2008年高考—理科数学(天津卷)Word版含答案
2011年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2011年高考理科数学试题（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅰ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh =圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题目：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为ABC．3D．67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题目：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人 数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积 为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切， 则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B，且1C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．2011参考答案一、选择题目：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB二、填空题目：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分. 9．12 10．6π+ 111213．{|25}x x -≤≤ 14．5 三、解答题15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a+=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即 由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则2132322531().5C C P A C C =⋅=（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又22111322222222253531(),2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅= 且A 2，A 3互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-==== 所以X 的分布列是 X 012P9100 2150 49100X 的数学期望921497()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，于是111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与A1B 1所成角的余弦值为3（II ）解：易知111(0,22,0),(2,AA AC ==- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m xy z =，则11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得m =，同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =，则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得n =于是2cos ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而sin ,7m n =所以二面角A—A 1C 1—B的正弦值为7（III ）解：由N 为棱B 1C 1的中点，得N 设M （a ，b ，0）， 则2(,,222MN a b =-- 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MN A B MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222a ab ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅-+-⋅-+⋅=⎪⎩解得2,22.4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故22(,,0).24M因此22(,,0)24BM =，所以线段BM 的长为10||.4BM = 方法二：（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得1111 3.AC B C ==因此22211111111111112cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2.3（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1，又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R AC ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角.在11Rt A RB ∆中，2111112214sin 221().33B R A B RA B =⋅∠=⋅-= 连接AB 1，在1ARB ∆中，2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R+-==∠=⋅27=-， 从而135sin .7ARB ∠=所以二面角A —A 1C 1—B 1（III ）解：因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥ 取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点， 所以ND//C 1H且1122ND C H ==. 又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MNND N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ， 则111,//.ME A B ME AA ⊥故 由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得1DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12BF B E ==连接NE. 在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以24ND DM DE ==可得4FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，4BM ==18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22()10,1cc caa a+-==-得（舍）， 或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b == 可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(,),(0,)55A c cB 设点M的坐标为833(,),(,),(,)55x yAM x c y c BM x y =--=则， 由),.y x c c x y =-=-得于是838(,),1555AM y x y x =-- ().BM x=由2,AM BM ⋅=-即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：2112'()2,(0,)2ax f x ax x x -=-=∈+∞，令'()0,f x =解得 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x)+∞ '()f x +0 - ()f x极大值所以，()f x的单调递增区间是(0,()2f x a的单调递减区间是).2a+∞ （II ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时 由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增， 在(2,)+∞内单调递减.令3()()().2g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增，故3(2)(),2f f >即g(2)>0.取23419'2,(')0.232e x e g x -=>=<则 所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使 即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使（说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）（III ）证明：由()()f f αβ=及（I）的结论知2aαβ<<， 从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f a又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知12 3.αβ≤≤≤≤故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即 从而ln 3ln 2ln 2.53a -≤≤20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：由*3(1),,2nn b n N +-=∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩为奇数2,n 为偶数又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II ）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++=②21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k N k ∈≥且，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k=1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,2n N n ∈≥，44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n ≤-+=-选择填空解析2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题目（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数===2﹣i故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．110【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∵a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为﹣故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5分）（2011•天津）如图，在∵ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在∵ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∵BDC，然后在∵BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=∵ABD中，由余弦定理可得∵sinA=∵ABD中，由正弦定理可得⇒sin∵ADB=∵∵BDC中，由正弦定理可得故选：D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（5分）（2011•天津）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c进行化简，得到＞1＞b，再借助于中间值log2进行比较大小，从而得到结果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∵a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∵a＞c故a＞c＞b．故选C．【点评】此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f （x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∵函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∵c的取值范围是，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题目（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∵这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∵每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∵男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则V圆锥=•π•3=πV长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5分）（2011•天津）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线C的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C的参数方程为则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2，0）又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为y=x﹣2，即经x﹣y﹣2=0由直线与圆（x﹣4）2+y2=r2，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，∵AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE•EA==，∵CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∵BC，∵ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∵=（5，3a﹣4b）∵=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 A ． B ． C ．D ．5．设椭圆上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 A ．6B ．2C ．D ．6．设集合，则的取值范围是A ．B ．C ．或D ．或7．设函数的反函数为，则A ．在其定义域上是增函数且最大值为1B ．在其定义域上是减函数且最小值为0C ．在其定义域上是减函数且最大值为1D ．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．9．已知函数是R 上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则A ．B ．C ．D ．10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种二、填空题 11．的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .13．已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称，直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为 .14．如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ，则=⋅AC AD .15．已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .16．设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为.三、解答题17．（本小题满分12分）已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小.20．已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 21．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.22．在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设.证明.参考答案【答案】A【解析】()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ． 2．D 【解析】如图，由图象可知目标函数过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．3．B【解析】()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ． 4．C 【解析】A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ． 5．B 【解析】由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒==所以2d =，选B ． 6．A 【解析】{|15}S x x x =-或，所以1{3185a a a <-⇒-<<-+>，选A ． 7．D【解析】1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以()1f x -单调递增，排除B 、C ；又()1f x -的值域为()f x 的定义域，所以()1f x -最小值为0．视频 8．C 【解析】 依题意得1010{{(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥++-≤++≤或所以11{{111111x x x x x x Rx ≥-<-⇒<--≤≤⇒≤∈≤≤或或，选C ．9．A【解析】52(cos)(cos )77b f f ππ=-=，52(tan )(tan )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以2220cos sin 1tan 777πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．10．B【解析】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有43121248⨯=种不同的排法，选B ．视频 11．40 【解析】3552155((2)r r rr r rr T C xC x --+==-，所以2r，系数为225(2)40C -=.12．24 【解析】试题分析：设正方体的外接球的半径为R ,由：343R π=，解得：R 设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以答案为24.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.13．22(1)10x y +-=【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，2222(032)3105r --=+=，圆C 的方程为22(1)10x y +-=. 14．3【解析】令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=. 15．76【解析】22111211111()13())33(n n n n n n n a a a a a a a a ----+-+=+++=-++++所以2173lim 11613n n a →∞=+=-.16．{}2 【解析】由已知得ca y x=，单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，所以1122log 2{{23c a c a a aa a a --≥+≥⇒≤≤，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以的取值的集合为{}2.17．（Ⅰ）4sin 5x =（Ⅱ）sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）因为，所以，于是（Ⅱ）因为，故所以18．（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为的数学期望2E ξ= 【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p ；对于问题（II ），首先列出两人共命中的次数ξ的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出ξ取各个值时所对应的概率，就可得到ξ的分布列．试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得221(1())(1)16P B p -=-=解得34p =或54（舍去），所以乙投球的命中率为34.（II ）由题设知（I ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =， ξ可能取值为0,1,2,3故2111(0)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117()22444232=⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ的分布列为171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.19．（Ⅰ）证明见解析． （Ⅱ）（Ⅲ）【解析】 （Ⅰ）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.（Ⅱ）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角．由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为．20．（Ⅰ）8()9f x xx=-+（Ⅱ）见详解（Ⅲ）7(,]4【详解】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）解：2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2,(2))P f 在直线31yx 上可得27b -+=，解得9b =．所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x '=-． 当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，内是减函数． 综上，当0a ≤时，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数；当0a >时，()f x 在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当1()104(1)10f f ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，即39449b a b a⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是7(,]4． 21．（Ⅰ）22145x y -=（Ⅱ）55(,)((0,(,)4224-∞-⋃-⋃⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1（一3,0)，一条渐近线的方程是，两个条件即可求出双曲线的方程.(2)依题意可得通过假设直线l 的方程，联立双曲线方程消去y ，即可得到一个关于x 的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN 的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论.试题解析：（1）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b，-=>>，由题设得229{a b b a +==，解得224{ 5.a b ==，，所以双曲线C 的方程为22145x y -=； （2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组22 { 1. 45y kx m x y =+-=，①②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=，此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-，从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k⎛⎫⎪-⎝⎭，， 由题设可得2219981·254542km m k k =--，整理得222(54)k m k-=，0k ≠， 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<54k >， 所以k 的取值范围是55004224⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，． 考点：1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.韦达定理.5.代数的运算能力.22．（Ⅰ）23a =，29b = （Ⅱ）(1)2n n n a +=，2(1)n b n =+ （Ⅲ）证明见解析. 【解析】本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分（Ⅰ）解：由题设有，，解得14b =．由题设又有，，解得11a =． （Ⅱ）解法一：由题设，，，及14b =，11a =，进一步可得，425b =，，，猜想，，*n N ∈．先证，*n N ∈．当2n ≥时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：（1当n k =时，，等式成立．（2）假设2k ≥时等式成立，即，．由题设，①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立． 综上所述，等式对任何的*n N ∈都成立再用数学归纳法证明，*n N ∈． （1）当2n ≥时，，等式成立．（2）假设当2k ≥时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的*n N ∈都成立．解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+1(1)(2)n n n S n S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，．所以3224a a =， 4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥．将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥． 止式对1,2n =也成立．由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)nb n =+，即，1n ≥．解法三：由题设有1(3)n n nS n S +=+，*n N ∈，所以214S S =， 3225S S =，……1(1)(2)n n n S n S --=+，．将以上各式左右两端分别相乘，得112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+，化简得1(1)(2)(1)(2)236n n n n n n n S a ++++==⨯，3n ≥．由（Ⅰ），上式对1,2n =也成立．所以1(1)2n n n n n a S S -+=-=，． 上式对2n ≥时也成立． 以下同解法二，可得，1n ≥．（Ⅲ）证明：12(1)222212(1)(1)(1)23(1)(1)nn n a a a n n T b b b n +=-+-++-=--++-+．当4n k =，*k N ∈时，222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++．注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故(1)32(12)43242n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+．当41n k =-，*k N ∈时，2222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+= 当42n k =-，*k N ∈时，22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---．当43n k =-，*k N ∈时，222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--．所以．从而3n ≥时，有222132,5,9,13,3312,6,10,14,{12,3,7,11,312,4,8,12,n n n n n T n nnn n n n+<=++<==<=+<=总之，当3n ≥时有22n T n <，即22n T n <．。
2024年天津高考数学真题(纯答案版)
参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.A4.B5.B6.C7.A8.C9.C第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.75i -11.20 12.45##0.813. ①. 35 ②. 1214. ①. 43 ②. 518- 15.()(3,13--⋃三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（1）4（2）74（3）576417.（1）证明见解析（2）2211（3）21118.（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 19.（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419n n S i i n b =-+=∑20.（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析。
2008年高考数学试卷(天津.理)含详解
由切点 在直线 上可得 ，解得 ．
所以函数 的解析式为 ．
（Ⅱ）解： ．
当 时，显然 （ ）．这时 在 ， 上内是增函数．
当 时，令 ，解得 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
＋
0
－
－
0
＋
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．
(A) 1344种(B) 1248种(C) 1056种(D) 960种
解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有 种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数 去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有 种排法.所以此时余下的这4个数字共有 种方法．由乘法原理可知共有 种不同的排法，选B．
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
（19）
解：（Ⅰ）证明：在 中，由题设 可得
于是 .在矩形 中， .又 ，
所以 平面 .
（Ⅱ）证明：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，故
所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
综上所述，等式 对任何的 都成立
再用数学归纳法证明 ， ．
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设当 时等式成立，即 ，那么
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 都成立．
解法二：由题设
①的两边分别减去②的两边，整理得 ， ．所以
2008天津高考数学理科试卷及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，3i (i 1)i 1+=-（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，5．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．12D6．设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ）A ．31a -<<-B ．31a --≤≤C ．3a -≤或1a -≥D ．3a <-或1a >-7．设函数()1)f x x =<≤的反函数为1()f x -，则（ D ）A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0 8．已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{}11x x -≤B ．{}1x x ≤C．{}1x xD．{}11x x ≤9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+，∞上是增函数．令2sin 7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．5x ⎛- ⎝的二项展开式中2x 的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．13．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，(12)AC =，，(32)BD =-，，。
2001-2010年天津高考理科数学数列答案部分
参考答案：（2010）：本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。
满分14分。
（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121a ak k N k k -=∈+-。
所以131()()...()2121212123aa aaaaa a k k k k k -=-+-++-++---=44(1)...41k k +-++⨯ =2k(k+1) 由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122a k k aak k ak k kk k =+=-==++++从而于是1121222221,,221212aa a ak k k k k k a k a k a a k k k k++++++===++所以。
所以*2,,,22122k d k k N a aakk k =∈++时，对任意成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a a ak k -+成等差数列，及,,22122aa a k k k ++成等比数列，得212112,222121221kaak k aaaqk k k a a q k k k -+=+=+=+-+-当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而111111,1(2)1111111211k q q q q k k k k q k ==+-=≥---------即所以11q k ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而142,2q ==111q -=1.由（Ⅰ）有*1111,,1k k k k q k N q kk +=+-==∈-得所以2*222211221,,2122a aak k k k k k N a a k a k k k k+++++===∈+（）从而因此，2222*2222(1)222214...........22..2(1),2212(1)(2)122242kaaa k k kk k a a k a a k k k N k k a a a k k kk k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*m N ∈)若m=1,则2222nk kkn a =-=∑.若m ≥2，则2222122111221(2)(21)42nmm mk k k k kkk kk k k a a a k-====++=+=∑∑∑∑+221111114414411112222(1)2(1)2(1)21113122(1)(1)222.m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n mn ---===⎡⎤+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+-+-=--∑∑∑所以22223132,22,4,6,8 (2)2nnk k kkkkn n n a na ==-=+<-<=∑∑从而(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*m N ∈）222222221(21)31(21)4222(1)nmk k kkm kkm m m a a a mm m ==+++=+=--++∑∑11314222(1)21m n m n =+-=--++所以22312,21nk kkn a n =-=++∑从而22322,3,5,72nk kkn n a =<-<=∑···综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *∈,有223222nk kkn a =<-≤∑证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k kd q d +=232211122222221111k k k k k k k k k k kk kka a d d d q q a a q a q a q ++++++++-===+=+=+由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。
2008高考天津数学理科试卷含详细解答(全word版)
绝密 ★ 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i(A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i 解析：()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ． （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5解析：如图，由图象可知目标函数y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．（3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ．（4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 解析：A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772解析：由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒== 所以2d =，选B ．（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 解析：{|15}S x x x =<->或，所以13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩，选A ．（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0(C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以1()f x -单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，所以1()f x -最小值为0．（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x解析：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或，选C ． （9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． （10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有31248412⨯=种不同的排法，选B ．第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
2012年高考真题——理科数学试题及答案(天津卷、山东卷、上海卷、全国新课标卷、大纲版)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 【答案】B（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件【解析】函数)cos()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.【答案】A（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9【解析】第一次循环,415125=-=--=x ，第二次循环11214=-=-=x ，第三次循环不满足条件输出3112=+⨯=x ，选C.【答案】C（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 【答案】B（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40【解析】二项展开式的通项为k k k k k k kk x C xx C T )1(2)1()2(310555251-=-=---+，令1310=-k ，解得3,93==k k ，所以x x C T 40)1(232354-=-=，所以x 的系数为40-，选D.【答案】D（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821sin 2sin cos =⨯==B C B 。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
. 如需改动 , 用橡皮
参考公式 : ·如果事件 A, B 互斥 , 那么 P( A B) P( A) P( B)
·棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积 柱的高 .
, h 表示棱
·如果事件 A, B 相互独立 , 那么 P( AB) P( A) P( B)
·球的体积公式 V 4 R3. 3
(17) (本小题满分 13 分) 如图 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中 , 侧棱 A1A ⊥底面 ABCD, AB// DC, AB⊥ AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点 .
(Ⅰ ) 证明 B1C1⊥ CE;
(Ⅱ ) 求二面角 B1－ CE－ C1 的正弦值 .
二．填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分 .
(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位 . 若 (a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
.
6
1
(10) x
的二项展开式中的常数项为
.
x
(11) 已知圆的极坐标方程为
4cos , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4, , 则| CP| =
(Ⅲ ) 设点 M 在线段 C1E 上 , 且直线 AM 与平面 ADD1A1
所成角的正弦值为
2 , 求线段 AM 的长 .
6
(18) (本小题满分
设椭圆
x2 a2
y2 b2
y2 2 px( p 0) 的准线分别交于
A, B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, △ AOB 的面积为 3 , 则 p =
2008年高考数学(天津卷)(理科)(word版+答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，3i (i 1)i 1+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，5．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．12D．76．设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ） A ．31a -<<- B ．31a --≤≤ C ．3a -≤或1a -≥D ．3a <-或1a >-7．设函数()1)f x x =<≤的反函数为1()f x -，则（ ）A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1 B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0 C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1 D ．1()fx -在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{}11x x -≤≤B ．{}1x x ≤C．{}1x xD．{}11x x -≤≤9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+，∞上是增函数．令2sin 7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．5x ⎛ ⎝的二项展开式中2x 的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．13．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，(12)AC = ，，(32)BD =-，， 则AD AC =．15．已知数列{}n a 中，11a =，111()3n n n a a n ++-=∈*N ，则lim n n a →∞= ． 16．设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB = ∠．（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数()(0)af x x b x x=++≠，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))P f ，处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式；A BCDP（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．22．（本小题满分14分）在数列{}n a 与{}n b 中，11a =，14b =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，12n a +为n b 与1n b +的等比中项，n ∈*N ． （Ⅰ）求2a ，2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设1212(1)(1)(1)n aaan n T b b b n =-+-++-∈*N …，，证明223n T n n <，≥．。
2014年高考真题——理科数学(天津卷)解析版 Word版含解析
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 【答案】A 【解析】.∴-12525-2525)4-3)(7(437A i ii i i i 选，==+=++（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5x【答案】B 【解析】此题区域不是封闭区域，属于陷阱题.∴2)1,1(B 选代入目标函数取最小值，顶点为画出条件区域为三角形（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 【答案】B 【解析】.∴1057*5*3*1B S 选==（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?【答案】D 【解析】EDCBA ..)(2-∞-(4-log .:.∞2(2--(221D x f y x y x y 选递增）上递减，，在递减，同增异减复合函数增减性判断），），定义域为=∴==+∪∞（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -=（C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A【解析】..25,20,5.,ab 2k 5,c ∴0,5-(102222222A c b a b a c x y 选联立解得且）过直线===+====+=（6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CEBE DE ? ；④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】.,)4)(2)(1(.)3.()4(,)1(.)2(.)1(D 选正确所以，无法推出正确可知由相似之上在正确由切割线定理知，正确知，由圆周角，弦切角知识（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m +=（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】..651μλ132-12232-)y -2()-2(32-60cos 2-60cos 2-4--))((,,2C x y x CFCE CF CA CE CA AC CF AC CE AC AF AE y CF x CE 选则设=+∴=+=+=°°=+=++===μλ 第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2024年高考真题——数学(天津卷)含答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C.D.4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，n ⊂α，则//m nB.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A.32B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.6B.33142+ C.32D.142-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位，复数))i 2i +⋅=______．11.在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS ii b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】C第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】7【11题答案】【答案】20【12题答案】【答案】45##0.8【13题答案】【答案】①.35②.12【14题答案】【答案】①.43②.518-【15题答案】【答案】()(1-⋃三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【16题答案】【答案】（1）4（2）4（3）5764【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）11（3）21111【18题答案】【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【19题答案】【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【20题答案】【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析。
【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(天津卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．2．A [解析] 作出可行域，如图阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.3．B [解析] 当x ＝1时，S ＝0＋1＝1；当x ＝2时，S ＝1＋23＝9；当x ＝4时，S ＝9＋43＝73满足题意输出．4．C [解析] 由球的体积公式V ＝43πR 3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为|0＋0＋1|1＋1＝22＝r ，即直线与圆相切，③正确．5．C [解析] 双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2，解得b a ＝3，联立⎩⎨⎧y ＝－b a x ，x ＝－p2，得y ＝bp2a .又因为S △OAB ＝p 2×bp 2a ＝3，将ba ＝3代入解得p ＝2.6．C [解析] 由余弦定理得AC 2＝2＋9－2×3×2×22＝5，即AC ＝5，由正弦定理得3sin ∠BAC＝522，解得sin ∠BAC ＝3 1010.7．B [解析] f (x )＝2x |log 0.5 x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5 x －1，0<x ≤1，－2x log 0.5 x －1，x >1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2 x －1，0<x ≤1，2x log 2 x －1，x >1.∵f (x )＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f (x )接近于正无穷大，f (1)＝－1<0，∴f (x )在(0，1]上有一零点；又∵f (x )＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝22×log 2 2－1＝3>0，∴f (x )在(1，＋∞)上有一零点．故f (x )共有2个零点．8．A [解析] 方法一：排除法：当x ＝0时，由f (x ＋a )<f (x )可变为a (1＋a |a |)<0，易得－1<a <0，可得a 的取值范围一定是(－1，0)的子集，排除C ，D 选项；当a ＝－12时，由f (x )>f (x ＋a )可解得－34<x <54，满足－12，12⊆A ，可排除B 选项；故答案为A.方法二：直接分类：易知a <0，f (x ＋a )是把f (x )向右平移，且f (x )为奇函数，要使－12，12⊆A ，只要使f (x )与f (x ＋a )最左边的交点横坐标小于－12即可，在x <0时，f (x )＝－ax 2＋x ，f (x ＋a )＝－a (x ＋a )2＋x ＋a ，令f (x )＝f (x ＋a )，则x ＝1－a 22a ，令1－a 22a <12，可得a 2＋a －1<0，故1－52<a <0.9．1＋2i [解析] (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2.故a ＋b i ＝1＋2i.10．15 [解析] 由二项式的展开式得T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 6x 6－32k ，令6－32k ＝0，解之得k ＝4，T 5＝(－1)4C 46＝15.11．2 3 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C 的直角坐标为(2，0)．∵P 点极坐标⎝⎛⎭⎫4，π3，∴化为直角坐标为(2，23)，∴|CP |＝（2－2）2＋（0－2 3）2＝2 3. 12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解得|AB →|＝12或0(舍去)． 13.83[解析] 由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，有EB ＝4，ED ＝9. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝∠ADB ，由弦切角定理可得∠EAB ＝∠ADB ，所以∠EAB ＝∠ABC ，故AE ∥BC .又BD ∥AC ，所以四边形AEBC 是平行四边形，可得BC ＝AE ＝6，又由平行线分线段成比例定理可得BF AE ＝BDDE，因为AE ＝6，所以BF ＝103，故CF ＝BC －BF ＝83.14．－2 [解析] 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2 b 4|a |×|a |b ≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b时，等号成立．联立a ＋b ＝2，b >0，a <0.可解得a ＝－2.15．解：(1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝2 2sin2x－π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f 3π8＝2 2，f π2＝2，故函数f (x )在区间0，π2上的最大值为2 2，最小值为－2.16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE ＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2，1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2.方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥(2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结111CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝2 63.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x .整理得5x 2－2 2x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2.18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆的方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－－12n＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈*，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.20．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是0，1e ，单调递增区间是1e，＋∞.(2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0， 令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln s ln （s 2ln s ）＝ln s2ln s ＋ln ln s＝u 2u ＋ln u， 其中u ＝ln s .要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u 2.当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立．另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时．F ′(u )<0，故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.。
天津历年高考试题——三角函数(2011-2018)
.53sin =B 三角函数高考题汇总1、在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，)6cos(sin π-=B a A b ，（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）设3,2==c a ，求)2sin(B A b -和的值.(2018天津理)2、在ABC ∆中，内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知65==>c a b a ，，，天津理)3、已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---⋅=ππx x x x f (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间[,44ππ-]上的单调性.(2016天津理)4、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.(2015天津理) 5、已知函数()2cos sin +3f x x x x x R π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.(2014天津理) 6、已知函数()2)6sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π=++⋅-+∈.（Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.(2013天津理)7、（2012文）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点)0,43(π，则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）28、（2012文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b，c 。
已知-4.（I ）求sinC 和b 的值； （II ）求cos （2A+3д）的值。
9、（２012理）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 10、（2012理）（本小题满分13分）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.11．（2011文）已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数12.．（2011文）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值．13．（2011理）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．14、（2010文）5y Asinx x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变15、（2010文）在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=。
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参考答案一.选择题：（1） A （2） D （3） B （4） C （5） B （6） A （7） D （8） C （9） A （10） B 二.填空题：（11） 40 （12） 24 （13） ()10122=-+y x（14） 3 （15） 67（16） {}2 三.解答题： （17）解：（Ⅰ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x 54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x 所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x（18） 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得()()()1611122=-=-p B P 解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()()()41,43,21,21====B P B P A P A P ξ可能的取值为0，1，2，3，故()()()321412102=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ ()()()()()()32721414324121321412112212=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅==A P B P B P C B B P A P P ξ()()()329432132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ()()()()321531012==-=-=-==ξξξξP P P P ξ的分布列为ξ 0123P321327 3215 329 ξ的数学期望232933215232713210=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（19）解：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥.在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ，所以⊥AD 平面PAB .（Ⅱ）证明：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角.在PAB ∆中，由余弦定理得由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ，所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故27tan ==BC PB PCB 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan. （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。
由题设可得，134,13,2,160cos ,360sin 22=⋅==+==-==⋅==⋅=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH于是再PHE RT ∆中，439tan =PEH 所以二面角A BD P --的大小为439arctan． （20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：2()1af x x '=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x'=-． 当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =±．7cos 222=⋅⋅-+=PAB AB PA AB PA PB当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,-∞()+∞()f x ' ＋ 0 － － 0 ＋ ()f x↗极大值↘↘极小值↗所以()f x在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，(0,)+∞内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立． 从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞．（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得2292a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=．（Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(∞-+--∞． （22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有22214a b b =，14b =，解得29b =．（Ⅱ）解法一：由题设1(3)0n n nS n S +-+=，11a =，14b =，及23a =，29b =，进一步可得36a =，316b =，410a =，425b =，猜想(1)2n n n a +=，2(1)n b n =+，*n N ∈．先证(1)2n n n a +=，*n N ∈． 当1n =时，1(1112)a ⨯=+，等式成立．当2n ≥时用数学归纳法证明如下：（1当2n =时，2(2212)a ⨯=+，等式成立．（2）假设n k =时等式成立，即(1)2k k k a +=，2k ≥．由题设，1(3)k k kS k S +=+ 1(1)(2)k k k S k S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)k k ka k a +=+，从而122(1)(1)[(1)1]22k k k k k k k k a a k k +++++++==⋅=． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a +=对任何的2n ≥成立． 综上所述，等式(1)2n n n a +=对任何的*n N ∈都成立(1)2n n n a += 再用数学归纳法证明2(1)n b n =+，*n N ∈． （1）当1n =时，21(11)b =+，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2(1)k b k =+，那么22221124(1)(2)[(1)1](1)k k k a k k b k b k ++++===+++． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式2(1)n b n =+对任何的*n N ∈都成立．解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+ 1(1)(2)n n n S n S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥．所以 3224a a =， 4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥． 将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥． 止式对1,2n =也成立．由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)n b n =+，即2(1)n b n =+，1n ≥．解法：由题设有1(3)n n nS n S +=+，*n N ∈，所以214S S =，3225S S =， ……1(1)(2)n n n S n S --=+，2n ≥． 将以上各式左右两端分别相乘，得12(1)145(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+，化简得13(1)(2)(1)(2)26n n n n n n n S a ++==⨯++，3n ≥． 由（Ⅰ），上式对1,2n =也成立．所以1(1)2n n n n n a S S -+=-=，2n ≥． 上式对1n =时也成立．以下同解法二，可得2(1)n b n =+，1n ≥．（Ⅲ）证明：12(1)222122(1(1)23(1)(1))(1)na a n n n a nb T b n b ++=-+-+-=--++-+．当4n k =，*k N ∈时，22222222(42)2(41)(3454)(41)n k k k k T ----=--+++++-．注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故(1)(12)4324322n T k k k k k +⨯+++-=⨯-=224(44)4(4)343k k k k k n n ⨯==-++=+．当41n k =-，*k N ∈时，22224(41)(1)3(1)(2(4))3n k k k n n n T n =⨯-+=+++-+=+ 当42n k =-，*k N ∈时，222224(41)(4)(43(2)()3)333n k k k n n n k n T ⨯-+-=+=-=-+--+．当43n k =-，*k N ∈时，22224(41)(41)3(3)(4)(23)3n k k n n T k n n ⨯-++-=+-+++=--=．所以22*3,4333,42,,413,4n n n k n n n k T k n n k n n n N k--=-⎧⎪---=-⎪=⎨=-⎪⎪+=∈⎩．从而3n ≥时，有222132,5,9,13,3312,6,10,14,||12,3,7,11,312,4,8,12,n n n n n T n n n n n n n⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩总之，当3n ≥时有2||2n T n<，即2||2n T n <．。