高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 文 新
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新高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一
《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田
几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 30 步，
其所在圆的直径是 16 步，问这块田的面积是多少(平方步)？
(A )
A．120
B．240
C．360
D．480
解析：由题意可得：S＝12×8×30＝120(平方步)．
命题方向 1
三角函数的定义
【例 3】 (1)已知角 θ＝83π，且角 θ 的终边经过点 P(x,2 3)，
则 x 的值为( C )
A．±2
B．2
C．－2
D．－4
(2)角 θ 的终边经过点 P(4，y)，且 sinθ＝－35，则 tanθ＝( C )A．－ຫໍສະໝຸດ 34 B.3C．－34
3 D.4
【解析】 (1)由题意知 tanθ＝tan83π＝tan(2π＋23π)＝tan23π＝ tan(π－π3)＝－tanπ3＝－ 3.因为角 θ 的终边经过点 P(x，2 3)，所 以 tanθ＝2 x 3.所以－ 3＝2 x 3，解得 x＝－2.故选 C.
半轴上，终边在直线 y＝－ 3x 上，则角 α 的所有取值的集合是
( D)
A.αα＝2kπ－3π，k∈Z
B.αα＝2kπ＋23π，k∈Z
C.αα＝kπ－23π，k∈Z
D.αα＝kπ－3π，k∈Z
(2) 集 合 αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中
的
角
所
表
示
的
范
围
(阴影部分)是( C )
(1)小于 90°的角是锐角．(× ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．( × ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30°.( × ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )
(全国版)高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.1任意角和弧制及任意角的三角函数课件理
②标注:从x轴正半轴开始,按照逆时针方向顺次循环标 上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴.
第三十四页，共73页。
③选答:出现数字m的区域,即为 所在的象限. 易错提醒:判断终边所在象限要注k意分类(fēn lèi)讨论.
第三十五页，共73页。
【变式训练】若角β的终边与 π的6 终边相同(xiānɡ tónɡ), 求在区间[0，2π)内终边与 的终边7 相同(xiānɡ tónɡ)的角.
第二十页，共73页。
5.(2016·锦州模拟)在平面(píngmiàn)直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα=
则m= ( )
A.-6或1
B.-1或6
2 5， 5
C.6
D.1
【解析】选C.由题意知
5m2=4m2+36,
且m>0,所以m=6.
m 2, 9 m2 5
第二十一页，共73页。
第九页，共73页。
第十页，共73页。
4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=______,
sinα cos(α+k·2π)=______,
tan(α+k·2π)=____c__o(s其α中(qízhōng)k∈Z), 即终边相同的角的同t一an三α角函数的值相等.
第十一页，共73页。
所以 2
当k=2m k,m2∈ Z时, k 2,k Z，
42 2 22
所以 在第一象限; m 2 m 2,m Z，
4
22
2
第二十五页，共73页。
当k=2m+1,m∈Z时5, m 2 3 m 2,m Z， 所以在 第三(dì sān4)象限.综上2, 的2 终边在第一或三象
第三十四页，共73页。
③选答:出现数字m的区域,即为 所在的象限. 易错提醒:判断终边所在象限要注k意分类(fēn lèi)讨论.
第三十五页，共73页。
【变式训练】若角β的终边与 π的6 终边相同(xiānɡ tónɡ), 求在区间[0，2π)内终边与 的终边7 相同(xiānɡ tónɡ)的角.
第二十页，共73页。
5.(2016·锦州模拟)在平面(píngmiàn)直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα=
则m= ( )
A.-6或1
B.-1或6
2 5， 5
C.6
D.1
【解析】选C.由题意知
5m2=4m2+36,
且m>0,所以m=6.
m 2, 9 m2 5
第二十一页，共73页。
第九页，共73页。
第十页，共73页。
4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=______,
sinα cos(α+k·2π)=______,
tan(α+k·2π)=____c__o(s其α中(qízhōng)k∈Z), 即终边相同的角的同t一an三α角函数的值相等.
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所以 2
当k=2m k,m2∈ Z时, k 2,k Z，
42 2 22
所以 在第一象限; m 2 m 2,m Z，
4
22
2
第二十五页，共73页。
当k=2m+1,m∈Z时5, m 2 3 m 2,m Z， 所以在 第三(dì sān4)象限.综上2, 的2 终边在第一或三象
高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件理北师大
两角和与差的正
弦、余弦及正切 公式
简单的三角恒等 变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包
括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但不要求记忆)．
第三章
三角函数、解三角形
知识点
考纲下载 1. 能画出 y＝ sin x，y＝ cos x，y＝tan x 的图象，了
解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间 [0， 2π ]上的 性质 (如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的 π π 交点等 )，理解正切函数在－ ， 内的单调性. 2 2
第三章
三角函数、解三角形
知识点
考纲下载
正弦定理和 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的
余弦定理
三角形度量问题．
解三角形应 能够运用正弦定理际问题.
第三章
三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的有关概念
负角 (1) 从运 动的角 度看 ，角可 分为正 角、 ______________ 和 零角 ______________ ． 象限角 与轴线角． (2)从终边位置来看，角可分为 ________
π (2)角度制和弧度制的互化： 180°＝ ________ rad， 1°＝ π 180 ° ________ rad， 1 rad＝ ________ 180 π ． |α|· r (3)扇形的弧长公式： l＝ ________ ，扇形的面积公式： S＝
1 1 |α |· r2 lr ________ ＝ ________ ． 2 2
(3)若 β 与 α 是终边相同的角，则 β 用 α 表示为 β＝ 2kπ＋α，k∈Z __________________ ．
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧制及任意角的三角函数课件
≤kπ＋2π，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(
)
12/11/2021
第十九页，共四十一页。
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4π≤α≤2nπ＋π2， 此时 α 表示的范围与4π≤α≤2π表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈ Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋2π，此时 α 表示的范围与54π ≤α≤32π表示的范围一样．
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第八页，共四十一页。
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)第一象限角必是锐角．( × ) (2)不相等的角终边一定不相同．( × ) (3)终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 α＝2kπ＋π(k ∈Z). ( √ ) (4)1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小， 它是角的一种度量单位．( √ ) (5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( √ )
1
S 扇形＝ 2lr
和 S 扇形＝ 12|α|r2
.
说明：(2)(3)公式中的 α 必须为弧度制．
12/11/2021
第五页，共四十一页。
考点 3 任意角的三角函数 1．定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于
y 点 P(x，y)，则 sinα＝ y ，cosα＝ x ，tanα＝ x (x≠0)．
例
1
(1)设集合
M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z
，N
＝xx＝4k·180°＋45°，k∈Z
，判断两集合的关系(
)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝∅
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第十五页，共四十一页。
解析 解法一：由于 M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧制及任意角的三角函数课件 理
2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z) [∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥12. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．]
[规律方法] 1.利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三 角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出 此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解． 2．利用三角函数线求解三角不等式的方法 对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相 等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区 域，由此写出不等式的解集．
第3章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互 化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_端__点___从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形． (2)分类按 按旋 终转 边方 位向 置不 不同 同分 分为 为__正__象__角__限____角、 ____负_和_角_轴_线、角__零_. _角___. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
有向线段_O_M__为余弦 线
有向线段_A_T__为正切 线
4.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 5．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α ＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
[规律方法] 1.利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三 角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出 此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解． 2．利用三角函数线求解三角不等式的方法 对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相 等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区 域，由此写出不等式的解集．
第3章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互 化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_端__点___从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形． (2)分类按 按旋 终转 边方 位向 置不 不同 同分 分为 为__正__象__角__限____角、 ____负_和_角_轴_线、角__零_. _角___. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
有向线段_O_M__为余弦 线
有向线段_A_T__为正切 线
4.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 5．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α ＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
高考数学一轮复习第三章第一讲弧度制及任意角的三角函数课件
答案：A
2.(2023 年佛山市校级月考)《九章算术》是一部中国古代的数 学专著.全书分为九章，共收有 246 个问题，内容丰富，而且大多 与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了 38 个问题，主要讲各 种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形 天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步， 外周一百二十二步，径五步，如图 3-1-2 所示，则其所在扇形的圆 心角大小为(单位：弧度)( )
【高分训练】
1.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：因为 tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限.故选 B. 答案：B
2.若角 α 的终边落在直线 y＝ 3x 上，角 β 的终边与单位圆交 于点21，m，且 sin α·cos β<0，则 cos α·sin β＝________.
【题后反思】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然
后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)判断象限角的两种方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角
的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z) 的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限 判断已知角是第几象限角.
注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.
图 3-1-2
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：设内弧半径为 r，外弧半径为 R，扇形的圆心角为θ， 由题意可得 R＝r＋5，可得9122＝2＝rθ(r，＋5)θ， 解得 r＝436，可得
2.(2023 年佛山市校级月考)《九章算术》是一部中国古代的数 学专著.全书分为九章，共收有 246 个问题，内容丰富，而且大多 与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了 38 个问题，主要讲各 种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形 天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步， 外周一百二十二步，径五步，如图 3-1-2 所示，则其所在扇形的圆 心角大小为(单位：弧度)( )
【高分训练】
1.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析：因为 tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限.故选 B. 答案：B
2.若角 α 的终边落在直线 y＝ 3x 上，角 β 的终边与单位圆交 于点21，m，且 sin α·cos β<0，则 cos α·sin β＝________.
【题后反思】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条 件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然
后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)判断象限角的两种方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角
的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z) 的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限 判断已知角是第几象限角.
注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.
图 3-1-2
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：设内弧半径为 r，外弧半径为 R，扇形的圆心角为θ， 由题意可得 R＝r＋5，可得9122＝2＝rθ(r，＋5)θ， 解得 r＝436，可得
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件新人教版
1．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C ) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z)
2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( D )
A．10π
B．9π
C.190π
D．190π
3．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限． 答案：－54π 二
[解析] 因为 P0( 2，－ 2)，所以∠P0Ox＝－π4. 因为角速度为 1，所以按逆时针旋转时间 t 后， 得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－π4. 由三角函数定义，知点 P 的纵坐标为 2sint－π4， 因此 d＝2sint－π4.令 t＝0， 则 d＝2sin－4π＝ 2，当 t＝π4时，d＝0.
所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝21×(4 3×2＋22)＝4 3＋2. 答案：4 3＋2
3．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的
3 2
倍，则该弧
所对的圆心角是原来的________倍．
答案：3
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时要注意角 的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公 式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列 方程(组)求解．
[题组突破]
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y
＝2x上，则cos 2θ＝( B )
A．－45
B．－35
3 C.5
D．45
2．(202X·郑州模拟)已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧制和任意角的三角函数课件 文
12/11/2021
第五页，共四十五页。
5．三角函数线 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，过 A(1，0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的 反向延长线相交于点 T.
12/11/2021
第六页，共四十五页。
有向线段_____M_P____为正弦线；有向线段___O__M_____为余弦 线；有向线段_____AT_____为正切线．
10 4.
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第十页，共四十五页。
4．(2018·无锡质量检测)已知角 α 的终边经过点 P(x，－6)，
且 tan α＝－35，则 x 的值为____1_0___． [解析] 因为 tan α＝－x6＝－35，故 x＝10.
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第十一页，共四十五页。
1．必明辨的 2 个易错点 (1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值相等． (2)利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正 确地求得 x，y，r 的值，然后对于含参数问题要注意分类讨 论．
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第二十八页，共四十五页。
一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径 等于圆半径的23，面积等于圆面积的257，则扇形的弧长与圆周
5 长之比为_1_8______． 解析：设圆的半径为 r，则扇形的半径为23r，记扇形的圆心角
为 α，则12απr232r2＝257，所以 α＝56π.所以扇形的弧长与圆周长
之比为Cl ＝562ππ·23rr＝158.
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第二十九页，共四十五页。
三角函数的定义(高频考点) (1)已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝ －153，则sin1 α＋tan1 α＝__－__23____．
第五页，共四十五页。
5．三角函数线 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，过 A(1，0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的 反向延长线相交于点 T.
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第六页，共四十五页。
有向线段_____M_P____为正弦线；有向线段___O__M_____为余弦 线；有向线段_____AT_____为正切线．
10 4.
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第十页，共四十五页。
4．(2018·无锡质量检测)已知角 α 的终边经过点 P(x，－6)，
且 tan α＝－35，则 x 的值为____1_0___． [解析] 因为 tan α＝－x6＝－35，故 x＝10.
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第十一页，共四十五页。
1．必明辨的 2 个易错点 (1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值相等． (2)利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正 确地求得 x，y，r 的值，然后对于含参数问题要注意分类讨 论．
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第二十八页，共四十五页。
一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径 等于圆半径的23，面积等于圆面积的257，则扇形的弧长与圆周
5 长之比为_1_8______． 解析：设圆的半径为 r，则扇形的半径为23r，记扇形的圆心角
为 α，则12απr232r2＝257，所以 α＝56π.所以扇形的弧长与圆周长
之比为Cl ＝562ππ·23rr＝158.
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第二十九页，共四十五页。
三角函数的定义(高频考点) (1)已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝ －153，则sin1 α＋tan1 α＝__－__23____．
高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧制及任意角的三角函数课件文
第二十三页，共50页。
冲关针对训练 1．(2017·潍坊模拟)集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中 的角所表示的范围(阴影部分)是( )
第二十四页，共50页。
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2， 此时 α 表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈ Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时 α 表示的范围与 π ＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选 C.
第十二页，共50页。
2．教材衍化 (1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中，36°的圆心角所对的 弧长是( )
4π 2π π π A. 5 B. 5 C.3 D.2 解析 ∵36°＝36×1π80 rad＝π5 rad，∴36°的圆心角所 对的弧长为 l＝π5×2＝25π.故选 B.
第十三页，共50页。
第十四页，共50页。
3．小题热身 (1)(2017·石家庄模拟)已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上， 且 cosα＜0，则 tanα＝___－__1___.
解析 如图，由题意知，角 α 的终边在第二象限，在 其上任取一点 P(x，y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tanα ＝yx＝－xx＝－1.
第十五页，共50页。
(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形 OAB 和 OA1B1，A1 为 OA 的中点，若扇形 OA1B1 的面积为 1，则扇形 OAB 的面 积为___4_____．
第十六页，共50页。
解析 设∠AOB＝α，则 S 扇形 OA1B1＝12OA21·α＝1， S 扇形 OAB＝12OA2·α，OA＝2OA1， ∴S 扇形 OAB＝21·(2OA1)2·α＝4.
第三十一页，共50页。
冲关针对训练 1．(2017·潍坊模拟)集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中 的角所表示的范围(阴影部分)是( )
第二十四页，共50页。
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2， 此时 α 表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈ Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时 α 表示的范围与 π ＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选 C.
第十二页，共50页。
2．教材衍化 (1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中，36°的圆心角所对的 弧长是( )
4π 2π π π A. 5 B. 5 C.3 D.2 解析 ∵36°＝36×1π80 rad＝π5 rad，∴36°的圆心角所 对的弧长为 l＝π5×2＝25π.故选 B.
第十三页，共50页。
第十四页，共50页。
3．小题热身 (1)(2017·石家庄模拟)已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上， 且 cosα＜0，则 tanα＝___－__1___.
解析 如图，由题意知，角 α 的终边在第二象限，在 其上任取一点 P(x，y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tanα ＝yx＝－xx＝－1.
第十五页，共50页。
(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形 OAB 和 OA1B1，A1 为 OA 的中点，若扇形 OA1B1 的面积为 1，则扇形 OAB 的面 积为___4_____．
第十六页，共50页。
解析 设∠AOB＝α，则 S 扇形 OA1B1＝12OA21·α＝1， S 扇形 OAB＝12OA2·α，OA＝2OA1， ∴S 扇形 OAB＝21·(2OA1)2·α＝4.
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(全国通用)近年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函
（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练（十七)任意角、弧度制及任意角的三角函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角;②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个C [－错误!是第三象限角,故①错误.错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．］2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )【导学号:31222102】A．2 B．sin 2C。
错误!D．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r＝错误!，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝2sin 1。
]3．(2016·湖南衡阳一中模拟）已知点P(cos α，tan α）在第三象限，则角α的终边在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [由题意可得错误!则错误!所以角α的终边在第二象限，故选B。
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函
第三章 三角函数、解三角形
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α＝－ ，所以sin(α＋π)＝－sin α＝ .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同，则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， ， .
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ x上，则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－ ，则点A的横坐标为( A )
A．－ B．
C．－3D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－ ，m)(m≠0)且sin θ＝ m，则cos θ的值为－ .
所以 终边在第三象限，综上， 的终边在第一或三象限．故选A、C.
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α＝－ ，所以sin(α＋π)＝－sin α＝ .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同，则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， ， .
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ x上，则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－ ，则点A的横坐标为( A )
A．－ B．
C．－3D．3
(2)若角θ的终边经过点P(－ ，m)(m≠0)且sin θ＝ m，则cos θ的值为－ .
所以 终边在第三象限，综上， 的终边在第一或三象限．故选A、C.
高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 三角函数、解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
所以 π + 2kπ < < π + 2kπ (k∈Z), 3 3 32 3
当 k=3n(n∈Z)时,
π +2nπ< < π +2nπ(n∈Z);
3
32
当 k=3n+1(n∈Z)时,
π+2nπ< < 7π +2nπ(n∈Z); 36
当 k=3n+2(n∈Z)时,
5π +2nπ< < 11 π+2nπ(n∈Z).
角α的终边落在第二象限内或 y 轴的非负半轴上,
所以有
3a 9 0, a 2 0,
即-2<a≤3.
即 a 的取值范围为(-2,3].故选 A.
答案:(1)A
(2)(2015济南质检)已知角α终边经过点P(2sin 2,-2cos 2),则
sin α=
.
解析: (2)由正弦定义得
sin α= y =
则 r= (4t)2 (3t)2 =5|t|,
当 t>0 时,r=5t,sin α= 3t =- 3 , 5t 5
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 象限角与终边相同的角
可用列举法，也可 根据k为奇数偶数分析
【例 1】
(1)设集合
M=
x
x
k 2
180。
45。, k
Z
,N=
x
x
k 4
180。
45。, k
Z
,
判断两集合的关系( )
(A)M=N (B)M N
(C)N M (D)M∩N=
解析:(1)由于
180 π
°
弧长 l=|α|r
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＝
1 2
r(40
－
2r)
＝
r(20
－
r)
＝
－
(r
－
10)2
＋
100≤100.
当且仅当 r＝10 时，Smax＝100，此时 2×10＋10θ＝40， θ＝2.
所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形的面积最大．
[谨记通法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝αr，扇形的面积公式是 S ＝12lr＝12αr2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长 三个量中的任意两个量，如“题组练透”第 2 题．
考点三 三角函数的定义 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内 容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有： (1)三角函数值的符号判定； (2)由角的终边上一点的 P 的坐标求三角函数值； (3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
xx＝k4·180°＋45°，k∈Z
，那么
A．M＝N
B．M⊆N
()
C．N⊆
D．M∩N＝∅
解析
[谨记通法] 1．终边在某直线上角的求法 4 步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．
2．确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围； (2)再写出 kα 或αk的范围； (3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在位 置，如“题组练透”第 2 题易错．
考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
解析：设扇形的半径为 r cm，如图．
由 sin 60°＝6r，
得 r＝4 3 cm，
∴l＝|α|·r＝23π×4
3＝8 3
3 π
cm.
答案：8 3
3 π
3．已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时， 扇形的面积最大？
解：设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝40.
又
S
＝
1 2
θr2
[小题纠偏] 1．下列说法正确的是
()
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若 β＝α＋k·360°(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同
答案：D 2．若角 α 终边上有一点 P(x,5)，且 cos α＝1x3(x≠0)，则 sin
α＝________. 答案：153
1．已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1
B．4
C．1 或 4
D．2 或 4
解析：设此扇形的半径为 r，弧长为 l，
2r＋l＝6， 则12rl＝2，
解得rl＝＝41， 或rl＝＝22.，
从而 α＝rl＝41＝4 或 α＝rl＝22＝1.
答案：C
2．(易错题)若扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm， 则弧长 l＝________cm.
一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧
度的角，弧度记作 rad.
(2)公式
角 α 的弧度数公式
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算
弧长公式 扇形面积公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝_1_π8_0__° 弧长 l＝ |α|r
S＝
1 2lr
＝__12_|_α_|r_2_
3.任意角的三角函数
三角 函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
P(x，y)，那么
_y_叫做 α 的 _x__ 叫 做 α y
_x__叫做 α 的正切，记
正弦，记作 的余弦，记
作 tan α
sin α
作 cos α
三角函数 Ⅰ
考点一 角的集合表示及象限角的判定 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－34π是第二象限角；②43π是第三角限角；③－400°是第四
象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析
2．(易错题)若角 α 是第二象限角，则α2是
第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另
一个位置所成的图形．
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为
正角、 负角 、零角 象限角 和轴线角.
.
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：∵α 是第二象限角，
∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2是第一象限角； 当 k 为奇数时，α2是第三象限角． 答案：C
3．设集合 M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z ，N＝
2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个 式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐 标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y， cos α＝x，tan α＝xy，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r， 则 sin α＝yr，cos α ＝xr，tan α＝xy.
各象限 Ⅱ 符号 Ⅲ Ⅳ
正弦 ＋ ＋ － －
余弦 ＋ － － ＋
正切 ＋ － ＋ －
三角函 数线
有向线段_M__P_ 有向线段_O_M__ 有向线段__A_T_
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题体验] 1．若 sin α＜0 且 tan α＞0，则 α 是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是
第________象限角．
答案：四 一 3．(教材习题改编)已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长
是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________． 答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概 念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．