空间向量的基本定理
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如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量, e 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1 e1+λ2 e 2. (e1,2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.) e
空间向量基本定理:
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空 间任一向量p,存在一个唯一的有序实数 组x,y,z,使p=xa+yb+zc. 任意不共面的三个向量都可做为空间的一 个基底.
O M A
G N B
C
习题:
如图,在平行六面体 ABCD-A B C D 中, = AB
' ' ' '
a, =b, =c,p是CA'的中点,M是CD'的中 AD AA' 点,N是C' D'的中点,点Q在CA'上,且 CQ:QA'=4 : 1,用基底{ ,c a b, }表示以下向量: 1)AP ;
B' A'
N Q P
D' C'
M
2)AM 3)AN 4) AQ
B A
D C
�
推论:设o,A,B,C是不共面的四点,则对 空间任一点P,都存在唯一的有序实数对x,y, z,使op=x oA+yoB+zoC.
证明
P C O A A' P' B B'
例题 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, , M,N,分别是对边OA,BC的中点,点G在 线段MN上,且使MG=2GN,用基向量OA, OB OC OB,OC表示向量OG. OG
空间向量基本定理
复Fra Baidu bibliotek:
共线向量定理. 共线向量定理.
对空间任意两个向量a, b ≠ 0),// b的 ( b a 充要条件是存在实数λ,使a=λ b.
共面向量定理. 共面向量定理.
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=x a+yb.
平面向量基本定理:
空间向量基本定理:
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空 间任一向量p,存在一个唯一的有序实数 组x,y,z,使p=xa+yb+zc. 任意不共面的三个向量都可做为空间的一 个基底.
O M A
G N B
C
习题:
如图,在平行六面体 ABCD-A B C D 中, = AB
' ' ' '
a, =b, =c,p是CA'的中点,M是CD'的中 AD AA' 点,N是C' D'的中点,点Q在CA'上,且 CQ:QA'=4 : 1,用基底{ ,c a b, }表示以下向量: 1)AP ;
B' A'
N Q P
D' C'
M
2)AM 3)AN 4) AQ
B A
D C
�
推论:设o,A,B,C是不共面的四点,则对 空间任一点P,都存在唯一的有序实数对x,y, z,使op=x oA+yoB+zoC.
证明
P C O A A' P' B B'
例题 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, , M,N,分别是对边OA,BC的中点,点G在 线段MN上,且使MG=2GN,用基向量OA, OB OC OB,OC表示向量OG. OG
空间向量基本定理
复Fra Baidu bibliotek:
共线向量定理. 共线向量定理.
对空间任意两个向量a, b ≠ 0),// b的 ( b a 充要条件是存在实数λ,使a=λ b.
共面向量定理. 共面向量定理.
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=x a+yb.
平面向量基本定理: