(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档
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x2 【答案】(1) 4 ＋y2＝1(2)(2，－1)
3
【解析】(1)因为
P3
1， 3 2
，P4
1，2,3
，所以
P3，P4
两点关于
y
轴对称，
故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点．
1 11 3 又由a2＋b2>a2＋4b2知，椭圆 C 不经过点 P1，
所以点 P2 在椭圆 C 上.
Error!
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方 程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；
1 (2)．不知道四边形的面积可用 S＝2| AN|·|BM|表示；
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练 【题型归纳】
题型一 求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程． 【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲 线的右支，
【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点 P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭 圆方程；
wenku.baidu.com
第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设 l：y＝kx＋m，利用条件建立 k，m 的等量关系，消参后再表示出直线 l 的方程可证明．
题型三最值（范围）问题
x2 例 4 已知椭圆 C：a2＋y2＝1(a＞0)，F1，F2 分别是其左、右焦点，以 F1F2 为直
kx1＋m－1 kx2＋m－1 ＝ x1 ＋ x2
＝ 2kx1x2 m 1x1 x2 .
x1x2
由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
4m2－4
－8km
即(2k＋1)· 4k2＋1 ＋(m－1)·4k2＋1＝0.
m＋1 解得k＝－ .
2
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，于是
由 c 2, 2a 2 ，∴ b2 22 12 3 ，故轨迹 E 的方程为 x2 y2 （1 x 0）.
3
【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点 P 满足 PF1 PF2 2a（2a F1F2 ）， 则点 P 的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“| PF1 | | PF2 | 2 ”只能表示点 P 的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。 【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。 题型二 定值、定点问题
【解析】(1)由题意得a＝2，b＝1，
x2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y2＝1.
c3 又 c＝ a2－b2＝ 3，所以离心率 e＝a＝ 2 .
(2)证明：设 P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则 x20＋4y20＝4. 又 A(2,0)，B(0,1)，
y0 所以直线 PA 的方程为 y＝x0－2(x－2).
x2 故椭圆 C 的方程为 4 ＋y2＝1. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，
由题设知
t≠0，且|t|<2，可得
A，B
的坐标分别为
t，
4
2
t
2
，
t，
4t2 2
.
4－t2－2 4－t2＋2 则 k1＋k2＝ 2t － 2t ＝－1， 得 t＝2，不符合题设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．
x2 将 y＝kx＋m 代入 4 ＋y2＝1 得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8km
4m2－4
x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
4k2＋1
4k2＋1
y1－1 y2－1 而 k1＋k2＝ x1 ＋ x2
1 2|AN|·|BM|是一个与点 P 的坐标无关的量即可．
x2 y2
例
3
已知椭圆
C：a2＋b2＝1(a>b>0)，四点
P1(1,1)，P2(0，1)，P3
1， 3 2
，P4
1，2,3 中恰有三点在椭圆 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为－1，证明：l 过定点．
2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
(3)．四边形 ABNM 的面积用 x0，y0 表示后，不会变形、化简，用整体消参来求 值．
【思维点拨】第(1)问由 a＝2，b＝1，c＝ 3，解第一问；
1 第(2)问画草图可知 AN⊥BM，四边形 ABNM 的面积为2|AN|·|BM|，设点 P(x0，y0)， 得出 PA，PB 的方程，进而得出 M，N 的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明
m＋1 l：y＝－ 2 x＋m，
m＋1 即 y＋1＝－ 2 (x－2)， 所以 l 过定点(2，－1).
【易错点】(1)观察不出 P3，P4 对称，忽视对称性导致判断失误; (2)不会用点的坐标代入方程判断 P1，P2 是否在椭圆上而滞做;
5
(3)联立直线 l 与椭圆 C 的方程，计算化简失误而滞做; (4)利用 k1＋k2＝－1 运算变形不明确变形目标，导致化简不出 k，m 的关系．
3
【解析】(1)因为
P3
1， 3 2
，P4
1，2,3
，所以
P3，P4
两点关于
y
轴对称，
故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点．
1 11 3 又由a2＋b2>a2＋4b2知，椭圆 C 不经过点 P1，
所以点 P2 在椭圆 C 上.
Error!
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方 程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；
1 (2)．不知道四边形的面积可用 S＝2| AN|·|BM|表示；
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练 【题型归纳】
题型一 求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程． 【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲 线的右支，
【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点 P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭 圆方程；
wenku.baidu.com
第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设 l：y＝kx＋m，利用条件建立 k，m 的等量关系，消参后再表示出直线 l 的方程可证明．
题型三最值（范围）问题
x2 例 4 已知椭圆 C：a2＋y2＝1(a＞0)，F1，F2 分别是其左、右焦点，以 F1F2 为直
kx1＋m－1 kx2＋m－1 ＝ x1 ＋ x2
＝ 2kx1x2 m 1x1 x2 .
x1x2
由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
4m2－4
－8km
即(2k＋1)· 4k2＋1 ＋(m－1)·4k2＋1＝0.
m＋1 解得k＝－ .
2
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，于是
由 c 2, 2a 2 ，∴ b2 22 12 3 ，故轨迹 E 的方程为 x2 y2 （1 x 0）.
3
【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点 P 满足 PF1 PF2 2a（2a F1F2 ）， 则点 P 的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“| PF1 | | PF2 | 2 ”只能表示点 P 的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。 【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。 题型二 定值、定点问题
【解析】(1)由题意得a＝2，b＝1，
x2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y2＝1.
c3 又 c＝ a2－b2＝ 3，所以离心率 e＝a＝ 2 .
(2)证明：设 P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则 x20＋4y20＝4. 又 A(2,0)，B(0,1)，
y0 所以直线 PA 的方程为 y＝x0－2(x－2).
x2 故椭圆 C 的方程为 4 ＋y2＝1. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，
由题设知
t≠0，且|t|<2，可得
A，B
的坐标分别为
t，
4
2
t
2
，
t，
4t2 2
.
4－t2－2 4－t2＋2 则 k1＋k2＝ 2t － 2t ＝－1， 得 t＝2，不符合题设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．
x2 将 y＝kx＋m 代入 4 ＋y2＝1 得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8km
4m2－4
x1＋x2＝－
，x1x2＝
.
4k2＋1
4k2＋1
y1－1 y2－1 而 k1＋k2＝ x1 ＋ x2
1 2|AN|·|BM|是一个与点 P 的坐标无关的量即可．
x2 y2
例
3
已知椭圆
C：a2＋b2＝1(a>b>0)，四点
P1(1,1)，P2(0，1)，P3
1， 3 2
，P4
1，2,3 中恰有三点在椭圆 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为－1，证明：l 过定点．
2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
(3)．四边形 ABNM 的面积用 x0，y0 表示后，不会变形、化简，用整体消参来求 值．
【思维点拨】第(1)问由 a＝2，b＝1，c＝ 3，解第一问；
1 第(2)问画草图可知 AN⊥BM，四边形 ABNM 的面积为2|AN|·|BM|，设点 P(x0，y0)， 得出 PA，PB 的方程，进而得出 M，N 的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明
m＋1 l：y＝－ 2 x＋m，
m＋1 即 y＋1＝－ 2 (x－2)， 所以 l 过定点(2，－1).
【易错点】(1)观察不出 P3，P4 对称，忽视对称性导致判断失误; (2)不会用点的坐标代入方程判断 P1，P2 是否在椭圆上而滞做;
5
(3)联立直线 l 与椭圆 C 的方程，计算化简失误而滞做; (4)利用 k1＋k2＝－1 运算变形不明确变形目标，导致化简不出 k，m 的关系．