2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学(理)试题含答案
【精品解析】2020年河北省衡水中学高三模拟(三)数学试题
2020年河北省衡水中学高三模拟（三）数学试题一、单选题1．已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（ ）A B C ．3 D2．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}13．设a∈R，函数f(x)＝e x ＋a·e －x 的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ） A ．－ln22 B ．－ln 2 C ．ln22 D ．ln 24．若a ，b ，c 是三个任意向量，则下列推理正确的是（ ）A ．对实数a ，b ，c ，有()()ab c a bc =，所以类比推出()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．对实数a ，b ，当0a ≠，0ab =时，有0b =，所以类比推出，当0a ≠，0a b ⋅=时，有0b =C ．对实数a ，b ，c ，当ac bc =，0c ≠时，有a b =，所以类比推出当a c b c ⋅=⋅，0c ≠时，有a b =D ．对实数a ，b ，有公式()2222a b a ab b -=-+，在向量运算中，类比推出的结论有()2222a b a a b b -=-⋅+5．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示： 01若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ）A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度C ．所有样本点的中心为(1,4.5)D ．当8x =时，y 的预测值为13.56．在等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3a 等于（ ）A ．4B ．8C ．4-或4D ．8-或87．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ）A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：28．x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则 34a b +的最小值为（ ）A ．14B ．7C ．18D ．139．过抛物线24y x =焦点F 做直线l ，交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若线段AB 中点横坐标为3，则||AB = （ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．已知函数()(|ln |)x f x e x m x =--有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．(,)e -+∞B ．1(,)e -+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(0,)+∞11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令()1a f =，()0.32b f -=，()0.32c f =-，则：（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<12．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、双空题13．已知列{}n a 中，11a =中，()*1n n a a n n N +=+∈中，则4a =_____，n a =____.三、填空题14．某市园林绿化局在其名贵树木培植基地种植了一批红豆杉苗，为了解这批红豆杉苗的生长状况，随机抽取了10株进行检测，这10株红豆杉苗的树高（单位：cm ）的茎叶图如图所示，利用样本估计总体的原则，则培植基地种植的这批红豆杉苗的树高在(135,140)内的概率为______.15．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <，13()21x f x x =+-，则函数解析式()f x = .16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B B -=，sin C B =，则A =______四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinC a b =+. （1）求角B .（2）若2b =，求ABC 的面积的最大值.18．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7．8g/）六角螺帽共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？19．已知函数()|1||1|f x x x =++-，2()g x x x =-．（1）求不等式()()f x g x <的解集；（2）若()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围．20．（Ⅰ）把点M (的直角坐标化为极坐标；（Ⅱ）求圆心在极轴上,且过极点和点)6D π的圆的极坐标方程.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点(0,2)A ，点1(Q x ，111)(0)y x y ≠在椭圆C 上，QM x ⊥轴，垂足为M ，直线AN AM ⊥交x 轴于点N ，线段EN 的中点为坐标原点，试判断直线QE 与椭圆C 的位置关系.22．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），（1）由图中数据求a 的值；（2）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为多少？ （3）估计这所小学的小学生身高的众数，中位数（保留两位小数）及平均数. 23．函数()()01a x f x x x +=>+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为112． （1）求a ；（2）讨论()()()2g x x f x =的单调性；（3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln71n n a --<．【答案与解析】1．D1(2)3xi y i +=--213y x -=⎧⇒⎨=-⎩31x y =-⎧⇒⎨=⎩，则x yi +选D. 2．C根据图中阴影部分所表示的集合为R A B ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.由图知：图中阴影部分所表示的集合为R A B ， 因为全集U =R ，[)3,B =+∞，所以(),3R B =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =，所以{}1,2R A B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2，故选：C本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 3．D分析：由函数f x 为奇函数，得1a =，求的()x x f x e e -=-'，设曲线上切点的横坐标为0x ，解得02x e =，即可求得切点的横坐标的值.详解：由题意，函数f x 为奇函数，则必有(0)10f a =-='，解得1a =，即()x x f x e e -=+ ，所以()x x f x e e -=-'，设曲线上切点的横坐标为0x ，则根据题意得()00032x x f x e e -=-'=，解得02x e =， 故切点的横坐标0ln 2x =，故选D.点睛：曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-；（2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成：。
河北省衡水中学2020届高三下学期三调考试数学(理)试题答案解析
2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。
河北省衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学(理)试题 Word版含解析
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（Ⅰ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282 80.4％231 9.3％489 33.6％3002 44.2％国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就业154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】 【分析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可.【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4. 若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ）A. 4B.C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5. 要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤ B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6. 若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B. 若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7. 为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9. 如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A.12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误； 根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题：13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)r r rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =.故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解. 因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意； 当0k >时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠. 【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C =因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则25cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18. 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】 （1）易知c =设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y xn k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =， 122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44==因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x eh x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D，求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案； （2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛-⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23. 已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学(理)试卷及答案解析
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A.{}0,2B.{}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44.平面向量a 与b 的夹角为60︒， ()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 125.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A.()|sin cos |f x x x =+B.22()sin cos f x x x =+C.()|sin ||cos |f x x x =+D.()sin ||cos ||f x x x =+6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A.240B.120C.48D.367.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A.297B.302C.307D.3128.设函数()()2sin f x x ωϕ=+， x R ∈，其中0ω>，ϕπ<.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=， 12πϕ= B. 23ω=， 1112πϕ=- C. 13ω=， 1124πϕ=- D. 13ω=，724πϕ= 9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A.乙丁B.乙丙C.丙丁D.甲丁10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A.121 C.3111.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A.2e -B.e -C.e 2-D.1e-12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）B. C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______．14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21.已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值． 23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案1.C【解析】1.求出集合A ，利用交集的定义可得出集合AB .{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C. 2.D【解析】2.先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i--+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D. 3.C【解析】3.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．4.B【解析】4.因为2,1a b ==， a 与b 的夹角为60︒，故cos601a b a b ⋅=⋅=，则244a b +=+=B 。
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， ． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)理数答案
{xlx>2}，所以M二N．故选A.
2. C【解析】z=(2＋沪 ＝ 3+4i，所以 z的虚部为4．故
选 C.
3． 4．
D C 【解析】D选项中，留北京人数不到 一半．故选D.
【解析】由题意知圆心(Z,1)在直线 ax+by — l = O
以＼ m— n
=
— 23 ．故选B.
10. D【解析】如图，
上，则
2a +b=
l．又因为a
>O,b>O， 所 以
— a2.+
— 1 = b
(f 分）（2a +b) ＝ 了＋亨＋5?9，当且仅当 a =
B 二c A,B,C,D 四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD, CD共6条边．由题意知恰有 3条边且无孤立点，所以
1
21
b ＝ 了时取等号，所以（丁十了）皿n=9．故选C.
6. D【解析】A选项中，a 1= Z,q= 3 满足 {a n )单调递 增，故 A错误；B选项中，a1 =—l,q=2，满足{a n}单调
递减， 故 B 错 误； C 选 项 中，若a 1 = 1, q =—21 ， 则
C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏 半年比冬半年多几天．故选 A. 1 2. A【解析】如图，由题意知，P和Q分别为三棱锥 B1-A1BC1 和三棱锥A1 -AB1队．设平面A1BC1 与平 面AB1D1 的交线为EF，则M为四面体A1B1EF取 A1B1 的中点 O，连接EO，可得EO上平面A1B1F,
= — sin ( x —
习 re) 亢
sin(x
—
穴
了
5rc =sin(x勹），所以向右平移
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学试卷
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。
1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年河北省衡水中学高三下学期三调(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高三第二学期三调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣2，﹣1]C ．[1，2）D ．[﹣1，2）2．已知i 是虚数单位，z （1+2i ）＝2﹣i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．2C ．iD ．2i3．如图为2014﹣2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是（ ）A ．2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长B ．2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳C ．2014﹣2018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年D ．2014﹣2018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86%4．函数y ＝f （x ）是定义在R 上的增函数，则函数f （|x ﹣2|）的单调减区间是（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．（﹣∞，2） C ．（2，+∞） D ．R5．设双曲线C ：x 28−y 2m=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝（ ） A ．8B ．4C ．8√2D ．4√26．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，则输出的n ＝（ ）A．25B．45C．60D．757．若α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，则cos2α的值为（）A．−4√29B．4√29C．−79D．798．在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4√3，则△ADC面积的最大值为（）A．6√2B．6√3C．4√2D．4√39．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P﹣ABC的体积为8 3C ．|PA|=|PB|=|PC|=√6D ．三棱锥P ﹣ABC 的侧面积为3√510．若函数f （x ）＝sin （2x −π3）与g （x ）＝cos （x +π4）都在区间（a ，b ）（0＜a ＜b ＜π）上单调递减，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1211．已知函数f （x ）=e x x −t(lnx +x +2x )恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13]∪{e3} B ．(−∞，13]C ．(−∞，12]D ．(−∞，12]∪{e3}12．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)内有一定点P （1，1），过点P 的两条直线l 1，l 2分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP →=λPC →，BP →=λPD →，若λ变化时，直线CD 的斜率总为−14，则椭圆Γ的离心率为（ ） A ．√32B ．12C ．√22D ．√55二.填空题（共4小题，每题5分，共计20分）13．已知向量a →=（3，﹣2），b →=（1，m ），若a →⊥（a →−b →），则m ＝ ．14．为支援武汉抗击新冠肺炎疫情，军队抽组1400名医护人员于2月3日起承担武汉火神山专科医院医疗救治任务．此外，从解放军疾病预防控制中心、军事科学院军事医学研究院抽取15名专家组成联合专家组，指导医院疫情防控工作．该医院开设了重症监护病区（A ），重症病区（B ），普通病区（C ）三个病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区了解情况，要求每个专家去一个病区，每个病区都有专家，一个病区可以有多个专家．已知甲不能去重症监护病区（A ），乙不能去重症病区（B ），则一共有 种分配方式．15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差DX ＝2.1，P （X ＝3）＜P （X ＝7），则p ＝ ．16．如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN ∥AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D ﹣MNQ ，则三棱锥D ﹣MNQ 体积的最大值为 ；当三棱锥D ﹣MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为 ．三.解答题（共7小题，17，18.19.20.21各12分，22和23各10分） 17．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n +2＝0，且a 1＝8． （1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列；（2）设b n =(−1)na n(2n +1)(2n+1+1)，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，m ≥T n 恒成立，求m 的取值范围．18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，已知四边形ABCD 是边长为√2的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且△SAC 的面积为1． （1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P ﹣AC ﹣D 的余弦值为√55？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．19．近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟．A 同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率．设A 同学每天消费ξ元． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用，推出APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费．设η1，η2，η3分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出η1，η2，η3与ξ的函数关系式，参考（1）的结果，A 同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长 （0，15] （15，30] （30，45] （45，60]人数1645345在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？20．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，P 是抛物线外一点，连接PA ，PB 分别交抛物线于点C ，D ，且CD ∥AB ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ． （1）求证：MN ∥x 轴；（2）若PC →=32CA →，求△PAB 面积的最小值．21．已知函数f(x)=e x+1(14e x+1−ax +a −1)，其中e ＝2.718…是自然对数的底数，g （x ）＝f '（x ）是函数f （x ）的导数．（1）若g （x ）是R 上的单调函数，求a 的值；（2）当a =78时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2＝﹣2，则f （x 1）+f （x 2）＞2．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2：2ρsin （θ+π6）＝a （a ＞0）． （I ）写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 23．已知a +b +c ＝3，且a 、b 、c 都是正数． （1）求证；a 2+b 2+c 2≥3； （2）求证：1a+b+1b+c+1c+a≥32．参考答案一.选择题（共12小题，每题5分，共计60分）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，﹣1]C．[1，2）D．[﹣1，2）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．已知i是虚数单位，z（1+2i）＝2﹣i，则|z|＝（）A．1B．2C．i D．2i【分析】把已知等式变形，再由上的模等于模的商求解．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z=2−i1+2i，∴|z|＝|2−i1+2i |=|2−i||1+2i|=√55=1．故选：A．3．如图为2014﹣2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是（）A．2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长B．2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳C．2014﹣2018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年D．2014﹣2018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86%【分析】先对图象数据的分析进行分析，然后结合所得信息进行简单的合情推理，即可求解．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加， 增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年； 故选：C ．4．函数y ＝f （x ）是定义在R 上的增函数，则函数f （|x ﹣2|）的单调减区间是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2）C ．（2，+∞）D ．R【分析】复合函数的性质同增异减，求出函数的单调区间．解：由函数y ＝f （x ）是定义在R 上的增函数，则函数f （|x ﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）． 故选：B ． 5．设双曲线C ：x 28−y 2m=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝（ ） A ．8B ．4C ．8√2D ．4√2【分析】根据双曲线的定义得出|F 1M |和|F 1N |的大小关系即可． 解：由双曲线的性质可知：|F 2M |﹣|F 1M |＝2a ＝4√2， |F 1N |﹣|F 2N |＝2a ＝4√2，∴|F 2M |＝|F 1M |+4√2，|F 1N |＝|F 2N |+4√2， ∵∠F 2MN ＝∠F 2NM ，∴|F 2M |＝|F 2N |， ∴|F 1N |＝|F 1M |+8√2， ∴|MN |＝|F 1N |﹣|F 1M |＝8√2． 故选：C ．6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，则输出的n ＝（ ）A ．25B ．45C ．60D ．75【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，且n2+3(100−n)=100，即可解得n 的值．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，且n2+3(100−n)=100，解得n＝75．故选：D．7．若α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，则cos2α的值为（）A．−4√29B．4√29C．−79D．79【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cosα+sinα=√23①，两边平方，解得sin2α=−79，可求cosα﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−43，②由①+②可得cosα=√2−46，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2α的值．解：∵α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，∴3（cos2α﹣sin2α）=√2（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=√2（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=√23①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α=29，解得：sin2α=−79，∴cosα﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−sin2α=−√1−(−79)=−43，②∴由①+②可得：cosα=√2−46，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（√2−46）2﹣1=−4√29．故选：A．8．在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4√3，则△ADC面积的最大值为（）A．6√2B．6√3C．4√2D．4√3【分析】由题意画出图形，根据图形构造△ADC的外接圆，点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时△ADC的面积最大，求出此时△ADC的面积即可．解：由已知AC＝4√3，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，其面积为S△ADC=12×12AC•tan30°×AC=14×√33×(4√3)2=4√3．故选：D．9．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P ﹣ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P ﹣ABC 的体积为83C ．|PA|=|PB|=|PC|=√6D ．三棱锥P ﹣ABC 的侧面积为3√5【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果． 解：根据三视图，可得三棱锥P ﹣ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC ． 所以三棱锥P ﹣ABC 的体积为13×12×2×2×2=43，|PA|=|PB|=|PC|=√6，PA ，PB ，PC 不可能两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的侧面积为2√5+2√2． 故选：C ．10．若函数f （x ）＝sin （2x −π3）与g （x ）＝cos （x +π4）都在区间（a ，b ）（0＜a ＜b ＜π）上单调递减，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12【分析】直接利用三角函数的性质，求出函数的单调区间，进一步求出最大值． 解：函数f （x ）＝sin （2x −π3）在(0，5π12)上单调递增， 在(5π12，11π12)上单调递减，在(11π12，π)上单调递增， 与g （x ）＝cos （x +π4）在区间（0，3π4）上单调递减，在(3π4，π)上单调递增， 所以：这两个函数在区间(5π12，3π4)上单调递减， 故：b ﹣a =3π4−5π12=π3，即所求的最大值． 故选：B ． 11．已知函数f （x ）=e x x −t(lnx +x +2x )恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13]∪{e3}B ．(−∞，13]C ．(−∞，12]D ．(−∞，12]∪{e3}【分析】解题的关键是把问题转化为方程e xx+2−t =0无解，进而构造函数求解．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=(x−1)e x x 2−t(1x +1−2x2)=(x−1)(x+2)(e xx+2−t)x 2，∵函数f （x ）恰有一个极值点1，∴f ′（x ）＝0有且仅有一个解，即x ＝1是它的唯一解，也就是另一个方程e xx+2−t =0无解，令g(x)=e xx+2(x ＞0)，则g′(x)=(x+1)e x(x+2)2＞0， ∴函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，从而g(x)＞g(0)=12，所以当t ≤12时，方程e x x+2−t =0无解，故选：C ． 12．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)内有一定点P （1，1），过点P 的两条直线l 1，l 2分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP →=λPC →，BP →=λPD →，若λ变化时，直线CD 的斜率总为−14，则椭圆Γ的离心率为（ ） A ．√32B ．12C ．√22D ．√55【分析】由向量的坐标运算及点差法作差求得：y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a•x 1+x 2y 1+y 2，代入即可求得a 和b 的关系，即可求得椭圆的离心率．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由AP →=λPC →，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ， 由BP →=λPD →，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ． 则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）， 将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a•x 1+x 2y 1+y 2，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD =−14． 则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①， 同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4）， ∴λa 2（y 3+y 4）＝4λb 2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]， ∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]， ∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a2=√32．故选：A ．二.填空题（共4小题，每题5分，共计20分）13．已知向量a →=（3，﹣2），b →=（1，m ），若a →⊥（a →−b →），则m ＝ ﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m 的值．解：向量a →=（3，﹣2），b →=（1，m ），则a →−b →=（2，﹣m ﹣2）， 又a →⊥（a →−b →），所以a →•（a →−b →）＝0， 即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．为支援武汉抗击新冠肺炎疫情，军队抽组1400名医护人员于2月3日起承担武汉火神山专科医院医疗救治任务．此外，从解放军疾病预防控制中心、军事科学院军事医学研究院抽取15名专家组成联合专家组，指导医院疫情防控工作．该医院开设了重症监护病区（A ），重症病区（B ），普通病区（C ）三个病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区了解情况，要求每个专家去一个病区，每个病区都有专家，一个病区可以有多个专家．已知甲不能去重症监护病区（A ），乙不能去重症病区（B ），则一共有 17 种分配方式．【分析】根据题意由甲只能去B ，C 为标准分为两类，每类中再由各区人数再分类利用排列组合知识易求多少分配方式，相加即可． 解：以甲去的区为标准分为两类：第一类甲到B 区有A 33+C21A 22=10（B 区2人和1人两种）； 第二类甲到C 区有A22+（C22+C21A 21）＝7（乙到C 区和乙到A 区两种），则一共有10+7＝17种分配方式． 故答案为：17．15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差DX ＝2.1，P （X ＝3）＜P （X ＝7），则p ＝ 0.7 ．【分析】推导出X ～B （10，p ），由X 的方差DX ＝2.1，P （X ＝3）＜P （X ＝7），列出方程组，能求出p 的值．解：某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立． 该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数， 则X ～B （10，p ），∵X 的方差DX ＝2.1，P （X ＝3）＜P （X ＝7）， ∴{10p(1−p)=2.1C 103⋅p 3(1−p)7＜C 107⋅p 7(1−p)3， 解得p ＝0.7． 故答案为：0.7．16．如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN 将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为25π3．【分析】沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ=13×12×MN×MB×t=13t(2√3−t)=−13t2+2√33t，在利用二次函数的性质即可求出V D﹣MNQ的最大值，当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ 是正三棱柱的一部分，则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，求出三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R，从而求出三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积．解：设MB＝t，则AM＝DN＝2√3−t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ=13×12×MN×MB×t=13t(2√3−t)=−13t2+2√33t，∴当t=√3时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB=√3，DN=√3，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH=12DN=√32又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ=2√33，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ=√OH2+HQ2=5√36，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2=25π3，故答案为：1；25π3．三.解答题（共7小题，17，18.19.20.21各12分，22和23各10分） 17．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n +2＝0，且a 1＝8． （1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列；（2）设b n =(−1)na n(2n +1)(2n+1+1)，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，m ≥T n 恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）直接利用构造新数列的方法求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果，进一步利用恒成立问题的应用求出参数m 的取值范围． 【解答】（1）证明：因为数列{a n }满足a n +1﹣2a n +2＝0， 所以a n +1＝2a n ﹣2，整理得a n +1﹣2＝2（a n ﹣2）， 即a n+1−2a n −2=2（常数）．所以数列{a n ﹣2}是以6为首项，2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知a n −2=6⋅2n−1，即a n =3⋅2n +2．所以b n =(−1)na n (2n +1)(2n+1+1)=(−1)n(12n +1+12n+1+1)． 当n 为偶数时，T n =(−12+1−122+1)+(122+1+123+1)+⋯+(−12n−1+1−12n +1)+(12n +1+12n+1+1)=−12+1+12n+1+1=−13+12n+1+1． 当n 为奇数时，T n =(−12+1−122+1)+(122+1+123+1)+⋯+(12n−1+1−12n +1)+(−12n+1+12n+1+1)=−13−12n+1+1．当n 为偶数时，T n =−13+12n+1+1是递减的，此时当n ＝2时，T n 取最大值−29，则m ≥−29； 当n 为奇数时，T n =−13−12n+1+1是递增的，此时T n ＜−13，则m ≥−13．综上，m 的取值范围是[−29，+∞)．18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，已知四边形ABCD 是边长为√2的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且△SAC 的面积为1． （1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P ﹣AC ﹣D 的余弦值为√55？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；（2）连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 设存在点P 使得二面角P ﹣AC ﹣D 的余弦值为√55，SP →=λSD →，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置． 解：（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， ∵四边形ABCD 是边长为√2的正方形，∴AC ＝2； ∵三角形SAC 的面积为1，∴12×2×SO =1，即SO ＝1，∴SC =√2，∵CD =√2，点P 是SD 的中点， ∴CP ⊥SD ，同理可得AP ⊥SD ；又因为AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面PAC ； ∴SD ⊥平面PAC ，∵SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ．（2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 两两互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则A （0，﹣1，0），C （0，1，0），S （0，0，1），D （﹣1，0，0）； 假设存在点P 使得二面角P ﹣AC ﹣D 的余弦值为√55， 不妨设SP →=λSD →，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD →=（﹣1，0，﹣1），∴SP →=（﹣λ，0，﹣λ），∴P （﹣λ，0，1﹣λ）， 设平面PAC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AP →=0n →⋅AC →=0， ∵AP →=（﹣λ，1，1﹣λ），AC →=（0，2，0）， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z ＝λ，可得x ＝1﹣λ，∴平面PAC 的一个法向量为n →=（1﹣λ，0，λ）， 又平面ACD 的一个法向量为OS →=（0，0，1），二面角P ﹣AC ﹣D 的余弦值为√55； ∴|cos ＜OS →，n →＞|=|OS →⋅n →||OS →|×|n →|=|λ|√(1−λ)2+λ2=√55，即3λ2+2λ﹣1＝0，解得λ=13或λ＝﹣1（不合题意，舍去）；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．19．近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟．A 同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率．设A 同学每天消费ξ元． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用，推出APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费．设η1，η2，η3分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出η1，η2，η3与ξ的函数关系式，参考（1）的结果，A 同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长 （0，15] （15，30] （30，45] （45，60]人数1645345在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？【分析】（1）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E （ξ）． （2）红车η1＝8+30×12ξ＝15ξ+8，黄车η2={20，ξ≤124ξ−4，ξ≥2，蓝车η3={45，ξ≤441530ξ−44，ξ≥8930．A 同学下个选红车注册会员，则其消费为：15×3415+8=42元，A 同学下个选黄车注册会员，则其消费为：24×3415−4=50.4元，A 同学下个选蓝车注册会员，则其消费为：45元，由此求出选红车消费最低．（3）当平均时长为（0，15]时，红车消费15+8＝23元，黄车消费20元，蓝车消费45元，故此时选黄车；当平均时长为（15，30]时，红车消费30+8＝38元，黄车消费48﹣4＝44元，蓝车消费45元，此时选红车；当平均时长为（30，45]时，红车消费45+8＝53元，黄车消费72﹣4＝68元，蓝车消费90﹣43＝47元，此时选蓝车；当平均时长为（45，60]时，红车消费60+8＝68元，黄车消费96﹣4＝92元，蓝车消费120﹣43＝77元，此时选红车．故选红车的人数为50，选黄车人数为16，选蓝车的人数为34，由此能求出每个品牌各应该投放多少辆．解：（1）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，4， P （ξ＝1）=630=15， P （ξ＝2）=1260=25， P （ξ＝3）=1030=13， P （ξ＝4）=230=115， ∴ξ的分布列为：ξ 1234P152513115E （ξ）=1×15+2×25+3×13+4×115=3415． （2）红车η1＝8+30×12ξ＝15ξ+8，黄车η2={20，ξ≤120+30(ξ−1)×0.8，ξ≥2={20，ξ≤124ξ−4，ξ≥2，蓝车η3={45，30ξ≤8845+(30ξ−88)，30ξ≥9={45，ξ≤441530ξ−44，ξ≥8930． 若A 同学下个选红车注册会员，则其消费为：15×3415+8=42元， 若A 同学下个选黄车注册会员，则其消费为：24×3415−4=50.4元， 若A 同学下个选蓝车注册会员，则其消费为：45元， 故选红车消费最低．（3）当平均时长为（0，15]时，红车消费15+8＝23元，黄车消费20元，蓝车消费45元，故此时选黄车；当平均时长为（15，30]时，红车消费30+8＝38元，黄车消费48﹣4＝44元，蓝车消费45元，此时选红车；当平均时长为（30，45]时，红车消费45+8＝53元，黄车消费72﹣4＝68元，蓝车消费90﹣43＝47元，此时选蓝车；当平均时长为（45，60]时，红车消费60+8＝68元，黄车消费96﹣4＝92元，蓝车消费120﹣43＝77元，此时选红车．故选红车的人数为50，选黄车人数为16，选蓝车的人数为34，故红车应该投放3000×50100=1500辆，黄车应投放3000×16100=480辆，蓝车应该投放3000×34100=1020辆． 20．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，P 是抛物线外一点，连接PA ，PB 分别交抛物线于点C ，D ，且CD ∥AB ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ． （1）求证：MN ∥x 轴；（2）若PC →=32CA →，求△PAB 面积的最小值．【分析】（1）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得y M ＝y N ＝2t ，即可求得MN ∥x 轴；（2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得x 0，根据三角形的面积公式即可求得△PAB 面积的最小值．解：（1）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB 的方程为x ＝ty +1，由{x =ty +1y 2=4x ，消去x ，整理得y 2﹣4tx ﹣4＝0， 则y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，y M =y 1+y 22=2t ， 因为CD ∥AB ，所以k CD =y 4−y3x 4−x 3=y 4−y 3y 424−y 324=4y 4+y 3=k AB =1t ，即y N =y 3+y 42=2t ， 由y M ＝y N ＝2t ， 所以MN ∥x 轴；（2）由（1）可知，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，则x M =x 1+x 22=y 12+y228=2t 2+1，由PC →=32CA →，PD →=32DB →，得x 3=2x 0+3x 15，y 3=2y 0+3y 15， 代入抛物线y 2＝4x ，得到3y 12﹣6y 0y 1+20x 0﹣2y 02＝0，同理3y 22﹣6y 0y 2+20x 0﹣2y 02＝0， 所以y 1，y 2为方程3y 2﹣6y 0y +20x 0﹣2y 02＝0， 即y 1+y 2＝2y 0＝4t ，所以y 0＝2t ， 即M ，N ，P 三点共线， 又y 1y 2=20x 0−2y 023=−4，所以x 0=y 02−610=2t 2−35， 又|y 1﹣y 2|＝4√t 2+1，所以S △PAB =12|y 1﹣y 2|•|x M ﹣x 0|=165(√t 2+1)3， 当t ＝0，△PAB 面积的最小值165．21．已知函数f(x)=e x+1(14e x+1−ax +a −1)，其中e ＝2.718…是自然对数的底数，g （x ）＝f '（x ）是函数f （x ）的导数．（1）若g （x ）是R 上的单调函数，求a 的值；（2）当a =78时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2＝﹣2，则f （x 1）+f （x 2）＞2．【分析】（1）由于g ′（x ）＝e x +1（e x +1﹣ax ﹣a ﹣1），g （x ）是R 上的单调函数⇒G （x ）＝e x +1﹣ax ﹣a ﹣1≥0恒成立，结合G （﹣1）＝0，可得a 的值； （2）解法1：消元求导：f （x ）=e x+1(14e x+1−78(x +1)+34)，令x +1＝t ，t 1+t 2＝0，再设t ＝x 2+1＞0，h （t ）＝e t （14e t −78t +34），令H （t ）＝h （t ）+h （﹣t ）原题即证明当t ＞0时，H （t ）＞2；解法2：切线放缩：化解过程同上，原题即证明当t ＞0时，H （t ）＝h （t ）+h （﹣t ）＞2，h （t ）＝e t （14e t −78t +34），注意到h （0）＝e 0（14e 0−78×0+34）＝1，求出h （t ）在（0，1）处的切线方程为y =38t +1，从而证明h （t ）≥38t +1恒成立（t ＞0）即可．解：（1）g （x ）＝f ′（x ）＝e x +1（12e x +1﹣ax ﹣1），g ′（x ）＝e x +1（e x +1﹣ax ﹣a ﹣1），由题意g （x ）是R 上的单调函数，故G （x ）＝e x +1﹣ax ﹣a ﹣1≥0恒成立，由于G （﹣1）＝0， 所以G ′（﹣1）＝0，解得a ＝1． 解法1：消元求导：（2）f(x)=e x+1(14e x+1−78x −18)=e x+1(14e x+1−78(x +1)+34)，令x +1＝t ，t 1+t 2＝0，不妨设t ＝x 2+1＞0，h （t ）＝e t （14e t −78t +34），令H （t ）＝h （t ）+h （﹣t ）＝e t （14e t −78t +34）+e ﹣t （14e ﹣t +78t +34），原题即证明当t ＞0时，H （t ）＞2，H ′（t ）＝e t （12e t −78t −18）﹣e ﹣t （12e ﹣t +78t −18）=12（e t +e ﹣t ）（e t ﹣e ﹣t ）−78t （e t +e ﹣t ）−18（e t ﹣e ﹣t ）=78（e t +e ﹣t ）[12（e t ﹣e ﹣t ）﹣t ]+116（e t ﹣e ﹣t ）[（e t +e ﹣t ）﹣2]≥0，其中[12（e t ﹣e ﹣t ）]′=12（e t +e ﹣t ）﹣1≥0， 因为H （0）＝2，所以当t ＞0时，H （t ）＞2，得证． 解法2：切线放缩：化解过程同上，原题即证明当t ＞0时，H （t ）＝h （t ）+h （﹣t ）＞2，h （t ）＝e t（14e t −78t +34），注意到h （0）＝e 0（14e 0−78×0+34）＝1，求出h （t ）＝e t （14e t −78t +34）在（0，1）处的切线方程，则h ′（t ）＝e t （12e t −78t −18），即h ′（0）=38，则：切线方程为y =38t +1．下面证明h （t ）≥38t +1恒成立（t ＞0）； 令F （t ）＝h （t ）−38t ﹣1，则F ′（t ）＝e t （12e t −78t −18）−38=0⇒t ＝0，得F ′（t ）＞0在t ＞0恒成立，故F （t ）在（t ＞0）上单调递增，F （t ）＝h （t ）−38t ﹣1＞F （0）＝0恒成立， 故h （t ）≥38t +1恒成立，同理可证h （﹣t ）始终位于h （﹣t ）在（0，1）处的切线y =−38t +1的上方，即：h （﹣t ）≥（−38t ）+1（实际上h （t ）与h （﹣t ）关于y 轴对称）， 故H （t ）＝h （t ）+h （﹣t ）＞38t +1+（−38t ）+1＝2恒成立，原不等式得证．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2：2ρsin （θ+π6）＝a （a ＞0）． （I ）写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 23+y 2=1．曲线C 2：2ρsin （θ+π6）＝a （a ＞0）．整理得√3ρsinθ+ρcosθ=a ，转换为直角坐标方程为x +√3y −a =0．（Ⅱ）设点M （√3cosα，sinα），根据题意|MN |的最小值即为点M 到直线的距离的最小值．故：d =|√3cosα+√3sinα−a|2=|√6sin(α+π4)−a|2， 当a ∈(0，√6]时，曲线C 1和曲线C 2相交或相切，此时（|MN |）min ＝0，当a ∈(√6，+∞)时，曲线C 1和曲线C 2相离，当sin(α+π4)=1时，(|MN|)min =a−√62． 23．已知a +b +c ＝3，且a 、b 、c 都是正数．（1）求证；a2+b2+c2≥3；（2）求证：1a+b +1b+c+1c+a≥32．【分析】（1）根据a+b+c＝3，可得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝9，然后利用基本不等即可证明a2+b2+c2≥3成立；（2）由a+b+c＝3，可得1a+b +1b+c+1c+a=(1a+b+1b+c+1a+c)(a+b+b+c+a+c)16，然后利用基本不等式即可证明1a+b+1b+c+1c+a＞32成立．【解答】证明：（1）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴（a+b+c）2＝9，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝9，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），∴a2+b2+c2+2（a2+b2+c2）≥9，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴a2+b2+c2≥3．（2）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴1a+b +1b+c+1c+a=(1a+b+1b+c+1a+c)(a+b+b+c+a+c)⋅16=16(1+a+bb+c +a+ba+c+1+b+ca+b+b+ca+c+1+a+cc+b+a+cb+c)≥16(1+2√1+1+2√1+1+2√1)=16×9=32，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴1a+b +1b+c+1c+a＞32．。
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（ ）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（ ） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。
【数学】河北省衡水中学2020届高三下学期第三次摸底考试数学理试题解析版
【关键字】数学河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2. ，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5. 在中，“ ”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.5 9 9.5 10 10.5销售量12 11 9 7 6由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）学|科|网...【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2 3 4 5所以的数学期望为：．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由（1）知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网...代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
【精编】2020年衡水中学高三模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2020年衡水中学高三模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．某中学有6名同学参加了2018年的自主招生考试，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系，用最小二乘法估计表格中缺少的物理成绩大约为（ ） {参考公式：回归直线方程的系数()()()121ˆˆˆ,ni ii n i i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑} A ．80分B ．82分C ．84分D ．86分 2．在(√x 3)n(n∈N *)的展开式中，所有项系数的和为－32，则1x 的系数等于A ．360B ．－360C ．270D ．－2703．已知全集为R ，集合{}{}2|10,|560P x x Q x x x =-≥=-+≥，则()R P C Q ⋃=（ ） A ．()2,3 B ．[)1,+∞ C ．[]2,3 D ．[][)1,23,⋃+∞ 4．已知复数153z i =-，254z i =-，其中i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（） A ．12z z > B ．12z z < C ．12z z > D ．12z z <5．一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面α，使得α与小球恰好相切，则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ）A B ．12 C D ．356．已知数列{}n a ：12，212，222，232，312，.322.，332，342，352，362，372，412，422…的前n 项和为n S ，正整数1n ，2n 满足：①11111212n a -=，②2n 是满足不等式1019n S >的最小正整数，则12n n +=（ ）A ．6182B ．6183C ．6184D ．61857．设a ，b ，c +∈R ，则“1abc =”是a b c≤++”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件8．设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(]1,3C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ 10．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A ．2245C C ⋅B ．234444C C C ++ C ．2245C C +D ． 223140454545C C C C C C ⋅+⋅+⋅11．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =30B =︒，a b >，则AC 边上的高线的长为（ ）A ．2B ．32C ．92D ．12．已知1()sin 2f x x x =-，则()f x 的图像是（ ） A ．B ．C ．D ．二、双空题13．已知直线l ：250m x my +-=，若l 的倾斜角为045，则实数m =_______；若直线l 与直线210x y --=垂直，则实数m =_______．三、填空题14．P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足AP =AB +12AC ，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是_______． 15．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．16．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数()2sin 3f x x π=， ()2cos 3f x x π=，()4tan 3f x x π=，则可以输出的函数是()f x =__________.四、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，*N n ∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n b 是n S 与2的等差中项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；（2）求证：1223341111112n n a a a a a a a a +++++<； （3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=-，,αβ均为锐角，且255a b -=. （1）求()cos αβ+的值；（2）若3sin 5α=，求cos β的值． 19．已知函数()x f x e ax b =++。
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合}06|{2≥--=x x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B A C U I )(( )A ．}31|{<≤x xB ．}32|{<≤x xC ．}3|{>x xD ．2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，364S S =，852=-a a ，则=2a( )A ．4B ．－4C ．12D ．－123．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+,0,01,042y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值为 ( )A ．lB ．2C．37 D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生 近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视的人数分别为 ( )A ．600，72B ．600，80C ．1200，90D ．1200，3005．已知双曲线以椭圆14822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．4±=y6．用数字0，l ，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数的个数是( )A ．6B ．12C ．18D ．247．函数xx xy sin cos +=的部分图象大致为( )8．运行如图所示的程序框图，若输出结果为713，则判断框中应该填的条件是 ( ) A ．?5>kB ．?6>kC ．?7>kD ．?8>k9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2=，则=⋅FE FD ( )A ．98-B ．43-C ．94-D ．41-10．设c b a ,,均为正数，且c b a cba 2log 21,21log 21,21log 2=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则 ( )A ．C b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．C a b <<11．如图，已知半圆的直径20||=AB ，l 为半圆外的一条直线，且与BA 的延长线交于点T ，4||=AT ，半圆上相异两点M ，N 与直线l 的距离||MP ，||NQ 满足条件1||||||||==NA NQ MA MP ，则||||AN AM +的值为 ( ) A ．22B ．20C ．18D ．1612．已知函数x x x f ln )(=，ex ax x g 3221)(3--=，若函数)(x f 的图象与函数)(x g 的 图象在交点处存在公切线，则函数)(x g 在点())1(,1g 处的切线在y 轴上的截距为( )A ．e32-B ．e32C ．ee 323+-D ．ee 322+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若),(1)1(R y x yi ixi ∈+=+，则=+||yi x ____________． 14．已知直线l 1是曲线x y ln =在1=x 处的切线，直线l 2是曲线xe y =的一条切线，且21//l l ，则直线l 2的方程是______________．15．如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．若ο90=∠BPC ，2=PB ，2=PC ，则四棱锥ABCD P -的体积的最大值为__________．16．已知离心率为21的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好过抛物线x y 162=的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上的一个动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________．三、解答题（共70分。
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16.已知圆 点 ，直线 与圆 交于 两点，点 在直线 上且满足 .若 ，则弦 中点 的横坐标的取值范围为_____________.
14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
2019—2020学年度第二学期高三年级三模考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.设实数 ， 满足条件 则 的最大值为（）
A.1B.2C.3D.4
（1）求证： 平面
（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，试指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
19.如图在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为4．
（I）求椭圆 的方程；
（2）若与原点距离为1的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 与 平行，且与椭圆 相切于点 （ ， 位于直线 的两侧）．记 ， 的面积分别为 ， 若 ，求实数 的取值范围．
（3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如下表所示；（ ）
质量指标值
利润
试确定 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值： ， ， ）
21.已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若 ， ，求证： ．
选考题
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中．直线 参数方程为 （ 为参数， ）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．
4.平面向量 与 的夹角为 ， ，则 等于( )
A. B. C.12D.
5.如图，是函数 的部分图象，则 的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
6.已知二项式 的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）
A.240B.120C.48D.36
7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第 位，也就是 和 之间，这一成就比欧洲早了 多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了 个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（）
甲获奖
乙获奖
丙获奖
丁获奖
甲的猜测
√
×
×
√
乙的猜测
×
〇
〇
√
丙的猜测
×
√
×
√
丁的猜测
〇
〇
√
×
A. 乙丁B. 乙丙C. 丙丁D. 甲丁
10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ． 也是抛物线 的焦点，点 为 与 的一个交点，且直线 的倾斜角为 ，则 的离心率为（）
A. B. C. D.
11.已知 ，不等式 对任意 实数 都成立，则实数 的最小值为（）
A. B. C. D.
12.已知正方体 的外接球的表面积为 ， 与 的重心分别为 ， ，球 与该正方体的各条棱都相切，则球 被 所在直线截的弦长为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物线的准线与双曲线交于 ， 两点，且 的面积为6（ 为原点），则双曲线的标准方程为______．
A. B. C. ห้องสมุดไป่ตู้.
8.设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人 猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）
20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值 为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．
三、解答题
17.已知等差数列 的公差为 ， 是数列 的前 项和，等比数列 的公比为 ， 是数列 的前 项和， ， ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）是否存在正整数 ，使得关于 的不等式 有解？若 存在，求出 的值；若 不存在，说明理由．
18.如图，在多面体 中， 是边长为4的等边三角形， ， ， ，点 为 的中点，平面 平面 ．
质量指标值
产品等级
废品
合格
良好
优秀
良好
（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值 的件数 的分布列及数学期望；
（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件 ．求事件 发生的概率；
（1）化圆 的极坐标方程为直角坐标标准方程；