《选修11：导数的应用：单调性与极值、最值》教案
高二数学教案《函数的极值与导数》(新人教A版选修11)
3．3.2 函数的极值与导数(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)极值点与极值函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 .2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在x＝b点处的情况呢？【提示】函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.1．极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.(对应学生用书第58页)求函数的极值(1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【思路探究】 原函数――→求导导函数―→f ′x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值3因此当x ＝1f x f1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞)y ′ ＋0 －－0 ＋y－88由表知：当x ＝－2时，y 极大值＝－8； 当x ＝2时，y 极小值＝8.由函数的极值求参数已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞)f ′＝(x ) ＋0 －0 ＋f (x )2227＋c－32＋c由上表知，函数在x ＝1与－3处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，①f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大极小∴f (x )在－1,3处取极值， ∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.函数极值的综合应用y＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2f x f a极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．(对应学生用书第60页)因未验根而致误已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a ，b )上没有极值，故A 、B 、D 错误，C 正确，函数f (x )＝|x |只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图3－3－5所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞) y′＋0－－0＋y 极大值极小值x y极大值x y极小值2.(对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f(x)，x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是( )A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x ( ) A ．x ＝1时，取得极大值 B ．x ＝1时，取得极小值 C ．x ＝－1时，取得极大值 D ．无极值点【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0恒成立． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，f (x )无极值． 【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋5在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意：f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0 ∴a ＝5.应选D. 【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 f (－2)＝16极小值 f (2)＝－16所以当x ＝－2时，函数有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ 0 －f (x )极小值－3极大值－1且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.(教师用书独具)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极大值．综上，函数f(x)＝ax2＋b ln x(ab≠0)有极值时，a，b所满足的条件是ab＜0.。
《选修11：导数的应用：单调性与极值、最值》教案
适用学科高中数学适用年级适用区域 苏教版区域课时时长（分钟）知识点 1.函数的单调性与极值;2.函数中含参数的单调性与极值。
高二 2 课时教学目标 1. 能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3. 会用导数求函数的极大值和极小值教学重点 利用导数研究函数的单调性；函数极值的概念与求法 教学难点 用导数求函数单调区间的步骤；函数极值的求法【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变 化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?二、知识讲解考点 1 导函数判断函数的单调性 用导数求函数 f (x) 单调性的步骤： （1）明确函数 f (x) 的定义域，并求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； （2）若导函数 f (x) 0( f (x) 0) 时，并求对应的解集； （3）列表，确定函数 f (x) 的单调性； （4）下结论，写出函数 f (x) 的单调递增区间和单调递减区间。
注意：导函数看正负，原函数看增减。
考点 2 极值用导数求函数 f (x) 极值的步骤:（1）明确函数 f (x) 的定义域，并求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； （2）求方程 f / (x) 0 的根； （3）检验 f (x) 在方程 f (x) 0 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 为负，那么函数 f (x) 在这个根处取得极大值，这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右 侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 f (x) 在这个根处取得极小值，这个根叫做函数的极小值点。
函数单调性与最值教案
函数单调性与最值教案教案标题：函数单调性与最值教案教案目标：1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。
2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。
3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。
教案步骤：步骤一：引入概念（15分钟）1. 引导学生回顾函数概念，并解释函数的单调性。
2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。
3. 提出问题：如何判断一个函数的单调性？步骤二：函数单调性的判断（20分钟）1. 介绍函数导数的概念，并解释导数与函数单调性的关系。
2. 讲解判断函数单调性的方法：a. 对函数求导，判断导数的正负性；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。
步骤三：函数最值的求解（20分钟）1. 引导学生思考如何求解函数的最值。
2. 解释求解函数最值的方法：a. 对函数求导，找出导数为零或不存在的点；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。
步骤四：综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。
2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。
3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案，并进行讨论和评价。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。
2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。
3. 提供一些拓展问题，鼓励学生继续思考和研究相关概念。
教案评估：1. 在步骤二和步骤三的练习中，检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。
2. 在步骤四的综合应用中，评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。
3. 在课堂讨论和总结中，评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。
教案延伸：1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题，拓展思维能力。
2. 引导学生探索函数单调性和最值在其他数学领域的应用，如微积分、优化问题等。
高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值
高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值引言：数学是一门抽象而又应用广泛的学科，函数与导数是数学中的重要概念，它们在实际问题的解决中扮演着至关重要的角色。
本教案将重点讲解函数的单调性与极值的概念及其应用。
一、函数的单调性1.1 函数的递增性与递减性在数学中，我们常常研究函数在定义域上的变化趋势。
当函数的自变量增加时，如果对应的函数值也增加，则我们称该函数在此区间上是递增的；反之，如果函数的自变量增加而函数值减少，则该函数在此区间上是递减的。
1.2 单调函数的性质单调函数具有一些重要的性质，如：（1）单调递增的函数的反函数是单调递减的函数；（2）如果函数在某个区间上是递增的，那么它在该区间上存在最小值；（3）如果函数在某个区间上是递减的，那么它在该区间上存在最大值。
二、函数的极值2.1 驻点与极值点在函数中，极值点是指函数的图像上出现了极大值或极小值的点。
而驻点是指在该点处，函数的导数等于零或者不存在。
极值点必然是驻点，但是驻点不一定是极值点。
2.2 导数与函数的极值函数的极值与其导数之间密切相关。
当函数在某点的导数等于零时，这个点可能是极大值或极小值的位置。
我们可以通过求取函数的导数和二阶导数来判断极值点的存在与性质。
三、函数的单调性与极值的应用3.1 最优化问题最优化问题是研究如何在一定的条件下寻找函数取得最大值或最小值的问题。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以解决很多最优化问题，比如寻找函数模型在某个范围内的最大值或最小值。
3.2 最优路径问题最优路径问题是指在给定条件下，寻找一个最佳路径使得某种指标达到最优的问题。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以解决很多最优路径问题，如寻找两点之间的最短路径、最快路径等。
3.3 最佳决策问题最佳决策问题是指在给定条件下，通过分析问题的相关数据和函数的单调性与极值来做出最佳的决策，以达到最优的效果。
导数在求极值和最值中的应用教学设计
导数在求极值和最值中的应用教学设计《导数在求极值和最值中的应用教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容一、教学目标1.知识和技能目标(1)使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;并且能理解函数最值与极值的区别和联系;(2)理解可导函数的最值存在的可能位臵;(3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤.2.过程和方法目标(1)通过函数图象的直观，让学生发现函数极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法。
(2)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识.(3)培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题.3.情感态度和价值观目标(1)渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质。
(2)认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想.(3)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神.二、教学重点.难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.三、学情分析对于求函数的最值，高中学生在高一阶段的必修一的学习已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用.四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程教师引入：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是函数的最大(小)值，那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值六、自主学习观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值，是极大值.函数在上的最大值是，最小值是.1.结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值.说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续，但没有最大值与最小值;(3)在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，(4)函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2.“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性;而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.3.利用导数求函数的最值步骤:[来源:学。
导数的单调性、极值、最值辅导教案
斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．四、易错题型利用导数求函数的最值问题典例：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．五、课堂小测A组专项基础训练1．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1。
导数单调区间、极值、最值问题教案
、教学过程设计一、复习、检查上次课重点知识二、梳理本节课重要知识1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x=在某个区间内可导，则若'()0()f x f x>则为增函数；若'()0()f x f x<则为减函数；若在某个区间内恒有'()0f x=，则在这一区间上为常函数。
（2）利用导数求函数单调性的步骤（Ⅰ）确定函数()f x的定义域；（Ⅱ）求导数'()f x；（Ⅲ）令'()0f x<，解出相应的x的范围当0)('>xf时，()f x在相应区间上为增函数；当'()0f x<时在相应区间上为减函数。
（3）强调与认知（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D 。
若由不等式0)('>x f 确定的x 的取值集合为A ，由'()0f x <确定的x 的取值范围为B ，则应用；（Ⅱ）在某一区间内0)('>x f （或'()0f x <）是函数()f x 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。
因此方程'()0f x =的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定'()0f x =的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。
举例：（1）3()f x x =是R 上的可导函数，也是R 上的单调函数，但是当x=0时，'()0f x = 。
（2）()f x x =在点x=0处连续，点x=0处不可导，但()f x 在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。
2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作；如果对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值教学案 新人教B版选修11
第1课时利用导数研究函数的极值[学习目标] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，观察下图，函数y＝f(x)在x＝d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答：以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.[预习导引]1．极值点与极值已知函数f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)<f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化，如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值．如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧符号不变，则f (x 0)不是极值.要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪演练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝3. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知，f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值点两侧导数的符号列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 要点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，此时a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).1．下列关于函数的极值的说法正确的是( )A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a <－3或a >6.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，则x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.1.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．。
导数与函数的单调性、极值、最值----教学设计说明
三、学习者特征分析我所教两个班级（高三新接手）：一个重点班一个普通班，重点班基础较好，普通班起点较低。
对学生的了解方式：两个多月的观察和接触了解以及高二期末成绩和高三第一次月考成绩，另外，还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。
教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。
五、教学重点1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2、求极值、最值时，要求步骤规、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.教学难点 1 .注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域进行.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f'(x)二0时的情况；区分极值六、教学过程因此当a w 0时，f(x)的单调增区间为R, (3) f(x)为增函当a>0时，f(x)的单调增区间是［In a, + ). 数充要条件是(2) •/f' (x)= e x—a w 0 在(-2,3)上恒成立. 对任意的二a>e x在x€ (—2,3)上恒成立. x€ (a, b)都有又—2<x<3,二e 2<e X<e3,只需a》e3.f' (x) > 0 且在当a= e3时，f' (x) = e x—e3在x€ (—2,3)上，(a , b)的任一f (x)<0，即f(x)在(一2,3)上为减函数，••• a> e3.非空子区间上故存在实数a>e3,使f(x)在(—2,3)上为减函数.f' (x)丰 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. 直击高考1卷12 .设在单调递增，，则是的(B ) 学生小组合A.充分不必要条件 E.必要不充分条件作学习，展示C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件成果，其他组点评学生自主完让学生明确题型二利用导数求函数的极值(1)导函数的成解答过程，教师启迪⑴通过f' (2)的值确定a；(2)解f' (x)= 0,然后要讨论零点并不一定然后利用投两个零点的大小确定函数的极值.就是函数的极影展示纠正1值点.所以在例2 设a>0,函数f(x)= ^x2—(a + 1)x + a(1 + In x). 错误，规书写(1)求曲线y= f(x)在(2, f(2))处与直线y=—x+ 1垂直的切线方程；求出导函数的(2)求函数f(x)的极值.零点后一定要xe设f(x)= , 2,其中a为正实数.1 + ax注意分析这个(1)当a =扌时，求f (x )的极值点；⑵若f(x)为R 上的单调函数，求 a 的取值围.21 + ax —2 ax 解 对f(x)求导得f ' (x) = e x •.①1 + ax2 2(1)当 a = 3时，若 f ' (x)= 0,贝U 4x 2— 8x + 3= 0, 3 1解得X 1= 2, X 2= 2•结合①，可知⑵若f(x)为R 上的单调函数，则f ' (x)在R 上不变号，结合①与条件a>0 ,知 ax 2 — 2ax + 1 > 0 在 R 上恒成立，即△= 4a 2— 4a = 4a(a — 1)< 0, 由此并结合a>0，知0<a w 1.所以a 的取值围为{a|0<a w 1}.直击高考2(2009津20)(本小题满分 12分)已知函数 f(x) (x 2 ax 2a 2 3a)e x (x R),其中 a R (1)当a 0时，求曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率.一"■2(2)当a —时，求函数f (x)的单调区间与极值。
导数及其应用(极值与最值)(教学设计)(师
专题020：导数的应用(极值与最值)（教学设计）（师）考点要求：1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．4．复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.知识结构：1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法……列表法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤……列表法①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．4．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．5．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 基础自测：1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2 f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 ＋f (x )43答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )．A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C. 答案 C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 25．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3例题选讲：例1：(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．分析：由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值，列表法．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.小结：运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤……列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．例2：已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 分析：先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0， 所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.小结：一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．例3：(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析： 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义． 解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.小结：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 巩固作业： A 组： 一、选择题：1．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c =（ B ）()A 1()B 2()C 1-()D 2-2．下列函数中，0x =是极值点的函数是(B ）（A ）3y x =- （B ）2cos y x = （C ）tan y x x =- （D ）1y x=3．下列说法正确的是（D ）（A ）函数的极大值就是函数的最大值 （B ）函数的极小值就是函数的最小值 （C ）函数的最值一定是极值 （D ）在闭区间上的连续函数一定存在最值 二、填空题：4．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 为 ．答案：（-4,11） 5．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为427，极小值为0． 6．函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞．7．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题
第二节 导数在研究函数中的应用第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值知识点一 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间上是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间．[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．[重温经典]1.(多选·教材改编题)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( ) A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数 B ．在区间(2,3)上f (x )是减函数 C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数 D ．当x ＝2时，f (x )取到极大值 答案：BCD2．(教材改编题)函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)答案：A3．(易错题)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上，f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”．已知f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2可得f ′(x )＝x 3－tx 2＋3x ，f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3，∵f (x )在(1,4)上为“凸函数”，∴x ∈(1,4)时，3x 2－2tx ＋3<0恒成立，∴t >32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，∵g (x )在(1,4)上单调递增， ∴t ≥g (4)＝518.∴实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫518，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫518，＋∞知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．[提醒] (1)极值点不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[重温经典]1．(多选)(2021·福州模拟)下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|x |C ．y ＝－2x 3－xD ．y ＝x ln x解析：选BD 由题意函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x2＞0，所以函数y ＝x －1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点；函数y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0，根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x ＞0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＝1e 时，函数取得极小值，故选B 、D.2．(教材改编题)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．3．(教材改编题)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.4．(多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f(x)＝x x(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝x x＝eln x x＝e x ln x＝e t(t＝x ln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝e t和g(x)＝x ln x复合而成的，即f(x)＝x x(x＞0)为初等函数．根据以上材料，对于初等函数h(x)＝x 1x(x＞0)的说法正确的是()A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值e 1 e解析：选AD根据材料知：h(x)＝x 1x＝e1ln xx＝e1ln xx，所以h′(x)＝e 1ln xx·⎝⎛⎭⎫1x ln x′＝e1ln xx·⎝⎛⎭⎫－1x2ln x＋1x2＝1x2e1ln xx(1－ln x)，令h′(x)＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增；当x＞e时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减．所以h(x)有极大值且为h(e)＝e 1e，无极小值．5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x可得f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax－1)e x，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)e x.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.答案：0－e6．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)知识点三 函数的最值1．在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．2．若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[提醒] 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错误的．[重温经典]1．(教材改编题)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－1＝－1.2．(教材改编题)函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 3．(教材改编题)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 答案：3＋π64．(易错题)已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)5．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x >0)， 又f (1)＝1e >0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4>0，所以f (x )的最小值为0. 答案：06．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－332。
高三一轮复习----导数的应用(一)单调性与极值教学设计
高三文科数学一轮复习《导数的应用(一) 函数的单调性》教学设计（一）、教材分析导数是高中数学新增内容，它在解决数学有关问题中起到工具的作用，导数的应用是高考的必考内容。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.利用导数判断单调性起着基础性作用，能够培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力；激发学生独立思考和创新的意识，开发学生的自我潜能。
（二）、高考要求：了解函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）（三）、学习重点：能利用导数求函数的单调区间（四）、学习难点：已知函数的单调性求参数的取值范围（五）、课型：复习课（六）、教法：讲练结合（七）、课时安排：1课时教学设计一、知识梳理1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．[设计意图]复习函数单调性的求法；函数极值的定义。
通过复习让学生熟悉单调性和极值的定义，巩固旧知。
二、问题探究1．如何利用导数求单调区间和极值？2. 若函数 f(x)在(a ，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是 f(x)在(a ，b)内单调递增的充要条件？【设计意图】通过这两个问题由“定义”到“通法”，由“感性”到“理性”，总结利用导数求单调区间和极值的通法，启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识。
高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.
4.1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方.法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0钝角下降单调递减知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一原函数与导函数的关系例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a，1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.跟踪训练 1 已知y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是如图所示的( )答案 C解析 由f ′(x )>0(f ′(x )<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x 的取值范围和f ′(x )的正、负，f (x )的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0，2) (2，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋ f (x )↗↘↗由表可知f (x )在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C ，故选C.类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度1 求函数的单调区间 例2 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝23x 2－1x＝23x －13x ＋1x， 由x >0，解f ′(x )>0，得x >33. 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33). 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域. (2)求导数y ′＝f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练2 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝exx －2－e x x －22＝e x x －3x －22.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2 证明函数的单调性例3 证明函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)上是单调递增函数.证明 由题意，得f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1，1－ln x >0， ∴f ′(x )＝1－ln xx2>0. 根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F (x )＝f (x )－g (x ). (2)求导：F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x ). (3)判断函数的单调性.(4)若F (x )在区间上的最小值大于等于0，则f (x )≥g (x )；若F (x )在区间上的最大值小于等于0，则f (x )≤g (x ).跟踪训练3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，所以x cos x －sin x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的.类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞). 引申探究试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的单调递增区间为(1k ，＋∞)，单调递减区间为(0，1k).反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意.(3)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞).①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) － 0＋ f (x )递减递增由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )<0，x ∈[1，2]，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}.1.f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x>0， 解得x >2.∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).2.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.[－13，1]∪[2，3)B.[－1，12]∪[43，83]C.(－32，12)∪[1，2]D.(－32，－1)∪[12，43]∪[83，3]答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在(－32，3)上的单调减区间.由题干图像可知y＝f (x )的单调减区间为[－13，1]，[2，3).3.若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是( ) A.m ≥43B.m >43C.m ≤43D.m <43答案 A解析 ∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上是增加的， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立， 则判别式Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43.4.若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________. 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a (x ＋33)(x －33)， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 故a >0.5.已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的. 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1， 所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.40分钟课时作业一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2)B.(π，2π)C.(3π2，5π2)D.(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增函数， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立.2.下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e xC.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x ，因为e x恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数；对于D ，y ′＝1x－1 (x >0). 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数f ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增； 当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 4.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2 D.a ≤13答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对∀x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不合题意， 当a ≤0时，成立.故a ≤0.5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.y ＝x 2－2x B.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 2答案 B解析 由题图知f ′(x )＝0时，x 1＝－2，x 2＝0，由此可知B 正确.6.已知函数f (x )在定义域R 上为增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内的单调情况一定是( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增答案 B解析 因为函数f (x )在定义域R 上为增函数， 所以f ′(x )≥0.又因为g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )， 所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＞0恒成立， 所以g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)内单调递增.7.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )答案 A解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，解得f ′(π3)＝－12，∴f (x )＝sin x －x ，由f ′(x )＝cos x －1≤0知函数f (x )为减函数， 而－12<log 32， 则f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b ). 二、填空题8.已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________.答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝k e x －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x ＋x －1.令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )的单调递减区间为(－∞，0).9.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________.答案 (－∞，52] 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立. 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2， ∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上是增加的，∴m ≤2＋12＝52. 10.函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′x x<0的解集为________.答案 (－3，－1)∪(0，1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式f ′x x<0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 11.如果函数y ＝f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________.答案 [1，32) 解析 y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x ＋12x －1x ，由f ′(x )>0，得x >12，f (x )的增区间是(12，＋∞)， 由f ′(x )<0，得0<x <12，f (x )的减区间是(0，12)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12，k ＋1>12，k －1≥0，得1≤k <32. 三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1.因为f (x )在(1，4)内为减函数，所以当x ∈(1，4)时，f ′(x )≤0；因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.所以实数a 的取值范围为[5，7].13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图像为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8， ∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2x －1x －3x (x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ↗ ↘ ↗∴f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1，3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1<m ＋12，m ＋12≤3， 解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
高中数学教案函数的单调性与极值
高中数学教案——函数的单调性与极值教案概述：本教案旨在帮助学生理解并掌握函数单调性的概念，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。
通过具体的例题和练习，使学生能够熟练运用单调性和极值的性质解决实际问题。
教学目标：1. 了解函数单调性的概念，理解单调增和单调减的定义。
2. 学习利用导数判断函数的单调性。
3. 学习函数的极值概念，理解极大值和极小值的区别。
4. 学会利用导数研究函数的极值问题。
5. 能够运用单调性和极值的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数单调性的定义及其判断方法。
2. 导数与函数单调性的关系。
3. 函数极值的定义及其求法。
4. 利用单调性和极值解决实际问题。
教学难点：1. 导数在判断函数单调性中的应用。
2. 函数极值的求解和应用。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数单调性的概念，让学生回顾初中阶段学习的单调增和单调减的概念。
2. 提问：同学们认为函数的单调性有哪些实际应用呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数单调性的定义，通过具体例子让学生理解单调增和单调减的概念。
2. 引入导数的概念，讲解导数与函数单调性的关系。
3. 举例说明如何利用导数判断函数的单调性。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数单调性的理解。
2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。
四、讲解函数极值（15分钟）1. 引入函数极值的概念，让学生理解极大值和极小值的区别。
2. 讲解如何利用导数研究函数的极值问题。
3. 通过具体例子演示如何求解函数的极值。
五、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数极值的理解。
2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。
教学反思：通过本节课的教学，学生应掌握函数单调性的概念和判断方法，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。
在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力。
导数应用之极值与最值 教案
导数应用之极值与最值教案导数的应用教案教学目的：1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
重点难点：1.利用导数求函数的极值；2.利用导数求函数的单调区间；3.利用导数求函数的最值；4.利用导数证明函数的单调性；5.导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；6.导数与解析几何相综合的问题。
教学过程：一、准备知识1.导数的意义代数上，导数表示函数在某一点的变化率；几何上，导数表示函数图像在该点的切线斜率。
单调性与导数的关系：函数单调递增（递减）的区间内导数恒为正（负）。
2.光滑曲线：不会出现尖角，导数不会突变。
二、新课教授1.极值定义：设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有点都有f(x)<f(x)，则f(x)是f(x)的一个极大值，点x叫做函数y=f(x)的极大值点；反之，若f(x)<f(x)，则f(x)是f(x)的一个极小值，点x叫做函数y=f(x)的极小值点。
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
下图是某函数在[a,b]上的函数图像，哪些是极值点，是极大值还是极小值。
这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。
1) 如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
2) 如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。
问：(1) 极值点的导数一定是吗？要求是可导函数。
2) 导数为零的点一定是极值点吗？3) 极大值一定比极小值大吗？2.如何求极值和最值求解函数极值的一般步骤：1) 确定函数的定义域；2) 求方程f’(x)=0的根；3) 用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格；4) 由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况。
高中数学备课教案导数的应用与极值问题
高中数学备课教案导数的应用与极值问题高中数学备课教案：导数的应用与极值问题导数是高中数学一门重要概念，它在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。
本教案将重点介绍导数的应用与极值问题，并提供详细的教学步骤和案例分析。
一、导数的应用导数的应用广泛涉及数学、物理、经济等领域，常见的应用包括极值问题、曲线的切线与法线、函数的凹凸性和图形的变化趋势等。
其中，我们重点讨论极值问题的应用。
1. 极值问题的概念和定义极值问题是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决极值问题时，我们可以通过导数来求解函数的最值点。
2. 导数与极值问题的关系导数可以提供函数变化率的信息，通过研究导数的趋势和变化规律，我们可以找到函数在特定区间上的极值点。
当导数为0或不存在时，函数取得极值点。
二、极值问题解决步骤极值问题的解决步骤一般包括以下几个方面：1. 确定问题条件首先，我们需要明确问题的条件和要求，包括函数的定义域、目标函数以及其他限制条件。
2. 计算导数利用导数的定义和求导法则，我们可以计算函数的导数。
需要注意的是，在计算过程中要遵循正确的求导步骤，确保计算准确。
3. 求解导数为0的点将导数设置为0，我们可以求出函数的驻点。
驻点是函数取得极值的可能位置，但不一定就是极值点。
4. 检验驻点通过二阶导数的求解和符号变化来判断驻点的性质：若二阶导数大于0，则为极小值；若二阶导数小于0，则为极大值；若二阶导数等于0，则需要进一步讨论。
5. 判断极值点根据驻点的性质和问题的要求，我们可以确定函数的极值点。
三、案例分析为了更好地理解导数的应用与极值问题的解决步骤，下面以具体案例进行讲解。
案例：某产品的定价问题某公司生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x^2 + 5x + 1000，其中x表示产品的产量。
为了最大化利润，需要确定最佳产量。
1. 确定问题条件我们已知产品的成本函数C(x)，目标是确定最佳产量。
由于产量必须为正数，所以定义域为x > 0。
导数及函数的单调性、极值、最值教学设计
次月考成绩，另外，还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。
四、教学策略选择与设计教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。
五、教学重点1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2、求极值、最值时，要求步骤规、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．教学难点1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值六、教学过程教师活动学生活动设计意图题型一利用导数研究函数的单调性教师启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；学生自主完成解答过程，然后利用投影展示，纠正错误，规书让学生进一步明确(1)利用导数的符号来判断函数的单(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值围，若不存在，请说明理由．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．直击高考1卷12．设在单调递增，，则是的（ B ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件写。
高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.
4.1.2函数的极值学习目标了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习重点会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习难点利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习方法 师生共研讨、生生互助 学习过程一、自主学习 （阅读教材P81-84,完成下列问题） 1.二、新知探究.1.思考交流问题1：你能利用图象判断函数311433yx x =-+是否有极大值、极小值吗？如果有，请求出.问题2：观察下图，看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? （完成下表）图2)(x f '（符号） )(x f （单调性）问题3：请问如何判断0()f x 是极大值或是极小值？ 2.知识运用 例3:求函数311433y x x =-+的极值.3.随堂练习1．利用导数知识，求函数2()2f x x x =--的极值．2．求函数31()3f x x x =-的极值．3．函数)(x f 的定义域为R ，导函数)(x f '的图象如图所示，则函数)(x f 的图象上的极值点有 个一、 小结本节课的主要内容是会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 二、 达标测试O1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A 、极大值5，极小值－27B 、极大值5，极小值－11C 、极大值5，无极小值D 、极小值－27，无极大值2．f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可 能是（ ）(A) （B ） (C) (D) 3．求下列函数的极值（1）242y x x =- （2）23xy x =+（3）2cos y x x =- （4）xy e ex =-4．已知函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,求)(x f 的递减区间收获与不足。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型二求函数的极值
求函数ｆ(x)的极值的步骤是:
①计算导数f′(x);②求出方程ｆ′(x)=0的根;
③列表考察f′(x)=0的根左右值的符号:假如左正右负,那么ｆ(ｘ)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值、
(1)求的值;
(2)求的单调区间。
２。设函数(为常数,是自然对数的底数)、
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围、
ﻬ
答案与解析
1.【答案】见解析。
【解析】(１)由而
(2)令,
当时,;当时,、
∴的单调增区间是;单调减区间是、
2.【答案】见解析、
【解析】(1)=
当时,,令,则,
(1)设是定义在区间上的函数,且在内可导,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行:
①求在内的极值;
②将在各极值点的极值与、比较,来确定函数的最大值与最小值。
（2）若函数在上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值、
注意:有时极大(小)值也是最大(小)值,有时不一定,需要具体问题具体分析。
【总结与反思】本题考查闭区间上的值域问题,依照求函数最值的方法,能够求出结果,属于容易题。
设,假如在处取得最小值,求的解析式。
【解析】依照题意,求导可得,又,在处取极值,则,且处取最小值-5,则,、
【总结与反思】本题是通过函数极值来确定函数的解析式,解题中必须明确极值点,极值与已知函数的关系,属于容易题。
当x〉时,ｆ′(ｘ)〈０;当0〈x＜时,f′(x)〉０;
当x＝时,ｆ(ｘ)＝＝, ＝＜1,不合题意、
∴ｆ(ｘ)mａｘ=f(1)= ＝,解得a=-1。
ﻬ
1、已知函数,若函数有两个极值点,则实数m的取值范围__。
2、若函数在上有两个零点,则实数的取值范围是__＿_＿_＿＿、
3。若函数在区间上单调递减,则实数的范围是＿＿＿__＿＿＿
2.【答案】
【解析】,令
列表:
1
＋
0
-
↗
↘
∴函数的最大值为
3.【答案】
【解析】函数定义域为,,故单调增区间是、
4.【答案】
【解析】,令解得,则的单调增区间是、
ﻬ
１、若函数在是增函数,则的取值范围是___。。。、、＿______、
２。当函数取到极值时,实数的值为、
３、已知函数在上不单调,则的取值范围是＿___＿＿＿__＿__、
1、已知函数当时,则函数的最小值为__＿_＿＿＿_、
2、函数(为自然对数的底数)的最大值是、
3、函数的单调递增区间为＿＿______、
4、函数的单调递增区间是＿＿_______＿_＿__＿、
ﻬ
答案与解析
1.【答案】
【解析】定义域为,,令
列表如下:
＋
0
-
↗
↘
∴在区间上单调减、
当时,函数单调减,∴函数的最小值为
【总结与反思】正确求解函数的导数,利用列表分析法清楚的写出函数的单调性以及极值情况。要注意的是一个函数的极大值或极小值不一定只有一个、
类型三利用导数研究函数的最值
求曲线在上的值域。
【解析】依照题意,求导,解得,该函数在上单增,在上单减,由函数的单调性,当,,２为函数的极大值;当,为函数的极小值;当,,因此曲线在闭区间上的值域为。
教学难点
用导数求函数单调区间的步骤;函数极值的求法
【知识导图】
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态、
导入的方法特不多,仅举两种方法:
1情境导入,比如讲一个与本讲内容有关的生活现象;
2温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络、
(2)因为f(—2)＝８+1２—１8＋ａ=２+a,f(2)=—8+12+１8+a=22+a,
因此f(2)>ｆ(—2)、因为在(—1,3)上ｆ′(x)〉0,因此f(x)在[—1,2］上单调递增,
又由于f(x)在［－2,－１］上单调递减,因此ｆ(２)与f(—1)分不是
f(x)在区间[－2,2］上的最大值与最小值、因此有22+a=２0,解得ａ=-２、
ｙ
＋
0
-
0
—
０
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
由表可知:又5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=２、
(２)当ａ〈0时,同理可得ａ=—３,ｂ＝－5,ｃ=2。
ﻬ
１、已知函数f(x)=4x3+ａｘ２+bx＋5的图像在x=１处的切线方程为y=－1２ｘ、
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(ｘ)在[-３,１］上的最值、
3.【答案】
【解析】由,得,由得,∴的减区间是、由得、
4。【答案】见解析
【解析】f′(x)=5ax4－３ｂｘ２=x2(５ax２—３b)、
由题意,f′(x)=0应有根x=±1,故５a=3ｂ,
因此ｆ′(x)=５ax2(x２－１)
(1)当a＞0时,
x
(—∞,—１)
－1
(-１,0)
０
(0,1)
1
(１,+∞)
∴当时,单调递减;当时,单调递增、
(2)由(1)知,时,函数在内单调递减,故在内不存在极值点,
时,令,则,因此
∵ ,。
,综上,的取值范围为、
ﻬ
本节讲了２个重要内容:
题型一利用导数求函数的单调区间
求函数f(ｘ)的单调区间的步骤是:
①确定ｆ(ｘ)的定义域(这一步必不可少,单调区间是定义域的子集);
②计算导数f′(ｘ);③求出方程f′(x)＝0的根;
２、已知函数f(x)=x3+ａx2+bｘ(a,b∈R)的图像过点Ｐ(１,2),且在点P处的切线斜率为８、
(1)求a,b的值;ﻩ(2)求函数f(x)的单调区间、
３、已知函数ｆ(x)=—x3＋3x２＋9x＋a、
(１)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值、
适用学科
高中数学
适用年级
高二
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
知识点
１、函数的单调性与极值;
2、函数中含参数的单调性与极值、
教学目标
１、能利用导数研究函数的单调性,会用导数法求函数的单调区间。
２、了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件、
３、会用导数求函数的极大值与极小值
教学重点
利用导数研究函数的单调性;函数极值的概念与求法
ﻬ
答案与解析
1.【答案】
【解析】,因为在上为增函数,即当时,、即,则,令,而在上为减函数,因此,故、
2.【答案】1
【解析】,令
列表:
1
－
0
＋
↘
↗
∴函数有极小值为、
3.【答案】或
【解析】,由得函数的两个极值点１,３,则只要这两个极值点在区间内,函数在区间上就不单调,由或,解得或、
ﻬ
１、已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行、
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特不重要的、通过研究函数的这些性质,我们能够对数量的变化规律有一个基本的了解、函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【总结与反思】本题考查函数的极值,完全依照求函数极值的思路来解就能够,属于简单题。
求函数的极值
【解析】y′＝x２－4=(x+2)(ｘ—2),令ｙ′=０,解得ｘ1＝—2,x2＝２、
列表分析如下:
x
(—∞,—2)
－２
(－２,2)
２
(2,＋∞)ｙ’＋ Nhomakorabea0
—
０
+
ｙ
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此当x=－２时,y有极大值;当x＝2时,y有极小值
答案与解析
1．【答案】见解析
【解析】(1)(x)=1２x2+２ax+b,(1)=1２＋2a＋b=—1２。ﻩﻩﻩﻩ①
又ｘ＝1,y=-１2在ｆ(x)的图像上,
∴4+a+ｂ＋５=－１2、ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ②
由①②得a=-3,ｂ=－18,
∴f(x)=4ｘ３—3x2—18x+5、
(2)(x)=1２x２－6ｘ—18＝０,得x＝—１, ,f(－1)=16,ｆ()=—,ｆ(—3)=-76,f(1)＝—1３、
∴f(ｘ)的最大值为１6,最小值为—7６、
2、【答案】见解析
【解析】(１)
(2),
令,得,列表分析如下
x
(—∞,—3)
－３
(—3,)
(,＋∞)
y'
+
０
—
０
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
３、【答案】见解析
【解析】(１)f′(x)＝－３x２+6x+9、令f′(x)<０,解得x＜-１或x＞3、
因此函数ｆ(x)的单调递减区间为(-∞,—１),(3,＋∞)、
１、函数ｆ(x)=ｘ３－３ａｘ2+２bｘ在x=1处取得极小值－１,则a+b＝_＿＿_＿＿
2、函数f(ｘ)=ｘ3+aｘ－2在区间［1,＋∞)上是增函数,则实数ａ的取值范围是＿______、