各市中考数学试题汇编（1）（含参考答案与解析）（word版，9份）目录1.四川省成都市中考数学试题及参考答案与解析 (2)2.四川省攀枝花市中考数学试题及参考答案与解析 (29)3.四川省自贡市中考数学试题及参考答案与解析 (52)4.四川省泸州市中考数学试题及参考答案与解析 (76)5.四川省宜宾市中考数学试题及参考答案与解析 (96)6.四川省绵阳市中考数学试题及参考答案与解析 (119)7.四川省眉山市中考数学试题及参考答案与解析 (145)8.四川省南充市中考数学试题及参考答案与解析 (169)9.四川省达州市中考数学试题及参考答案与解析 (193)2019年四川省成都市中考数学试题及参考答案与解析（全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求。
1．比﹣3大5的数是（）A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．82．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）A．B．C．D．3．2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（）A．5500×104B．55×106C．5.5×107D．5.5×1084．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（）A．（2，3）B．（﹣6，3）C．（﹣2，7）D．（﹣2．﹣1）5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．下列计算正确的是（）A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a27．分式方程+＝1的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣28．某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（）A．42件B．45件C．46件D．50件9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重命），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE 的长为．13．已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是．14．如图，▱A BCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°﹣+|1﹣|．（2）解不等式组：16．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．估算：≈（结果精确到1）22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k 的值为．23．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为。
2019年四川省阿坝州中考数学考试试卷 解析版
2019年四川省阿坝州中考数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×1093．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．45．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，956．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．68．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm29．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．15．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．16．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．17．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．三．解答题（共9小题）20．（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）23．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．24．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，故选：A．2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．故选：C．3．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从几何体的上面看到的图形，从上面看得到的是两个横着排列的小正方形，因此可得选项C是正确的．【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选：C．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，∴＝，∴EC＝2，故选：B．5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，95【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），故选：D．6．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．【解答】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B．7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x+4＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，故选：D．8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm2【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，故＝12π．故选：C．9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC【分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先由二次函数的图象确定b、c的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．【解答】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为（3，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为6．【分析】连接OA，根据勾股定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．【解答】解：连接OA，∵M为弦AB的中点，∴OM⊥AB，∴AM＝＝＝3，∴AB＝2AM＝6，故答案为：6．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为70度．【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝35°，∴∠AEB＝55°，由翻折变换可得∠AEF＝110°，∴∠BFE＝70°．故答案为：70．15．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为9．【分析】由点A在直线y＝﹣3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b＝5，将其代入6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1中即可求出结论．【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，∴b＝﹣3a+5，∴3a+b＝5，∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．故答案为：9．16．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是30．【分析】设黑球有2x个，则白球为3x个，根据概率公式得到：即可求解．【解答】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：，解得：x＝10，∴白球有：3x＝30，故答案为：30．17．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝；作EH⊥CF于H，由△CEF的面积＝CF×EH，求出EH的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴BE＝＝＝3，同理DF＝3，∴AE＝AF＝1，∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；作EH⊥CF于H，如图：∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，∴EH＝＝，即点E到CF的距离为；故答案为：；．18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝﹣1．【分析】根据题意先计算出前五个数，发现每4个数一个循环，进而可求第2019个数的值．【解答】解：S1＝1；S2＝1+＝1+1＝2；S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；…发现规律：每4个数一个循环，所以2019÷4＝504…3，所以按此规律，S2019＝﹣1．故答案为：﹣1．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 4.8．【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴A'B'＝AB＝10，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，∴CP＝＝4.8．故答案为：4.8．三．解答题（共9小题）20．（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°＝1+﹣1+2×＝1+﹣1+＝2；（2）（1+）÷＝•＝x+1．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．22．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）【分析】根据题意可得四边形ABED是矩形，再根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树大约有多高．【解答】解：根据题意可知：∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE＝6m，∠CDA＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．答：这棵树大约有5.2m高．23．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据C等级的人数除以该组频率进而得出该年级的学生数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：（3）根据题意画图如下：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．24．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．【分析】（1）把B点坐标代入y＝﹣2x+b中求出b得到一次函数解析式，把B点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式得到C点坐标为（7，0），再解方程组得A（1，12），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积．【解答】解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），解方程组得或，∴A（1，12），∴△AOC的面积＝×7×12＝42．25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴BH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，∵a＝﹣10，∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△FBD，可得AB＝BF；（2）由全等三角形的性质可得AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，由角平分线的性质可求解；（3）由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD（AAS）∴AB＝BF；（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，∴AC×BG＝×DF×BH，∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝45°，（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEA＝45°，∴∠EBN＝∠BEN＝45°，∴BN＝EN，∴BE＝BN，∵∠A＝60°，∴sin∠A＝＝，∴AB＝BN，∴BF＝BN，∴＝．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A 关于x轴对称，即可求解；（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；（3）存在，理由：过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GH＝MH，tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，故点M（m，m），设直线OM的表达式为y＝sx，将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，故直线OM的表达式为y＝x．。
备战中考数学分点透练真题二次函数的图像与性质(解析版)
第十一讲二次函数的图像与性质命题点1 二次函数的基本性质类型一开口方向、对称轴及顶点的确定（含解析式转化）1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．【答案】（1，8）【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．3．（2021•贵阳）二次函数y＝x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【解答】解：由y＝x2得：a＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．4．（2019•金昌）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【答案】y＝（x﹣2）2+1【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．类型二与增减性、最值有关的问题5．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．6．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴函数最大值为y＝3．故选：C．7．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．类型三二次函数图像上点的坐标特征8．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C （2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．9．（2021•益阳）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…﹣2﹣101234…y…11a323611…由此判断，表中a＝．【答案】6【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），∴对称轴为x＝＝1，∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，∵当x＝3时，y＝6，∴当x＝﹣1时，a＝6．故答案为：6．10．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A 作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．【答案】﹣2+2【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．类型四与坐标轴交点有关的问题11．（2021•湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，﹣4）【答案】A【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，解得c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点P的坐标为（2，﹣4），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），故选：A．12．（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．13．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝．【答案】1【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，解得k＝1，故答案为1．命题点2 与二次函数图像有关的判段14．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．15．（2019•葫芦岛）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．16．（2019•阿坝州）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．命题点3 与系数a、b、c有关的判定17．（2021•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜﹣；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，∴b＜0，∵函数图象与y轴交负半轴，∴c＜0，故，正确②∵顶点坐标（1，n），对称轴x＝＝1，∴b＝﹣2a＜0，a＝﹣，∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，∵﹣3＜c＜﹣2，∴﹣3＜＜﹣2，∴﹣2＜b＜，错误．③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，∵a＝﹣，c＝b，∴n＝2b，∴2c﹣a＝，∵b＜0，∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．故选：B．18．（2021•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵该函数图象开口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确．综上，正确的个数有2个，故选：B．19．（2021•枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴0＝4a+2b+c，故③不正确；又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，＝2，∴y1＞y2，故选④不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，∴当x＝时，抛物线y取得最大值y max＝＝，当x＝m时，y m＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，∴y max＞y m，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确，故选：B．命题点4 二次函数解析式的确定20．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解．故选：A．命题点5 二次函数与一元二次方程的关系21．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．22．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【答案】C【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．23．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．【答案】（1）m＞﹣（2）x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣，∴m的取值范围为m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．命题点6 二次函数与不等式（组）24．（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【答案】D【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．25．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故正确；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．26．（2021•大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，解得x＝1或x＝，故②正确；③当a＞0时，函数图象开口向上，若＜x＜1，则y＜0；当a＜0时，函数图象开口向下，若＜x＜1，则y＞0；故③错误；④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；故④正确；故选：C．命题点7 二次函数图像的变换类型一平移27．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1【答案】B【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．故选：B．28．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣2【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故选：B．29．（2020•百色）将抛物线y＝（x+1）2+1平移，使平移后得到抛物线y＝x2+6x+6．则需将原抛物线（）A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度【答案】D【解答】解：抛物线y＝（x+1）2+1的顶点坐标是（﹣1，1），抛物线y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3的顶点坐标是（﹣3，﹣3）．所以将点（﹣1，1）向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点（﹣3，﹣3）．所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线y ＝x2+6x+6．故选：B．≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．30．（2021•黔东南州）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图所示，过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B （0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故选：B．31．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．【答案】0,2【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故答案为：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，∵﹣＜0，∴n的最大值为2．故答案为：2．类型二轴对称（折叠）32．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣3B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3D．m＝6，n＝3【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得m＝6，n＝3，故选：D．33．（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3【答案】A【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，所以b的值为﹣3或﹣，故选：A．类型三中心对称或旋转34．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【答案】A【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．。
四川省阿坝州茂县2019年中考数学一模试卷含答案解析
2017年四川省阿坝州茂县中考数学一模试卷一、选择题：（每小题4分，共40分）1. - 一的倒数是（）5A. - 5B. -C. - 一D . 55 52. 下列事件，是必然事件的是（）A掷一枚六个面分别标有1〜6的数字的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上B. 从一幅扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃C. 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天D. 任意选择在播放中电视的某一频道，正在播放新闻3.已知O O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,则直线L与O O的位置关系是（）A.相交B .相切C.相离D.不能确定4. 不等式组勺”的最小整数解是（）A. 0B. - 1C. - 2D. 35. 下列运算中，正确的是（）A. 3-2 = - 6 B . ' ' / = ± 6C. （- x）2十（-x）=x D. （- 2x2）3= - 8x66. 如图中的几何体的左视图是（）7. 2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到4640万人次, 其中4640万用科学记数法可表示为（）A. 0.464 X 109B. 4.64 X 108C. 4.64 X 107D. 46.4 X 106&已知：如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax+b的图象不经过（）A.第一象限B •第二象限C •第三象限D •第四象限O O 的半径为3,且sinB=，则弦AC 的长为（）6 ABCD 中, AC=4 BD=6, P 是BD 上的任一点，过点 P 作EF// AQ 与 平行四边形的两条边分别交于点E 、F ,设BP=x EF=y,则能反映y 与x 之间关系的图象是二、填空题：（每小题3分，共15分）11. ____________________ 分解因式：X 2- 4= .12. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AB// DCBD 丄ADAD=DC=BC=2cjn 那么梯形 ABCD 勺面积是10.如图，在平行四边形( ) C13. 在一个不透明的布袋中装有红球6个，白球3个，黑球1个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任意取出一球为红球的概率是_______ .14. 已知一个菱形的周长为24cm,有一个内角为60°,则这个菱形较短的一条对角线长为15.已知:2…22X，3+ =32X，4+- =4= •••，若14+ =14= ( a、b均为正整,则a+b=三、解答题：16. (1)计算：—-(二-1) 0- 2cos30°(2 )解方程：——+丄二=2.17 .如图所示，在△ ABC中，BO AC,点D在BC上，且DC=AC/ ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点，连接EF.(1) 求证：EF// BC(2 )若厶ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积.18.某中学团委会为了解该校学生的课余活动情况，采取抽样的办法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制了如下的两幅不完整的统计图(如图)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1) 这次抽样中，一共调查了多少名学生？(2) “其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？(3) 若该校有2500名学生，你估计全校可能有多少名学生爱好阅读?A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.(1) 说明点B是否在暗礁区域内;y i=- x+a与x轴、y轴分别交于点(2) 若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由.于A B两点，且点A的坐标是(1, 3)点B的坐标是(3, m)(1 )求a, k, m的值；(2 )求C D两点的坐标，并求△ AOB的面积.D、C两点和反比例函数一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）B卷（50）分21. _______________________________ 若3a2- a- 2=0,则5+2a- 6a2= .22. 如图，PA PB分别与O O相切于点A、B,O O的切线EF分别交PA PB于点E、F,切23. 在函数尸世（k>0的常数）的图象上有三个点（- 2, y i）, （- 1, y2）,丄，y3）,函x 2数值y i, y2, y3的大小为______ .24. 如图，在厶ABC中，BC=4,以点A为圆心、2为半径的O A与BC相切于点D,交AB于E, 交AC 于F,点P是O A上的一点，且/ EPF=40 ,则图中阴影部分的面积是 _ （结果保留25. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE（OF）长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm —只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离_ cmo二•解答题(本大题共3小题，共30分)26. 某个体经营户销售同一型号的A、B两种品牌的服装，平均每月共销售60件，已知两种品牌的成本和利润如表所示，设平均每月的利润为y元，每月销售A品牌x件.(1)写出y关于x的函数关系式.(2)如果每月投入的成本不超过6500元，所获利润不少于2920元，不考虑其他因素，那么销售方案有哪几种？(3)在(2)的条件下要使平均每月利润率最大，请直接写出A、B两种品牌的服装各销售多少件？A B成本(元/件) 12085利润(元/件) 603027 .如图，AB为O O的直径，AD平分/ BAC交O O于点D, DEL AC交AC的延长线于点E, BF 丄AB交AD的延长线于点F,(1)求证: DE是O O的切(2)若DE=3 O O的半径为5,求BF的长.2 ..28.如图，已知二次函数y=ax+bx+c的象经过A (- 1, 0)、B (3, 0)、N (2, 3)三点，且与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标;(2) 若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形；(3) 点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由.2017年四川省阿坝州茂县八一中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析、选择题：（每小题4分，共40分）1的倒数是(C.) -—D . 555A.- 5B.5【考点】倒数.【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案【解答】解：- =的倒数为-5.5故选A.2. 下列事件，是必然事件的是（）A. 掷一枚六个面分别标有1〜6的数字的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上B. 从一幅扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃C. 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天D. 任意选择在播放中电视的某一频道，正在播放新闻【考点】随机事件.【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断.【解答】解：A、不一定发生，是随机事件，故选项错误，B不一定发生，是随机事件，故选项错误，C是必然事件，故正确，D不一定发生，是随机事件，故选项错误，故选C.3. 已知O O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,则直线L与O O的位置关系是（）A.相交B .相切C.相离D.不能确定【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d v r;相切：d=r ;相6.如图中的几何体的左视图是( )离：d> r ;即可选出答案.【解答】解：TO O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,•/ 3>2，即:d v r ,•••直线L与O O的位置关系是相交.故选A.4. 不等式组•/的最小整数解是( )h<3A. 0B. - 1C. - 2D. 3【考点】一元一次不等式组的整数解.【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集，即可确定不等式组的最小整数解.【解答】解：解不等式(1)得：x >-.,则不等式组的解集是：- v x w 3,2故最小的整数解是：-1.故选B.5•下列运算中，正确的是( )A. 3-2 = - 6B. = ± 6C. (- x) 2十(-x) =xD. (- 2x2) 3= - 8x6【考点】整式的除法；算术平方根；幕的乘方与积的乘方；负整数指数幕.【分析】直接利用整式除法运算法则以及结合算术平方根和负指数幕的性质分别化简求出答案.【解答】解：A、3-2=七=.，故此选项错误，不合题意；39B —7=6,故此选项错误，不合题意；C (- x) 2*(—x) =- x,故此选项错误，不合题意；D (- 2x2) 3=- 8x6,正确，符合题意.故选：D.A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系.【分析】 根据抛物线的开口向上可得： a > 0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得：a , b 同号，所以b > 0 .所以直线y=ax+b 不经过第四象限.【解答】 解：•••抛物线的开口向上，••• a > 0,•• •对称轴在y 轴左边,HE【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案. 【解答】 解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形, 故选：A. 7. 2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到其中4640万用科学记数法可表示为（） A. 0.464 X 109 B. 4.64 X 108C. 4.64 X 107 D. 46.4 X 1064640万人次, 【考点】科学记数法一表示较大的数.【分析】先把4 640万表示为用个表示的数，进而用科学记数法表示成a X 10n 即可.【解答】 解：4 640 万=46 400 000=4.64 X 107.故选C. &已知：如图为二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象，则一次函数 y=ax+b 的图象不经过（ ） B .a, b 同号，即b>0,•••直线y=ax+b不经过第四象限, 故选D.9•如图，△ ABC内接于。
2019年四川省阿坝州中考数学试卷 解析版
2019年四川省阿坝州中考数学试卷（解析版）一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×1093．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．45．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，956．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．68．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm29．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．三．解答题（共9小题）15．（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．17．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE ＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）18．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．B卷21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，故选：A．2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．故选：C．3．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从几何体的上面看到的图形，从上面看得到的是两个横着排列的小正方形，因此可得选项C是正确的．【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选：C．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，∴＝，∴EC＝2，故选：B．5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，95【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），故选：D．6．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．【解答】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B．7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x+4＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，故选：D．8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm2【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，故＝12π．故选：C．9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC【分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先由二次函数的图象确定b、c的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．【解答】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为（3，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为6．【分析】连接OA，根据勾股定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．【解答】解：连接OA，∵M为弦AB的中点，∴OM⊥AB，∴AM＝＝＝3，∴AB＝2AM＝6，故答案为：6．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为70度．【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝35°，∴∠AEB＝55°，由翻折变换可得∠AEF＝110°，∴∠BFE＝70°．故答案为：70．三．解答题15（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°＝1+﹣1+2×＝1+﹣1+＝2；（2）（1+）÷＝•＝x+1．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．17．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE ＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）【分析】根据题意可得四边形ABED是矩形，再根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树大约有多高．【解答】解：根据题意可知：∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE＝6m，∠CDA＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．答：这棵树大约有5.2m高．18．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据C等级的人数除以该组频率进而得出该年级的学生数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：（3）根据题意画图如下：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．【分析】（1）把B点坐标代入y＝﹣2x+b中求出b得到一次函数解析式，把B点坐标代入y＝中求出k 得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式得到C点坐标为（7，0），再解方程组得A（1，12），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积．【解答】解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），解方程组得或，∴A（1，12），∴△AOC的面积＝×7×12＝42．20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴BH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为9．【分析】由点A在直线y＝﹣3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b＝5，将其代入6a+2b ﹣1＝2（3a+b）﹣1中即可求出结论．【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，∴b＝﹣3a+5，∴3a+b＝5，∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．故答案为：9．22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是30．【分析】设黑球有2x个，则白球为3x个，根据概率公式得到：即可求解．【解答】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：，解得：x＝10，∴白球有：3x＝30，故答案为：30．23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝；作EH⊥CF于H，由△CEF的面积＝CF×EH，求出EH的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴BE＝＝＝3，同理DF＝3，∴AE＝AF＝1，∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；作EH⊥CF于H，如图：∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，∴EH＝＝，即点E到CF的距离为；故答案为：；．24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝﹣1．【分析】根据题意先计算出前五个数，发现每4个数一个循环，进而可求第2019个数的值．【解答】解：S1＝1；S2＝1+＝1+1＝2；S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；…发现规律：每4个数一个循环，所以2019÷4＝504…3，所以按此规律，S2019＝﹣1．故答案为：﹣1．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 4.8．【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴A'B'＝AB＝10，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，∴CP＝＝4.8．故答案为：4.8．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，∵a＝﹣10，∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△FBD，可得AB＝BF；（2）由全等三角形的性质可得AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，由角平分线的性质可求解；（3）由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD（AAS）∴AB＝BF；（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，∴AC×BG＝×DF×BH，∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝45°，（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEA＝45°，∴∠EBN＝∠BEN＝45°，∴BN＝EN，∴BE＝BN，∵∠A＝60°，∴sin∠A＝＝，∴AB＝BN，∴BF＝BN，∴＝．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP 的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，即可求解；（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；（3）存在，理由：过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GH＝MH，tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，故点M（m，m），设直线OM的表达式为y＝sx，将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，故直线OM的表达式为y＝x．。
2019年四川省阿坝州中考数学试卷
2019年四川省阿坝州中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（3分）2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×1093．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，956．（3分）下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x7．（3分）方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．68．（3分）如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm29．（3分）如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC10．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 11．（4分）分解因式：x2﹣4＝．12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．13．（4分）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．14．（4分）矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 21．（4分）已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．22．（4分）口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．23．（4分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．24．（4分）我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．25．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．2019年四川省阿坝州中考数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解：如图所示，，故选：A．2．解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．故选：C．3．解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选：C．4．解：∵DE∥BC，∴＝，又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，∴＝，∴EC＝2，故选：B．5．解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），故选：D．6．解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B．7．解：去分母得：2﹣x+4＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，故选：D．8．解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，故＝12π．故选：C．9．解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．10．解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 11．解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．12．解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．解：连接OA，∵M为弦AB的中点，∴OM⊥AB，∴AM＝＝＝3，故答案为：6．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝35°，∴∠AEB＝55°，由翻折变换可得∠AEF＝110°，∴∠BFE＝70°．故答案为：70．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°＝1+﹣1+2×＝1+﹣1+＝2；（2）（1+）÷＝•＝x+1．16．解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．17．解：根据题意可知：∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，∴四边形ABED是矩形，∠CDA＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．答：这棵树大约有5.2m高．18．解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：（3）根据题意画图如下：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），解方程组得或，∴A（1，12），∴△AOC的面积＝×7×12＝42．20．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴BH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 21．解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，∴b＝﹣3a+5，∴3a+b＝5，∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．故答案为：9．22．解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：，解得：x＝10，∴白球有：3x＝30，故答案为：30．23．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴BE＝＝＝3，同理DF＝3，∴AE＝AF＝1，∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；作EH⊥CF于H，如图：∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，∴EH＝＝，即点E到CF的距离为；故答案为：；．24．解：S1＝1；S2＝1+＝1+1＝2；S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；…发现规律：每4个数一个循环，所以2019÷4＝504…3，所以按此规律，S2019＝﹣1．故答案为：﹣1．25．解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴A'B'＝AB＝10，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，∴CP＝＝4.8．故答案为：4.8．二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.26．解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，∵a＝﹣10，∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．27．解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD（AAS）∴AB＝BF；（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，∴AC×BG＝×DF×BH，∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝45°，（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEA＝45°，∴∠EBN＝∠BEN＝45°，∴BN＝EN，∴BE＝BN，∵∠A＝60°，∴sin∠A＝＝，∴AB＝BN，∴BF＝BN，∴＝．28．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；（3）存在，理由：过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GH＝MH，tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，故点M（m，m），设直线OM的表达式为y＝sx，将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，故直线OM的表达式为y＝x．。
2019年全国各地中考数学真题汇编：三角形(四川专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学真题汇编（四川专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．2．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB ＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选：C．3．（2019•遂宁）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（）A．28B．24C．21D．14解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形的周长为28，∴AB+AD＝14∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，故选：D．4．（2019•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．5．（2019•巴中）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC 于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．6．（2019•宜宾）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC 的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O为△ABC的内心∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．∴OB＝OC．∠BOC＝120°，∵ON⊥BC，BC＝2，∴BN＝NC＝1，∴ON＝tan∠OBC•BN＝×1＝，∴S△OBC＝BC•ON＝．∵∠EOF＝∠AOB＝120°，∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．在△EOB和△FOC中，，∴△EOB≌△FOC（ASA）．∴S阴影＝S△OBC＝故选：C．二．填空题（共10小题）7．（2019•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE＝，DE＝BE＝×＝，故答案为．8．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．9．（2019•广元）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是8+4．解：如图，连接AD，设AC与BD交于点O，解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60°∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝CD＝2，∵AB＝BC，CD＝AD，∴BD垂直平分AC，∴BO＝AC＝，OD＝CD•sin60°＝，∴BD＝+∴BD2＝（+）2＝8+4，故答案为8+410．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．11．（2019•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．12．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为32cm．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．13．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝．解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，故答案为：．14．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．15．（2019•达州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，∴O为BD中点，∵点E是AB的中点，∴AB＝2BE，BC＝2OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴CD＝2BE．∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE＝8，∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，∴△BCD的周长是16，故答案为16．16．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C 重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．三．解答题（共18小题）17．（2019•攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．18．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．19．（2019•广元）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∵点E，F分别是边BC，AC的中点，∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，∴FE＝AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠EFC，∵AD＝AB，∴AD＝FE，在△ADF和△FEC中，，∴△ADF≌△FEC（SAS），∴DF＝EC，∴DF＝BE．20．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20×sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD＝＝＝；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE＝＝40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD＝＝50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．22．（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD 于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．（2019•广元）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方同．（以下结果保留根号）（1）求B，C两处之间的距离；（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．解：（1）作CE⊥AB于E，如图1所示：则∠CEA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，∴CE＝AE，∠BCE＝30°，∴CE＝BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE＝x，AE＝BE+AB＝x+90，∴x＝x+90，解得：x＝45+45，∴BC＝2x＝90+90；答：B，C两处之间的距离为（90+90）海里；（2）作DF⊥AB于F，如图2所示：则DF＝CE＝x＝135+45，∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF＝270+90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为＝3+（小时）；答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3+）小时．24．（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．25．（2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．26．（2019•眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．解：在Rt△DEC中，∵i＝＝，DE2+EC2＝CD2，CD＝20，∴DE2+（2DE）2＝（20）2，解得：DE＝20（m），∴EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，∵＝tan∠ADG，∴＝，解得：x＝50+30．答：楼AB的高度为（50+30）米．27．（2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．28．（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）解：设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，则EM＝＝x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x﹣x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．29．（2019•巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE ⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．30．（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7）解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DE tan60°＝DE，设DE＝x米，则DG＝x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴x＝10+x，解得：x＝5+5，∴CG＝DG+DC＝x+1.5＝（5+5）+1.5＝16.5+5≈25，答：教学楼CG的高约为25米．31．（2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE＝＝＝≈1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），答：AB的长约为0.6m．32．（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D 位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE＝，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝CF，即：300﹣＝414﹣x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．33．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．34．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．。
阿坝藏族羌族自治州中考数学试卷
阿坝藏族羌族自治州中考数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019七下·湖州期中) 下列运算正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·临沂) 如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A .B . -2C .D .3. （2分）(2018·灌南模拟) 如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y＝x的图象为直线l，作点A1(1，0)关于直线l的对称点A2 ，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4 ，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A . （1007，1008）B . （1008，1007）C . （1006，1007）D . （1007，1006）4. （2分）(2019·新宾模拟) 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，2）．则点B2019的坐标是（）A . （6052，0）B . （6054，2）C . （6058，0）D . （6060，2）5. （2分） (2019七下·重庆期中) 下列命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行； 的平方根是； 若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且其中一个角是45°，则另一个角为45°或135°；④若是的整数部分，是不等式的最大整数解，则关于，方程的自然数解共有3对；⑤在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至，的位置，则 .其中真命题的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分）(2019·湘潭) 随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）A . 平均数是8B . 众数是11C . 中位数是2D . 极差是107. （2分）(2019·湘潭) 如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（）A . 45°B . 40°C . 35°D . 30°8. （2分）(2019·湘潭) 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)9. （1分） (2017七下·萧山期中) 已知m+n=2，mn=-2，则（1-m）（1-n）=________。
2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》及答案
2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O 于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD ＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB ＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC 于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC ＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE 交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．5．解：（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴，即OC2＝OE•OP∵OC＝AB∴即AB2＝4OE•OP．6．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝7．解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；（2）作OD⊥AB于D，如图所示：则AD＝BD＝AB，由（1）得：△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝，∵∠BAC＝30°，∴AD＝OD＝，∴OD＝，即求点O到弦AB的距离为．8．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．9．（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得：AB＝4，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，∴，∴，∴．10．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝CD，∴∠ACD＝45°，∵O是AC的中点，∴∠ODC＝45°，∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠DCA＝45°，∴∠ODE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CE＝．11．（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．12．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴∠CDB＝∠DCH＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝13．解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∴OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，OB＝S阴影＝S△OCB﹣S扇形OBM＝CO•OB﹣π×OH2＝﹣π；③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∵PM＝NP，∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt△NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt△COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．14．（1）证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴AE的中点是圆心O，连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，∴r＝，在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，∵∠3＝∠2，∴tan∠3＝tan∠2＝．15．解：（1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．16．解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．17．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴∠OCF＝∠OEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．18．（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，∴BD2＝BM•BE，∴BM＝＝＝．19．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：过O作OH⊥CD于H，∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴AD＝，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，∵AO＝OC，∴OH＝AD＝，∴点O到CD的距离是．20．证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．。
2019年四川省各市中考数学试题汇编(1)(含参考答案与解析)
四川省各市中考数学试题汇编（1）（含参考答案）四川省成都市中考数学试题及参考答案A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）.1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上010C 记作010C +，则03C -表示气温为 （ ） A.零上03C B.零下03C C.零上07C D.零下07C2. 如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（ ）A. B. C. D.3. 总投资647 亿元的西域高铁预计2017 年11月竣工，届时成都到西安只需3 小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实.用科学计数法表示647 亿元为（ ）A.864710⨯B.96.4710⨯C.106.4710⨯D. 116.4710⨯4. x 的取值范围是（ ）A.1x ≥B. 1x >C. 1x ≤D.1x < 5. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.6. 下列计算正确的是 （ ）A.5510a a a +=B. 76a a a ÷=C. 326a a a =gD.()236a a -=-7. 学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：则得分的众数和中位数分别为（ ）A.70 分，70 分B.80 分，80 分C. 70 分，80 分D.80 分，70 分 8. 如图，四边形ABCD 和A B C D '''' 是以点O 为位似中心的位似图形，若:2:3OA OA '= ，则四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为（ ）A. 4：9B. 2：5C. 2：3 9. 已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A.-1 B. 0 C. 1 D.210. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A. 20,40abc b ac <-> B.20,40abc b ac >-> C. 20,40abc b ac <-< D.20,40abc b ac >-< 二、填空题（本大题共4 个小题，每小题4 分，共16 分）.11.)1=________________.12. 在ABC ∆中，::2:3:4A B C ∠∠∠=，则A ∠的度数为______________.13.如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图像相交于点()2,1A .当2x <时，1y2y .（填“>”或“<”）14.如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交,AB AD 于点,M N ；②分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作AP 射线，交边CD 于点Q ，若2,3DQ QC BC ==，则平行四边形ABCD 周长为 .三、解答题（本大题共6 个小题，共54 分）15.（120112sin 452-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）解不等式组：()2731423133x x x x ⎧-<-⎪⎨+≤-⎪⎩①② . 16.化简求值：2121211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1x = . 17. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类， 并将检查结果绘制成下面两个统计图.（1）本次调查的学生共有__________人，估计该校1200 名学生中“不了解”的人数是__________人. （2）“非常了解”的4 人有12,A A 两名男生，12,B B 两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.18. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行.如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求,B C 两地的距离.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=的图象交于(),2,A a B -两点.（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图像上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC ∆的面积为3，求点P 的坐标.20. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F . （1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若AE 为H 的中点，求EFFD的值； （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径.B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分） 21. 如图，数轴上点A 表示的实数是_____________.22.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根，且221210x x -=，则a =___________.23.已知O e 的两条直径,AC BD 互相垂直，分别以,,,AB BC CD DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图形.现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为1P ，针尖落在O e 内的概率为2P ，则12P P =______________.24.在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,P x y ⎛⎫'⎪⎝⎭称为点P 的 “倒影点”.直线1y x =-+上有两点,A B ，它们的倒影点,A B ''均在反比例函数ky x=的图像上.若AB =k =____________.25.如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD ，再沿ADC ∠的平分线DE 折叠，如图2，点C 落在点C '处，最后按图3所示方式折叠，使点A 落在DE 的中点A '处，折痕是FG .若原正方形纸片的边长为6cm ，则FG =_____________cm .二、解答题（共3个小题 ，共30分）26. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的,,,,A B C D E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x ，（单位：千米），乘坐地铁的时间1y 单位：分钟）是关于x 的一次函数，（1）求1y 关于x 的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用22111782y x x =-+来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间. 27.问题背景：如图1，等腰ABC ∆中，0,120AB AC BAC =∠=，作AD BC ⊥于点D ，则D 为BC的中点，01602BAD BAC ∠=∠=，于是2BC BDAB AB== 迁移应用：如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，0120BAC ADE ∠=∠=，,,D E C 三点在同一条直线上，连接BD . ① 求证：ADB AEC ∆≅∆；② 请直接写出线段,,AD BD CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，0120BAC ∠=，在ABC ∠内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接,CE CF . ① 证明：CEF ∆是等边三角形； ② 若5,2AE CE ==，求BF 的长.28.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,4D ，AB =(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '.（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点为P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP N '能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由.试卷答案A 卷一、选择题1-5:BCCAD 6-10: BCADB. 二、填空题11. 1； 12. 40°； 13. <； 14. 15. 三、解答题15.（1）解：原式12432-⨯-= （2）解：①可化简为：2733x x -<-，4x -<，∴4x >-； ②可化简为：213x ≤-，∴1x ≤- ∴ 不等式的解集为41x -<≤-. 16.解：原式=()()2211211111111x x x x x x x x x -+--+÷==+-+++g ，当1x =时，原式=. 17.解：（1）50，360；（2）树状图：由树状图可知共有12种结果，抽到1男1女分别为1112212212112122A B A B A B A B B A B A B A B A 、、、、、、、 共8种.∴82123P ==. 18.解：过点B 作BD AC ⊥，由题060,4BAD AB ∠==， ∴0cos602AD AB ==，∵0145∠=， ∴045CBD ∠=，∴BD CD =，∵0sin 60BD AB ==∴CD =∴0cos 45BC BD ==19.解：（1）把(),2A a -代入12y x =，4a ⇒=-， ∴()4,2A --， 把()4,2A --代入ky x=，8k ⇒=， ∴8y x=， 联立812y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4x ⇒=-或4x =，∴()4,2B ；（2）如图，过点P 作//PE y 轴，设8,P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，AB y kx b =+，代入A B 、两点， 12AB y x ⇒=， ∴1,2C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 118322POCS m m m ∆=-=g g ，1862m m m -=，2862m m -=⇒=， 218622m m -=⇒=，∴P ⎛ ⎝⎭或()2,4P . 20.（1）证明： 连接OD ，∵OB OD =，∴OBD ∆是等腰三角形， OBD ODB ∠=∠ ①，又在ABC ∆中， ∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠ ②，则由①②得，ODB OBD ACB ∠=∠=∠， ∴//OD AC ， ∵DH AC ⊥， ∴DH OD ⊥，∴DH 是O e 的切线；（2）在O e 中， ∵E B ∠=∠， ∵由O e 中可知，E B C ∠=∠=∠，EDC ∆是等腰三角形，又∵DH AC ⊥且点A 是EH 中点，∴设,4AE x EC x ==，则3AC x =，连接AD ，则在O e 中，090ADB ∠=，即AD BD ⊥，又∵ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 中点， 则在ABC ∆中，OD 是中位线， ∴13//,22OD AC OD x =， ∵//OD AC ， ∴E ODF ∠=∠， 在AEF ∆和ODF ∆中，E ODFOFD AFE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴AEF ODF ∆∆:，∴2,332EF AE AE x FD OD OD x ===， ∴23EF FD =. （3）设O e 半径为r ，即OD OB r ==， ∵EF EA =， ∴EFA EAF ∠=∠， 又∵//OD EC ， ∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， ∴OF OD r ==， ∴1DE DF EF r =+=+， ∴1BD CD DE r ===+，在O e 中， ∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠， ∵BF BD =，BDF ∆是等腰三角形， ∴1BF BD r ==+，∴()2211AF AB BF OB BF r r r =-=-=-+=-， 在BFD ∆与EFA ∆中BFD EFAB E∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵BFD EFA ∆∆:，∴11,1EF BF r FA DF r r+==-，解得12r r ==（舍） ∴综上，O e.B 卷一、填空题21.； 22.752； 23.2π； 24.43-；二、解答题26. 解：（1）设y 1=kx+b ，将（8，18），（9，20），代入得：818920k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩， 故y 1关于x 的函数表达式为：y 1=2x+2；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则y=y 1+y 2=2x+2+12x 2﹣11x+78=12x 2﹣9x+80， ∴当x=9时，y 有最小值，y min答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟. 27. 迁移应用：①证明：如图2，∵∠BAC=∠ADE=120°， ∴∠DAB=∠CAE ， 在△DAE 和△EAC 中，DA EA DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC ，②解：结论：理由：如图2﹣1中，作AH ⊥CD 于H.∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=2AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵AD+BD.拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE=5，EC=EF=2，∴AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，∵∠BHF=30°，∴HFBF=cos30°，∴BF==28.解：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A（0），设抛物线的解析式为y=ax 2+4，把A（0）代入可得a=12-， ∴抛物线C 的函数表达式为y=12-x 2+4.（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=12（x ﹣m ）2﹣4， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到x 2﹣2mx+2m 2﹣8=0， 由题意，抛物线C′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()()2222428020280m m m m ⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞＞＞，解得2＜m＜∴满足条件的m 的取值范围为2＜m＜（3）结论：四边形PMP′N 能成为正方形.理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H.由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP′N 是正方形， ∴PF=FM ，∠PFM=90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m ， ∴M （m+2，m ﹣2）， ∵点M 在y=﹣12x 2+4上， ∴m ﹣2=﹣12（m+2）2+4，解得﹣3﹣3（舍弃），∴﹣3时，四边形PMP′N是正方形. 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣12x2+4中，2﹣m=﹣12（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形.四川省攀枝花市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共l0小题，每小题3分，共30分）1．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（）A．6.7×106B．6.7×10﹣6C．6.7×105D．0.67×1072．下列计算正确的是（）A．33=9 B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（a3）4=a12D．a2•a3=a63．如图，把一块含45°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=33°，那么∠2为（）A．33°B．57°C．67°D．60°4．某篮球队10名队员的年龄如下表所示：则这10名队员年龄的众数和中位数分别是（）年龄（岁）18 19 20 21人数 2 4 3 1 A．19，19 B．19，19.5 C．20，19 D．20，19.55．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在这个正方体的表面，与“我”相对的面上的汉字是（）A．花B．是C．攀D．家6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m＞0 C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠17．下列说法正确的是（）A．真命题的逆命题都是真命题B．在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形̂的长为（）8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6√3，则BCA．2πB．4πC．8πD．12π9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（）A．a＞b＞c B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）D．3b+2c＞010．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF 于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH=3，则S△ADF=（）A．6 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．在函数y=中，自变量x的取值范围是．12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和n个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是58，则n ．13．计算：()113|12π-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．14．若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m= ． 15．如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE= ．16．如图1，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若点P 、点Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 之间的函数图象如图2所示． 给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ 是等腰三角形；②S △ABE =48cm 2；③当14＜t ＜22时，y=110﹣5t ；④在运动过程中，使得△ABP 是等腰三角形的P 点一共有3个；⑤△BPQ 与△ABE 相似时，t=14.5．其中正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题满分6分）先化简，再求值：222111x x x x-⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中x=2． 18．（本题满分6分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整． 请你根据统计图解答下列问题：（1）参加比赛的学生共有 名；（2）在扇形统计图中，m 的值为 ，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度；（3）组委会决定从本次比赛获得A 等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A 等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．19．（本题满分6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF分别与BD交于点G和H，且AB=（1）若tan∠ABE=2，求CF的长；（2）求证：BG=DH．20．（本题满分8分）攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了1箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，﹣2），反比例函数kyx（k≠0）的图象经过A，C两点．（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．22．（本题满分8分）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC 于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DFCF的值．23．（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0，2√3），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为；（2）在运动过程中，当t=时，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF=S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P 的坐标．24．（本题满分12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0）．与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．参考答案与解析一、选择题1．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（）A．6.7×106B．6.7×10﹣6C．6.7×105D．0.67×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6 700 000=6.7×106，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下列计算正确的是（）A．33=9 B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（a3）4=a12D．a2•a3=a6【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式．【分析】直接利用完全平方公式以及幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：A、33=27，故此选项错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误；C、（a3）4=a12，正确；D、a2•a3=a5，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．如图，把一块含45°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=33°，那么∠2为（）A．33°B．57°C．67°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】由题意可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得∠2的度数．【解答】解：如图，∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣33°=57°，∵a∥b，∴∠2=∠3=57°．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质．注意运用：两直线平行，同位角相等．4．某篮球队10名队员的年龄如下表所示：则这10名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）年龄（岁） 18 19 20 21 人数 2 4 3 1A ．19，19B ．19，19.5C ．20，19D ．20，19.5 【考点】众数；中位数．【分析】由表格中的数据可以直接看出众数，然后将这十个数据按照从小到大的顺序排列即可得到中位数，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知，一共有2+4+3+1=10个数据，其中19出现的次数最多，故这组数据的众数是19，按从小到大的数据排列是：18、19、19、19、19、19、20、20、20、21，故中位数是19． 故选A ．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义．5．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在这个正方体的表面，与“我”相对的面上的汉字是（ ）A ．花B ．是C ．攀D ．家 【考点】正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“我”与“家”相对，“攀”与“花”相对，“枝”与“是”相对， 故选D ．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x ﹣1=0有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥0B ．m ＞0C ．m≥0且m≠1D ．m ＞0且m≠1 【考点】根的判别式．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x ﹣1=0有两个实数根， ∴{m −1≠0△=(−2)2+4(m −1)≥0， 解得：m≥0且m≠1． 故选C ．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．7．下列说法正确的是（ ）A ．真命题的逆命题都是真命题B ．在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C ．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】根据真假命题的概念、圆周角定理、等腰三角形的性质、矩形的判定定理判断即可． 【解答】解：真命题的逆命题不一定都是真命题，A 错误； 在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，B 错误； 等边三角形的高线、中线、角平分线互相重合，C 错误； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，D 正确， 故选：D ．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，BC=6√3，则BĈ的长为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算． 【分析】连接CO ，并延长，与圆交于点D ，连接BD ，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D 的度数，在直角三角形BCD 中，利用勾股定理求出CD 的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC 的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．【解答】解：连接CO ，并延长，与圆交于点D ，连接BD ，∵CD 为圆O 的直径， ∴∠DBC=90°，∵∠A 与∠D 都对BĈ， ∴∠D=∠A=60°，在Rt △DCB 中，∠BCD=30°， ∴BD=12CD ，设BD=x ，则有CD=2x ，根据勾股定理得：x 2+（6√3）2=（2x ）2， 解得：x=6，∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°， 则BĈ的长为120π×6180=4π，故选B 【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，以及弧长的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A．a＞b＞c B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）D．3b+2c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，=﹣1，故b＞0，b=2a，则b＞a＞c，故此选项错误；由x=﹣1，得出﹣b2aB、∵a＞0，c＜0，∴一次函数y=ax+c的图象经一、三、四象限，故此选项错误；C、当x=﹣1时，y最小，即a﹣b﹣c最小，故a﹣b﹣c＜am2+bm+c，即m（am+b）+b＞a，故此选项错误；D．由图象可知x=1，a+b+c＞0①，∵对称轴x=﹣1，当x=1，y＞0，∴当x=﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0②①+②得10a﹣2b+2c＞0，∵b=2a，∴得出3b+2c＞0，故选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值．10．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF 于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH=3，则S△ADF=（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，得到EG=GF，根据相似三角形的性质得到S△EFC=12，设AD=x，则DF=x﹣2√6，根据勾股定理得到AD=√6+3√2，DF=3√2﹣√6，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AE=AFAB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF，∴EG=GF，∵GH⊥CE，∴GH∥CF，∴△EGH∽△EFC，∵S△EGH=3，∴S△EFC=12，∴CF=2√6，EF=4√3，∴AF=4√3，设AD=x，则DF=x﹣2√6，∵AF2=AD2+DF2，∴（4√3）2=x2+（x﹣2√6）2，∴x=√6+3√2，∴AD=√6+3√2，DF=3√2﹣√6，∴S△ADF=12AD•DF=6．故选A．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题的关键是运用勾股定理的性质．二、填空题11．在函数y=中，自变量x的取值范围是．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得，x≥12．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和n个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是58，则n．【考点】概率公式．【分析】用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n 的值． 【解答】解：由题意得：55+n =58，解得：n=3； 故答案为：=3．【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．计算：()113|12π-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】此题涉及零次幂、负整数指数幂、二次根式的化简和绝对值，首先分别计算4个考点，然后再计算加减即可．【解答】解：原式=1﹣2√2+2+√2﹣1=2﹣√2， 故答案为：2﹣√2．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．14．若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m= ． 【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：7+3（x ﹣1）=mx ， 整理，得（m ﹣3）x=4，当整式方程无解时，m ﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1， ∴m ﹣3=4，m=7， ∴m 的值为3或7． 故答案为3或7．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．15．如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE= ．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF ，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=6，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴DFDE =BD+DF+BFAE+AD+DE=108=54，∴CFCE =DFDE=54，故答案为：54．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．16．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C 停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE=48cm2；③当14＜t＜22时，y=110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t=14.5．其中正确结论的序号是．【考点】动点问题的函数图象．【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．【解答】解：由图象可以判定：BE=BC=10 cm．DE=4 cm，当点P在ED上运动时，S△BPQ=12BC•AB=40cm2，∴AB=8 cm，∴AE=6 cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP=BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；S△ABE=12AB•AE=24 cm2，故②错误；当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y=110﹣5t，故③正确；△ABP为等腰直角三角形需要分类讨论：当AB=AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA=BO 时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA=PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，故④错误；。
专题7二次函数与菱形存在性问题(解析版)
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动，如图，求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝x 2+bx +c 中，构建方程组解决问题即可． （2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M 在线段AC 上，MN ＝MC ，四边形MNQC 是菱形时．如图2﹣2中，当MC 是菱形的对角线时，四边形MNCQ 是正方形，如图2﹣3中，当点M 在CA 延长线上时，MN ＝CM ，四边形MNQC 是菱形时，分别求解即可．【解析】（1）把A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝x 2+bx +c 中，得{9−3b +c =01+b +c =0，解得{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3．（2）①设直线AC 的表达式为y ＝kx +b ，把A （﹣3，0），C （0，﹣3）代入y ＝kx +b ．得{b =−3−3k +b =0，解得{k =−1b =−3，∴y ＝﹣x ﹣3，∵点P （m ，0）是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴． ∴M （m ，﹣m ﹣3），N （m ，m 2+2m ﹣3），∴MN ＝（﹣m ﹣3）﹣（m 2+2m ﹣3）＝﹣m 2﹣3m ＝﹣（m +32）2+94， ∵a ＝﹣1＜0， ∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜−32＜0，∴当m=−32时，MN有最大值94．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC=−√2m，∴﹣m2﹣3m=−√2m，解得m＝﹣3+√2或0（舍弃）∴MN＝3√2−2，∴CQ＝MN＝3√2−2，∴OQ＝3√2+1，∴Q（0，﹣3√2−1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m=−√2m，解得m＝﹣3−√2或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3√2+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3√2−1，∴Q（0，3√2−1）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3√2−1）或（0，﹣1）或（0，3√2−1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例2】（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线AB 相交于A ，B 两点，其中A （﹣3，﹣4），B （0，﹣1）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接P A ，PB ，求△P AB 面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{−4=9−3b +c c =−1，解得{b =4c =−1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1；（2）设直线AB 的表达式为：y ＝kx +t ，则{−4=−3k +t t =−1，解得{k =1t =−1，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣1， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P （x ，x 2+4x ﹣1），则H （x ，x ﹣1），△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ， ∵−32＜0，故S 有最大值，当x =−32时，S 的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1＝（x +2）2﹣5， 则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2﹣5，联立上述两式并解得：{x =−1y =−4，故点C （﹣1，﹣4）；设点D （﹣2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即﹣2+1＝s 且m +3＝t ①或﹣2﹣1＝s 且m ﹣3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2+（t +1）2＝12+32③， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22+（m +1）2＝12+32④， 联立①③并解得：s ＝﹣1，t ＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E （﹣1，2）；联立②④并解得：s ＝﹣3，t ＝﹣4±√6，故点E （﹣3，﹣4+√6）或（﹣3，﹣4−√6）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，故点E（1，﹣3），综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+√6）或（﹣3，﹣4−√6）或（1，﹣3）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【例3】（2019•阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，即可求解；（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A （2，﹣4），则抛物线的对称轴为x ＝2，OAQP 为菱形时，则OA ＝AQ ，则点Q （抛物线与x 轴的右侧交点）与点A 关于函数对称轴对称， 故点P 和点A 关于x 轴对称，故点P （2，4）；（3）存在，理由：过点M 分别作x 轴、PO 的垂线，垂足分别为H 、G ，延长HM 交直线OP 于点R ，点M 到直线OP 的距离与其到x 轴的距离相等，则GM ＝MH ， tan ∠POH =42=2，则tan ∠ORH =12，设GM ＝MH ＝m ，则GR ＝2m ，则RM =√5m ，RH ＝RM +MH ＝m +√5m ， tan ∠ORH =12=OH RH ，则OH =12RH =1+√52m ， 故点M （1+√52m ，m ），设直线OM 的表达式为y ＝sx ， 将点M 坐标代入上式并解得：s =2√5+1=√5−12，故直线OM 的表达式为y =√5−12x ．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．【例4】（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的边BC 在x 轴上，∠ABC ＝90°，以A 为顶点的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点C （3，0），交y 轴于点E （0，3），动点P 在对称轴上． （1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A →B 方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD ⊥AB 交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ，当t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C 、E 的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）S △ACQ =12×DQ ×BC ，即可求解；（3）分EC 是菱形一条边、EC 是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点C 、E 的坐标代入二次函数表达式得：{−9+3b +c =0c =3，解得：{b =2c =3，故抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3， 则点A （1，4）；（2）将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC 的表达式为：y ＝﹣2x +6，点P （1，4﹣t ），则点D （t+22，4﹣t ），设点Q （t+22，4−t 24），S △ACQ =12×DQ ×BC =−14t 2+t ，∵−14＜0，故S △ACQ 有最大值，当t ＝2时，其最大值为1； （3）设点P （1，m ），点M （x ，y ）， ①当EC 是菱形一条边时， 当点M 在点P 右方时，点E 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C ， 则点P 向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M ， 则1+3＝x ，m ﹣3＝y ，而MP ＝EP 得：1+（m ﹣3）2＝（x ﹣1）2+（y ﹣m ）2，解得：y＝m﹣3=√17，故点M（4，√17）；当点M在点P左方时，同理可得：点M（﹣2，3+√14）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+m2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，√17）或（﹣2，3+√14）或M（2，2）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【例5】（2019•齐齐哈尔）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为（12，﹣5）．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD＝BD，所以当点C、D、B在同一直线上时，△ACD 周长最小．求直线BC 解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点D 纵坐标．（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F ，设点E 横坐标为t ，则能用t 表示EF 的长．△BCE 面积拆分为△BEF 与△CEF 的和，以EF 为公共底计算可得S △BCE =12EF •OB ，把含t 的式子代入计算即得到S △BCE 关于t 的二次函数，配方即求得最大值和t 的值，进而求得点E 坐标．（4）以AC 为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N 在坐标．【解析】（1）∵OA ＝2，OC ＝6∴A （﹣2，0），C （0，﹣6）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A 、C∴{4−2b +c =00+0+c =−6 解得：{b =−1c =−6∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣6（2）∵当y ＝0时，x 2﹣x ﹣6＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝3∴B （3，0），抛物线对称轴为直线x =−2+32=12 ∵点D 在直线x =12上，点A 、B 关于直线x =12对称∴x D =12，AD ＝BD∴当点B 、D 、C 在同一直线上时，C △ACD ＝AC +AD +CD ＝AC +BD +CD ＝AC +BC 最小设直线BC 解析式为y ＝kx ﹣6∴3k ﹣6＝0，解得：k ＝2∴直线BC ：y ＝2x ﹣6∴y D ＝2×12−6＝﹣5∴D （12，﹣5） 故答案为：（12，﹣5）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F设E （t ，t 2﹣t ﹣6）（0＜t ＜3），则F （t ，2t ﹣6）∴EF ＝2t ﹣6﹣（t 2﹣t ﹣6）＝﹣t 2+3t∴S △BCE ＝S △BEF +S △CEF =12EF •BG +12EF •OG =12EF （BG +OG ）=12EF •OB =12×3（﹣t 2+3t ）=−32（t −32）2+278∴当t =32时，△BCE 面积最大∴y E ＝（32）2−32−6=−214 ∴点E 坐标为（32，−214）时，△BCE 面积最大，最大值为278．（4）存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．∵A （﹣2，0），C （0，﹣6）∴AC =√22+62=2√10①若AC 为菱形的边长，如图3，则MN ∥AC 且，MN ＝AC ＝2√10∴N 1（﹣2，2√10），N 2（﹣2，﹣2√10），N 3（2，0）②若AC 为菱形的对角线，如图4，则AN 4∥CM 4，AN 4＝CN 4设N 4（﹣2，n ）∴﹣n =√22+(n +6)2解得：n =−103∴N 4（﹣2，−103） 综上所述，点N 坐标为（﹣2，2√10），（﹣2，﹣2√10），（2，0），（﹣2，−103）．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组）的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算．【例6】（2020•嘉兴模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB ，PC ，求△PBC 的面积最大时点P 的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ，点M 是抛物线的对称轴上一点，N 为y 轴上一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过点A （1，0）和点B （3，0）代入即可求解；（2）①先确定直线BC 解析式，根据过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，即可用含m 的带上书表示出P 和D 的坐标进而求解；②用含m 的代数式表示出△PBC 的面积，可得S 是关于m 的二次函数，即可求解；（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E 的坐标即可写出点三个位置的点M 的坐标．【解析】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ， ∴{a +b +3=09a +3b +3=0，解得{a =1b =−4， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）如图：①设P （m ，m 2﹣4m +3），将点B （3，0）、C （0，3）代入得直线BC 解析式为y BC ＝﹣x +3．∵过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，∴D （m ，﹣m +3），∴PD ＝（﹣m +3）﹣（m 2﹣4m +3）＝﹣m 2+3m ．答：用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m 2+3m ．②S △PBC ＝S △CPD +S △BPD=12OB •PD =−32m 2+92m=−32（m −32）2+278．∴当m =32时，S 有最大值．当m =32时，m 2﹣4m +3=−34．∴P （32，−34）． 答：△PBC 的面积最大时点P 的坐标为（32，−34）． （3）存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E （2，1），∴EF ＝CF ＝2，∴EC ＝2√2，根据菱形的四条边相等，∴ME ＝EC ＝2√2，∴M （2，1﹣2√2）或（2，1+2√2）当EM ＝EF ＝2时，M （2，3）答：点M 的坐标为M 1（2，3），M 2（2，1﹣2√2），M 3（2，1+2√2）．【点评】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．【题组一】1．（2020•师宗县一模）如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于点B ，点C ，经过B ，C 两点的抛物线y＝x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，点M 为抛物线的对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M 在x 轴的上方时，求四边形COAM 周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N ，使以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点B ，点C 坐标，代入解析式可求解；（2）由抛物线的对称性可得AM ＝BM ，点A （1，0），由四边形COAM 周长＝OC +OA +AM +CM ＝4+BM +CM ，则点B ，点M ，点C 三点共线时，BM +CM 有最小值为BC 的长，即四边形COAM 周长的最小值＝4+BC ，由勾股定理可求解；（3）由菱形的性质可得△CPM 是等腰三角形，分三种情况讨论，由两点距离公式可求解．【解析】（1）∵直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于点B ，点C ，∴点B （3，0），点C （0，3），∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过B ，C 两点，∴{9+3b +c =0c =3， 解得{b =−4c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）如图，连接AM ，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A与点B关于对称轴对称，∴AM＝BM，点A（1，0），∵点C（0，3），点A（1，0），点B（3，0），∴OA＝1，OC＝3，OB＝3，∵四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM，∴四边形COAM周长＝4+BM+CM，∴当点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，∴四边形COAM周长的最小值＝4+BC，∵BC=√OC2+OB2=√9+9=3√2，∴四边形COAM周长的最小值＝4+3√2；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点P（2，﹣1），又∵点C（0，3），∴PC=√22+(−1−3)2=2√5，设点M（2，t），∴MC=√(2−0)2+(t−3)2=√t2−6t+13，MP＝|t+1|，∵以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，∴△CPM是等腰三角形，若MC＝MP，则√t2−6t+13=|t+1|，∴t =32， ∴点M （2，32）； 若MP ＝PC ，则2√5=|t +1|，∴t 1＝﹣1+2√5，t 2＝﹣1﹣2√5，∴点M （2，﹣1+2√5）或（2，﹣1﹣2√5）；若MC ＝PC ，则√t 2−6t +13=2√5，解得：t 3＝﹣1（不合题意舍去），t 4＝7，∴点M （2，7）；综上所述：点M 的坐标为（2，32）或（2，7）或（2，﹣1+2√5）或（2，﹣1﹣2√5）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．（2020•葫芦岛三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （﹣1，0），B （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，连接AD ，与直线BC 相交于点E ，当DE ：AE ＝4：5时，求tan ∠DAB 的值；（3）点P 是直线BC 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以点P ，Q ，C ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，证明△DEF ∽△AEG ，列比例式可得DF 的长，设D(t ，−34t 2+94t +3)，F(t ，−34t +3)，表示DF 的长，并列方程可得结论；（3）分三种情况：以AC 为边和对角线进行讨论，正确画图，先确定点P 的坐标，根据平移的原则可得点Q 的坐标．【解析】将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +3，得{a −b +3=016a +4b +3=0，解得{a =−34b =94， ∴解析式为y =−34x 2+94x +3； （2）当x ＝0时，y =−34x 2+94x +3，∴C （0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， 将B （4，0），C （0，3）分别代入得{4k +b =0c =3，解得：{k =−34b =3， ∴直线BC 的解析式为：y =−34x +3，过点D 作y 轴的平行线，交直线BC 与点F ，交x 轴于点H ，过点A 作y 轴的平行线，交直线BC 与点G ，∵A （﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y =−34×(−1)+3=154，∴G(−1，154)，AG =154，∵AG ∥y 轴∥DF ，∴△DEF ∽△AEG ，∴DEAE =DFAG ，∴DF154=45，∴DF＝3，设D(t，−34t2+94t+3)，F(t，−34t+3)，∴DF=(−34t2+94t+3)−(−34t+3)=−34t2+3t=3，解得：t1＝t2＝2，∴D(2，92 )，∴DH=92，AH＝1+2＝3，在Rt△ADH中，tan∠DAB=DHAH=923=32；（3）存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，设P（x，−34x+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴x2+(−34x+3−3)2=12+32，解得：x=±4√10 5，当x=−4√105时，P（−4√105，3√105+3），∴Q（−4√105−1，3√105），当x=4√105时，P（4√105，−3√105+3），∴Q （4√105−1，−3√105）； ②如图3，四边形APCQ 是菱形，∵BC ＝AB ＝5，∴B 在AC 的垂直平分线上，∴P 与B 重合，∴Q （﹣5，3）；③如图4，四边形ACQP 是菱形，同理得P （85，95）， ∴Q （135，245）；综上，点Q 的坐标为（−4√105−1，3√105）或（4√105−1，−3√105）或（﹣5，3）或（135，245）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和平移的原则，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D ，G 的坐标；（3）分AC 为边和对角线进行讨论是关键．3．（2020•碑林区校级一模）已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点（1，15）和（0，8），顶点为M ，抛物线L关于原点O 对称的抛物线为L ′，点M 的对应点为点N ．（1）求抛物线L 的表达式及点M 的坐标；（2）点P 在抛物线L ′上，点Q 在抛物线L 上，且四边形PMQN 为周长最小的菱形，求点P 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出M ，M ′的坐标，利用菱形的性质可知MM ′⊥PQ ，求出直线PQ 的解析式，构建方程组确定点P 的坐标，再根据周长最小，判定点P 的坐标即可解决问题．【解析】（1）∵y ＝x 2+bx +c 经过点（1，15）和（0，8），∴{c =81+b +c =15， 解得{b =6c =8， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2+6x +8，∵抛物线L ：y ＝x 2+6x +8＝（x +3）2﹣1，∴顶点M （﹣3，﹣1），（2）∵抛物线L ′与抛物线L 关于原点对称，抛物线L 的顶点M （﹣3，﹣1），∴抛物线L ′的顶点M ′（3，1），解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+1＝﹣x 2+6x ﹣8∵四边形PMQM ′是菱形，∴PQ ⊥MM ′，∵直线MM ′的解析式为y =13x ，∴直线PQ 的解析式为y ＝﹣3x ，由{y =−3x y =−x 2+6x −8，解得{x =1y =−3或{x =8y =−24， ∴P （1，﹣3）或（8．﹣24）．∵菱形PMQM ′的周长最小，∴P （1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数综合题，菱形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数，确定交点问题，属于中考压轴题．4．（2020•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，6），点E为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（2）若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【分析】（1）由抛物线的对称性可求点B坐标，设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C坐标代入，可求解；（2）设点M（m，0），由中心对称的性质可求点C'（2m，﹣6），点E'（2m﹣4，2），由菱形的性质和两点距离公式可求m的值，即可求解．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A（2，0），B 两点，∴点B（6，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），∵抛物线图象过点C（0，6），∴6＝a（0﹣2）（0﹣6），∴a=1 2，∴抛物线的解析式为：y=12（x﹣2）（x﹣6）=12x2﹣4x+6，∵y=12x2﹣4x+6=12（x﹣4）2﹣2，∴顶点E坐标为（4，﹣2）；（2）∵将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，∴CM＝C'M，EM＝E'M，∴四边形CEC'E'是平行四边形，设点M（m，0），∵点C（0，6），点E（4，﹣2），CM＝C'M，EM＝E'M，∴点C'（2m，﹣6），点E'（2m﹣4，2），∵以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形，∴CE＝C'E，∴√(4−0)2+(−2−6)2=√(2m−4)2+(−6+2)2，∴m1＝﹣2，m2＝6，∴点M（﹣2，0）或（6，0），当M（﹣2，0）时，点E'（﹣8，2），∴平移后的抛物线解析式为：y=−12（x+8）2+2；当M（6，0）时，点E'（8，2），∴平移后的抛物线解析式为：y=−12（x﹣8）2+2；综上所述：点M（﹣2，0）或（6，0），平移后的抛物线解析式为：y=−12（x+8）2+2或y=−12（x﹣8）2+2．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，中心对称的性质，菱形的性质，两点距离公式，利用两点距离公式求m的值是本题的关键．【题组二】5．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180°得到抛物线C2，抛物线C2与y轴正半轴相交于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，请求出此时抛物线C2的表达式．【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x＝0，可得y＝﹣2，推出B（0，﹣2）．（2）分两种情形：AB为菱形的边，AB为菱形的对角线分别求解即可．【解析】（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2，∴顶点A（﹣2，2），令x＝0，可得y＝﹣2，∴B（0，﹣2）．（2）如图1中，当AB为菱形的边时，四边形ABCD是菱形，由题意A（﹣2，2），B（0，﹣2），C（0，6），D（2，2），此时抛物线C1与C2关于T（0，2）成中心对称，∴D（2，2）是抛物线C2的顶点，∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣2）2+2，即y＝x2﹣4x+6．如图2中，当AB是菱形的对角线时，四边形ADBC是菱形，此时CA ＝BC ，∵直线AB 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，∴AB 的中垂线的解析式为y =12x +12， ∴C （0，12）， ∵AD ＝BC =52，∴D （﹣2，−12），设抛物线C 2的解析式为y ＝x 2+bx +12，把D （﹣2，−12）代入y ＝x 2+bx +12，可得−12=4﹣2b +12，解得b =52，∴抛物线C 2的解析式为y ＝x 2+52x +12，如图3中，当AB 是菱形的边时，点C 是抛物线的顶点（0，2√5−2），可得抛物线的解析式为y ＝x 2+2√5−2．综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +6或y ＝x 2+52x +12或y ＝x 2+2√5−2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，菱形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．（2020•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴相交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，点C 为抛物线的顶点．点M （0，m ）为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180°，得到新的抛物线，其中B 、C 旋转后的对应点分别记为B ′、C ′．（1）若a ＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB 'C '的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形BCB 'C '为菱形？请说明理由．【分析】（1）根据原抛物线经过点A （﹣1，0），B （3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC ′、BB ′，延长BC ，与y 轴交于点E ，证明四边形BCB 'C ′是平行四边形，面积为40，即可求m 的值；（3）过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，当平行四边形BCB 'C ′为菱形时，应有MB ⊥MC ，故点M 在O 、D 之间，当MB ⊥MC 时，△MOB ∽△CDM ，得MO •MD ＝BO •CD ．由二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣3）的顶点为（1，﹣4a ），M （0，m ），B （3，0），可得CD ＝1，MO ＝﹣m ，MD ＝m +4a ，OB ＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a 满足的条件．【解析】（1）由题意得：{1−b +c =09+3b +c =0， 解得{b =−2c =−3， ∴原抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）连接CC ′、BB ′，延长BC ，与y 轴交于点E ，∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C （1，﹣4），∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为：y ＝2x ﹣6．∴E （0，﹣6），∵抛物线绕点M 旋转180°，∴MB ＝MB ′，MC ＝MC ′，∴四边形BCB ′C ′是平行四边形，∴S △BCM =14×40＝10，∵S △BCM ＝S △MBE ﹣S △MCE =12×（3﹣1）×ME ＝ME ，∴ME ＝10，∴m ＝4或m ＝﹣16；（3）如图，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，当平行四边形BCB 'C ′为菱形时，应有MB ⊥MC ，故点M 在O 、D 之间，当MB ⊥MC 时，△MOB ∽△CDM ，∴MO CD =BO MD ，即MO •MD ＝BO •CD ．∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣3）的顶点为（1，﹣4a ），M （0，m ），B （3，0），∴CD ＝1，MO ＝﹣m ，MD ＝m +4a ，OB ＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥√3 2．所以a≥√32时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解决本题的关键是综合运用二次函数、平行四边形、菱形的相关知识．7．（2020•郫都区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；（3）过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．【解析】（1）由题意得：{4a −2b +c =5a −b +c =09a +3b +c =0，解得{a =1b =−2c =−3，∴原抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）连接CC ′、BB ′，延长BC ，与y 轴交于点E ，∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴C （1，﹣4），∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为：y ＝2x ﹣6．∴E （0，﹣6），∵抛物线绕点M 旋转180°，∴MB ＝MB ′，MC ＝MC ′，∴四边形BCB ′C ′是平行四边形，∴S △BCM =14×40＝10，∵S △BCM ＝S △MBE ﹣S △MCE =12×（3﹣1）×ME ＝ME ， ∴ME ＝10，∴m ＝4或m ＝﹣16；（3）如图，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，当平行四边形BCB 'C ′为菱形时，应有MB ⊥MC ，故点M 在O 、D 之间，当MB ⊥MC 时，△MOB ∽△CDM ， ∴MO CD =BO MD ，即MO •MD ＝BO •CD ．∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣3）的顶点为（1，﹣4a ），M （0，m ），B （3，0），∴CD ＝1，MO ＝﹣m ，MD ＝m +4a ，OB ＝3，∴﹣m （m +4a ）＝3，∴m 2+4am +3＝0，∵△＝16a 2﹣12≥0，a ＞0，∴a ≥√32．所以a ≥√32时，存在点M ，使得四边形BCB 'C ′为菱形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解决本题的关键是综合运用二次函数、平行四边形、菱形的相关知识．8．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于点A （﹣1，0）、B （4，0），交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC 的面积的最大值以及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式即可求得a ，b ．（2）过P 点做平行于直线BC 的直线K ，当K 与抛物线恰有一个交点时，△PBC 面积最大，求得此时的P 点坐标．再过P 做垂直于直线BC 的直线k ，求得k 与直线BC 的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C ，|BC |即为△PBC 的高，再利用三角形面积公式即可求解．（3）考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：{0=a −b +40=16a +4b +4， 求得{a =−1b =3． 抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．（2）设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大．∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：{y =−x +4y =x +4， 解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC |=√(2−0)2+(6−4)2=2√2． 在△PBC 中，∵|BC |＝4√2，△PBC 的面积的最大值S △PBC =12|BC |•d =12×4√2×2√2=8． （3）存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x −74）+4＝﹣x +234．{y =−x +234y =−x 2+3x +4，解得{x 1=72x 2=12． 二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x =32，∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x =72，代入y ＝﹣x +234=94．∴Q （72，94）． 设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R （x ，﹣x +4）．（Ⅰ）假设T 在Q 点左侧：∴a ＜72．此时P （2，6），T （a ，b ）为菱形对称顶点，Q （72，94），R （x ，﹣x +4）为菱形对称定点． 在菱形中PTQR 中，|PR |＝|QT |，。
2019年四川省阿坝州中考数学试卷
2019年四川省阿坝州中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列各数当中，最小的数是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．12．（3分）2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为( )A ．62.3510⨯B ．72.3510⨯C ．82.3510⨯D ．92.3510⨯3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，ABC ∆中，//DE BC ，2AD =，1DB =，4AE =，则EC 的长度为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．（3分）在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是( )A ．95，95B ．96，96C ．95，96D ．96，956．（3分）下列计算结果是5x 的为( )A ．102x x ÷B ．23x x gC ．23()xD ．6x x - 7．（3分）方程24055x x x --=--的解为( ) A ．2B ．4C ．5D ．68．（3分）如图，扇形的半径为6cm ，圆心角为120︒，则该扇形的面积为( )A ．26cm πB ．29cm πC ．212cm πD ．218cm π9．（3分）如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠=∠，添加以下条件之一，仍不能证明ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．E ABC ∠=∠B ．AB DE =C ．//AB DED ．//DF AC10．（3分）二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，则直线y bx c =+不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.11．（4分）分解因式：24x -= ．12．（4分）在平面直角坐标系中，点(3,2)P -关于原点O 中心对称的点P '的坐标为 ．13．（4分）如图，在半径为5的O e 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为 ．14．（4分）矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将矩形沿BE 翻折后，点A 的对应点为A '，延长EA '交BC 于点F ，若35ABE ∠=︒，则BFE ∠的大小为 度．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（1）计算：0(2019)|21|2cos 45π-+-+︒；（2）计算：21(1)11x x x +÷--． 16．（6分）已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x k --+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．17．（8分）小丽用两锐角分别为30︒和60︒的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知30CAD ∠=︒， 1.75AB DE m ==，6BE m =，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m ，3 1.732)≈18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级 频数频率 A 75a Bb 0.4 C 1050.35 请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a ，b 的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，已知一次函数2y x b =-+的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A 和点(6,2)B ，与x 轴交于点C ．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求AOC ∆的面积．20．（10分）如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上的一点，BCH A ∠=∠，90H ∠=︒，HB 的延长线交O e 于点D ，连接CD ．（1）求证：CH 是O e 的切线；（2）若B 为DH 的中点，求tan D 的值．一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.21．（4分）已知点(,)A a b 在直线35y x =-+上，则621a b +-的值为 ．22．（4分）口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2:3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为12，则口袋中白球的个数是．23．（4分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，5CE CF==，则CEF∆的面积为，点E到CF的距离为．24．（4分）我们规定：11S=，2111SS=+，321S S=-，4311SS=+，541S S=-，⋯（即当n为大于1的奇数时，11n nS S-=-，当n为大于1的偶数时，111)nnSS-=+，按此规律，2019S=．25．（4分）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，8AC=，6BC=，将ABC∆绕顶点C逆时针旋转得到△A B C''，AC与A B''相交于点P．则CP的最小值为．二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤. 26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．（10分）如图，Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，D为AB延长线上一点，BD BC=，过点D 作DE AC⊥于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB BF=；（2）求AEB∠的度数；（3）当60A ∠=︒时，求BE BF的值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点O ，顶点为(2,4)A -．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P 为抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点Q 在该抛物线上，当四边 形OAQP 为菱形时，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线2y ax bx c =++在第一象限的图象上是否存在一点M ，使得点M 到直线OP 的距离与其到x 轴的距离相等？若存在，求出直线OM 的函数解析式；若不存在，请说明理由．2019年四川省阿坝州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列各数当中，最小的数是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：如图所示，，故选：A ．2．（3分）2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为( )A ．62.3510⨯B ．72.3510⨯C ．82.3510⨯D ．92.3510⨯【解答】解：将235000000用科学记数法表示为82.3510⨯．故选：C ．3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C 的图形，故选：C ．4．（3分）如图，ABC ∆中，//DE BC ，2AD =，1DB =，4AE =，则EC 的长度为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解答】解：//DE BC Q ，∴AD AE DB EC=， 又2AD =Q ，1DB =，4AE =， ∴241EC=， 2EC ∴=，故选：B ．5．（3分）在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是( )A ．95，95B ．96，96C ．95，96D ．96，95【解答】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分)，故选：D ．6．（3分）下列计算结果是5x 的为( )A ．102x x ÷B ．23x x gC ．23()xD ．6x x -【解答】解：A 、1028x x x ÷=，故此选项不合题意；B 、235x x x =g ，故此选项符合题意；C 、236()x x =，故此选项不合题意；D 、6x 和x 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B ．7．（3分）方程24055x x x --=--的解为( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．6【解答】解：去分母得：240x -+=，解得：6x =，经检验6x =是分式方程的解，故选：D ．8．（3分）如图，扇形的半径为6cm ，圆心角为120︒，则该扇形的面积为( )A ．26cm πB ．29cm πC ．212cm πD ．218cm π【解答】解：由题意得，120n =︒，6R cm =， 故2120612360ππ⨯=g ． 故选：C ．9．（3分）如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠=∠，添加以下条件之一，仍不能证明ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．E ABC ∠=∠B ．AB DE =C ．//AB DED ．//DF AC【解答】解：A ．添加E ABC ∠=∠，根据AAS 能证明ABC DEF ∆≅∆，故A 选项不符合题意．B ．添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC DEF ∆≅∆，故B 选项符合题意； C ．添加//AB DE ，可得E ABC ∠=∠，根据AAS 能证明ABC DEF ∆≅∆，故C 选项不符合题意；D ．添加//DF AC ，可得DFE ACB ∠=∠，根据AAS 能证明ABC DEF ∆≅∆，故D 选项不符合题意；故选：B ．10．（3分）二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，则直线y bx c =+不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由图象可知：Q 对称轴在y 轴右侧，∴对称轴02b x =->-， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，0c ∴>，∴一次函数y bx c =+的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.11．（4分）分解因式：24x -= (2)(2)x x +- ．【解答】解：24(2)(2)x x x -=+-．故答案为：(2)(2)x x +-．12．（4分）在平面直角坐标系中，点(3,2)P -关于原点O 中心对称的点P '的坐标为 (3,2)- ．【解答】解：点(3,2)P -关于原点O 中心对称的点P '的坐标为：(3,2)-．故答案为：(3,2)-．13．（4分）如图，在半径为5的O e 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为 6 ．【解答】解：连接OA ，M Q 为弦AB 的中点，OM AB ∴⊥，2222543AM OA OM ∴=-=-，26AB AM ∴==，故答案为：6．14．（4分）矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将矩形沿BE 翻折后，点A 的对应点为A '，延长EA '交BC 于点F ，若35ABE ∠=︒，则BFE ∠的大小为 70 度．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，//AD BC ，35ABE ∠=︒Q ，55AEB ∴∠=︒，由翻折变换可得110AEF ∠=︒，70BFE ∴∠=︒．故答案为：70．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（1）计算：0(2019)|21|2cos 45π-++︒；（2）计算：21(1)11x x x +÷--． 【解答】解：（1）0(2019)21|2cos 45π-++︒212122=++⨯ 1212=-+22=（2）21(1)11x x x +÷-- 11(1)(1)1x x x x x-+-+=-g 1x =+．16．（6分）已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x k --+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】解：根据题意得△2(2)4(1)0k =-++>，解得2k >-．17．（8分）小丽用两锐角分别为30︒和60︒的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知30CAD ∠=︒， 1.75AB DE m ==，6BE m =，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m ，3 1.732)≈【解答】解：根据题意可知：90ABE ∠=︒，//AB DE ， 1.75AB DE m ==，∴四边形ABED 是矩形，6AD BE m ∴==，90CDA ∠=︒，在Rt ACD ∆中，30CAD ∠=︒，3tan30623()CD AD m ∴=︒==g ， 3 1.75 5.2()CD DE m ∴+=≈．答：这棵树大约有5.2m 高．18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级 频数 频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）该年级学生共有的人数是：1050.35300÷=（人)；（2）750.25300a==，3000.4120b=⨯=（人)，补图如下：（3）根据题意画图如下：Q 一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，P ∴（抽到甲和乙）21126==． 19．（10分）如图，已知一次函数2y x b =-+的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点A 和点(6,2)B ，与x 轴交于点C ．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求AOC ∆的面积．【解答】解：（1）把(6,2)B 代入2y x b =-+得122b -+=，解得14b =，∴一次函数解析式为214y x =-+，把(6,2)B 代入k y x=得6212k =⨯=， ∴反比例函数解析式为12(0)y x x =>； （2）当0y =时，2140x -+=，解得7x =，C ∴点坐标为(7,0)，解方程组21412y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得62x y =⎧⎨=⎩或112x y =⎧⎨=⎩， (1,12)A ∴，AOC ∴∆的面积1712422=⨯⨯=． 20．（10分）如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上的一点，BCH A ∠=∠，90H ∠=︒，HB 的延长线交O e 于点D ，连接CD ．（1）求证：CH 是O e 的切线；（2）若B 为DH 的中点，求tan D 的值．【解答】（1）证明：连接OC ，AB Q 为O e 的直径，90ACB ∴∠=︒，90ACO BCO ∴∠+∠=︒，OA OC =Q ，A ACO ∠=∠，90A BCO ∴∠+∠=︒，A BCH ∠=∠Q ，90BCH BCO ∴∠+∠=︒，90HCO ∴∠=︒，CH ∴是O e 的切线；（2）解：B Q 为DH 的中点，∴设BD BH x ==，2BH x ∴=，A D ∠=∠Q ，A BCH ∠=∠，D BCH ∴∠=∠，H H ∠=∠Q ，DCH CBH ∴∆∆∽， ∴CH BHDH CH =，22CH DH BH x ∴=g90H ∠=︒Q ，22tan CH x D DH ∴===．一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.21．（4分）已知点(,)A a b在直线35y x=-+上，则621a b+-的值为9．【解答】解：Q点(,)A a b在直线35y x=-+上，35b a∴=-+，35a b∴+=，6212(3)19a b a b∴+-=+-=．故答案为：9．22．（4分）口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2:3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为12，则口袋中白球的个数是30．【解答】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：2101 5102xx+=+，解得：10x=，∴白球有：330x=，故答案为：30．23．（4分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，5CE CF==，则CEF∆的面积为72，点E到CF的距离为．【解答】解：Q四边形ABCD是正方形，4AB BC CD AD∴====，90D A B∠=∠=∠=︒，2222543BE CE BC∴=-=-=，同理3DF =，1AE AF ∴==，CEF ∴∆的面积=正方形ABCD 的面积AEF -∆的面积BCE -∆的面积CDF -∆的面积1174411243222=⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=； 作EH CF ⊥于H ，如图：CEF ∆Q 的面积1 3.52CF EH =⨯=， 2 3.5755EH ⨯∴==， 即点E 到CF 的距离为75； 故答案为：72；75．24．（4分）我们规定：11S =，2111S S =+，321S S =-，4311S S =+，541S S =-，⋯（即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=-，当n 为大于1的偶数时，111)n n S S -=+，按此规律，2019S = 1- ．【解答】解：11S =；2111112S S =+=+=； 321121S S =-=-=-； 43111(1)0S S =+=+-=； 541101S S =-=-=；⋯发现规律：每4个数一个循环，所以201945043÷=⋯，所以按此规律，20191S =-．故答案为：1-．25．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到△A B C ''，AC 与A B ''相交于点P ．则CP 的最小值为 4.8 ．【解答】解：当CP 与A B ''垂直时，CP 有最小值，如图，90ACB ∠=︒Q ，8AC =，6BC =，22228610AB AC BC ∴=++=，10A B AB ''∴==，由旋转的性质知6B C BC '==，8A C AC '==，1122A B C S B C A C A B CP ''''''=⨯⨯=⨯⨯V Q ， 68 4.810CP ⨯∴==． 故答案为：4.8．二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为20010(6460)160-⨯-=（件)；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则(50)[20010(60)]W x x=---21013004000x x=-+-210(65)2250x=--+，10a=-Q，∴当65x=时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．27．（10分）如图，Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，D为AB延长线上一点，BD BC=，过点D 作DE AC⊥于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB BF=；（2）求AEB∠的度数；（3）当60A∠=︒时，求BEBF的值．【解答】解：（1）90ABC AED∠=∠=︒Q，90A ACB∴∠+∠=︒，90A ADE∠+∠=︒，ACB ADE∴∠=∠，且BC BD=，90ABC DBF∠=∠=︒，()ABC FBD AAS∴∆≅∆AB BF∴=；（2）如图，过点B作BG AC⊥于点G，作BH DF⊥于点H，ABC FBD ∆≅∆Q ，AC DF ∴=，ABC FBD S S ∆∆=， ∴1122AC BG DF BH ⨯=⨯⨯， BG BH ∴=，且BG AC ⊥，BH DF ⊥，45AEB DEB ∴∠=∠=︒，（3）如图，过点B 作BN AC ⊥于N ，45BEA ∠=︒Q ，45EBN BEN ∴∠=∠=︒，BN EN ∴=，2BE BN ∴，60A ∠=︒Q ，3sin BN A AB ∴∠==， 23AB ∴=， 23BF ∴=， ∴6BE BF = 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过原点O ，顶点为(2,4)A -．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P 为抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点Q 在该抛物线上，当四边形OAQP 为菱形时，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线2y ax bx c =++在第一象限的图象上是否存在一点M ，使得点M 到直线OP 的距离与其到x 轴的距离相等？若存在，求出直线OM 的函数解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2()y a x h k =-+，将点A 的坐标代入得，2(2)4y a x =--，将O 的坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为24y x x =-；（2）点(2,4)A -，则抛物线的对称轴为2x =，OAQP 为菱形时，则OA AQ =，则点Q （抛物线与x 轴的右侧交点）与点A 关于函数对称轴对称，故点P 和点A 关于x 轴对称，故点(2,4)P ；（3）存在，理由：过点M 分别作x 轴、PO 的垂线，垂足分别为H 、G ，延长HM 交直线OP 于点R ，点M 到直线OP 的距离与其到x 轴的距离相等，则GH MH =， 4tan 22POH ∠==，则1tan 2ORH ∠=，设GM MH m ==，则2GR m =，则RM =，RH RM MH m =+=，1tan 2OH ORH RH∠==，则12OH RH ==，故点M ，)m ， 设直线OM 的表达式为y sx =，将点M 坐标代入上式并解得：s ==，故直线OM 的表达式为y =．。
2019年四川省阿坝州中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年四川省阿坝州中考数学试题及参考答案与解析（满分150分，考试时间120分钟）A卷（100分）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×1093．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95 B．96，96 C．95，96 D．96，956．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x7．方程﹣＝0的解为（）A．2 B．4 C．5 D．68．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm29．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．分解因式：x2﹣4＝．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC 于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A 75 aB b 0.4C 105 0.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A 和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tanD的值．B卷（50分）一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．二、解答题：本大题共3小顺，共30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与解析A卷（100分）第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【知识考点】有理数大小比较．【思路分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解题过程】解：如图所示，，故选：A．【总结归纳】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×109【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．故选：C．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】俯视图就是从几何体的上面看到的图形，从上面看得到的是两个横着排列的小正方形，因此可得选项C是正确的．【解题过程】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选：C．【总结归纳】考查简单几何体的俯视图意义，俯视图就是从几何体的上面对该几何体正投影所得到的图形．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】平行线分线段成比例．【思路分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解题过程】解：∵DE∥BC，∴＝，又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，∴＝，∴EC＝2，故选：B．【总结归纳】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95 B．96，96 C．95，96 D．96，95【知识考点】中位数；众数．【思路分析】根据众数和中位数的概念求解．【解题过程】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），故选：D．【总结归纳】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．【解题过程】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘除，关键是掌握整式的计算的各运算法则．7．方程﹣＝0的解为（）A．2 B．4 C．5 D．6【知识考点】解分式方程．【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：2﹣x+4＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，故选：D．【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm2【知识考点】扇形面积的计算．【思路分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可得出答案．【解题过程】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，故＝12π．故选：C．【总结归纳】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解题过程】解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识考点】一次函数的性质；二次函数的图象．【思路分析】先由二次函数的图象确定b、c的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．【解题过程】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【总结归纳】此题考查了二次函数图象与系数的关系，本题将二次函数与一次函数综合在一起进行考查，增加了题目的研究性，也是中考中的热点题型．第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．分解因式：x2﹣4＝．【知识考点】因式分解﹣运用公式法．【思路分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解题过程】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【总结归纳】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．【知识考点】关于原点对称的点的坐标．【思路分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解题过程】解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．【总结归纳】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．【知识考点】勾股定理；垂径定理．【思路分析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．【解题过程】解：连接OA，∵M为弦AB的中点，∴OM⊥AB，∴AM＝＝＝3，∴AB＝2AM＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查的是垂径定理，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC 于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．【知识考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．【解题过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝35°，∴∠AEB＝55°，由翻折变换可得∠AEF＝110°，∴∠BFE＝70°．故答案为：70．【总结归纳】考查了翻折变换，长方形的性质，平行线的性质，关键是求得∠AEF＝110°．三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．【知识考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解题过程】解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°＝1+﹣1+2×＝1+﹣1+＝2；（2）（1+）÷＝•＝x+1．【总结归纳】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【知识考点】根的判别式．【思路分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．【解题过程】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】根据题意可得四边形ABED是矩形，再根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树大约有多高．【解题过程】解：根据题意可知：∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE＝6m，∠CDA＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．答：这棵树大约有5.2m高．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A 75 aB b 0.4C 105 0.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【知识考点】频数（率）分布表；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）根据C等级的人数除以该组频率进而得出该年级的学生数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解题过程】解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：（3）根据题意画图如下：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．【总结归纳】此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A 和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把B点坐标代入y＝﹣2x+b中求出b得到一次函数解析式，把B点坐标代入y ＝中求出k得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式得到C点坐标为（7，0），再解方程组得A（1，12），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积．【解题过程】解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），解方程组得或，∴A（1，12），∴△AOC的面积＝×7×12＝42．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tanD的值．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解题过程】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴BH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tanD＝＝＝．【总结归纳】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．B卷（50分）一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上.21．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】由点A在直线y＝﹣3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b＝5，将其代入6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1中即可求出结论．【解题过程】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，∴b＝﹣3a+5，∴3a+b＝5，∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．故答案为：9．【总结归纳】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．22．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．【知识考点】概率公式．【思路分析】设黑球有2x个，则白球为3x个，根据概率公式得到：即可求解．【解题过程】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：，解得：x＝10，∴白球有：3x＝30，故答案为：30．【总结归纳】考查了概率公式的知识，解题的关键是根据概率公式列出方程，难度不大．23．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．【知识考点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质．【思路分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF 的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝；作EH⊥CF于H，由△CEF的面积＝CF×EH，求出EH的长即可．【解题过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴BE＝＝＝3，同理DF＝3，∴AE＝AF＝1，∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；作EH⊥CF于H，如图：∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，∴EH＝＝，即点E到CF的距离为；故答案为：；．【总结归纳】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．24．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．【知识考点】规律型：数字的变化类．【思路分析】根据题意先计算出前五个数，发现每4个数一个循环，进而可求第2019个数的值．【解题过程】解：S1＝1；S2＝1+＝1+1＝2；S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；…发现规律：每4个数一个循环，所以2019÷4＝504…3，所以按此规律，S2019＝﹣1．故答案为：﹣1．【总结归纳】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．【知识考点】勾股定理；旋转的性质．【思路分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．【解题过程】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴A'B'＝AB＝10，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，∴CP＝＝4.8．故答案为：4.8．【总结归纳】本题考查旋转的性质、勾股定理、三角形的面积等知识；解题的关键是灵活运用旋转的性质．二、解答题：本大题共3小顺，共30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．【知识考点】二次函数的应用．【思路分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解题过程】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，∵a＝﹣10，∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【总结归纳】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．【知识考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【思路分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△FBD，可得AB＝BF；（2）由全等三角形的性质可得AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，由角平分线的性质可求解；（3）由直角三角形的性质可求解．【解题过程】解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD（AAS）∴AB＝BF；（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，∴AC×BG＝×DF×BH，∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝45°，（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEA＝45°，∴∠EBN＝∠BEN＝45°，∴BN＝EN，∴BE＝BN，∵∠A＝60°，∴sin∠A＝＝，∴AB＝BN，∴BF＝BN，∴＝．【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x 轴对称，即可求解；（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．【解题过程】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；（3）存在，理由：过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GM＝MH，tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，故点M（m，m），设直线OM的表达式为y＝sx，将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，故直线OM的表达式为y＝x．【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．。
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2019年四川省阿坝州中考数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×1093．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．45．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，956．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．68．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm29．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．15．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．16．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．17．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．三．解答题（共9小题）20．（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）23．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．24．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各数当中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．【解答】解：如图所示，，故选：A．2．2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．故选：C．3．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从几何体的上面看到的图形，从上面看得到的是两个横着排列的小正方形，因此可得选项C是正确的．【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，故选：C．4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，∴＝，∴EC＝2，故选：B．5．在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）A．95，95B．96，96C．95，96D．96，95【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），故选：D．6．下列计算结果是x5的为（）A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．【解答】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；故选：B．7．方程﹣＝0的解为（）A．2B．4C．5D．6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x+4＝0，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，故选：D．8．如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm2【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形＝进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，故＝12π．故选：C．9．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC【分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；故选：B．10．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先由二次函数的图象确定b、c的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．【解答】解：由图象可知：∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．二．填空题（共9小题）11．分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为（3，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为6．【分析】连接OA，根据勾股定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．【解答】解：连接OA，∵M为弦AB的中点，∴OM⊥AB，∴AM＝＝＝3，∴AB＝2AM＝6，故答案为：6．14．矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为70度．【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质可得∠AEB＝55°，根据翻折变换的性质得到∠AEF＝110°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝35°，∴∠AEB＝55°，由翻折变换可得∠AEF＝110°，∴∠BFE＝70°．故答案为：70．15．已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为9．【分析】由点A在直线y＝﹣3x+5上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3a+b＝5，将其代入6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1中即可求出结论．【解答】解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，∴b＝﹣3a+5，∴3a+b＝5，∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．故答案为：9．16．口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是30．【分析】设黑球有2x个，则白球为3x个，根据概率公式得到：即可求解．【解答】解：设黑球有2x个，则白球为3x个，根据题意得：，解得：x＝10，∴白球有：3x＝30，故答案为：30．17．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，由勾股定理得出BE＝3，同理DF＝3，得出AE＝AF＝1，则△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝；作EH⊥CF于H，由△CEF的面积＝CF×EH，求出EH的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴BE＝＝＝3，同理DF＝3，∴AE＝AF＝1，∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；作EH⊥CF于H，如图：∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，∴EH＝＝，即点E到CF的距离为；故答案为：；．18．我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝﹣1．【分析】根据题意先计算出前五个数，发现每4个数一个循环，进而可求第2019个数的值．【解答】解：S1＝1；S2＝1+＝1+1＝2；S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；…发现规律：每4个数一个循环，所以2019÷4＝504…3，所以按此规律，S2019＝﹣1．故答案为：﹣1．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为 4.8．【分析】当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出CP长即可．【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴A'B'＝AB＝10，由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，∴CP＝＝4.8．故答案为：4.8．三．解答题（共9小题）20．（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；（2）计算：（1+）÷．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°＝1+﹣1+2×＝1+﹣1+＝2；（2）（1+）÷＝•＝x+1．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．22．小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）【分析】根据题意可得四边形ABED是矩形，再根据特殊角三角函数值即可求出CD的长，进而可求这棵树大约有多高．【解答】解：根据题意可知：∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE＝6m，∠CDA＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．答：这棵树大约有5.2m高．23．某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．成绩等级频数频率A75aB b0.4C1050.35请结合图表信息，解答下列问题：（1）该年级学生共有多少人？（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据C等级的人数除以该组频率进而得出该年级的学生数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：（3）根据题意画图如下：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．24．如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：（2）求△AOC的面积．【分析】（1）把B点坐标代入y＝﹣2x+b中求出b得到一次函数解析式，把B点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式；（2）先利用一次函数解析式得到C点坐标为（7，0），再解方程组得A（1，12），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积．【解答】解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），解方程组得或，∴A（1，12），∴△AOC的面积＝×7×12＝42．25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠HCO＝90°，于是得到结论；（2）设BD＝BH＝x，得到BH＝2x，根据相似三角形的性质得到CH＝＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴BH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．26．某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1300x﹣4000＝﹣10（x﹣65）2+2250，∵a＝﹣10，∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE ⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．（1）求证：AB＝BF；（2）求∠AEB的度数；（3）当∠A＝60°时，求的值．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△FBD，可得AB＝BF；（2）由全等三角形的性质可得AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，由角平分线的性质可求解；（3）由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD（AAS）∴AB＝BF；（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，∴AC×BG＝×DF×BH，∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝45°，（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEA＝45°，∴∠EBN＝∠BEN＝45°，∴BN＝EN，∴BE＝BN，∵∠A＝60°，∴sin∠A＝＝，∴AB＝BN，∴BF＝BN，∴＝．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A、O的坐标代入上式，即可求解；（2）OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A 关于x轴对称，即可求解；（3）延长HM交直线OP于点R，利用解直角三角形的方法求解点M的坐标，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，将O的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；（3）存在，理由：过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GH＝MH，tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，故点M（m，m），设直线OM的表达式为y＝sx，将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，故直线OM的表达式为y＝x．。