上海六年级第二学期数学知识点
2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第02讲 有理数加减法带讲解
第02讲 有理数加减法（核心考点讲与练）一、有理数的加法1．有理数加法法则：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号． （3）一个数同零相加，仍得这个数． 2.运算律：有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b)+c ＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 二、有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即()a b a b -=+-． 三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点一：有理数的加法运算【例题1】计算：(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．1223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．【变式训练1】计算： 【答案】【变式训练2】计算：（1） (+10)+(-11)； （2） 【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）考点二：有理数的减法运算【例题2】 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算． 【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.【变式训练1】若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ．5 D ．﹣5【答案】B ．12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113343⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算【例题3】计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) (4) （5） （6） 【答案与解析】（1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）→同分母的数先加 （4）→统一成加法→整数、小数、分数分别加（5） →统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132.25321.87584+-+1355354624618-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭132.25321.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++（6）→整数，分数分别加【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【变式训练1】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用【例题4】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置； （2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm 表示1km ，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．0.55 4.5=-+=1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-182********-++-=+2936=【变式训练1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100 150 350 -400 -100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式训练2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用【例题5】（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y ）的值为±2或±8【变式训练1】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么? 【答案】解：当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0； 当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0； 当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．考点六：规律探索【例题6】将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律． 【答案】1200-【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1200-． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【例1】计算：()()()246898100-++-+++-+．【难度】★★★ 【答案】50．【解析】()()()246898100-++-+++-+()()()=24689810025-++-+++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦（共对）=222+++=225⨯ =50．【总结】考察有理数的加法．注意简便运算．【例2】 某单位一周中收支情况如下：524.5+元，274.3-元，490+元，100-元，29.7+元，123.6- 元，232.1-元．问该单位这一周，总共收入多少元？总共支出多少元？收支相抵后，余额是多少元？【难度】★★★【答案】共收入1044.2元，共支出730元，收支相抵后，余额为314.2元． 【解析】共收入为：()524.5++()490+()+29.7=1044.2+元， 共支出为：()274.3+-()100-()+123.6-()+232.1730-=-元 收支相抵为：()2.3147302.1044=-+元． 【总结】考察有理数的加法的实际应用．已知143a =-，566b =-，122c =-，求下列各式的值．（1）a b c --； （2）()b a c --； （3）a b c --； （4）a c b --．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）5-；（3）5-；（4）328．【解析】（1）1511511146246222536236222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()5115115564264261563263266b a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=---+=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）1511514624625362362a b c --=-----=--=-； （4）115115552426426168326326663a cb ⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减法运算和运算律的综合应用． 【例3】 已知143a =-，566b =-，122c =-，求下列各式的值．（1）a b c --； （2）()b a c --； （3）a b c --； （4）a c b --．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）5-；（3）5-；（4）328．【解析】（1）1511511146246222536236222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5）()5115115564264261563263266b a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=---+=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（6）1511514624625362362a b c --=-----=--=-； （7）115115552426426168326326663a cb ⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减法运算和运算律的综合应用．【例4】 如果2113x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么x 等于______．【难度】★★★【答案】322=x 或223x =-．【解析】因为2113x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2211233x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以322=x 或223x =-．【总结】考察有理数的加减法和绝对值运算． 【例5】 计算：135********-+-+-++-．【难度】★★★【答案】50-． 【解析】原式()()()()1357911979925=-+-+-++-（共对）()()()222=-+-++-()=252⨯- 50=-．【总结】考察有理数的加减法运算，注意找出规律进行简便运算．【例6】 计算：1234997998999999999999999999-+--+---+-． 【难度】★★★【答案】999499．【解析】原式1234997998999999999999999999=-+-+--+1234997998(499999999999999999999⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共对）111=+499999999999++（共个）499=999．【总结】考察有理数的加减法运算及与绝对值的综合计算，注意要简便运算．【例7】 如果规定运算()()23a b a b ⊗=---，求73124⎛⎫⊗- ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★【答案】1253-．【解析】7373795=2331241246412⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⊗--⨯--⨯-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【总结】本题主要考察新运算与有理数的加减法的综合运用．题组A 基础过关练一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列运算中正确的是（ ）分层提分A ．3.58( 1.58) 3.58( 1.58)2--=+-=B ．( 2.6)(4) 2.64 6.6---=+=C ．2727270()()()1555555-+-=+-=+-=-D ．3439571()858540-=+-=-【答案】D【分析】根据有理数的加减法法则进行分析解答即可.【详解】A 选项中，因为3.58-（-1.58）=3.58+1.58=5.16，所以A 中计算错误； B 选项中，因为（-2.6）-（-4）=-2.6+4=1.4，所以B 中计算错误；C 选项中，因为27279055555⎛⎫-+-=--=- ⎪⎝⎭，所以C 中计算错误；D 选项中，因为3439571858540⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，所以D 中计算正确. 故选D.【点睛】熟知“有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数”是解答本题的关键.2．（2021·上海·九年级专题练习）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ） A ．-4 B ．－2 C ．2 D ．4【答案】C【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解． 【详解】解：AB=|-1-（-3）|=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及有理数的减法运算，正确表示数轴上两点间距离并准确计算是解题关键．二、填空题3．冬季某日，上海最低气温是3℃，北京最低气温是－5℃，这一天上海的最低气温比北京的最低气温高___________℃． 【答案】8【分析】求上海的最低气温比北京的最低气温高多少，即用上海的最低气温减去北京的最低气温．【详解】解：3-（-5）=8℃．∴这一天上海的最低气温比北京的最低气温高8℃． 故答案为：84．（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）有理数____加上3-54所得的和是6.【答案】1134【分析】设有理数为a 则列式a+（3-54）=6，运用有理数的加减法计算求解即可. 【详解】设有理数为a 则a+（3-54）=6 ∴a=6+354=1134【点睛】此题考查了有理数加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.5．计算：｜23-｜+13=______． 【答案】1试题分析：解：原式=+=1，解本题时，要去掉绝对值符号后再进行运算．考点：绝对值的定义及分数运算．点评：熟知绝对值的定义，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值还是零．本题属于基础题．难度及小，易得．6.用字母a 、b 、c 表示有理数加法的交换律是________________，结合律是____________________．【难度】★【答案】交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++．【解析】考察有理数运算律的理解．7.计算：()31 1.24⎛⎫-++= ⎪⎝⎭_____，()31 1.24⎛⎫--+= ⎪⎝⎭_____，()31 1.24⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭_____．【难度】★【答案】0.55-； 2.95-； 2.95-．【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加：绝对值相等时和 为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】考察有理数的加减法法则的运用．8.计算：21131333⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，()()137 5.42⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭______．【难度】★ 【答案】31；9.9．【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加：绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】考察有理数的加减法法则的运用．三、判断9.判断下列算式是否正确：（1）()()220-+-=；（ ） （2）()()6410-++=-；（ ）（3）()033+-=+；（ ） （4）512663⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（ ） （5）337744⎛⎫⎛⎫--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（ ）【难度】★ 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√．【解析】（1）错误，正确答案为()()224-+-=-；（2）错误，正确答案为()()642-++=-；（3）错误，正确答案为()033+-=-．【总结】考察有理数的运算，注意法则的准确运用．四、解答题10．（2018·上海市娄山中学单元测试）3512+1-8-6.75412 【答案】1712-【分析】原式利用有理数加减混合运算计算即可求出值．【详解】原式=710127412+--412 =101727412-+（-）124 =10112512--=101712-=1712-【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是正确解此题的关键.11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）(2)(9)--- （2）011- （3）5.6( 4.8)-- （4）13(4)524-- 【答案】(1)7;(2)-11;(3)10.4;(4)1104-. 【分析】根据有理数的减法法则和加法法则进行分析解答即可.【详解】（1）()()29297---=-+= ；（2）()01101111-=+-=- ；（3）5.6-（-4.8）=5.6+4.8=10.4；（4）13231(4)5(45)1024444--=-+=-.【点睛】熟记“有理数的减法法则和加法法则”是解答本题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）23＋（－17）＋6＋（－22）（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）【答案】（1）－10（2）－3【分析】根据有理数的加法法则（1）、（2）进行计算【详解】（1）23＋（－17）＋6＋（－22）=29+（-39）=-（39-29）=-10（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）=（-9）+6=-（9-6）=-3【点睛】本题考查的是有理数的加法，关键是要掌握加法法则．13．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）.10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？【答案】超重1.8千克，总重量是501.8（千克）【详解】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可．（+0.5）+（+0.3）+0+（-0.2）+（-0.3）+（+1.1）+（-0.7）+（-0.2）+（+0.6）+（+0.7）=1.8（千克），50×10+1.8=501.8（千克）． 题组B 能力提升练一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列各式可以写成a b c -+的是（ ）A ．()()a b c -+-+B ．()()a b c -+--C ．()()a b c +-+-D ．()()a b c +--+【答案】B【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．【详解】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，A的结果为a-b-c，B的结果为a-b+c，C的结果为a-b-c，D的结果为a-b-c，故选：B．【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，解题关键在于掌握去括号法则：+（+）=+，+（-）=-，-（+）=-，-（-）=+．2．（2019·上海·七年级课时练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a b+的值（）A．大于0B．小于0C．小于a D．大于b 【答案】A【分析】先根据数轴的特点判断出a，b的符号，再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小，然后根据有理数的加法法则得出结果．【详解】根据a，b两点在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，所以a+b＞0．故选A．【点睛】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．二、填空题3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：111111111=248163264128256++++++++__________．【答案】511 256【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此规律可进行求解．【详解】解：由图及题意可得：12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…； 依此规律可得：111111111=248163264128256++++++++511256； 故答案为：511256． 【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．三、 解答题4．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）()()()7935------；（2） 4.2 5.78.410-+-+；（3）15214632-++-． 【答案】（1）-8；（2）3.1；（3）34. 【分析】根据有理数的加、减混合运算的相关法则进行计算即可.【详解】（1）()()()()()()793579351688⎡⎤------=-+-++=-+=-⎣⎦ ；（2）()()4.2 5.78.410 4.28.4 5.71012.615.7 3.1-+-+=--++=-+=；（3）15214632-++-=11523334263424⎛⎫⎛⎫--++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】熟悉“有理数加减混合运算的相关运算法则，能灵活的使用运算律把符号相同的数结合到一起先相加”是解答本题的关键.5．（2018·上海普陀·期中）510.474( 1.53)166----【答案】-4．【分析】先把减法运算转化为加法运算，再利用加分的交换结合律计算即可．【详解】解：原式=510.474+1.53166--=510.47 1.534166+--=2-6=-4． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）44413()()()13171317-+-++- （2）2111(4)(3)6(2)3324-+-++- 【答案】（1）－1；（2）334- 【分析】（1）利用有理数加法法则及加法运算律进行计算即可；（2）利用有理数加法法则及加法运算律进行计算即可．【详解】解：（1）原式44413=+13131717⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()=0+1-=1-；（2）原式211143623324⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1844=-+343=-． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则及加法运算律是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：1216.22[(3)]10.733-+-+--- 【答案】11.5【分析】根据有理数的加减混合运算法则，先计算出绝对值和相反数，再按照加法的交换律和结合律，将同类型数结合一起进行简便运算，得到结果．【详解】原式=1216.2+2310.733+- =()1216.210.7+2333⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =5.5+6=11.5．【点睛】考查有理数的加减混合运算法则，学生要熟练掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并结合运算律进行简便运算解出此题．8.计算：（1）515 6.54 3.4618--； （2）3492318.725.254⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （3）225103 1.2850.72376----． 【难度】★★【答案】（1）1855；（2）18.7；（3）4219-． 【解析】（1）()555515 6.54 3.4615 6.54 3.461510518181818--=-+=-=； （2）()33492318.725.254918.7+2325.25=4918.7+4918.744⎛⎫=-+-=+--+-= ⎪⎝⎭原式； （3）()()2252252319103 1.2850.72=1035 1.280.72123763764242------+--=+-=-． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．9.计算：（1）111113131354543--+-； （2）135154723464--++．【难度】★★【答案】（1）313-；（2）0． 【解析】（1）11111111111131313331130033545435544333⎛⎫⎛⎫--+-=-+-+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）1351153111547257422203464364422⎛⎫⎛⎫--++=-++-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．10.计算：（1）5353432 3.151********⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）15.3-；（2）436-． 【解析】（1）原式()55334231 3.1522 3.15 3.1512122222⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；（2）原式7111111134354854246882424244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+-=-++-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．11.计算：()9585 5.3753117817⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【难度】★★【答案】16． 【解析】原式9589855 5.3753151 5.375379161781717178⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．12．（2019·上海黄浦·八年级课时练习）某红绿灯路口，以每天通过100辆小汽车为标准，超过的小汽车数记为正．测得某周通过该红绿灯路口的小汽车数量与标准量相比的情况如下表：最多，有多少辆？(2)这一周平均每天有多少辆小汽车通过这个红绿灯路口？【答案】(1)星期四经过该红绿灯路口的小汽车最少，为93辆；星期日经过该红绿灯路口的小汽车最多，为113辆；(2)故平均每天有103辆小汽车通过这个红绿灯路口．【分析】（1）分析统计表可得结论；（2）由(8＋5－2－7－6＋10＋13)÷7＋100可得结论..【详解】(1)从统计表格中得出星期四经过该红绿灯路口的小汽车最少，为93辆；星期日经过该红绿灯路口的小汽车最多，为113辆．(2)(8＋5－2－7－6＋10＋13)÷7＋100＝103(辆)，故平均每天有103辆小汽车通过这个红绿灯路口．【点睛】考核知识点：平均数.理解定义和题意是关键.13．（2019·上海·七年级课时练习）阅读下面的文字，并回答问题:1的相反数是﹣1，则1+（﹣1）=0；0的相反数是0，则0+0=0；2的相反数是﹣2，则2+（﹣2）=0，故a,b 互为相反数，则a+b=0;若a+b=0，则a,b 互为相反数。
上海六年级数学知识点
一、有理数
1.有理数的概念和性质：正数、负数和零的概念；有理数的大小比较
和绝对值。
2.有理数的运算：有理数的加减法、乘法、除法运算；有理数运算的
性质。
3.有理数的应用：有理数在实际生活中的应用，如温度、海拔高度、
财务等。
二、几何
1.平面图形：常见平面图形的边、角的概念；正方形、矩形、三角形、菱形、梯形、圆形的性质与计算。
2.空间几何：直线、线段及射线的概念；角度的概念和计算。
3.空间图形：长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的性质和计算。
三、代数
1.代数式：代数式的定义和基本运算；字母表示数值的方法。
2.一元一次方程：一元一次方程的概念和解法；方程的实际应用。
3.数列与函数：数列的概念和性质；函数的概念和图象；函数关系的
表示和计算。
四、数据统计
1.图表的制作和分析：条形统计图、折线统计图和圆饼统计图的制作
和分析。
2.平均数与位置中位数：平均数和中位数的概念及计算方法。
3.概率：事件发生的可能性；简单概率的计算。
五、数与式的运算
1.计算的规律：速算方法；整数计算的规律。
2.质数与分解：质数的概念与判断方法；正整数的分解。
3.分数与运算：分数的概念和性质；分数的加减乘除运算。
六、计算应用
1.长度单位换算：常用长度单位之间的换算关系；换算计算。
2.圆的计算：圆的周长和面积的计算；圆柱体的表面积和体积的计算。
3.日历和时间：年、月、日的理解和计算；时间的计算。
总结。
分数(沪教版六年级数学第二章知识点)
分数(沪教版六年级数学第二章知识点)1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份；表示这样一份或者几份的数叫做分数。
表示其中一份的数是这个分数的分数单位。
单位“1”和自然数1的区别：单位“1”一般表示一个整体；或者一件事物的整体；例如；一个班级的总人数；一锅茶叶蛋的个数；一堆煤的重量。
我们把这个整体看做1。
整体与部分也能相互转化；例如一个班级总人数是一个整体；那么这个班级里的男生就是部分；但是；当我们只找出这个班级中所有男生中留披肩发的（或者喜欢穿长筒丝袜的）男生时；这个班级的所有男生又变成了整体；而留披肩发的男生就成了部分！自然数1就是一个数。
2、分数可以看成是一类特殊的数；描述部分与整体之间的关系。
例如：一块的蛋糕的四分之一。
在这时分数不需要单位。
分数表示一个具体数量时；要带上单位。
例如：这袋大米重21吨（即0.5吨重）。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的商（除法运算结果）除以、表示意义表示的是一个量）除法（此时份，其中的一份是平均分成、把份（分数意义）份，取其中的、把单位一平均分成7337373732371733、分数与正整数除法的关系：两个整数相除；它们的商可以用分数表示；即()0b b a b a ≠=÷分数与除法的区别：除法是一种运算；分数是一种数。
4、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数；所得的分数与原数相等。
即()0k 0b k b k a k b k a b a ≠≠÷÷=⨯⨯=，5、约分（利用基本性质）：分子分母同时除以最大公约数；使分数的分子与分母是互素关系。
6、求一个数是另一个数的几分之几：“一个数是另一个数的几倍”可以用除法；“求一个数是另一个数的几分之几”也用除法进行计算： 即“一个数”÷“另一个数”＝另一个数一个数；有时候为了识别的方便；我们还会把前面的“一个数”称作“比较量”；把后面的“另一个数”称作“标准量”；“标准量”作为一个参照的标准。
2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第11讲线段的相等与和、差、倍带讲解
第11讲线段的相等与和、差、倍（核心考点讲与练）一．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．二．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．三．比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．一．线段的性质：两点之间线段最短（共3小题）1．（2022•石家庄模拟）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线l1、l2、l3、l4，如图所示，则从家到书店的最短路线是（）A．l1B．l2C．l3D．l4【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴从家到书店的最短路线是l2，故选：B．【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．（2021秋•霸州市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点QC．PA+PB＜QA+QB D．直线m上共有三个点【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．【解答】解：A、直线m与直线n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；B、直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意；C、在△ABQ中，AB＜QA+QB，∴PA+PB＜QA+QB，本选项说法正确，不符合题意；D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（2021秋•两江新区期末）下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②倒数等于它本身的数是﹣1、0、1；③不能作射线OA的延长线；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝±3．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义进行判断即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；②倒数等于它本身的数是﹣1、1，不符合题意；③不能做射线OA的延长线，只能做射线OA的反向延长线，符合题意；④若|a|＝|b|，则a＝±b，不符合题意；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝﹣3，不符合题意，正确的个数有2个．故选：A．【点评】本题考查了线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．二．两点间的距离（共6小题）4．（2021秋•沂水县期末）已知射线OP，在射线OP上截取OC＝10cm，在射线CO上截取CD＝6cm，如果点A、点B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于2cm．【分析】根据OC、CD和中点A、B求出AC和BC，利用AB＝AC﹣BC即可．【解答】解：如图所示，∵OC＝10cm，CD＝6cm，点A、点B分别是线段OC、CD的中点，∴AC＝5，BC＝3，∴AB＝AC﹣BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线段的和差计算，能准确画出对应的图形是解题的关键．5．（2021秋•和平县期末）在直线MN上取A、B两点，使AB＝10cm，再在线段AB上取一点C，使AC＝2cm，P、Q分别是AB、AC的中点，则PQ＝4cm．【分析】画出大致示意图进行解题即可【解答】解：如图，∵AB＝10cm，P为AB的中点∴AP＝PB＝5cm∵AC＝2cm，∴CP＝3cm∵Q为AC的中点∴QC＝AQ＝1cm∴PQ＝QC+CP＝1+3＝4cm故答案为：4【点评】此题主要考查两点间的距离（线段长度）计算，此类题目，通常利用图形结合进行解题．6．（2019秋•阳谷县期中）已知在数轴上的点A、B、C分别代表﹣2、﹣1.5、2.1这三个数，原点为O．（1）分别求线段OA、BC的长度；（2）求BC的中点D对应的数；（3）求点B关于点C的对称点E对应的数．【分析】（1）根据两点间的距离即可得到结论；（2）根据线段中点的定义即可得到结论；（3）根据中心对称的性质即可得到结论．【解答】解：（1）OA＝|﹣2﹣0|＝2；BC＝|2.1﹣（﹣1.5）|＝3.6；（2）BC中点D对应的数为＝0.3；（3）点B关于点C的对称点E对应的数2.1+[2.1﹣（﹣1.5）]＝5.7．【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键．7．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．请把下面的解题过程补充完整：解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．故答案为：AB，BC，AB，BC，AC，3．【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．8．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．9．（2021秋•南丹县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上一点，DB＝BC，若线段AC＝6，则CD＝4．【分析】根据中点的定义可求线段BC＝AC＝6，再根据DB＝BC可求DB，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴BC＝AC＝6，∵DB＝BC，∴DB＝2，∴CD＝BC﹣DB＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．三．比较线段的长短（共4小题）10．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．11．（2020秋•丹阳市期末）点A、B、C在直线l上，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，EF＝5cm或1cm．【分析】因为A、B、C三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，①根据中点定义先求出BE、BF的长，BE+BF＝EF；②根据中点定义先求出BE、BF的长，BF﹣BE＝EF．【解答】解：如图，∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，∴BE＝AB＝2cm，BF＝BC＝3cm，①点B在A、C之间时，EF＝BE+BF＝2+3＝5cm；②点A在B、C之间时，EF＝BF﹣BE＝3﹣2＝1cm．∴EF的长等于5cm或1cm．故答案为：5cm或1cm．【点评】本题利用线段中点定义，需要分两种情况讨论．12．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．13．（2010秋•瑞金市期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP＝PQ'所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB所以＝1；（3）②．理由：当CD＝AB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30①如图，当M，N在点P的同侧时MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD ﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝②如图，当M，N在点P的异侧时MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝∴＝＝当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，＝．【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．四．线段的和差（共4小题）14．（2020秋•柳南区校级期末）如图，已知线段AC＝7cm，AD＝2cm，C为线段DB的中点，则线段AB＝12cm．【分析】根据线段的和差和，线段中点的定义，即可得到结论．【解答】解：∵AC＝7cm，AD＝2cm，∴CD＝AC﹣AD＝5cm，∵C为线段DB的中点，∴BC＝CD＝5cm，∴AB＝AC+BC＝7+5＝12（cm），答：线段AB＝12cm，故答案为：12．【点评】本题主要考查了线段的和差，线段的中点的定义，掌握中点的定义是解本题的关键．15．（2020秋•虎林市期末）如图，C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AB ＝16，CB＝6．线段MN的长．【分析】根据已知条件M是AB的中点，N是CB 的中点，可得MB和BN的长度，根据MN＝MB﹣BN，代入计算即可得出答案．【解答】解：因为M是AB的中点，N是CB的中点，若AB＝16，CB＝6，所以MB＝＝，BN＝，所以MN＝MB﹣BN＝8﹣3＝5．【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练应用两点间的距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．（1）若BC＝8，求DC的长；（2）若DE＝6，求AC的长．【分析】（1）根据线段之间的和差关系及线段中点的性质求解即可；（2）结合图形易得AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，再根据线段中点的性质推出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，进而根据线段之间的和差关系求解即可．【解答】解：（1）∵BC＝8，∴AB＝BC＝×8＝6，∴AC＝AB+BC＝6+8＝14，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×14＝7；（2）∵AB＝BC，∴AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣BC＝BC＝6，解得BC＝16，∴AC＝×16＝28．【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找各线段之间的和差关系．17．（2021秋•汝阳县期末）已知在数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧．线段BC的长度为2个单位，线段BC在数轴上移动．（1）如图在（1）中图BC位置情况下，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b的值．【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可；（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣OB＝AB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．（2）由题意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5，答：若AC﹣OB＝AB，满足条件的b值是或﹣5．【点评】本题考查了线段的和差，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2019春•虹口区期末）已知线段AB，反向延长AB到C，使AC＝AB，AC＝2cm，则BC等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：如图，∵AC＝AB，AC＝2cm，∴AB＝6cm，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8（cm），故选：C．【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是画出图形．2．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．3．（2020秋•罗湖区校级期末）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm【分析】由于点A、B、C都是直线l上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC＝AB+BC，代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．【解答】解：∵点A、B、C都是直线l上的点，∴有两种情况：①如图，当B在AC之间时，AC＝AB+BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB+BC＝8cm；②如图，当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB﹣BC＝2cm．点A与点C之间的距离是8或2cm．故选：C．【点评】在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．4．（2017秋•洪山区期末）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的（）倍．A．B．C．D．【分析】熟悉线段的概念和定义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．【解答】解：根据题意：AC＝2BC，得：AB＝BC，又DA＝2AB，则DB＝DA+AB＝3AB，又AC ＝2BC＝2AB．则AC是线段DB的倍．故选：A．【点评】能用同一条线段表示两条线段，从而找到它们的关系．5．（2015春•浦东新区校级月考）下列说法错误的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）延长线段AB到C，使得BC＝2AC；（3）画射线AB＝2厘米；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据两点间的距离，即可解答．【解答】解：（1）应为两点之间，线段最短，故错误；（2）应为延长线段AB到C，使得AC＝2BC，故错误；（3）应为画线段AB＝2厘米，故错误；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米，正确；错误的有3个，故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟记两点间的距离．6．（2021秋•江油市期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：D．【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．7．（2021秋•八公山区期末）已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（）A．20B．30C．40D．20或40【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD或CD＝BC+BD，可得出答案．【解答】解：∵AB＝60，C是AB的中点，∴BC＝AB＝30，又∵E为BD的中点，EB＝5，∴BD＝2EB＝10，∴CD＝CB﹣BD＝30﹣10＝20，或CD＝CB+BD＝30+10＝40．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．二．填空题（共13小题）8．（2021秋•太康县期末）如图，AC＝12cm，AB＝5cm，点D是BC的中点，那么CD＝cm．【分析】首先根据线段的和差求出BC的长，再利用线段的中点可得CD．【解答】解：∵AC＝12cm，AB＝5cm，∴BC＝AC﹣AB＝7cm，∵点D是BC的中点，∴CD＝BC＝cm．故答案为：．【点评】本题考查线段的和差，掌握线段中点的定义是解题关键．9．（2021春•杨浦区期末）若线段AB＝6cm，反向延长AB到C，使BC＝4AC．则AC＝2cm．【分析】先设出AC的长度，然后列出关于AC长度的方程，求出AC即可．【解答】解：设AC的长为x，则：x+6＝4x，解得x＝2，∴AC的长度为2cm，故答案为2．【点评】本题主要考查线段的知识，我们清楚的知道什么是延长，什么是反向延长，还有理解线段的和与差的含义．10．（2019春•黄浦区期末）延长线段AB到C，使BC＝AB＝2cm，则AC＝6cm．【分析】根据BC与AB的关系，可得BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由BC＝AB，若AB＝4cm，由线段的和差，得AC＝AB+BC＝2+4＝6cm；故答案为：6．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段BC与AB的关系得出BC的长是解题关键，又利用了线段的和差．11．（2021春•宝山区期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且AD＝CB，如果AB＝5cm，CD＝1cm，那么BD的长等于2cm．【分析】根据AD＝CB，得出AC＝BD，再根据AB＝5cm，CD＝1cm求出BD．【解答】解：∵AD＝CB，∴AD﹣CD＝CB﹣CD，即AC＝BD，∵AB＝5cm，CD＝1cm，∴BD＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．12．（2020春•浦东新区期末）如图，C、D两点是线段AB的三等分点，点M、N分别是线段AC、BD的中点，则MN＝AB．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．13．（2019秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC 的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．14．（2020春•嘉定区期末）如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，∴MN：AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．15．（2019秋•东阳市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝4，则BD长度是2．【分析】先根据AB＝4，BC＝2AB求出BC的长，故可得出AC的长，再根据D是AC的中点求出AD的长度，由BD＝AD﹣AB即可得出结论．【解答】解：∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8．∴AC＝AB+BC＝12．∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝6．∴BD＝AD﹣AB＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．16．（2010秋•闵行区期末）已知点P在线段AB上，AP＝4PB，那么PB：AB＝1：5．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【解答】解：如图，∵AP＝4PB，那么PB：AB＝PB：（AP+PB）＝PB：5PB，∴那么PB：AB＝1：5．故答案为1：5．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．17．（2010春•黄浦区校级期末）如图，M是AC的中点，N是BC的中点，则＝2．【分析】根据M是AC的中点，求MC，N是BC的中点，求CN，由MN＝MC+CN求MN与AB的关系，再求比值．【解答】解：∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝AB，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了比较线段的长短．关键是由中点求MC与AC，CN与CB的大小关系．18．（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为2．【分析】根据线段中点的定义，可得AC＝CD＝DB＝4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE＝AE﹣AC．【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，∴AD＝AC+CD＝8．AC＝CD＝DB＝4，∴AB＝12，AE＝AB＝6，则CE＝AE﹣AC＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．19．（2021秋•滨城区期末）如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是两点之间，线段最短．【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．20．（2021春•虹口区校级期末）已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，如果AB＝3cm，则BC＝3cm 或9cm．【分析】已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，有两种可能，一种是C在与B在A的两侧，此时BC ＝AB+AC，由于AC＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，据此可求出BC；一种是C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于AC＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，据此可求出BC．【解答】解：如图，有两种情况：C在与B在A的两侧时，BC＝AB+AC，由于A＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，因此BC＝3AB＝3×3＝9（cm）．C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于A＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，因此BC＝AB＝3（cm）．故答案为：9cm或3cm．【点评】本题考查了线段的计算，注意，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共3小题）21．（2020秋•丘北县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC：CB＝2：5，AB＝28，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．【分析】根据按比例分配，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，最后BD＝CD+BC解答即可．【解答】解：设AC＝2x，BC＝5x，则2x+5x＝28，解得：x＝4，∴AC＝8，BC＝20，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∴BD＝CD+BC＝4+20＝24．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，一元一次方程的应用，利用按比例分配得出BC和CD的长是解题关键．22．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．23．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．题组B 能力提升练一．填空题（共8小题）1．（2021春•虹口区校级期末）线段AB被点M分成了1：2两段，同时又被点N分成了3：2两段，MN＝4cm，则线段AB的长为15或60cm．【分析】根据题意M的位置是有两种可能性的，N的位置也有两种可能性，因此需要分4种情况每种情况具体分析才能得出最后的结果．【解答】解：①AM：BM＝1：2，AN：BN＝3：2时（图1），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．②AM：BM＝1：2，AN：BN＝2：3时（图2），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，x＝20cm，∴AB＝3x＝60cm．③AM：BM＝2：1，AN：BN＝2：3时（图3），设AM＝2x，则BM＝x，则AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．④AM：BM＝2：1，AN：BN＝3：2时（图4），设AM＝2x，则BM＝x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝20cm，∴AB＝60cm，综上，AB＝15或60cm．故答案为：15或60．【点评】本题难点是分类讨论，对于此类题目在进行分类讨论时要做到不重不漏，才能得出正确结果．2．（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD＝AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【分析】先由BD＝16cm，BD＝AB知AB＝BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC＝BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答】解：∵BD＝16cm，BD＝AB，∴AB＝BD＝×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC＝BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差计算及线段的中点的性质．3．（2021春•浦东新区期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝5cm．【分析】由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝15cm，BC＝AB 代入即可得AB的值，根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：∵AB＝15cm，BC＝AB＝5cm，∴AC＝AB+BC＝15+5＝20（cm）；∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×20＝10（cm），∴OB＝CO﹣BC＝10﹣5＝5（cm）．故答案为：5cm．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．4．（2020秋•工业园区期末）已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB 的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ 4.5或9cm．【分析】分类讨论点C在AB上，点C在AB的延长线上，根据线段的中点的性质，可得BP、BQ 的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点C在线段AB上，如图1：∵AB＝AC+BC，BC＝AC，∴AB＝3BC+BC＝4BC又∵AB＝12cm，∴BC＝3cm，∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，。
沪教数学六年级下册知识点
沪教数学六年级下册知识点沪教版数学六年级下册的知识点涵盖了多个数学领域，包括但不限于以下几个主要部分：1. 数与代数- 整数的认识：理解整数的概念，掌握整数的比较大小和基本运算。
- 分数的加减法：学习分数的基本概念，掌握分数的加减运算规则。
- 比例：理解比例的意义，学习比例的基本性质和应用。
2. 几何与图形- 平面图形：认识和理解常见的平面图形，如三角形、四边形、圆等。
- 图形的对称性：学习图形的对称轴，掌握对称图形的识别和绘制。
- 面积的计算：学习不同图形的面积计算方法，如三角形、平行四边形、圆等。
3. 统计与概率- 数据的收集与整理：学习如何收集数据，并对数据进行分类和整理。
- 条形统计图：理解条形统计图的绘制方法和意义。
- 可能性：初步了解概率的概念，学习可能性的计算方法。
4. 实践与应用- 解决实际问题：将数学知识应用到实际生活中，解决相关问题。
- 数学建模：初步了解数学建模的概念，尝试用数学方法解决实际问题。
5. 数学思维与方法- 逻辑推理：培养逻辑思维能力，学习如何通过推理解决问题。
- 问题解决策略：学习不同的问题解决策略，如画图、列表等。
6. 数学文化与历史- 数学在日常生活中的应用：了解数学在日常生活中的重要性和应用。
- 数学史上的重要人物和事件：了解一些数学史上的重要人物和事件，增加对数学的兴趣。
通过这些知识点的学习，学生不仅能够掌握数学的基础知识，还能培养解决问题的能力，提高数学思维和创新能力。
数学是一门基础学科，对于学生未来的学习和生活都有着重要的影响。
希望每位学生都能在数学的学习中找到乐趣，不断进步。
六年级数学下册知识点(整理6篇)
六年级数学下册知识点〔整理6篇〕篇1：六年级下册数学知识点第一单元负数1、负数的由来：为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……)，光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。
所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负2、负数：小于0的数叫负数(不包括0)，数轴上0左边的数叫做负数。
假设一个数小于0，那么称它是一个负数。
负数有无数个，其中有(负整数，负分数和负小数)负数的写法：数字前面加负号“-”号，不可以省略例如：-2，-5.33，-45，-2/5正数：大于0的数叫正数(不包括0)，数轴上0右边的数叫做正数假设一个数大于0，那么称它是一个正数。
正数有无数个，其中有(正整数，正分数和正小数)正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。
例如：+2，5.33，+45，2/54、0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限6、比拟两数的大小：①利用数轴：负数篇2：六年级下册数学知识点第二单元百分数二(一)、折扣和成数1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。
通称“打折”。
几折就是非常之几，也就是百分之几十。
解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进展解答。
商品如今打八折：如今的售价是原价的80﹪商品如今打六折五：如今的售价是原价的65﹪2、成数：几成就是非常之几，也就是百分之几十。
解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进展解答。
这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪(二)、税率和利率1、税率(1)纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一局部缴纳给国家。
(2)纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来之一。
数学六年级沪教版知识点总结【收藏版】
六上一、数的整除1.1整数与整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3.零既不是正整数也不是负整数4. 零和正整数统称为自然数5．正整数、负整数和零统称为整数6．整数a 除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a。
7.整除的条件1）除数和被除数都是整数2）商是整数且余数为零1.2因数和倍数1．如果整数a 能被整数b 整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2,5 整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8 的数都能被2 整除2．整数可以分成奇数和偶数，能被2 整除的数叫做偶数，不能被2 整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1 外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5 的数都能被5 整除6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1．只含有因数1 及本身的整数叫做素数或质数2．除了1 及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3. 1 既不是素数也不是合数4.正整数的2种分法：1）奇数和偶数2）素数（质数）、合数和15．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法1.5 公因数与最大公因数1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是 16.掌握用短除法求最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数1．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，公倍数中最小的，叫做这几个数的最小公倍数2.学会用短除法来求最小公倍数。
上海数学六年级下册知识点
上海数学六年级下册知识点数学是一门重要的学科，学好数学对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力非常重要。
下面将介绍上海数学六年级下册的知识点。
一、整数运算
1. 正整数和负整数的比较和排序
2. 整数的加减法运算
3. 整数的乘法运算
4. 整数的除法运算
二、分数
1. 分数的概念和基本性质
2. 分数的加减法运算
3. 分数的乘法运算
4. 分数的除法运算
三、小数
1. 小数的概念和表示法
2. 小数的加减法运算
3. 小数的乘法运算
4. 小数的除法运算
四、比例与比例问题
1. 比例的概念和性质
2. 比例的变化规律与比例关系
3. 比例问题的解决方法
五、容量
1. 容量的换算
2. 容量的加减法运算
六、长度
1. 长度的换算
2. 长度的加减法运算
七、面积和周长
1. 长方形和正方形的面积和周长
2. 三角形的面积和周长
3. 圆的面积和周长
八、二次小数
1. 二次小数的概念和表示法
2. 二次小数的加减法运算
3. 二次小数的乘法运算
4. 二次小数的除法运算
九、数据统计
1. 数据的搜集和整理
2. 数据的图表表示
3. 数据的分析和解读
十、图形的坐标
1. 平面直角坐标系和坐标
2. 图形在坐标系中的位置
十一、图形的旋转和对称
1. 图形的旋转和对称性
2. 图形的对称轴
以上是上海数学六年级下册的主要知识点，通过学习这些知识
点可以帮助学生更好地掌握数学基本概念和解决数学问题的能力。
希望同学们认真学习，勤加练习，取得好成绩！。
2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第6章一次方程(组)和一次不等式(单元基础卷)带讲解
第6章一次方程（组）和一次不等式（单元基础卷）一．选择题（共6小题）1．（2021春•嘉定区期末）如果a＜b，那么下列不等式中不成立的是（）A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．﹣a＞﹣b D．3+a＜3+b【分析】根据不等式的基本性质判断即可．【解答】解：A选项，不等式两边都乘3，不等号的方向不变，该选项变形正确，不符合题意；B选项，不等式两边都乘﹣3，不等号的方向改变，该选项变形错误，符合题意；C选项，不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，该选项变形正确，不符合题意；D选项，不等式两边都加3，不等号的方向不变，该选项变形正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，注意不等式两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．2．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（）A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y【分析】根据等式的性质即可求出答案．【解答】解：x+2y＝11，2y＝11﹣x，∴y＝．故选：B．【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．3．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【解答】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．4．（2021春•宝山区期末）下列方程组中，二元一次方程组有（）①；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【解答】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．5．（2021春•普陀区期中）下列各项中，一元一次方程是（）A．2x＝4B．2﹣＝5C．2x﹣y＝6D．2x﹣y＝7【分析】利用一元一次方程的定义进行解答即可．【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意；B、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意；C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．6．（2021春•内江期末）关于x的方程﹣x＝+1变形正确的是（）A．﹣x＝+1B．﹣x＝+1C．﹣10x＝+100D．﹣100x＝+100【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．【解答】解：﹣x＝+1，＝即，故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2021春•杨浦区期中）已知x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，则k＝2．【分析】根据方程解的概念，将x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，求k的值即可．【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，∴把x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，∴k＝2，故答案为2．【点评】本题考查了方程解的概念，将为指数的值代入即可得出关于k的方程．8．（2021春•浦东新区期末）已知5x m﹣2﹣y2n+5＝0是关于x、y的二元一次方程，则m﹣n＝5．【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得m﹣2＝1，2n+5＝1，解出m、n的值可得答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝1，2n+5＝1，解得：m＝3，n＝﹣2，m﹣n＝3﹣（﹣2）＝5，故答案为：5．【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．9．（2021春•奉贤区期末）若是方程kx﹣3y＝1的一个解，则k＝﹣5．【分析】根据方程的解的定义，将代入方程kx﹣3y＝1，可得﹣2k﹣9＝1，故k＝﹣5．【解答】解：由题意得：﹣2k﹣3×3＝1．∴k＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题属于简单题，主要考查方程的解的定义，即使得方程成立成立的未知数的值．10．（2021春•松江区期末）某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元．（注：不计利息税）若设小明爸爸存入银行的本金是x元，则根据题意可列方程为（1+2.25%）x＝10225．【分析】直接利用本金×（1+年利率）＝本利和，即可得出等式．【解答】解：设小明爸爸存入银行的本金是x元，则根据题意可列方程为：（1+2.25%）x＝10225．故答案为：（1+2.25%）x＝10225．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确掌握利率求法是解题关键．11．（2021春•宝山区期末）将15（x﹣1）＝1﹣2（x﹣3）去括号后，方程转化为3x﹣15＝1﹣2x+6．【分析】根据去括号法则进行计算求解．【解答】解：原方程去括号，得：3x﹣15＝1﹣2x+6．故答案为：3x﹣15＝1﹣2x+6．【点评】本题考查解一元一次方程，掌握去括号法则是解题关键．12．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x+y＝8的正整数解是或．【分析】先整理二元一次方程，根据方程的解为正整数，可用试验的办法确定解的对数．【解答】解：3x+y＝8，x＝，由题意y、x为大于0的正整数，∴当y＝2时，x＝2；当y＝5时，x＝1；故答案为：或．【点评】本题考查了二元一次方程的定义．理解并运用方程的解为正整数，是解决本题的关键．13．（2021•奉贤区三模）使得的值不大于1的x的取值范围是x≤6．【分析】由题意可知：x﹣1的值不大于1，即x﹣1≤1，则列出不等式即可解得x的取值．【解答】解：∵代数式x﹣1的值不大于1，即x﹣1≤1，移项得x≤2，两边同乘3可得x≤6，所以，x的取值范围为x≤6．故答案为：x≤6．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．14．（2021春•张店区期末）已知方程组，则x+2y＝﹣1．【分析】用第一个方程减去第二个方程即可求解．【解答】解：，①﹣②，得x+2y＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．15．（2021春•浦东新区校级期中）当a＝﹣1时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．【解答】解：∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程，∴，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．16．（2021春•松江区期中）用换元法解方程组，如果设＝u，＝v，那么原方程组可化为关于u，v的方程组是．【分析】设＝u，＝v，则，，，从而得出关于u、v的二元一次方程组．【解答】解：设＝u，＝v，原方程组变为．故答案为：．【点评】本题考查用换元法使分式方程简便．换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程．应注意换元后的字母系数．17．（2021•平谷区一模）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为．【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2021春•普陀区期中）“a的2倍减去3的差是一个非负数”用不等式表示为2a﹣3≥0．【分析】根据“a的2倍”即2a，再减去3，结合差是非负数，即大于等于零，得出答案．【解答】解：由题意可得：2a﹣3≥0．故答案为：2a﹣3≥0．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确掌握非负数的定义是解题关键．三．解答题（共8小题）19．（2021春•奉贤区期中）解方程：．【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．【解答】解：，去分母，得2（2x+3）＝10﹣5（x﹣4），去括号，得4x+6＝10﹣5x+20，移项，得4x+5x＝10+20﹣6，合并同类项，得9x＝24，系数化为1，得．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．20．（2020秋•杨浦区校级期中）解方程：x﹣1＝1×2．【分析】方程移项，系数化为1即可．【解答】解：x﹣1＝1×2，移项，得x＝1×2+，即，合并同类项，得，系数化为1，得．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母，再去括号，最后移项、合并同类项，化系数为1．21．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．【分析】先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．【解答】解：①﹣②×2，得y＝0，把y＝0代入①得x＝1，所以，原方程组的解是．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．22．（2019春•松江区期中）求不等式4（x﹣1）﹣≥﹣14的负整数解．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．【解答】解：4（x﹣1）﹣≥﹣14，去分母，得8（x﹣1）﹣（2x+5）≥﹣28，去括号，得8x﹣8﹣2x﹣5≥﹣28，移项、合并同类项得6x≥﹣15，系数化为1，得x≥﹣2.5，所以不等式的负整数解是﹣2，﹣1．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．23．（2020春•普陀区期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可．【解答】解：解不等式5x＞x﹣10，得：x＞﹣2.5，解不等式3﹣x≥，得：x≤3，所以不等式组的解集是﹣2.5＜x≤3，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．24．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组．【分析】先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题．【解答】解：，①+③，得5x+5y＝5④，②×5+④，得15x＝﹣30，解得x＝﹣2，将x＝﹣2代入②，得y＝3，将x＝﹣2，y＝3代入①，得z＝4．故原方程组的解是．【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．25．（2021春•奉贤区期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？【分析】这是一道人数分配问题，总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可．【解答】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133﹣x），由题意得：（192﹣x）：[133﹣（133﹣x）]＝2：1，即（192﹣x）：x＝2：1，解得：x＝64，∴133﹣64＝69（人）．答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人．【点评】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解．26．（2020春•嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？【分析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x+220x＝400，解得：x＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y﹣220y＝100，解得：y＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z﹣220z+20＝100，解得：z＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．。
分数(沪教版六年级数学第二章知识点)
分数1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数叫做分数。
表示其中一份的数是这个分数的分数单位。
单位“1”和自然数1的区别：单位“1”一般表示一个整体，或者一件事物的整体，例如，一个班级的总人数，一锅茶叶蛋的个数，一堆煤的重量。
我们把这个整体看做1。
整体与部分也能相互转化，例如一个班级总人数是一个整体，那么这个班级里的男生就是部分，但是，当我们只找出这个班级中所有男生中留披肩发的（或者喜欢穿长筒丝袜的）男生时，这个班级的所有男生又变成了整体，而留披肩发的男生就成了部分！自然数1就是一个数。
2、分数可以看成是一类特殊的数，描述部分与整体之间的关系。
例如：一块的蛋糕的四分之一。
在这时分数不需要单位。
分数表示一个具体数量时，要带上单位。
例如：这袋大米重21吨（即0.5吨重）。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的商（除法运算结果）除以、表示意义表示的是一个量）除法（此时份，其中的一份是平均分成、把份（分数意义）份，取其中的、把单位一平均分成733737373237173 3、分数与正整数除法的关系：两个整数相除，它们的商可以用分数表示，即()0b b a b a ≠=÷ 分数与除法的区别：除法是一种运算，分数是一种数。
4、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原数相等。
即()0k 0b kb k a k b k a b a ≠≠÷÷=⨯⨯=，5、约分（利用基本性质）：分子分母同时除以最大公约数，使分数的分子与分母是互素关系。
6、求一个数是另一个数的几分之几：“一个数是另一个数的几倍”可以用除法，“求一个数是另一个数的几分之几”也用除法进行计算： 即“一个数”÷“另一个数”＝另一个数一个数，有时候为了识别的方便，我们还会把前面的“一个数”称作“比较量”，把后面的“另一个数”称作“标准量”，“标准量”作为一个参照的标准。
7、求一个数的几分之几（同上）：求一个数的几倍可以用乘法。
2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 期中精选50题(提升版)带讲解
上海六年级下学期期中精选50题（提升版）一．正数和负数（共3小题）1．（2019春•普陀区期中）若收入100元记作+100元，那么﹣100元表示支出100元．【分析】因为收入与支出相反，所以由收入100元记作+100元，可得到﹣100元表示支出100元．【解答】解：若收入100元记作+100元，那么﹣100元表示支出100元．故答案为：支出100元．【点评】此题考查负数的意义，运用负数来描述生活中的实例．2．（2014春•闵行区期中）如果全班某次数学测试的平均成绩为82分，某同学考了85分，记作+3分，得分80分，应记作﹣2分．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵平全班某次数学测试的平均成绩为82分，某同学考了85分，记作+3分，∴得分80分，应记作﹣2分．故答案为：﹣2分．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．（2019秋•兰考县期中）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+7，﹣15，+6，﹣16，+4，﹣2（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天共耗油多少升？【分析】（1）由已知，把所有数据相加，如果得数是正数，则A处在岗亭北方，否则在南方．所得数的绝对值就是离岗亭的距离．（2）把所有数据的绝对值相加就是行驶的路程，已知摩托车每行驶1千米耗油a升，那么乘以a 就是一天共耗油的量．【解答】解：（1）根据题意：10+（﹣8）+（+7）+（﹣15）+（+6）+（﹣16）+（+4）+（﹣2）＝﹣14，答：A处在岗亭南方，距离岗亭14千米；（2）由已知，把记录的数据的绝对值相加，即10+8+7+15+6+16+4+2＝68，已知摩托车每行驶1千米耗油a升，所以这一天共耗油，68a升．答：这一天共耗油68a升．【点评】此题考查了学生对正负数意义了理解和掌握，通时运用其意义解答问题．二．数轴（共5小题）4．（2018春•浦东新区期中）在数轴上，如果点A所表示的数是，那么到点A距离等于2个单位的点所表示的数是1或﹣2．【分析】直接根据题意画出数轴，进而分类讨论得出答案．【解答】解：如图所示：到点A距离等于2个单位的点所表示的数是：1或﹣2．故答案为：1或﹣2．【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论是解题关键．5．（2018春•黄浦区期末）如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为﹣1．【分析】根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可．【解答】解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为3﹣5＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．6．（2018春•浦东新区期中）在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．【分析】在数轴上，+3和﹣3到原点0的距离都等于3，据此进行填空即可．【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．故答案为：±3．【点评】主要考查了数轴，要注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．7．（2016春•浦东新区期中）数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点共有5个．【分析】根据题意画出数轴，进而得出符合题意的整数点．【解答】解：如图所示：数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个．故答案为：5．【点评】此题主要考查了数轴，根据题意正确在数轴上表示出各数据是解题关键．8．（2012春•金山区校级期中）数轴上的点A，B，C，D依次表示﹣1.2，2，4，﹣3（1）在数轴上标出点A，B，C，D．（2）求下列两点的距离：A与B，A与C，B与C．【分析】（1）在数轴上表示出点A，B，C，D的位置即可；（2）求A与B两点间的距离就是用A点所表示的数减去B点所表示的数的绝对值．同理可以求得A与C的距离，B与C的距离．【解答】解：（1）如图，在数轴上表示了A、B、C、D的位置：；（2）A与B两点间的距离可表示为：|2﹣（﹣1.2）|＝3.7．A与C两点间的距离可表示为：|4﹣（﹣1.2）|＝5.2．B与C两点间的距离可表示为：|4﹣2|＝．【点评】本题考查了数轴和实数，主要考查学生画图能力和计算能力．三．绝对值（共2小题）9．（2019春•浦东新区期中）下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的绝对值不小于它自身B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D．﹣a的绝对值等于a【分析】根据相反数和绝对值的概念进行判断．【解答】解：A、因为正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以一个有理数的绝对值不小于它自身，故正确；B、C、若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故错误；D、当a＜0时，﹣a的绝对值等于﹣a，故错误．故选：A．【点评】考查了绝对值，理解相反数和绝对值的概念是解答此题的关键．相反数：符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数；绝对值：数轴上，一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值．10．（2017春•闵行区校级期中）|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（）A．a，b的绝对值相等B．a，b异号C．a+b的和是非负数D．a，b同号或其中至少一个为零【分析】根据绝对值都是非负数，|a|+|b|＝|a+b|，可得答案．【解答】解：∵|a|+|b|＝|a+b|，∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，绝对值都是非负数，根据绝对值的和等于和的绝对值，得出两数的关系．四．有理数大小比较（共2小题）11．（2017秋•姜堰区期中）比较大小：﹣|﹣5|＜（﹣2）2（填“＞”或“＜”）．【分析】先计算﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣2）2＝4，然后根据正数大于零，负数小于零即可得到它们的大小关系．【解答】解：∵﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣2）2＝4，∴﹣|﹣5|＜（﹣2）2．故答案为：＜．【点评】本题考查了有理数的大小比较：，关键是掌握正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．12．（2017春•闵行区校级期中）把下列各点在数轴上表示出来，并将这些点所表示的数从小到大进行排列．A：相反数等于它本身的数；B：向左移动4个单位会与点A重合的数；C：﹣|﹣2|；D：（﹣）2从小到大进行排列为：C＜A＜D＜B．【分析】先在数轴上把各个数表示出来，再按数轴上表示的数，右边的总比左边的大比较即可．【解答】解：∵相反数等于它本身的数是0，向左移动4个单位会与点A重合的数是4，﹣|﹣2|＝﹣2，（﹣）2＝，把各点在数轴上表示如图所示，从小到大进行排列为：C＜A＜D＜B，故答案为：C＜A＜D＜B．【点评】本题考查了数轴和实数，实数的大小比较当知识点，主要培养了学生的动手操作能力和比较能力，注意：在数轴上表示的数，右边的总比左边的大．五．有理数的加法（共1小题）13．（2021秋•廉江市期末）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2（单位：元）他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？他盈利（或亏损）了多少钱？【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．他以每套55元的价格出售，售完应得盈利5×8＝40元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损．【解答】解：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2）＝﹣3，（55﹣400÷8）×8+（﹣3）＝37（元）．答：他盈利了37元．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．六．有理数的乘法（共1小题）14．（2021春•浦东新区期中）阅读理解题在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4．【分析】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．【解答】解：（1）由题意得，第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为4，8，2，8，7，4．【点评】本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键．七．有理数的乘方（共3小题）15．（2018春•浦东新区期中）比较大小：﹣|﹣|＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先计算绝对值和乘方，再根据实数的大小比较即可得．【解答】解：∵﹣|﹣|＝﹣＝﹣、＝﹣＝﹣，∴﹣|﹣|＜，故答案为：＜．【点评】本题主要考查有理数的乘方和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质及乘方的运算法则、有理数的大小比较．16．（2018春•黄浦区期末）将一张厚度均匀的纸反复对折，对折3次后，折成的纸的厚度为10mm，如果要使折成的厚度为40mm，那么对折的次数为5次．【分析】根据对折规律，对折后的厚度成2的指数次幂变化，写出即可．【解答】解：由题意可知：设一张纸的厚度为xmm，对折1次后，纸的厚度为2×x；对折2次后，纸的厚度为2×2x＝22×x；对折3次后，纸的厚度为2×2×2x＝23×x＝10；解得：x＝1.25，对折n次后，纸的厚度为2×2×2×2×…×2×1.25＝2n×1.25＝40，解得：n＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了有理数的乘方的理解，理解对折后厚度变为原来的2倍，有关数据成2的指数幂变化或接近2的指数幂变化是解题的关键．17．（2018春•黄浦区期末）计算：＝﹣．【分析】原式利用乘方的意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．八．有理数的混合运算（共5小题）18．（2020春•金山区期中）已知a、b都是正数，规定a2*b2＝，那么*（52*42）＝．【分析】先根据规定计算出52*42＝，据此得*（52*42）＝（）2*（）2，进一步计算即可．【解答】解：52*42＝＝，则*（52*42）＝（）2*（）2＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新规定及有理数的混合运算顺序和运算法则．19．（2018春•普陀区期中）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数，a⊕b＝a+b﹣1，a※b＝a×b﹣1，则8※（3⊕5）＝55．【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝8※7＝56﹣1＝55，故答案为：55【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2021春•杨浦区校级期中）计算：（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5；（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2；（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷；（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法可以解答本题；（3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；（4）根据有理数的乘方、乘法分配律可以解答本题．【解答】解：（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5＝（﹣4）+2+（﹣9）+3.5＝[（﹣4）+（﹣9）]+（2+3.5）＝（﹣14）+6＝﹣8；（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2＝（﹣1）××（﹣）××＝1××××＝；（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷＝9﹣×﹣6×＝9﹣﹣9＝﹣；（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）＝（﹣3+﹣）×（﹣36）＝×（﹣36）﹣3×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）＝（﹣18）+108+（﹣30）+21＝81．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．21．（2021春•奉贤区期末）计算：﹣32+|﹣5|﹣18×．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣32+|﹣5|﹣18×＝﹣9+5﹣18×＝﹣4﹣2＝﹣6【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．22．（2020春•宝山区期中）在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，求插入的这3个数．【分析】根据在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，可以计算出相邻的两个数的差，然后即可计算出这3个数．【解答】解：在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，∴每两个相邻的数的差为：[﹣（﹣）]÷4＝，∵﹣+＝﹣＝﹣，﹣＝﹣＝﹣，﹣＝﹣＝，∴插入的这3个数为﹣，﹣，．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．九．科学记数法—表示较大的数（共2小题）23．（2021春•奉贤区期中）地球上的海洋面积约为361 000 000km2，用科学记数法表示应为 3.61×108km2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．故答案为3.61×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．24．（2018春•浦东新区期中）2017年上海迪士尼乐园接待游客超过11000000人次，这个数字用科学记数法表示是 1.1×107人次．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11000000人次，这个数字用科学记数法表示是1.1×107人次．故答案为：1.1×107．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．一十．方程的解（共1小题）25．（2021春•普陀区期中）在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝a b；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝1，3，16．【分析】根据运算法则当a≥b时，a*b＝a b；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解．【解答】解：由题意得①当x≤4时，4*（4*x）＝4*（4x），当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256，解得x＝1．当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256，解得x＝3．②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，解得x＝16．故答案为：1，3，16．【点评】本题考查新定义计算，解题关键是严格按照题干所给运算法则分类讨论运算．一十一．解一元一次方程（共1小题）26．（2020秋•罗湖区校级期末）关于x的方程（k+1）x2+kx﹣2＝0是一元一次方程，则k＝﹣1，方程的解是x＝﹣2．【分析】利用一元一次方程的定义求出k的值，确定出方程的解即可．【解答】解：∵x的方程（k+1）x2+kx﹣2＝0是一元一次方程，∴k+1＝0，即k＝﹣1，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣1；x＝﹣2【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．一十二．一元一次方程的应用（共4小题）27．（2020秋•奉化区校级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有升酒．【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设壶中原有x升酒，根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，解得：x＝．答：壶中原有升酒．故答案为：．【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解．28．（2021秋•阳江期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？【分析】设A、B两地间的路程为x千米，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为2小时即可列出方程，求出x的值．【解答】解：设A、B两地间的路程为x千米，根据题意得﹣＝2解得x＝240答：A、B两地间的路程是240千米．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为2小时列出方程，此题难度不大．29．（2021秋•东平县期末）甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行110公里．（1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距800公里？（2）两车同时开出，同向而行，出发时快车在慢车的后面，多少小时后两车相距40公里？【分析】（1）先设x小时后两车相距800公里，再根据两车的路程之和加上甲乙两站之间的距离等于800公里，列方程求解；（2）设y小时后两车相距40公里，分两种情况讨论：相遇之前两车相距40公里，相遇后两车相距40公里，分别列方程求解．【解答】解：（1）设x小时后两车相距800公里，依题意得90x+480+110x＝800解得x＝1.6，∴1.6小时后两车相距800公里；（2）设y小时后两车相距40公里，依题意得若相遇之前两车相距40公里，则90y+480﹣110y＝40，解得y＝22，若相遇后两车相距40公里，则110y﹣480﹣90y＝40，解得y＝26，∴22或26小时后两车相距40公里．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时注意：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．30．（2021春•上海期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，AB＝|b|＝|a ﹣b|；当A、B两点都不在原点时，（1）如图②，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；（2）如图③，点A、B都在原点左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝（﹣b）﹣（﹣a）＝|a﹣b|；（3）如图④，点A、B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（1）回答问题：数轴上表示﹣3和﹣8的两点之间的距离是5．（2）若数轴上表示x和﹣2的两点分别是点A、B，AB＝5，那么x＝3或﹣7．（3）若数轴上点A表示数﹣1，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？【分析】（1）由点A，B表示的数结合|AB|＝|a﹣b|，即可求出A，B两点间的距离；（2）根据解方程|x+2|＝2，即可得到x的值；（3）①设运动x秒时，点P追上点Q，由点P，Q重合，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度，分点P在点Q的左侧及点P在点Q的右侧两种情况考虑，由|PQ|＝3，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣3，点B表示的数为﹣8，∴|AB|＝|﹣3+8|＝5．故答案为：5；（2）当|AB|＝5时，|x+2|＝5，解得x＝3或﹣7；故答案为：3或﹣7；（3）①设运动x秒时，点P追上点Q，根据题意得：3x﹣2x＝8，解得：x＝8．答：运动8秒后，点P追上点Q．②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度．当点P在点Q左侧时，（8+2y）﹣3y＝3，解得：y＝5；当点P在点Q右侧时，3y﹣（8+2y）＝3，解得：y＝11．答：运动5或11秒后，P，Q两点相距3个单位长度．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出|AB|的值；（2）根据点P表示的数＝速度×时间+出发点表示的数，找出结论；（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②分点P在点Q的左侧及点P在点Q的右侧两种情况，找出关于y的一元一次方程．一十三．不等式的性质（共1小题）31．（2021春•普陀区期中）如果a＞b，那么下列结论中，正确的是（）A．a﹣1＞b﹣1B．1﹣a＞1﹣b C．D．﹣2a＞﹣2b【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a＞b两边都减去1得a﹣1＞b﹣1，故本选项正确；B、a＞b两边都乘以﹣1再加1得1﹣a＜1﹣b，故本选项错误；C、a＞b两边都乘以得，故本选项错误；D、a＞b两边都乘以﹣2得，﹣2a＜﹣2b，故本选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一十四．不等式的解集（共1小题）32．（2021春•浦东新区校级期中）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．【分析】根据已知条件，判断出a+b＞0，a＝2b，再求得不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜，∴x＜﹣，∴﹣＝﹣，解得a＝2b；把a＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b，∵a+b＞0，a＝2b，∴a＞0，b＞0，∴x＜﹣3．【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．一十五．解一元一次不等式（共8小题）33．（2021春•浦东新区校级期中）已知一元一次方程3x﹣m+1＝2x﹣1的解不大于0，那么m的取值范围是m≤2．【分析】解方程得出x＝m﹣2，再根据解不大于0列出关于m的不等式，解之可得答案．【解答】解：解方程3x﹣m+1＝2x﹣1得x＝m﹣2，根据题意，得：m﹣2≤0，解得m≤2，故答案为：m≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．34．（2021春•上海期中）关于x的方程x﹣＝的解为非负数，则自然数a＝0，1，2．【分析】先求出方程的解，根据已知得出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案．【解答】解：解方程x﹣＝得：x＝，∵关于x的方程x﹣＝的解为非负数，∴≥0，解得：a≤2.5，∴自然数a为0，1，2，故答案为：0，1，2．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式，能得出关于a 的不等式是解此题的关键．35．（2018春•普陀区期中）当1﹣2m的值不小于3m+2的值时，m的取值范围是．【分析】1﹣2m的值不小于3m+2，应列式为：1﹣2m≥3m+2，解不等式求得m的解集即可．【解答】解：由题意，得1﹣2m≥3m+2，移项得，﹣5m≥1，解得m≤﹣．故答案为m≤﹣．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及不等式的性质．根据题意列出不等式1﹣2m≥3m+2是解题的关键．36．（2018春•普陀区期中）不等式（m﹣3）x＜6的解集是，则m的取值范围是m＜3．【分析】根据不等式的性质3得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式（m﹣3）x＜6的解集是，∴m﹣3＜0，∴m＜3，即m的取值范围是m＜3，故答案为：m＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，能根据不等式的性质得出关于m的不等式是解此题的关键．37．（2018春•浦东新区期中）如果关于x的不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20的解集完全相同，则它们的解集为x＞4．【分析】根据不等式的解集相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由不等式解得x＞，由5（1﹣x）＜a﹣20解得x＞．由不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20的解集完全相同，得＝．解得a＝5，不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20解集为x＞4，故答案为＞4．【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集相同得出关于a的方程式解题关键．38．（2020春•虹口区期中）解不等式：＜【分析】依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得．【解答】解：4x﹣7＜6x﹣5，4x﹣6x＜﹣5+7，﹣2x＜2，x＞﹣1．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．39．（2019春•松江区期中）已知2（a﹣3）＝，求关于x的不等式的解集．【分析】先求出方程的解，把a＝4代入不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2（a﹣3）＝，6（a﹣3）＝2+a，6a﹣18＝2+a，5a＝20，a＝4，把a＝4代入不等式得：＞x﹣4，4（x﹣5）＞7x﹣28，4x﹣20＞7x﹣28，4x﹣7x＞﹣28+20，﹣3x＞﹣8，x，即关于x的不等式的解集是x＜．【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能求出a的值是解此题的关键．40．（2018春•黄浦区期末）解不等式≥﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：3（y﹣3）≥2（2y﹣1）﹣6，3y﹣9≥4y﹣2﹣6，3y﹣4y≥﹣2﹣6+9，﹣y≥1，y≤﹣1，把解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．一十六．一元一次不等式的整数解（共2小题）41．（2020春•虹口区期中）不等式x+5＞3x﹣7的最大整数解是5．【分析】先解不等式求出其解集，从而得出答案．【解答】解：移项，得：x﹣3x＞﹣7﹣5，合并，得：﹣2x＞﹣12，系数化为1，得：x＜6，∴不等式组的最大整数解为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．42．（2018春•浦东新区期中）解不等式：2x﹣9≤﹣x的非负整数解有4个．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可得到结论．【解答】解：2x﹣9≤﹣x，2x+x≤9，。
2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第5章 有理数(典型30题专练)带讲解
第5章 有理数（典型30题专练）一、单选题1．（2020·浙江北仑·七年级期中）大于3-且不大于5的整数有（ ） A ．8个 B ．7个C ．6个D ．5个【答案】A【分析】根据有理数大小的比较找到符合题意的所有整数即可得到结论． 【详解】解：大于-3且不大于5的整数有：-2，-1，0，1，2，3，4，5， 共有8个， 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的大小及整数的概念，特别注意不大于包括小于等于． 2．（2020·陕西·富县沙梁初级中学七年级期中）以下说法正确的是（ ） A ．一个数前面带有“﹣”号，则是这个数是负数 B ．轴上表示数 a 的点在原点的左边，那么 a 是一个负数 C ．数轴上的点都表示有理数 D ．整数和小数统称为有理数 【答案】B【分析】利用有理数的定义、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，再结合数轴的性质分析得出答案．【详解】解：A 、一个数前面带有“﹣”号，这个数不一定是负数，如﹣（﹣3）＝3，故选项错误；B 、数轴上表示数a 的点在原点的左边，那么a 是一个负数，故选项正确；C 、数轴上的点都表示实数，故选项错误；D 、整数和分数统称为有理数，故选项错误．故选：B ．【点睛】此题主要考查了有理数、数轴，正确把握数轴的定义是解题关键． 3．（2020·黑龙江大庆·九年级期末）计算÷⨯m nm n m的结果为（ ） A ．m B ．2mC ．2n mD ．21m 【答案】C【分析】根据整式的运算法则，同级运算时从左向右依次运算．【详解】解：2m n n n n m m n m m m m÷⨯=⨯⨯=故选：C ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．4．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室七年级期中）下列判断错误的是（ ） A ．3＞﹣5B ．﹣3＞﹣5C ．﹣2.5＞﹣|﹣2.25|D ．35＞34-【答案】C【分析】根据有理数比较大小的法则即可得出答案. 【详解】A 、3＞﹣5，故本选项不合题意；B 、因为|﹣3|＝3，|﹣5|＝5，3＜5，所以﹣3＞﹣5，故本选项不合题意；C 、﹣|﹣2.25|＝﹣2.25，因为|﹣2.5|＝2.5，|﹣2.25|＝2.25，2.5＞2.25， 所以﹣2.5＜﹣|﹣2.25|， 故本选项符合题意；D 、因为33125520-==，33154420-==，12152020<， 所以3354->-，故本选项不合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查的是有理数的比较大小，注意负数的比较大小：绝对值大的反而小. 5．（2021·浙江瑞安·七年级期中）南山隧道工程是温瑞大道快速路的重要节点工程，该工程造价最终报价为376000000元，其中376000000用科学记数法可表示为（ ） A ．37.6×108 B ．3.76×108C ．3.76×109D ．37.6×107【答案】B【分析】根据科学记数法的定义：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，即可得出答案．【详解】8376000000 3.7610⨯＝． 故选：B ．【点睛】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解决本题的关键． 6．（2021·江苏江阴·七年级期中）某同学上午卖废品收入10元，记为10+元，下午买旧书支出6元，记为（ ） A ．4+元 B ．4-元 C ．6+元 D ．6-元【答案】D【分析】运用正负数表示具有相反意义的量在生活中的应用，即可相应得到. 【详解】解：∵正负数表示具有相反意义的量∴收入为正数，则支出为负数，故收入10元记作10+元， 那么支出6元可记为6-元． 故选：D ．【点睛】本题旨在考查正负数表示具有相反意义的量，理解并掌握该知识点是解题的关键. 7．（2022·全国·七年级）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，b ，-a ，-b ，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A ．a<-a<0<b<-bB ．-b<a<0<b<-aC ．-a<a<0<-b<bD ．-b<a<0<-a<b 【答案】D【分析】利用有理数大小的比较方法可得0＜-a ＜b ，-b ＜a ＜0，b ＞0＞a 进而求解． 【详解】观察数轴可知：b ＞0＞a ，且b 的绝对值大于a 的绝对值在b 和-a 两个正数中，0＜-a ＜b ；在a 和-b 两个负数中，绝对值大的反而小，则-b ＜a ＜0 因此，-b<a<0<-a<b 故选D ．【点睛】有理数大小的比较方法：正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．8．（2018·四川·绵阳中学实验学校九年级）若2552a a -=-，则a 的取值范围是（ ） A ． 2.5a < B ． 2.5a > C ． 2.5a ≤ D ． 2.5a ≥【答案】C【分析】根据非正数的绝对值等于它的相反数，得520a -≥，即可求得． 【详解】∵2552a a -=-， ∴520a -≥， ∴52a ≤． 故选C ．【点睛】本题考查绝对值的性质，掌握非正数的绝对值等于它的相反数是解题关键． 9．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）2020年安徽省实现了经济发展稳定向好、社会大局和谐稳定，全省生产总值约为3.87万亿元，数据3.87万亿用科学记数法可表示为（ ） A ．130.38710⨯ B ．43.8710⨯ C ．123.8710⨯ D ．83.8710⨯【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：3.87万亿123870000000000 3.8710==⨯. 故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．10．（2022·全国·七年级）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（ ） A ．16元 B ．14.8元 C ．11.5元 D ．10.7元【答案】C【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案.【详解】由题意可得：()27.632.227.62⎡⎤÷⎣⎦﹣﹣()27.64.62=÷﹣232=÷11.5=（元）．故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元． 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱. 二、填空题11．（2021·江苏·七年级专题练习）如果规定向东走为正，那么“－2米”表示 ： ______．【答案】向西走2米【分析】根据正负数的意义找到表示正数的量，再找到与它相反意义的量即可得到答案． 【详解】解：如果规定向东走为正，那么“-2米”表示的意义是向西走2米．故答案为：向西走2米．【点睛】本题考查正负数的意义，正数与负数表示相反意义的两个量，关键在于看清规定哪一个为正，则和它相反意义的量即为负．12．（2021·福建连城·七年级期中）如果把汽车向东行驶80km 记作+80km ，那么汽车向西行驶200km应记作___________km．【答案】-200【分析】由题意根据正数和负数表示相反意义的量，向东记作正，可得向西记作负．【详解】解：∵汽车向东行驶80km记作+80km，∴汽车向西行驶200km记作-200km.故答案为：-200．【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际含义．13．（2021·广西福绵·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号里．3.14，﹣1，20%，0，﹣5.0，10，﹣0.23，1317，﹣4负有理数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；自然数集合：{ …}．【答案】-1，﹣5.0，-0.23，﹣4；3.14，20%，1317；0，10．【分析】运用有理数的概念，“有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称.”，自然数是由所有非负整数组成，可解得.【详解】负有理数集合：{ -1，﹣5.0，-0.23，﹣4 …}；正分数集合：{ 3.14，20%，1317…}；自然数集合：{ 0，10 …}；【点睛】本题旨在考查有理数及自然数的概念，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.14．（2021·云南蒙自·七年级期末）12021的倒数是 _____．【答案】2021【分析】根据倒数的含义即可得出答案．【详解】解：12021的倒数是2021故答案为：2021【点睛】此题主要考察了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数．15．（2020·江西南昌·七年级阶段练习）若|2a+6|+（b-2）2=0，则a+b=_________．【答案】-1【分析】根据非负数的性质得到a，b的值，代入求出结果即可．【详解】解：∵|2a+6|+（b-2）2=0，∴2a+6=0，b-2=0，∴a=-3，b=2，当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1．故答案为：-1.【点睛】本题考查非负数的性质，几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．16．（2022·全国·七年级）当x＝_____时，代数式2x+1与5x﹣6的值互为相反数．【答案】5 7【分析】因为代数式2x+1与5x﹣6互为相反数，则2x+1与5x﹣6的和为0，即可求得．【详解】∵代数式2x+1与5x﹣6互为相反数∴2x+1+5x﹣6=0解得x=5 7故答案为：5 7【点睛】本题考查相反数，掌握互为相反数的两数和为0是解题关键．17．（2020·江苏新沂·七年级期中）按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值y为___________．【答案】2【分析】根据题意可知，该程序计算是先平方，再乘以3，再减去10，将x输入即可求解．【详解】输入2x=-()22=4-43=12⨯12-10=2故答案为：2【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握混合运算法则是解题的关键．18．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）2018年11 月在上海举办的进口博览会吸引了全球4100多名记者参会报道.用科学计数法将4100这个数字保留三位有效数字，4100=_______【答案】34.1010⨯【分析】根据科学记数法的定义即可解答.【详解】解：根据科学记数法的定义和保留三位有效数字可得，4100=34.1010⨯,故答案为34.1010⨯.【点睛】本题考查了科学计算法和有效数字的定义，牢记定义是解题的关键. 19．（2021·全国·七年级专题练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．【答案】10或64【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．【详解】解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．三、解答题20．（2021·甘肃金塔·七年级期末）一辆城市出租车在一条南北方向的公路上来回拉客．某一天早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）-18.5，-9.5，+7.5，-14，-6.5，+13，-6.5，8.5（1）问B地在A地何处，相距多少千米？（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？【答案】（1）正南面26千米处；（2）16.8升【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以路程，可得答案．【详解】（1）-18.5 -9.5+7.5-14-6.5+13 -6.5+8.5=-26答：在A的正南面26千米处．（2）18.5 +9.5+7.5+14+6.5+13 +6.5 +8.5=84 84×0.2=16.8（升） 答： 这一天共耗油16.8升【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算．21．（2021·全国·七年级）已知一组数据：142-、12、4、1-、0、4.5． （1）把它们在数轴上表示出来； （2）用“<”号将这些数连接起来； （3）把符合条件的数填入相应的集合中．【答案】解：（1）数轴见详解；（2）114104 4.522-<-<<<<；（3）见详解； 【分析】（1）画出数轴，找到各点即可；（2）数轴上的数右边的总比左边的大，根据（1）画的数轴从左往右用小于号连接即可； （3）根据定义找出正有理数和整数，即可得出结论． 【详解】解：（1）（2）114104 4.5.22-<-<<<<（3）【点睛】本题考查有理数大小比较、有理数的分类，以及数轴上表示数等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2020·江西南昌·七年级期中）请把下列各数的序号分别填入相应的集合里． ① 2.1-；②0；③π；④()4--；⑤227；⑥3.14；⑦0.3；⑧2-- （1）负数集合：（ ┅ ） （2）分数集合：（ ┅ ）【答案】（1）负数集合：（-2.1，2--， ┅）（2）分数集合（-2.1，227，3.14，0.3，┅）．【分析】把需要化简的先化简，再根据有理数的分类去填写即可得到答案． 【详解】解：（1）负数集合：（-2.1，2--， ┅） （2）分数集合（-2.1，227，3.14，0.3，┅）． 【点睛】本题考查有理数的分类以及符号和绝对值的化简，充分理解有理数分类的相关概念是解题的关键．23．（2021·江苏沭阳·七年级期中）计算(1)()()()6793----++ (2)()()()16.52132⎛⎫-⨯-÷-÷- ⎪⎝⎭(3)3778148127⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭ (4)()2411263⎛⎫---+⨯- ⎪⎝⎭【答案】（1）5-；（2）2；（3）13-；（4）7-【分析】（1）去括号，然后按照有理数加减混合运算法则计算即可； （2）首先将分数化为假分数，除法变为乘法，然后应用乘法交换律即可求解； （3）根据乘法分配律计算，然后计算加减即可求解； （4）首先计算乘方和乘法，然后计算加减即可求解． 【详解】（1）原式=()6793-+-+ =5-（2）原式=()()13122213⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()()13122213⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2（3）原式=7878784787127-⨯+⨯+⨯=2213-++=13-（4）原式=142---=7-【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，和有理数乘法运算律，关键是掌握运算法则．24．（2020·江西南昌·七年级期中）计算：（1）222102(3)111111⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()3222(2)310.53---+--⨯【答案】（1）1811-（2）2 【分析】（1）根据分配律把211-提出来，即可简便运算； （2）先算乘方，再算乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，绝对值有括号的作用，按照顺序进行计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式=211-×（10+2-3）=211-×9=1811-； （2）原式=-8-（-9）+210.53--⨯=-8+9+21.53-⨯=-8+9+1=2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，观察式子特点能简便的要简便．25．（2020·四川·成都市第四十中学校七年级阶段练习）若21(31)0a b ++-=，求a （3b-2a ）的值 【答案】3-．【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】∵21(31)0a b ++-=∴a+1=0且3b-1=0 ∴a=-1，b=13∴()32a b a -=()113213⎡⎤-⨯⨯-⨯-⎢⎥⎣⎦=-3．【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性、实数偶次方的非负性，正确得出a ，b 的值是解题关键．26．（2020·四川成华·七年级期中）请你参考右边小明的讲解，利用运算律进行简便计算:（1）()99837⨯-．（2）41399918999999118555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭．【答案】（1）36926-，（2）99900-．【分析】（1）将式子变形为()()1000237-⨯-，再根据乘法分配律计算即可求解； （2）根据乘法分配律计算即可求解．【详解】（1）原式=()()1000237-⨯-=3700074-+=36926-．（2）原式=41318118999555⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭=100999-⨯=99900-．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．27．（2020·四川双流·七年级期中）若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2．（1）a b +=________，cd = _______，m =________．（2）求5236a b cd m +++-的值． 【答案】（1）0；1；2±；（2）6或2-．【分析】（1）根据互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1，互为相反数的两个数绝对值相等，即可求得；（2）根据（1），求解即可；【详解】（1）∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，∴0a b +=，1cd =，2m =±．故答案为：0；1；2±．（2）若2m =，则原式0512236=+⨯+⨯-=．若2m =-，则原式0512(2)32=+⨯+⨯--=-．【点睛】本题考查互为相反数的两个数和为0、互为倒数的两个数积为1、互为相反数的两个数绝对值相等，掌握知识点是解题关键．28．（2021·全国·七年级）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，相应的x 取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x ＜﹣1，﹣1≤x ≤2和x ＞2，经研究发现，当﹣1≤x ≤2时，|x +1|+|x ﹣2|值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：①当式子|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|取最小值时，相应x ＝ ，最小值是 ． ②已知y ＝|2x +8|﹣|4x +2|，求相应的x 的取值范围及y 的最大值，写出解答过程．【答案】阅读理解：﹣1≤x ≤2，3；①4，4；②x 12=-时，y 有最大值y ＝7【分析】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；②根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．【详解】解：阅读理解：当式子|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，相应的x 取值范围是﹣1≤x ≤2，最小值是3，故答案为﹣1≤x ≤2，3；①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应的x＝4，最小值是4；故答案为4，4；②当x12≥-时y＝﹣2x+6，当x12=-时，y最大＝7；当﹣4≤x12≤-时，y＝6x+10，当x12=-时，y最大＝7；当x≤﹣4，时y＝2x﹣6，当x＝﹣4时，y最大＝﹣14，所以x12=-时，y有最大值y＝7．【点睛】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．29．（2020·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）＝1260+11×0.75＝1260+8.25＝1268.25（元），答：小王这一周的工资总额是1268.25元；（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．答：小王这一周的工资总额是1267.1元．【点睛】此题考查有理数的混合运算和正负数的意义，本题是实际生活中常见的一个表格，它提供了多种信息，但关键是从中找出解题所需的有效信息，构造相应的数学模型来解决问题．30．（2022·全国·七年级）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且a b =（1）求a b +和a b的值（2）化简：2a a b c a c b b -+--+--- 【答案】（1）0a b +=；1a b=-；（2）3b ．【分析】（1）根据a b =且a 、b 位于原点两侧，得到a 、b 互为相反数，然后进行求解即可；（2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．【详解】（1）∵a b =且a 、b 位于原点两侧∴a、b 互为相反数∴0a b +=，1a b=- （2）如图可得：c ＜b ＜0＜a 且||||a b =∴a＞0，a=-b 即a+b=0，c-a ＜0，c-b ＜0，-2b ＞0因此|||||||||2|a a b c a c b b -+--+---=0()()(2)a a c b c b ---+---=2a a c b c b -++-+=3b【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的关键.。
六年级下册知识点归纳总结数学
六年级下册知识点归纳总结数学
以下是六年级下册数学的一些重要知识点：
1. 负数：理解负数的概念，掌握比较负数大小的方法，能正确地读写负数。
2. 比例：理解比例的概念，掌握比例的基本性质，能应用比例的知识解决简单的问题。
3. 圆柱和圆锥：掌握圆柱和圆锥的各部分名称及特征，理解圆柱表面积、体积的计算方法，掌握圆锥体积的计算方法。
4. 正比例和反比例：理解正比例和反比例的概念，能正确判断成正比例的量和成反比例的量。
5. 统计：理解统计表和折线统计图的特点，掌握制作简单的统计表和折线统计图的方法，能根据统计图表进行简单的数据分析。
6. 解决问题的策略：能综合运用所学的数学知识、技能和方法解决一些简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
以上仅为基础知识点的大致概括，如需更详细的内容，建议查阅六年级下册数学教材或教辅书。
【期中】【数学】上海市六年级第二学期期中考试常考考点
六年级||期中|考试常考考点一、选择题、填空题1、正负数的意义负数可以表示具有相反意义的量 .例：如果用银行卡往银行存入10000元记作10000+ ,那么5000-表示的意义是：用银行卡从银行中取出5000元 .2、负数的大小比较两个负数 ,绝||对值大的那个数反而小 .例：写出一个比1-大的负有理数________.3、互为相反数只有符号不同的两个数 ,称其中一个数为另一个数的相反数 .互为相反数的两个数的绝||对值大小相等 ,互为相反数的和为零 .0的相反数是它本身 . 例：14-的相反数是__41_. 4、科学计数法把一个数写成a ×10n (其中1≤|a|<10 ,n 是正整数 ) ,这种形式的计数方法叫做科学计数法 .整数的数位为n +1整数位 .例：2021年上海世博会即将开幕 ,据预测参观人数将到达7000万 ,用科学记数法表示这个7000万：7107⨯5、有理数的减法 有理数减法法那么：减去一个数 ,等于加上这个数的相反数 .a -b =a + ( -b )例：计算：=--58有理数的乘法有理数乘法法那么：两数相乘同号得正 ,异号得负 ,并把绝||对值相乘 .任何数与零相乘都得零 .几个不等于零的数相乘 ,积的符号由负因数的个数决定 ,当负因数有奇数个时 ,积为负；偶数个时积为正 .有因数为零时 ,积就为零 .两数相乘的符号法那么：正正得正 ,正负得负 ,负正得负 ,负负得正 .有理数的乘法首||先要判断结果的符号 ,再进行计算 .例：6)3()2(=-⨯-6、倒数乘积是1的两个数互为倒数.一般地 ,有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数 (不等于零 ) ,等于乘以这个数的倒数1、 -1的倒数是它本身 .假设数a 的相反数就是它本身 ,数b 的倒数也等于它本身 ,那么=-b a 2512-的倒数是 先进性化简化简成分式的形式假设为整数那么分母为1 ,再判断符号正数的倒数为正数负数的倒数为负数 ,最||后把分子分母颠倒过来 ,即为所求数的倒数 .7、有理数的乘方1.乘方的定义 (意义 ):a n求ｎ个相同因数的积的运算 ,叫做乘方 .乘方的结果叫幂 ,在a n 中 ,a 叫做底数 ,n 叫指数 ,a n 读作a 的n 次方 .a n 看作是a 的n 次方的结果时 ,读作a 的n 次幂 .乘方运算的符号规律：正数的任何次幂都是正数负数的偶次幂是正数 ,奇次幂是负数.0的非零次幂是0；1的任何次幂是1.任何数的零次幂都等于1任何有理数的偶次幂都大于等于零 ,当且仅当这个数为零的时候结果为零 .任何有理数的绝||对值都大于等于零 ,当且仅当这个数为零的时候结果为零 . 例：如果0)3(24=-++y y x ,那么=-+-2009)1(43x y 14 例：如果()2310x y -++= ,那么x y = .假设a <0那么a = -a ,假设a>0 ,那么a =a ,假设a =0 ,a =0 .例假设2-≤a,那么||53a a + = -2a -a n 与 ( -a )n 的区别n 为奇数时 -a n = ( -a )n ,n 为偶数时 -a n = - ( -a )n , ( -a )n >0 ,a =0时 ,-a n = ( -a )n =0 .8、百分号 10% =10010 =101 9、数轴上的点到原点的距离要注意的是正反方向都可以 ,以及原点 ,零也属于整数 . 例：数轴上到原点的距离小于212个单位长度的点中 ,表示整数的点共有_____个． 10、判断正负数非负数：零和正数非正数：零和负数绝||对值里面的数恒大于等于零 ,偶数次幂恒大于等于零 .例：在 ,)5(-- ,－212- ,15％ ,0 ,3)1(5-⨯ ,－22 ,2)2(--这八个数中 ,非负数有( )(A )4个； (B )5个； (C )6个； (D )7个． 以下说法中不正确的选项是 ( )(A )一个数的绝||对值一定不小于它本身；(B )互为相反数的两个数的绝||对值相等；(C )任何有理数的绝||对值都不是负数；(D )任何有理数的绝||对值都是正数． 11、不大于：小于等于 ,不小于：大于等于 ."5与x 的和的一半不小于1〞 ,用不等式表示为：512x +≥ 12、判断大小首||先要确定符号 ,正数恒大于负数 .符号为负的 ,绝||对值大的反而小 .两数相减 ,大于零还是小于零来判断 .特殊值代入法 ,选取符合题意的数值 ,代入计算 (针对选择和填空 ) . 例：比较大小：5-- 2.5-；()32-- 2)3(--． (用 ">〞或 "<〞填空 )例：假设0<<b a ,那么以下不等式正确的选项是 ( )(A )33b a ->-； (B )2b ab <； (C )b a 11< ；(D )5313+>+b a ．13、一次方程的判断只含有一个未知数且未知数的次数是1次的方程叫做一元一次方程 .（1）含有一个未知数（2）未知数的次数为1（3）未知数只能出现在分子 ,不能出现在分母中（4）式子中必须含有等号例：以下方程中 ,是一元一次方程的是 ( )(A )x x -=-522； (B )4121+-=xx ； (C )x x -+21； (D )032=++x x ．例：以下各式中 ,是一元一次方程的是 [ C ](A )32-x (B )012=-x (C )0312=-x (D )02=-y x 例：如果关于x 的方程0242=-+k x 是一元一次方程 ,那么k ＝例：方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程 ,(1 )求m 和x 的值 . (3分 ) (2 )假设n 满足关系式12=+m n ,求n 的值 . (2分 )解：(1)340m -=,43m =,168(54)33x ---=-, 83x =-. (2)|2n +43| =1 ,2n +43 =1或2n +43 = -1 ,16n =- ,76n =- .14、储蓄存款中的等量关系储蓄存款中的等量关系有：利息 =本金×利率×期数税前本息和 =本金 +利息税后本利和 =本金 +税后利息税后利息 =利息 -利息税利息税占利息的比例成为为利息税率利息税率 =利息税÷利息×100%例：李大爷把6000元钱存入银行 ,定期三年 ,利息税为20% ,如果三年后 ,李大爷应缴利息税为115.2元 ,那么年利率为二、简答题1、有理数的混合运算有理数的混合运算法那么：先算乘方 ,再算乘除 ,最||后算加减；如果有括号 ,先算小括号 ,后算中括号 ,再算大括号 . 例：计算：)215()7216()5.15()753(-+-+++- 计算：)15(512730)5225(554.25-⨯+⨯-+⨯ 计算： [])2(43)5.1()5.0(2123-⨯+---÷计算 (要求写出过程 )： 计算：%752481121)21(132010+⨯-+-+-2、解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：1、去分母2、去括号3、移项4、化成ax =b (a ≠0 )的形式5、两边同除以未知数的系数 ,得到方程的解x =b a . 例：解方程 151207++=x x ． 解方程：)2(5)2(212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x x x 解方程：631451x x -=--解方程：%5420)20%(70%30⨯=-+x x解方程 )37(2015--=+x x x .3、解不等式并在数轴上表示出来不等式及其性质用 ">〞或 "<〞号表示大小关系的式子,叫不等式.解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式(2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数;(3)注意不大于和不小于的说法不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.解析:不等式的解可能不止一个.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 不等式性质(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.一元一次不等式的解法小于空心圆点表示不包含 ,小于等于实心圆点表示包含该点 .在含有未知的不等式中 ,能使不等式成立的未知数的值 ,叫做不等式的解 .不等式的解有无数个 .不等式的解的全体叫做不等式的解集 .不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 .求不等式的解集的过程叫做解不等式.例：解不等式：144231->+--x x ,并把它的解集在数轴上表示出来. 4 (x －1 )－3 (2x ＋4 )>－124x －4－6x －12>－12－2x >4x <－2三、大题常考考点1、盈利问题本钱价(进价或本金)：商家取得某一商品所需要付出的金额 .标价：商家出售商品时所标明的价格 .售价：指商品成交时的实际价格；利润：指商品售价与进价之间的差额 ,即：利润 =售价－进价 利润率：指利润与本钱的比率 ,即：赚了百分之几 ,亏了百分之几指的是利润率是百分之几 ,赚的利润率为正 ,亏得利润率为正 .在应用题中 ,先要分析读懂题目 ,题目中的百分数分析清楚是谁的百分数 ,一般设本钱价为x ,找出题目中的关系 ,列出方程 ,解出方程 .例：某商店卖出两件衣服 ,每件60元 ,其中一件赚25% ,另一件亏25% ,那么这两件衣服卖出后 ,商店是 [ ]100%-⨯=进价进价售价利润率100%⨯=标价售价折扣（A ）不赚不亏 (B )赚8元 (C )亏8元 (D ) 不确定例：一家商店将某种服装按本钱价加价%40作为标价 ,又以8折 (即按标价的80% )优惠卖出 ,结果每件服装仍可获利15元 ,问这种服装每件的本钱价是多少元.解：设这种服装每件的本钱价是x 元.根据题意 ,得15%)401(%80=-+⋅x x .解方程 ,得 125=x .答：这种服装的本钱价是125元.2、行程问题路程 =时间×速度题目一般会给出两种情况 ,画出两种情况的简图 ,找到不变的量 ,设不变的量为x ,列出方程 ,解出方程 .例：甲、乙两人从同一地点出发 ,如果甲先出发3小时后 ,乙从后面追赶 ,那么当乙追上甲时 ,下面说法正确的选项是 ( )(A )乙比甲多走了3小时；(B )乙走的路程比甲多； (C )甲、乙所用的时间相等； (D )甲、乙所走的路程相等.例：甲以每小时4千米的速度步行 ,可在规定的时间内从家到动物园 .他用每小时4千米的速度走了全程的一半 ,其余的路程搭乘速度为每小时20千米的公共汽车 ,结果比规定时间早120分钟到达动物园 ,求家到动物园的距离 .解：设家到动物园的距离为x 千米 ,那么12022420604x xx++= ,解得 ,20x = . 答：家到动物圆的距离为20千米 .3、列一元一次方程解应用题一般情况下问什么设什么为未知数遇到甲比 (是 )乙的几倍多 ,甲比 (是 )乙的几倍少的字眼 ,设乙为未知数 .遇到比例关系的时候设其中的例：今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15 ,三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍 ,求今年小红和爸爸分别是几岁?解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x和15x岁.15x+3 =3 (4x+3 )x=2那么4x=8,15x=30答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁.例：甲、乙两人方案五月份共同生产零件360个,由于各自改进了操作技术,结果甲完成了本人方案的112% ,乙超额10%完成了本人方案,两人共生产了零件400个,求五月份甲、乙两人原方案各生产几个零件?解：设五月份甲原方案生产x只零件,那么乙原方案生产(360－x )只零件.…1分112％x＋(1＋10％) (360－x )＝400112x+110 (360 -x ) =40000x＝200那么360－200＝160答：五月份甲、乙两人原方案各生产200只和160只零件.例：某同学在A、B两家超市发现他看中的复读机的单价相同,书包单价也相同,复读机和书包的单价之和是452元,且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元.(1 )这种复读机和书包的单价各是多少元?(2 )某一天,该同学上街,恰好赶上商家促销：A超市所有商品打八折销售,B超市全场每购物满100元,返回购物券30元销售(缺乏100元不返券,购物券全场通用但只能在购置下一件商品时使用).但他只带了400元钱,他能买下这两样物品吗?在哪一家超市购置更省钱?解：(1 )设书包单价为x元,那么复读机单价为(452－x )元452－x＝4x－8x＝92那么452－x＝360元答：复读机单价为360元,书包单价为92元.(2 )假设在A假设在B超市购置,那么需付360＋2＝362元答：可以购置,在A超市更省钱例：甲车队有50辆汽车 ,乙车队有41辆汽车 ,如果要使乙车队车数比甲车队车数的2倍还1辆 ,应从甲车队调多少辆车到乙车队 ?多解：设应从甲车队调x辆车到乙队 ,那么41 +x =2(50 - x) +1,解之得x=20.答：应从甲车队调20辆车到乙队 .。
六年级数学(沪教版)第二学期教材梳理
六年级第二学期课本熟悉程度总括：本册书包括四个章节，其中第五、第六章节为本册书的重难点，而第七、八章节是了解、理解性的知识，是学习后面知识的一个认知基础。
第五章为有理数，因此作为本书的重点。
首先要知道那些是有理数，有理数包括哪些部分并且掌握有理数的四则运算（加、减、乘、除），最后要明白何为科学记数法，怎样将一个数表示成科学记数法。
第六章为一次方程（组）和一次不等式（组），是本书的重点同时也是一个难点。
因此我们要了解何为一次方程（组），怎么样解一次方程（组），而更重要的是一次方程（组）的应用，将实际的问题转化为一次方程（组）进而求解，这对于学生来说是难点。
作为平行的学习，可将一次不等式（组）与一次方程（组）类似的学习，明白一次不等式（组）是将一次方程（组）中的等号改成不等号，并且解一次不等式（组）常与数轴联系起来，这样更直观。
一次不等式（组）是我们中考中必考的考点因此要适当的强化学习。
第七、八章是线段与角的画法及长方体的再认识，此部分知识点是认识、了解、理解性知识，了解角，线段，余角，补角及其画法并且知道长方体及长方体上的棱与棱、棱与平面及平面与平面之间的关系以及长方体的画法。
第五章 有理数有理数包括整数和分数，而整数又包括正整数和负整数，分数又包括正分数和负分数。
数轴：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称两个数互为相反数，注意：0的相反数是0.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
如4-的绝对值为4（距离，0≥x ）。
数轴上的点从左到右依次增大，正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
有理数加法的运算率:a b b a +=+（交换律），)()(c b a c b a ++=++（结合律）。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数（)(b a b a -+=-），两数相乘的符号法则：正正得正，负正（正负）得负，负负得正有理数乘法法则;两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零。
沪教版六年级数学下知识点总结
一、数论知识：
（1）识别素数和合数，认识素数的方法；
（2）识别因数和倍数；
（3）求一个数的约数、因数和倍数，明确除法的商和余数；
（4）求两个整数的最大公约数，最小公倍数；
（5）识别质数，求几个数的乘积的最小质因数；
（6）比较两个正整数的大小，包括被数、商和余数；
（7）求出不定项等比数列的前几项和；
（8）熟练掌握大于1的自然数的级数概念，求出其中一项的值；
（9）求解数字的排列组合问题。
二、一元一次方程：
（1）利用移项法给出方程的解；
（2）利用联立方程求解问题；
（3）解决直线方程、圆的方程及一般平面几何图形的方程；
（4）求出方程的实际应用问题。
三、几何图形：
（1）了解平行线和垂直线的概念；
（2）求几何图形的周长和面积；
（3）识别各种基本图形，如圆、矩形、三角形等；
（4）掌握圆的内外接线，以及圆、椭圆的标准方程式；
（5）理解平行四边形、正方形、正多边形的概念；
（6）识别三角形的几何性质，如全等三角形、等腰三角形、直角三角形等；
（7）理解直线和圆的位置关系，如切线、弦、分线等；。
(完整版)上海版六年级下册数学知识点总结
(完整版)上海版六年级下册数学知识点总
结
上海版六年级下册数学知识点总结
本文旨在总结上海版六年级下册数学知识点，供学生复参考。
1. 整数运算
- 四则运算（加法、减法、乘法、除法）的规则和性质
- 整数的加减乘除法运算规则
- 整数运算的应用问题
2. 分数
- 分数的概念和表示方法
- 分数的加减乘除法则
- 分数的比较和大小关系
- 分数的应用问题
3. 小数
- 小数的概念和表示方法
- 小数的加减乘除法则
- 小数和分数的相互转换
- 小数的应用问题
4. 平面图形
- 常见平面图形的特征和性质（三角形、四边形、圆等）- 平面图形的周长和面积计算方法
- 平面图形的分类和应用问题
5. 数字的常用表示方法
- 10进制、百分数、分数、小数等表示方法
- 表格、图表的表示和分析方法
6. 数据的收集和整理
- 调查数据的收集方法
- 数据的整理、统计和分析方法
- 数据图表的绘制和解读
以上是本文对上海版六年级下册数学知识点的总结，主要包括整数运算、分数、小数、平面图形、数字的常用表示方法以及数据的收集和整理等内容。
希望能对学生们的数学复习有所帮助。
六年级数学下册知识点总结
六年级数学下册知识点总结六年级数学下册的知识点那可不少呢，咱就像唠家常一样好好说说吧。
一、负数。
负数这个概念可有意思啦。
咱们平常数数都是1、2、3这样的正数，但是生活里有时候光有正数可不够。
比如说温度，零下的时候就用到负数啦。
像 -1℃就表示比0℃还低1度呢。
在数轴上，0左边的数就是负数，负数的数字越大呀，它实际上就越小。
比如说 -5就比 -2小。
这就好像是倒着来的感觉，是不是很有趣呢？而且正数和负数是一对对的冤家，它们可以表示相反意义的量，像收入和支出，向东走和向西走，要是规定一个是正的，另一个就是负的啦。
二、百分数（二）百分数在生活里到处都是。
打折的时候就会用到百分数。
比如说一件衣服打八折，那就是按照原价的80%来卖。
咱们要是知道原价，就能很快算出打折后的价格。
像原价100元的衣服，打八折就是100×80% = 80元，是不是很简单？还有利率的问题，把钱存到银行，银行会根据利率给咱们利息。
利息的计算公式是利息 = 本金×利率×存期。
比如说本金1000元，年利率3%，存2年，那利息就是1000×3%×2 = 60元。
百分数在这些地方可帮了大忙，让我们能清楚地知道各种经济上的事情。
三、圆柱与圆锥。
圆柱这个形状可常见啦，像咱们用的水杯很多就是圆柱形状的。
圆柱有两个底面，都是圆形的，而且这两个底面大小一样呢。
圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长就等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
圆柱的表面积就是两个底面的面积加上侧面的面积。
而圆柱的体积公式是底面积乘以高，也就是V = Sh，S就是底面积，h就是高。
圆锥就不一样啦，圆锥只有一个底面，它的体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一，公式就是V = 1/3Sh。
咱们可以想象一下，圆锥就像是圆柱的小帽子，但是这个小帽子的体积可有着特殊的关系呢。
四、比例。
比例这个东西就像是一种关系的平衡。
表示两个比相等的式子就叫比例。
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上海六年级第二学期数学知识点1.相反意义的量收入与支出; 增加与减少; 上升与下降; 零上与零下; 高于海平面与低于海平面;前进与后退; 盈利与亏损; ……任意规定一方为正,则另一方为负. 2.正数与负数比0大的数叫做正数;正整数正数正分数在正数前面加上“一”号的数（小于零的数）叫做负数；负整数负数负分数零既不是正数，也不是负数。
3.有理数的概念正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数正数非负数零 4.数轴的概念与画法数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴画法：一直线 + 三要素 5.数轴的性质数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
6.相反数只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数；0的相反数是0. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；零的相反数是它本身。
7.相反数的几何意义数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，而且与原点的距离相等。
8.绝对值的定义（几何意义）在数轴上把表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，即||a。
||a是一个非负数，即： ||0a。
9.绝对值的代数意义（即：求一个数的绝对值的法则）一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
(0)||0(0)(0)aaaaaa一对互为相反数的两数的绝对值相等，而绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数；求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值的代数意义确定。
10.有理数的大小比较两个负数，绝对值大的反而小；对于任意有理数的大小比较应采用：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
比较两个数的大小，还可以用“作差法”，即：若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.11.有理数加法及加法法则把两个有理数合成一个有理数的运算，叫做有理数的加法。
分五种情况：①两个正数相加；②两个负数相加；③两个异号数相加；④有理数和零相加；⑤零和零相加。
有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得零；④一个数与零相加，仍得这个数。
注意：利用加法法则计算的步骤：先确定和的符号，再进行绝对值相加或相减。
12.有理数加法运算律加法交换律：abba；加法结合律：()()abcabc运算律有下列规律：①互为相反数的两数可以先相加；②符号相同的数可以相加；③分母相同的数可以先相加；④几个数相加能得到整数的可以先相加。
13.有理数的减法法则及运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
注意：两个“变”字，①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反数），牢记一个“不变”，被减数与减数的位置不变，即没有交换律。
14.有理数乘法的意义乘法是加法的特殊运算形式，它可以看作是多个相同的数相加运算的一种简便运算。
如： n个a相加等于na 15.有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
注意：①运算步骤：符号→绝对值相乘；②带分数要化成假分数 16.有理数乘法法则的推广几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
几个数相乘，若其中有一个0，则积为零 17.有理数的乘法运算律①乘法交换律：abba；②乘法结合律：()()abcabc；③乘法对加法的分配律：().abcabac 18.倒数及求法乘积是1的两个数叫做互为倒数。
零无倒数，对于任意数(0)aa，它的倒数为1a；非零整数a的倒数为1a；分数ba的倒数是ab；带分数化为假分数后再求倒数； 19.有理数除法的意义已知两个因数的积c与其中一个因数a，求另一个因数b的运算。
即：cba20.有理数的除法法则除以一个数等于乘这个数的倒数，1(0)ababb；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于零的数都得零。
21.有理数的乘方求相同因数的积的运算叫做乘方。
乘方的结果叫幂。
nnaaaaaa个，a叫底数，n叫做指数，na叫做幂。
有理数幂的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何非零次幂都是0. 22.有理数的混合运算一个算式里含有加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算称为有理数混合运算。
23.有理数的混合运算顺序先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号先括号（小中大）第一级运算：加和减；第二级运算：乘和除；第三级运算：乘方和开方 24.科学记数法一个数写成10na的形式，其中1|a|<10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法. n的值 = 原数的整数位数－ 1 25.等式与方程等式:用等号把两个值相等的量或式子连接起来的式子. 方程:含有未知数的等式.26.方程中的项、系数、次数等概念①项：在方程中，被“+”“－”号隔开的每一部分（含这部分前面的“+”“－”号在内）称为一项②未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母。
③项的次数：在一项中，所有未知数的指数和。
④常数项：不含未知数的项。
27.列方程的方法列方程：为了求未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。
列方程步骤：设未知数，找等量关系，列方程。
28.方程的解和解方程使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
29.一元一次方程的概念概念：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程。
最简形式：(0)axba标准形式：0(0)axba30.等式的基本性质性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式。
另外性质：①对称性：ab若则b=a；②传递性：abbcac若且则（等量代换） 31.利用等式的基本性质解一元一次方程解方程：求方程的解的过程。
步骤：0(0)axbaaxb（等式性质1），baxbxa（等式性质2）移项法则：方程中任何一项，在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。
32.列方程解应用题步骤审题；设元；列方程；解方程；检验；作答。
33.按比例分配问题已知两个量之比为:ab，则设这两个量分别为axbx和。
34.利率问题利息＝本金×利率×期数本利和＝本金+利息＝本金×（1+利率×期数）利息税＝利息×税率税后利息＝利息－利息税＝利息×（1－税率）税后本利和＝本金+税后利息 35.折扣问题利润额＝成本价×利润率售价＝成本价+利润额新售价＝原售价×折扣 36.行程问题路程＝速度×时间相遇路程＝速度和×相遇时间追及路程＝速度差×追及时间 37.工程问题工作效率×工作时间＝1（工作总量） 38.不等式的概念用不等号“<”“>”“”“”“”表示不等关系的式子，叫做不等式。
39.常见的不等号及其含义“”即“不等于”；“>”即：大于；“<”即：小于；“”即：小于或等于；“”即：大于或等于 40.不等式的基本性质不等式的基本性质1：.abambm不等式的基本性质2：0;ababmambmmm且不等式的基本性质3：0;ababmambmmm且41.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系①相同点：不论是等式还是不等式，都可以在它的两边加上（或减去）同一个数（式子）。
②不同点：等式在两边乘以（除以）同一个正数或同一个负数，等式成立；不等式在两边乘以（除以）同一个正数，方向不变，乘以（除以）同一个负数时，方向一定要改变。
42.不等式的解的定义能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
43.不等式的解集的定义一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集。
44.解不等式求不等式解集的过程叫做解不等式。
解不等式的依据：不等式的三条性质，特别是不等式的性质3，注意不等号方向的改变。
45.如何用数轴表示不等式的解集一是确定“界点”：解集包含“界点”则用实心圆点；反之，空心圆圈。
二是确定“方向”：大于向右画，小于向左画。
46.一元一次不等式组的概念由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组。
47.一元一次不等式组的解集的概念一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。
解集的公共部分通常用“数轴”来确定。
解集规律：大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小是无解。
48.不等式组的解法①求出不等式组中各个不等式的解集；②在数轴上表示各个不等式的解集；③确定各个不等式解集的公共部分即这个不等式组的解集。
49.一元一次不等式组的应用与列方程解应用题类似，列不等式（组）解应用题，求出的通常是一个量的取值范围。
50.二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
51.二元一次方程的解二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。
记作：xayb二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做～。
52.二元一次方程组方程组中含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组。
标准形式：111222axbycaxbyc（其中12,aa中至少有一个不为0，12,bb中至少有一个不为0）53.二元一次方程组的解在二元一次方程组，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。
检验一组数是否为二元一次方程组的解的方法：将这组数值分别代入方程组中每个方程，满足所有方程时，这组数值是此方程组的解，否则不是。
54.用代入消元法解二元一次方程组①从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中的某个未知数且另一个未知数的式子表示；②将得到的式子代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④求出另一个未知数的值。
55.用加减消元法解二元一次方程组把两个方程的两边分别加减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法。
步骤：①确定要消去的元，并使该元的系数相等或者互为相反数；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个元，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一元的值；④求出另一元的值。
56.三元一次方程组的解法方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程组叫三元一次方程组解法：类似二元一次方程组的解法。