数学中考考点梳理新

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2023年中考数学复习第一部分考点梳理第七章图形变换第1节尺规作图

第七章图形变换7.1尺规作图1.(2021·长春)在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD 为等腰三角形.下列作法不正确的是(A)AB的长为半径画弧,两弧交2.(2021·湖南益阳)如图,在△ABC中,AC>BC,分别以点A,B为圆心,以大于12于点D,E,经过点D,E作直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN.下列结论正确的是(B)A.AN=NCB.AN=BNBC D.BN平分∠ABCC.MN=123.如图,OG平分∠MON,A,B是射线OM,ON上的点,连接AB.按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半CD长为半径作弧,两弧相交于点径作弧,交AB于点C,交BN于点D;②分别以点C和点D为圆心,大于12E;③作射线BE,交OG于点P.若∠ABN=140°,∠MON=50°,则∠OPB的度数为(B)A.35°B.45°C.55°D.65°4.(2022·北京)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA 长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为(2,0).第4题图第5题图AC的长5.(2022·江苏苏州)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于12为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为10.6.(2021·黑龙江绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若AC=6 cm,AP=3 cm,则△APE的周长是9cm.解:(1)如图所示,点E即为所求.7.(2021·湖北鄂州)如图,∠AOB=40°,按下列步骤作图:①在OA边取一点D,以点O为圆心,OD长为半径画MN,交OB于点C,连接CD;②以点D为圆心,DO长为半径画GH,交OB于点E,连接DE.则∠CDE的度数为(B)A.20°B.30°C.40°D.50°【解析】由作法得OD=OC,DO=DE,∴∠OCD=∠ODC=1(180°-∠COD)=70°,∠DEO=∠DOE=40°,∴∠CDE=2∠OCD-∠DEO=30°.8.[一题多解]如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,已知点A(-√2-1,0),B(0,√2+1).根据作图痕迹,可知点E的坐标为(C)A.(1,1)B.(√2,4-2√2)C.(1,√2)D.(√2+1,2√2-2)【解析】过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由作图痕迹知,AE是∠CAB的平分线.又∵△ABC为等腰直角三角形,∴EH=EB,AB=AH,△CEH为等腰直角三角形,∴EH=CH.由题知OA=OB=OC=√2+1,∴AH=AB=2+√2,∴OH=AH-OA=1,∴EH=CH=OC-OH=√2,∴点E的坐标为(1,√2).解法2:易得AB=BC=2+√2,△CEH为等腰直角三角形,EB=EH.设EH=x,可得CE=2+√2-x=√2EH=√2x,解得x=√2,∴OH=OC-CH=1,∴点E的坐标为(1,√2).过点E作EH⊥AC于点H.解法1:由AB=AH,得出CH的值,即可求解;解法2:由△CEH为等腰直角三角形,CE=√2EH=√2BE,即可求解.9.(2022·浙江绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是10°或100°.【解析】在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,∴∠ACB=60°.分两种情况:①当点D在线段BA上时,由作图可知AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=1×(180°-80°)=50°,∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=10°;②当点D在射线2BA 上时,由作图可知AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC =40°,∴∠BCD =∠BCA +∠ACD =100°.综上所述,∠BCD 的度数是10°或100°.10.如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,点D ,G 分别在AB ,AC 上,点E ,F 在BC 上. (1)用尺规作出△ABC 的高线AH ;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若正方形DEFG 的边长为8,BC =18,求AH 的长.解:(1)如图所示,AH 即为所求.(2)设AH 交DG 于点K.∵四边形DEFG 是正方形,∴DG ∥EF , ∴△ADG ∽△ABC ,∴AK AH =DGBC . ∵BC =18,DG =DE =8, ∴AH−8AH =818,∴AH =725.。

河南中考数学知识考点梳理

河南中考数学知识考点梳理许多诸如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。

数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示。

今天作者在这给大家整理了一些河南中考数学知识考点梳理，我们一起来看看吧!河南中考数学知识考点梳理一次函数的图象和性质：(1)图象：一次函数的图象是过点(，0)，(0，b)的一条直线，正比例函数的图象是过点(0，0)，(1，k)的直线;|k|越大，(1，k)就越阔别x轴，直线与x轴的夹角越大;|k|越小，(1，k)就离x轴越近，直线与x轴的夹角越小;(2)性质：k 0时，y随x增大而增大;k 0时，y随x增大而减小;(3)图象跨过的象限：①k 0,b 0经过一、二、三象限;②k 0,b 0经过一、二、四象限;③k 0,b 0经过一、三、四象限;④k 0,b 0经过二、三、四象限。

即k 0，一三;k 0，二四;b 0，一二;b 0，三四。

(4)直线和的位置关系为：;相交于y轴上;b 0b=0b 0增减性k 0y随着x增大而增大k 0y随着x增大而减小1、用割补法求面积，基本思想是全面积等于各部分面积之和，在割补时需要注意：尽可能使分割出的三角形的边有一条在座标轴上，这样表示面积较为方便。

坐标平面内图形面积算法：把图形分割或补为底边在座标轴或平行于坐标轴的直线上的三角形、梯形等。

2、求函数的解析式常常运用待定系数法，待定系数法的步骤：(1)设出含待定系数的函数解析式;(2)由已知条件得出关于待定系数的方程(组)，解这个方程(组);(3)把系数代回解析式。

3、仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：(1)一元一次方程kx+b=y0(y0是已知数)的解就是直线上，y=y0这点的横坐标;(2)一元一次不等式y1≤kx+b≤y2(y1,y2是已知数，且y14、反比例函数的定义及解析式求法：(1)定义：形如(k≠0，k是常数)的函数叫做反比例函数，其自变量取值范畴是x≠0;(2)解析式求法：运用待定系数法求k值，由于k=xy，故只需要已知函数图象上一点，即求出函数的解析式。

2025年中考数学总复习第一部分考点梳理第9课时平面直角坐标系

考点2
点的坐标变换[8年1考]
例6：在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标分别是
(－1，－1)，(－1，2)，(3，－1)，则第四个顶点的坐标是
[2023福州一中一模4分]( B )
A.(2，2)
B.(3，2)
C.(3，3)
D.(2，3)
考点1
考点2
【变式题】在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交于点
解：因为点A在第二象限的角平分线上，所以－2＋a＋3＝0，

解得a＝－1，故a的值为－1.
1
2
3
(2)当点B到x轴的距离是它到y轴距离的2倍时，求点B的坐标.
解：因为点B到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，所以｜b－3｜
＝2｜b｜.当b－3＝2b时，b＝－3，
所以点B的坐标为(－3，－6)；当b－3＝－2b时，b＝1，所以
2
(4)已知线段AB平行于x轴，且点A(－5，－10)，B(7，y)，则y
－10
＝______.
2
(5)点B(2，－3)到x轴的距离为___，到y轴的距离为___；
3
5
(6)P(1，2)，Q(－1，1)两点之间的距离为___，线段PQ的中点
3
0，
2
坐标是_________.
（一）
（二）
(二)点的坐标变换
1.点的平移变换(如图)
（一）
（二）
2.点的对称变换(如图)
（一）
（二）
2.已知点P(－1，2).
(1)点P先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得
(2，0)
到的点的坐标是_______；
(－1，－2)
(2)点P关于x轴的对称点的坐标是__________；

2023山西省中考数学考点汇总

2023山西省中考数学考点汇总山西省中考数学考点汇总考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算中考数学考点汇总1.数轴(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

重点知识：初中数学第一课，认识正数与负数!新初一的来~2.相反数(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

初中数学中考考点汇总

第一章实数考点一.实数的概念及分类（3分）1.实数的分类正有理数有理数零有限小数和无穷轮回小数实数负有理数正无理数无理数无穷不轮回小数负无理数 2.无理数在懂得无理数时,要抓住“无穷不轮回”这一时之,归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数,如32,7等; （2）有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等;…等;（4）某些三角函数,如sin60o等考点二.实数的倒数.相反数和绝对值（3分）1.相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不合的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零）,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,假如a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立.2.绝对值一个数的绝对值就是暗示这个数的点与原点的距离,|a|≥0.零的绝对值时它本身,也可算作它的相反数,若|a|=a,则a ≥0;若|a|=-a,则a ≤0.正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小.3.倒数假如a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数.考点三.平方根.算数平方根和立方根（3—10分）1.平方根假如一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）. 一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根.正数a 的平方根记做“a ±”. 2.算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”. 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零.a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ;留意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03.立方根假如一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零. 留意：33a a -=-,这解释三次根号内的负号可以移到根号外面. 考点四.科学记数法和近似数（3—6分）1.有用数字一个近似数四舍五入到哪一位,就说它准确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边准确的数位止的所稀有字,都叫做这个数的有用数字.2.科学记数法把一个数写做na 10⨯±的情势,个中101<≤a ,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法.考点五.实数大小的比较（3分）1.数轴划定了原点.正偏向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时,要留意上述划定的三要素缺一不成）.解题时要真正控制数形联合的思惟,懂得实数与数轴的点是一一对应的,并能灵巧应用.2.实数大小比较的几种经常应用办法（1）数轴比较：在数轴上暗示的两个数,右边的数总比左边的数大. （2）求差比较：设a.b 是实数,（3）求商比较法：设 a.b 是两正实数,;1;1;1b a b ab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（4）绝对值比较法：设a.b 是两负实数,则b a b a <⇔>.（5）平办法：设a.b 是两负实数,则b a b a <⇔>22. 考点六.实数的运算（做题的基本,分值相当大）1.加法交流律 a b b a +=+2.加法联合律 )()(c b a c b a ++=++3.乘法交流律 ba ab =4.乘法联合律 )()(bc a c ab =5.乘法对加法的分派律 ac ab c b a +=+)(6.实数的运算次序先算乘方,再算乘除,最后算加减,假如有括号,就先算括号里面的.第二章代数式考点一.整式的有关概念（3分） 1.代数式用运算符号把数或暗示数的字母衔接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.2.单项式只含稀有字与字母的积的代数式叫做单项式.留意：单项式是由系数.字母.字母的指数构成的,个中系数不克不及用带分数暗示,如b a 2314-,这种暗示就是错误的,应写成ba 2313-.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如c b a 235-是6次单项式. 考点二.多项式（11分） 1.多项式几个单项式的和叫做多项式.个中每个单项式叫做这个多项式的项.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.单项式和多项式统称整式.用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,盘算出成果,叫做代数式的值.留意：（1）求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入.（2）求代数式的值,有时求不出其字母的值,须要应用技能,“整体”代入.2.同类项所有字母雷同,并且雷同字母的指数也分离雷同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.3.去括号轨则（1）括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一路去失落,括号里各项都不变号.（2）括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一路去失落,括号里各项都变号.4.整式的运算轨则整式的加减法：（1）去括号;（2）归并同类项.整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=• 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数留意：（1）单项式乘单项式的成果仍然是单项式.（2）单项式与多项式相乘,成果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数雷同.（3）盘算时要留意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号,同时还要留意单项式的符号.（4）多项式与多项式相乘的睁开式中,有同类项的要归并同类项. （5）公式中的字母可以暗示数,也可以暗示单项式或多项式. （6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,单项式除以多项式是不克不及这么盘算的. 考点三.因式分化（11分）1.因式分化把一个多项式化成几个整式的积的情势,叫做把这个多项式因式分化,也叫做把这个多项式分化因式.2.因式分化的经常应用办法（1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+（2）应用公式法：))((22b a b a b a -+=- （3）分组分化法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++（4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3.因式分化的一般步调：（1）假如多项式的各项有公因式,那么先提取公因式.（2）在各项提出公因式今后或各项没有公因式的情形下,不雅察多项式的项数：2项式可以测验测验应用公式法分化因式;3项式可以测验测验应用公式法.十字相乘法分化因式;4项式及4项式以上的可以测验测验分组分化法分化因式（3）分化因式必须分化到每一个因式都不克不及再分化为止. 考点四.分式（8~10分）1.分式的概念一般地,用A.B 暗示两个整式,A ÷B就可以暗示成B A的情势,假如B 中含有字母,式子B A就叫做分式.个中,A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式.2.分式的性质（1）分式的基赋性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）统一个不等于零的整式,分式的值不变.（2）分式的变号轨则：分式的分子.分母与分式本身的符号,转变个中任何两个,分式的值不变. 3.分式的运算轨则考点五.二次根式（初中数学基本,分值很大）1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式,二次根式必须知足：含有二次根号“”;被开方数a 必须长短负数.2.最简二次根式若二次根式知足：被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,如许的二次根式叫做最简二次根式.化二次根式为最简二次根式的办法和步调：（1）假如被开方数是分数（包含小数）或分式,先应用商的算数平方根的性质把它写成分式的情势,然后应用分母有理化进行化简.（2）假如被开方数是整数或整式,先将他们分化因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来.3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式今后,假如被开方数雷同,这几个二次根式叫做同类二次根式.4.二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab（4）)0,0(≥≥=b a b ab a5.二次根式混杂运算二次根式的混杂运算与实数中的运算次序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的（或先去括号）.第三章方程（组）考点一.一元一次方程的概念（6分）1.方程含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解能使方程双方相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质（1）等式的双方都加上（或减去）统一个数或统一个整式,所得成果仍是等式.（2）等式的双方都乘以（或除以）统一个数（除数不克不及是零）,所得成果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,个中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的尺度情势,a 是未知数x 的系数,b 是常数项.考点二.一元二次方程（6分）1.一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般情势 )0(02≠=++a c bx ax ,它的特点是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,个中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项.考点三.一元二次方程的解法（10分）1.直接开平办法应用平方根的界说直接开平方求一元二次方程的解的办法叫做直接开平办法.直接开平办法实用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.依据平方根的界说可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根.2.配办法配办法是一种重要的数学办法,它不但在解一元二次方程上有所应用,并且在数学的其他范畴也有着普遍的应用.配办法的理论依据是完整平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±.3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的办法,它是解一元二次方程的一般办法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：4.因式分化法因式分化法就是应用因式分化的手腕,求出方程的解的办法,这种办法简略易行,是解一元二次方程最经常应用的办法.考点四.一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通经常应用“∆”来暗示,即ac b 42-=∆考点五.一元二次方程根与系数的关系（3分）假如方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么a b x x -=+21,a cx x =21.也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.考点六.分式方程（8分）1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的一般办法解分式方程的思惟是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：（1）去分母,方程双方都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应当舍去;若不等于零,就是原方程的根.3.分式方程的特别解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思惟,其应用异常普遍,当分式方程具有某种特别情势,一般的去分母不轻易解决时,可斟酌用换元法. 考点七.二元一次方程组（8~10分）1.二元一次方程含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程,它的一般情势是（2.二元一次方程的解使二元一次方程阁下双方的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一路,就构成了一个二元一次方程组.4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程阁下双方的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.5.二元一次朴直组的解法（1）代入法（2）加减法6.三元一次方程把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.7.三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程构成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.第四章不等式（组）考点一.不等式的概念（3分）1.不等式用不等号暗示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解集对于一个含有未知数的不等式,任何一个合适这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的聚集叫做这个不等式的解的聚集,简称这个不等式的解集.求不等式的解集的进程,叫做解不等式.3.用数轴暗示不等式的办法考点二.不等式基赋性质（3~5分）1.不等式双方都加上（或减去）统一个数或统一个整式,不等号的偏向不变.2.不等式双方都乘以（或除以）统一个正数,不等号的偏向不变.3.不等式双方都乘以（或除以）统一个负数,不等号的偏向转变.测验题型：考点三.一元一次不等式（6~8分）1.一元一次不等式的概念一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的双方都是整式,如许的不等式叫做一元一次不等式.2.一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步调：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）归并同类项（5）将x项的系数化为1考点四.一元一次不等式组（8分）1.一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一路,就构成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所构成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的进程,叫做解不等式组.当任何数x 都不克不及使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集.2.一元一次不等式组的解法（1）分离求出不等式组中各个不等式的解集（2）应用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集.第五章统计初步与概率初步考点一.平均数（3分） 1.平均数的概念（1）平均数：一般地,假如有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++=叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”.（2）加权平均数：假如n 个数中,1x 消失1f 次,2x 消失2f 次,…,k x 消失kf 次（这里n f f f k =++ 21）,那么,依据平均数的界说,这n 个数的平均数可以暗示为nf x f x f x x kk ++=2211,如许求得的平均数x 叫做加权平均数,个中kf f f ,,,21 叫做权.2.平均数的盘算办法（1）界说法当所给数据,,,,21n x x x 比较疏散时,一般选用界说公式：)(121n x x x n x +++=（2）加权平均数法：当所给数据反复消失时,一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x kk ++=2211,个中n f f f k =++ 21.（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的高低摇动时,一般选用简化公式：a x x +='. 个中,常数a 平日取接近这组数据平均数的较“整”的数,a x x -=11',ax x -=22',…,a x x n n -='.)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（平日把,,,,21n x x x 叫做原数据,,',,','21n x x x 叫做新数据）.考点二.统计学中的几个根本概念（4分） 1.总体所有考核对象的全部叫做总体. 2.个别总体中每一个考核对象叫做个别. 3.样本从总体中所抽取的一部分个别叫做总体的一个样本. 4.样本容量样本中个别的数量叫做样本容量. 5.样本平均数样本中所有个别的平均数叫做样本平均数.6.总体平均数总体中所有个别的平均数叫做总体平均数,在统计中,通经常应用样本平均数估量总体平均数.考点三.众数.中位数（3~5分） 1.众数在一组数据中,消失次数最多的数据叫做这组数据的众数. 2.中位数将一组数据按大小依次分列,把处在最中央地位的一个数据（或最中央两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 考点四.方差（3分） 1.方差的概念在一组数据,,,,21n x x x 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.通经常应用“2s ”暗示,即2.方差的盘算（1）根本公式：（2）简化盘算公式（Ⅰ）：也可写成2222212)][(1xx x x n s n -+++=此公式的记忆办法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.（3）简化盘算公式（Ⅱ）：当一组数据中的数据较大时,可以按照简化平均数的盘算办法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -=',那么,2222212')]'''[(1x x x x n s n-+++=此公式的记忆办法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.（4）新数据法：原数据,,,,21n x x x 的方差与新数据a x x -=11',a x x -=22',…,a x x n n -='的方差相等,也就是说,依据方差的根本公式,求得,',,','21n x x x 的方差就等于原数据的方差.3.尺度差方差的算数平方根叫做这组数据的尺度差,用“s ”暗示,即考点五.频率散布（6分） 1.频率散布的意义在很多问题中,只知道平均数和方差还不敷,还须要知道样本中数据在各个小规模所占的比例的大小,这就须要研讨若何对一组数据进行整顿,以便得到它的频率散布.2.研讨频率散布的一般步调及有关概念（1）研讨样本的频率散布的一般步调是： ①盘算极差（最大值与最小值的差） ②决议组距与组数 ③决议分点④列频率散布表⑤画频率散布直方图（2）频率散布的有关概念①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n ）的比值叫做这一小组的频率.考点六.肯定事宜和随机事宜（3分） 1.肯定事宜必定产生的事宜：在必定的前提下反复进行实验时,在每次实验中必定会产生的事宜.不成能产生的事宜：有的事宜在每次实验中都不会产生,如许的事宜叫做不成能的事宜.2.随机事宜：在必定前提下,可能产生也可能不放声的事宜,称为随机事宜. 考点七.随机事宜产生的可能性（3分）一般地,随机事宜产生的可能性是有大小的,不合的随机事宜产生的可能性的大小有可能不合.对随机事宜产生的可能性的大小,我们应用反复实验所获取必定的经验数据可以猜测它们产活力遇的大小.要评判一些游戏规矩对介入游戏者是否公正,就是看它们产生的可能性是否一样.所谓断定事宜可能性是否雷同,就是要看各事宜产生的可能性的大小是否一样,用数据来解释问题. 考点八.概率的意义与暗示办法（5~6分） 1.概率的意义一般地,在大量反复实验中,假如事宜A 产生的频率mn会稳固在某个常数p 邻近,那么这个常数p 就叫做事宜A 的概率.2.事宜和概率的暗示办法一般地,事宜用英文大写字母A,B,C,…,暗示事宜A 的概率p,可记为P （A ）=P考点九.肯定事宜和随机事宜的概率之间的关系（3分） 1.肯定事宜概率（1）当A 是必定产生的事宜时,P （A ）=1 （2）当A 是不成能产生的事宜时,P （A ）=0 2.肯定事宜和随机事宜的概率之间的关系事宜产生的可能性越来越小0 1概率的值不成能产生必定产生事宜产生的可能性越来越大考点十.古典概型（3分） 1.古典概型的界说某个实验若具有：①在一次实验中,可能消失的构造有有限多个;②在一次实验中,各类成果产生的可能性相等.我们把具有这两个特色的实验称为古典概型.2.古典概型的概率的求法一般地,假如在一次实验中,有n种可能的成果,并且它们产生的可能性都相m等,事宜A包含个中的m中成果,那么事宜A产生的概率为P（A）=n考点十一.列表法求概率（10分）1.列表法用列出表格的办法来剖析和求解某些事宜的概率的办法叫做列表法.2.列表法的应用处合当一次实验要设计两个身分, 并且可能消失的成果数量较多时,为不重不漏地列出所有可能的成果,平日采取列表法.考点十二.树状图法求概率（10分）1.树状图法就是经由过程列树状图列出某事宜的所有可能的成果,求出其概率的办法叫做树状图法.2.应用树状图法求概率的前提当一次实验要设计三个或更多的身分时,用列表法就不便利了,为了不重不漏地列出所有可能的成果,平日采取树状图法求概率.考点十三.应用频率估量概率（8分）1.应用频率估量概率在同样前提下,做大量的反复实验,应用一个随机事宜产生的频率逐渐稳固到某个常数,可以估量这个事宜产生的概率.2.在统计学中,经常应用较为简略的实验办法代替现实操纵中庞杂的实验来完成概率估量,如许的实验称为模仿实验.3.随机数在随机事宜中,须要用大量反复实验产生一串随机的数据来开展统计工作.把这些随机产生的数据称为随机数.第六章一次函数与反比例函数考点一.平面直角坐标系（3分）1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就构成了平面直角坐标系.个中,程度的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正偏向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正偏向;两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;树立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面.为了便于描写坐标平面内点的地位,把坐标平面被x轴和y轴朋分而成的四个部分,分离叫做第一象限.第二象限.第三象限.第四象限.留意：x轴和y轴上的点,不属于任何象限.2.点的坐标的概念点的坐标用（a,b）暗示,其次序是横坐标在前,纵坐标在后,中央有“,”离a 时,开,横.纵坐标的地位不克不及颠倒.平面内点的坐标是有序实数对,当b （a,b）和（b,a）是两个不合点的坐标.考点二.不合地位的点的坐标的特点（3分） 1.各象限内点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2.坐标轴上的点的特点点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ,x 为随意率性实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ,y 为随意率性实数点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上⇔x,y 同时为零,即点P 坐标为（0,0） 3.两条坐标轴夹角等分线上点的坐标的特点点P(x,y)在第一.三象限夹角等分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二.四象限夹角等分线上⇔x 与y 互为相反数 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标雷同. 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标雷同. 5.关于x 轴.y 轴或远点对称的点的坐标的特点点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等,纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等,横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横.纵坐标均互为相反数 6.点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +考点三.函数及其相干概念（3~8分） 1.变量与常量在某一变更进程中,可以取不合数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.一般地,在某一变更进程中有两个变量x 与y,假如对于x 的每一个值,y 都有独一肯定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.2.函数解析式用来暗示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 使函数有意义的自变量的取值的全部,叫做自变量的取值规模. 3.函数的三种暗示法及其优缺陷（1）解析法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式暗示,这种暗示法叫做解析法.（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来暗示函数关系,这种暗示法叫做列表法.（3）图像法用图像暗示函数关系的办法叫做图像法. 4.由函数解析式画其图像的一般步调（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出响应的点（3）连线：按照自变量由小到大的次序,把所描各点用腻滑的曲线衔接起来.考点四.正比例函数和一次函数（3~10分） 1.正比例函数和一次函数的概念一般地,假如b kx y +=（k,b 是常数,k ≠0）,那么y 叫做x 的一次函数.特别地,当一次函数b kx y +=中的b 为0时,kx y =（k 为常数,k ≠0）.这时,y 叫做x 的正比例函数.2.一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3.一次函数.正比例函数图像的重要特点：一次函数b kx y +=的图像是经由点（0,b ）的直线;正比例函数kx y =的图像是经由原点（0,0）的直线.k 的符号 b 的符号函数图像图像特点k>0b>0图像经由一.二.三象限,y 随x 的增大而增大.b<0图像经由一.三.四象限,y 随x 的增大而增大.K<0b>0图像经由一.二.四象限,y 随x 的增大而减小b<0图像经由二.三.四象限,y 随x 的增大而减小.注：当b=0,正比例函数是一次函数的特例.4.一般地,（1）当k>0时,,y 随x 的增大而增大; （2）当k<0时,图像经由第二.四象限,y 随x 的增大而减小. 5.一次函数的性质一般地,一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时,y 随x 的增大而增大（2）当k<0时,y 随x 的增大而减小 6.正比例函数和一次函数解析式的肯定肯定一个正比例函数,就是要肯定正比例函数界说式kx y =（k ≠0）中的常数k.肯定一个一次函数,须要肯定一次函数界说式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表

2023年初中数学中考考点一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式 1.1 解一元一次方程1.2 解一元一次不等式2. 整式2.1 整式的加减2.2 整式的乘除3. 因式分解3.1 提公因式法3.2 积因式分解4. 分式4.1 分式的加减4.2 分式的乘除二、几何1. 相似三角形1.1 判定相似三角形 1.2 相似三角形的性质2. 平行线与三角形2.1 平行线的性质2.2 三角形内角和3. 圆3.1 圆的性质3.2 圆内接四边形4. 三角形4.1 三角形的外角性质 4.2 三角形的面积计算三、函数与图像1. 一次函数1.1 一次函数的性质 1.2 一次函数图像2. 二次函数2.1 二次函数的性质2.2 二次函数图像3. 绝对值函数3.1 绝对值函数的性质 3.2 绝对值函数图像四、统计与概率1. 统计1.1 统计量的计算1.2 统计图的绘制2. 概率2.1 基本概率事件2.2 条件概率的计算五、解析几何1. 直线与圆1.1 直线与圆的位置关系 1.2 直线与圆的性质2. 空间图形2.1 空间图形的投影2.2 空间图形的体积计算六、实际问题1. 实际问题的解决方法1.1 将实际问题转化为数学问题1.2 利用数学方法解决实际问题2. 实际问题的综合运用2.1 结合多种数学知识解决实际问题 2.2 实际问题综合运用的技巧七、综合练习1. 综合练习题1.1 完形填空题1.2 阅读理解题2. 综合练习题解析2.1 完形填空题解析2.2 阅读理解题解析以上便是2023年初中数学中考的考点归纳双向细目表，同学们在备考中可根据此表进行有针对性的复习和练习，以取得更好的考试成绩。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表随着2023年初中数学中考的逐渐临近，同学们将面临着对数学知识的系统复习和全面梳理。

为了帮助同学们更好地备战数学中考，以下将就上文所述的考点进行更加详细的探讨和扩充。

一、代数代数是数学中的重要分支，它涵盖了一元一次方程与一元一次不等式、整式、因式分解和分式等内容。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第2节三角形及其性质

(2)猜想∠D,∠C,∠P的数量关系并说明理由.
基础过关
能力提升
能力提升
-19-
4.2 三角形及其性质
解:(1)∵∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P,
设∠CAP＝∠PAD＝x,∠CBP＝∠DBP＝y.
由三角形的外角性质得∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD,
即32°+2x＝28°+2y.
①
同理可得∠P+∠PAD＝∠D+∠DBP,即∠P+x＝28°+y.
D.60°
基础过关
基础过关
能力提升
-4-
4.2 三角形及其性质
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,
F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的三条边中线的交点是
( A )
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
基础过关
基础过关
能力提升
-5-
4.2 三角形及其性质
5.如图,下列说法错误的是( C )
-8-
4.2 三角形及其性质
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,c为
奇数,则c＝ 7
.
【解析】∵a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,∴a＝7,b＝1,∴6＜c＜
8.又∵c为奇数,∴c＝7.
基础过关
基础过关
能力提升
-9-
4.2 三角形及其性质
8.如图,BE是△ABC的一条角平分线,在AB上取点D,使∠DEB
)
A.γ＝2α+β
B.γ＝α+2β
C.γ＝α+β
D.γ＝180°－α－β

北京中考数学考点梳理

北京中考数学考点梳理一、数与式一)有理数1、有理数的分类法则是把有理数按一定的标准分成三类：按定义、性质分成整数和分数；按符号分成正数、负数和零；按绝对值大小分成正有理数和负有理数．2、有理数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．3、有理数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．二)实数1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．2、算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．3、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．4、无理数的概念是由无限不循环小数引出的．初中阶段只研究实数，所以初中阶段学的无理数都是无限不循环小数．5、实数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．6、实数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．三)代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2、代数式的求值要先化简，即化简为最简代数式．化简的方法根据已知条件来确定．二、方程(组)与不等式(组)一)方程(组)1、一元一次方程的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a0)．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．2、解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.中考语文考点梳理中考语文考点众多，涵盖了语文知识、文学常识、文化素养、语言表达等多个方面。

本文将重点对中考语文的一些重要考点进行梳理，帮助考生更好地备考中考语文。

一、基础知识基础知识是中考语文的重要组成部分，包括字音、字形、词语辨析、成语辨析、修辞手法、文学常识等。

考生需要熟练掌握这些基础知识，以便在考试中准确理解和运用。

二、阅读理解阅读理解是中考语文的必考题型，主要考查考生对文本的理解能力和分析能力。

2025年广东省九年级中考数学第一部分+中考考点梳理课件+第二章方程(组)与不等式(组)

5.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
6.了解一元二次方程的根与系数的关系(例67)(2022版课标去掉“＊”).
7.能解可化为一元一次方程的分式方程.
返回
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新课标示例：
例67
－元二次方程的根与系数的关系
知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表示方程的根，能
用方程的根表示系数.
设问角度
核心素养
一元一次不等式组
选择，T8/3分
－ > ，
的解集为
<
运算能力
解答，T16/8分解不等式组－ > ，
+<
返回
目录
考什么
年份
考点
2021
怎么考
题型/分值
设问角度
为什么考
核心素养
－ > (－),
解答，T18/6分解不等式组
－
＞

解一元一
－ ≥ －，

为什么考
素材情境核心素养
＝时间差，
甲
v甲＝1.2v乙
追及问题

－＝

.
求一元一次不等式的
最小解
打折问题
5×0.1x－4≥4×10％
模型观念
运算能力
应用意识
返回
目录
考什么
年份
考点
怎么考
题型/分值
一元一次方
程或二元一
设问角度
为什么考
素材情境核心素养
数学文化：每人钱数8×学生
程解的意义
，经历估计方程解的过程.
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第三章函数第2节一次函数

数
十年真题精选
教材知识网络
教材知识网络
重难考点突破
-16-
3.2 一次函数
一
次
函
数
十年真题精选
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教材知识网络
重难考点突破
-17-
3.2 一次函数
十年真题精选
教材知识网络
教材知识网络
重难考点突破
-18-
3.2 一次函数
重难考点突破
重难考点突破(学用见P36~37)
考点1 一次函数的图象和性质
重难考点突破
-10-
3.2 一次函数
4.(2014·安徽第20题)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/
吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑
垃圾处理费5200元,从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃
圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年
处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付
小值z＝70×60＋7200＝11400.
答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.
十年真题精选
十年真题精选
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重难考点突破
-14-
3.2 一次函数
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k≠0
一
次
函
数
一、三、
四
减小
十年真题精选
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教材知识网络
重难考点突破
-15-
3.2 一次函数
一
次
函

k＞0矛盾,此选项不符合题意;C项,将点(2,3)代入,得k＝ ,

此选项符合题意; 项, 将点(, −)代入, 得＝ −

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第三章函数第5节第1课时增长率问题与最大利润问题 (1)

类问题图文类: 根椐图文, 借助图形上的关键点, 提取信息, 建立二次函数模型解题
特别提醒①求函数的最值时, 要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响,
若对称轴不在自变量的取值范围内, 则最值在自变量取值的端点处;
②建立适当的平面直角坐标系易于解决问题特别提醒
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一题一课
-3-
第1课时增长率问题与最大利润问题
()分析问题: 明确题目中常量、变量之间的关系, 确定自变量及因变量
⇓
()建立模型: 根据题意确定合适的表达式或建立适当的坐标系
解题关键步骤
⇓
()求函数表达式: 变量间的数量关系表示
⇓
()解决问题: 熟练运用顶点坐标公式或配方法, 注意二次项系数的正负及自变量的取值范围
利润＝收入－成本);
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一题一课
-9-
第1课时增长率问题与最大利润问题
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出
每千克售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
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一题一课
-10-
第1课时增长率问题与最大利润问题
x天销售的相关信息如下表所示.
销售量p/件
销售单价q/元
p＝50－x

当1≤x≤20时,q＝30＋ x;

当21≤x≤40时,q＝20＋

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十年真题精选
一题一课
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第1课时增长率问题与最大利润问题
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元?

2023苏州中考数学考点梳理

2023苏州中考数学考点梳理苏州中考数学考点梳理1.同底数幂的乘法法则:(m,n都是正数)2..幂的乘方法则：(m,n都是正数)3.整式的乘法(1)单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

(2)单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

(3).多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4.平方差公式:5.完全平方公式:6.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m n).在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a 0时,a-p的值一定是正的;当a 0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如,④运算要注意运算顺序.7.整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式的一般方法：1.提公共因式法2.运用公式法3.十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表面看来零碎的概念和性质也较多，但实际上是密不可分的整体。

2022年最新中考数学知识点梳理考点13 三角形及其全等(教师版)

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点13 三角形及其全等考点总结一、三角形的基础知识1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；2）全等三角形的周长相等，面积相等；3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•滦州市一模）以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．【解答】解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；B、没有经过顶点B，不符合题意；C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；D、没有经过顶点B，不符合题意．故选：A．2．（2021•路南区一模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．3．（2021•遵化市模拟）如图，△ABC中，BC＝6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若BE＝2DE，则FC＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】先根据重心的性质得到点E为△ABC的重心，则AF为BC边上的中线，于是可得到FC的长．【解答】解：∵BD是中线，BE＝2DE，∴点E为△ABC的重心，∴AF为BC边上的中线，∴FC＝BF=12BC=12×6＝3．故选：C．4．（2021•路南区二模）如图，直线l∥m，将三角形△ABC（∠ABC＝45°）的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】过点B作直线n∥l．由平行线的性质和判定，可得到∠1、∠2、∠3、∠4、∠ABC间关系，利用角的和差关系计算可得结论．【解答】解：过点B作直线n∥l．∵l∥m，∴m∥n∥l．∴∠3＝∠2，∠1＝∠4．∵∠ABC＝45°，∠1＝20°，∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝45°﹣20°＝25°．∴∠2＝25°．故选：B．5．（2021•河北模拟）如图，△ABC中，AD为BC边上的高，下列等式错误的是（）A．∠ADB＝∠ADC＝90°B．∠B+∠BAD＝90°C．∠C+∠DAC＝90°D．∠BAD＝∠DAC【分析】根据三角形高线的意义和三角形内角和等于180°即可求解．【解答】解：∵AD为BC边上的高∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴A，B，C选项正确，∵∠BAD与∠DAC不一定相等，∴D选项错误，故选：D．6．（2021•张家口一模）如图，在一副三角板中，标识了4个角，其中最大的角为（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【分析】根据三角板中这四个角的度数可得结论．【解答】解：三角板中这四个角的度数分别是：∠1＝∠2＝45°，∠3＝30°，∠4＝60°．故选：D．7．（2021•高阳县模拟）一副三角板如图放置，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°【分析】利用一副三角板先得出∠ECB、∠CDF的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠CFD的度数即可．【解答】解：∵三角板是一副，∴∠ECD＝45°，∠ADC＝60°．∴∠CFD＝180°﹣∠ECD﹣∠ADC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∴∠1＝75°．故选：D．8．（2021•遵化市模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（）A．45°B．60°C．65°D．75°【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∠1＝30°+（90°﹣45°）＝75°，故选：D．9．（2021•滦南县二模）如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD，点E、F为垂足，若EF ＝6，∠1＝2∠2，则BC的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据△BFD≌△CED，EF＝6，可得DE＝3，由∠1＝2∠2，可得∠2＝60°，再根据直角三角形的性质得出DC的长，进而得出BC的长．【解答】解：∵∠1＝2∠2，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠DCE＝30°，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DE＝DF，∵EF＝6，∴DE＝DF＝3，∴CD＝6，∴BC＝12，故选：D．10．（2021•海港区模拟）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，②过点A作AD⊥BC于点D，③取BC中点D，连接AD，④作BC的垂直平分线AD，其中作法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①②③分别从能否判定△ABD≌△ACD来分析，④从辅助线本身作法来分析即可．【解答】解：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；②过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故②正确；③取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故③错误；④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．综上，正确的有①②．故选：B．二．填空题（共5小题）11．（2021•路南区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连结DA并延长，交y轴于点E．则（1）∠OEA＝30 °．（2）当以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点C的坐标为（3，0）．【分析】（1）由“SAS”可证△OBC≌△ABD，可得∠BOC＝∠BAD＝60°，即可求解；（2）由直角三角形的性质可求AE ＝4，由等腰三角形的性质可求AE ＝AC ＝2，即可求解．【解答】解：（1）∵△ABO 和△CBD 都是等边三角形，∴OB ＝AB ，CB ＝BD ，∠ABO ＝∠CBD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD ，在△OBC 和△ABD 中，{OB =AB∠OBC =∠ABD BC =BD，∴△OBC ≌△ABD （SAS ），∴∠BOC ＝∠BAD ＝60°，∴∠OAE ＝60°，∵∠AOE ＝90°，∴∠OEA ＝30°，故答案为：30；（2）∵∠AEO ＝30°，∴AE ＝2OA ＝2，∵∠EAC ＝∠OAD ＝∠OAB +∠BAD ＝120°，∴只有当AE ＝AC ＝2时，△AEC 为等腰三角形，∴OC ＝3，∴点C （3，0），故答案为：（3，0）．12．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且∠A ，∠B ，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD ＝110°，则图中∠D 应减少（填“增加”或“减少”） 10 度．【分析】延长EF ，交CD 于点 G ，依据三角形的内角和定理可求∠ACB ，根据对顶角相等可得∠DCE ，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF 的度数；利用∠EFD ＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D 的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而图中∠D＝20°，∴∠D应减少10°．故答案为：减少，10．13．（2020•邢台一模）如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，BC＝6，AC＝10，∠B＝∠BAD，延长BC到E，若CD平分∠ACE，则AD＝8 ，点D到BC的距离是 4.8 ．【分析】延长CE，交AD的延长线于点F，过点D作DG⊥CE于点G，先证明△ADC≌△FDC （ASA），从而可得CA＝CF，DA＝DF，从而得出CF的值，再由BC的值已知，可得BF的值；然后根据∠B＝∠BAD，可得AF＝BF＝16，则AD与DF的值可得，根据勾股定理可得CD的长；最后由面积法可得DG的长，即点D到BC的距离．【解答】解：如图，延长CE，交AD的延长线于点F，过点D作DG⊥CE于点G，∵∠ADC ＝90°，CD 平分∠ACE ，∴∠ADC ＝∠FDC ＝90°，∠ACD ＝∠FCD ，又∵CD ＝CD ，∴△ADC ≌△FDC （ASA ）．∴CA ＝CF ，DA ＝DF ，∵AC ＝10，∴CF ＝10，∵BC ＝6，∴BF ＝16．∵∠B ＝∠BAD ，∴AF ＝BF ＝16，∴AD ＝DF ＝8．在Rt △CDF 中，由勾股定理得：CD =√CF 2−DF 2=√102−82=6，∴12CD •DF =12CF •DG ， ∴DG =CD⋅DF CF=6×810=4.8．故答案为：8，4.8．14．（2020•路北区三模）如图所示：下列正多边形都满足BA 1＝CB 1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB 1＝60°；在正方形中，可推得：∠AOB 1＝90°；在正五边形中，可推得：∠AOB 1＝108°，依此类推在正八边形中，∠AOB 1＝ 135 °，在正n （n ≥3）边形中，∠AOB 1＝ (n−2)180n °．【分析】如图4，根据正八边形的性质可以得出AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝135°，就可以得出△ABA 1≌△BCB 1，就可以得出∠CBB 1＝∠BAA 1，就可以得出∠AOB 1＝135°，由正三角形中∠AOB 1＝60°=(3−2)×1803，正方形中，∠AOB 1＝90°=(4−2)×1804；正五边形中，∠AOB 1＝108°=(5−2)×1805，…正n （n ≥3）边形中，∠AOB 1=(n−2)⋅180°n ，就可以得出结论．【解答】解：∵多边形ABCDEFGH 是正八边形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝135°．在△ABA 1和△BCB 1中，{AB =BC∠ABC =∠BCD BA 1=CB 1，∴△ABA 1≌△BCB 1（SAS ）∴∠CBB 1＝∠BAA 1．∵∠AOB 1＝∠ABO +∠BAA 1．∴∠AOB 1＝∠ABO +∠CBB 1∴∠AOB 1＝∠ABO +∠CBB 1＝135°；∵在正三角形中∠AOB 1＝60°=(3−2)×1803，在正方形中∠AOB 1＝90°=(4−2)×1804；在正五边形中，∠AOB 1＝108°=(5−2)×1805； …∴在正n （n ≥3）边形中，∠AOB 1=(n−2)⋅180°n ，故答案为：135，(n−2)⋅180°n ．15．（2020•迁安市二模）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 225° ．【分析】根据图形和正方形的性质可知∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，再把它们相加可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数．【解答】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（∠1+∠5）+（∠2+∠4）+∠3＝225°．故填225°三．解答题（共3小题）16．（2021•唐山一模）如图，AB是半圆O的直径；D是半圆O上不同于A、B两点的任意一点；C是半圆O上一动点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）若AD＝BC，求证△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，∠DAC＝30°，AB＝8．求S扇形COB；（答案保留π）（3）若AB＝8，H为AC的中点，点C从B移动到A时，请直接写出点H移动的长度．（答案保留π）【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝∠BCA＝90°，再根据HL证明即可；（2）根据等腰三角形的性质得∠EBC＝30°，∠E＝60°，由BE是半圆O所在的切线得∠ABE＝90°，可求∠BAE＝30°，连接OC，得∠COB＝60°，再根据扇形面积计算公式可得答案；（3）根据点H移动的长度是以OA为直径的圆的周长的一半求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在Rt△ADB和Rt△BCA中，{AB=ABAD=BC，∴△CBA≌△DAB（HL）；（2）解：连接OC，∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠CBF＝∠EBC，∵∠CBF＝∠DAC＝30°，∴∠EBC＝30°，∴∠E＝90°﹣∠EBC＝60°，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠E＝30°，∴∠COB＝2∠BAE＝60°，∴S扇形=60π×42360=8π3．（3）解：连接OH，∵H为AC的中点，∴OH⊥AC，∴H在以OA为直径的圆上运动，当点C在B点时，点H与点O重合，当点C在A点时，点H与点A重合，所以，点H移动的长度是以OA为直径的圆的周长一半，即L＝4π×12=2π．17．（2021•平泉市一模）如图，点C ，A ，O ，B 四点在同一条直线上，点D 在线段OE 上，且OA ＝OD ，AC ＝DE ，连接CD ，AE ．（1）求证AE ＝CD ；（2）写出∠1，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由OA ＝OD ，AC ＝DE 得OC ＝OE ，利用SAS 证明△AOE ≌△DOC ，即可得出AE ＝CD ；（2）由△AOE ≌△DOC 得∠C ＝∠E ，根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OA ＝OD ，AC ＝DE ，∴OC ＝OE ，在△AOE 和△DOC 中，{OA =OD∠AOE =∠DOC OE =OC，∴△AOE ≌△DOC （SAS ），∴AE ＝CD ；（2）解：∠2＝∠1+∠C ，理由：∵△AOE ≌△DOC ，∴∠C ＝∠E ，∵∠2＝∠1+∠E ，∴∠2＝∠1+∠C ．18．（2021•河北模拟）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A ，B ，连接AB ，AB 与OP 交于点E ．（1）求证：△OPA ≌△OPB ；（2）若AB ＝6，求AE 的长．【分析】（1）依据PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，可得∠PAO ＝∠PBO ＝90°，PA ＝PB ，即可根据HL 得到Rt △OPA ≌Rt △OPB ；（2）依据△OPA ≌△OPB 可得∠APE ＝∠BPE ，再依据PA ＝PB ，∠APE ＝∠BPE ，PE ＝PE 可利用SAS 证明△APE ≌△BPE ，即可得到AE ＝BE ，进而得出AE =12AB ＝3．【解答】（1）证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，OC 平分∠MON ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，PA ＝PB ，在Rt △OPA 和Rt △OPB 中，{PA =PB OP =OP ， ∴Rt △OPA ≌Rt △OPB （HL ）；（2）解：由（1）知△OPA ≌△OPB ，∴∠APE ＝∠BPE ，又∵PA ＝PB ，在△APE 和△BPE 中，{PA =PB∠APE =∠BPEPE =PE ，∴△APE ≌△BPE （SAS ），∴AE ＝BE ，∴AE =12AB ，∵AB ＝6，∴AE ＝3．。

2023烟台中考数学考点梳理

2023烟台中考数学考点梳理烟台中考数学考点梳理一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。

3.判定定理：(1)两角对应相等，两三角形相似;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似;(3)三边对应成比例，两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

中考数学考点梳理知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性. 知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理中考数学考点1二次根式：形如式子为二次根式;性质：是一个非负数;2二次根式的乘除：3二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.4海伦-秦九韶公式：,S是的面积,p为.1：等号两边都是整式,且只有一个未知数,未知数的次是2的方程.2配方法：将方程的一边配成完全平方式,然后两边开方;因式分解法：左边是两个因式的乘积,右边为零.3一元二次方程在实际问题中的应用4韦达定理：设是方程的两个根,那么有1：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等.2中心对称：一个图形绕一个点旋转180度,和另一个图形重合,则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合,则说这个图形是中心对称图形;3关于原点对称的点的坐标1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2垂直于弦的直径圆是图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧.3弧、弦、圆心角在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.4圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径.5点和圆的位置关系点在圆外d r点在圆上d=r点在圆内dR+r外切d=R+r相交R-r烟台中考数学考点梳理。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第一章数与式第2节代数式与整式

1.2
代数式与整式
1.2 代数式与整式
十年真题精选
十年真题精选(学用见P5~6)
命题点1代数式及其求值[10年3考]
1.(2014·安徽第7题)已知x2－2x－3＝0,则2x2－4x的值为
( B )
A.－6
B.6
C.－2或6
D.－2或30
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重难考点突破
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【解析】观察数列可发现21×22＝23,22×23＝25,23×25＝
28,…,所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第
三个数.根据规律,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,则x,y,z
满足的关系式是xy＝z.(答案不唯一)
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第1个等式:3×12＋1＝1×(3＋1);
第2个等式:3×22＋2＝2×(6＋1);
第3个等式:3×32＋3＝3×(9＋1);
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第4个等式: 3×42＋4＝4×(12＋1) ;
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-14-
1.2 代数式与整式

1,故①正确.把a＝3代入得3＋b＝3b＝c,可得b＝ ,c＝ ,所以b＋c

＝6,故②错误.把 a＝b＝c代入得2c＝c2＝c,所以可得c＝0,故③正
确.当a＝b且a≠c时,由a＋b＝ab可得a＝b＝2,再代入可得c＝4,所
以a＋b＋c＝8;当a＝c且a≠b时,由c＝a＋b可得b＝0,再代入可得a

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第二章方程(组)与不等式(组)第3节一元二次方程及其应用

解得x1＝15,x2＝20.
当x＝15时,70－2x＝40＞35,不符合题意,舍去;
当x＝20时,70－2x＝30,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m.
基础过关
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2.3 一元二次方程及其应用
16.
为了响应“大众创业,万众创新”的号召,丁丁利用
某直播平台售卖蓝牙耳机,平均每天可出售50个,每个获利20
及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:矩形面积864步2,宽比
长少12步,问宽和长各几步.若设长为x步,则可列方程为
x(x－12)＝864 .
9.[易错题]菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2－9x+20
＝0的一个根,则该菱形的周长为 20
.
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能力提升
-6-
2.3 一元二次方程及其应用
2k)x+k＝0,因为方程有两个实数根,所以k≠0且Δ＝(5－2k)2－

2
4k ≥0,解得k≤ 且k≠0.

基础过关
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-16-
2.3 一元二次方程及其应用
15.[HK版教材八下P48 B 组复习题第4题改编]某驻村工作
队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚
下,围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
基础过关
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-11-
2.3 一元二次方程及其应用
【解析】根据图象可得k＜0,b＜0,所以b2＞0,－4k＞0.因为Δ
＝b2－4(k－1)＝b2－4k+4＞0,所以方程有两个不相等的实数

新人教版初中数学中考总复习：统计与概率--知识点整理及重点题型梳理

新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】「I 统计图表——।阅读图表提取信息T 集中程度I 怦均数中位教嬴【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1 .一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论.2 .调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的.(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想 (3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样 3 .数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图. 要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.收集数据媒体查询抽样调查-抽样的基本要求总体个体样本T 整理数据借助统计活动研究概率从概率角度分析善数据特征离散程度限差方差标准差实验估计概必然事不可能事游戏的公平与模拟等效实考点二.数据的分析 1 .基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是/,无是这组数据的平均数。