2013年人教版武汉市七下数学培优第十四讲：一元一次不等式(组)
人教版七年级数学下册：一元一次不等式【精品课件】
4x-1<5x+15 解：移项，得
4x-1=5x+15 解：移项，得
4x-5x<15+1. 合并同类项，得
-x<16. 系数化为1，得
4x-5x=15+1. 合并同类项，得
-x=16. 系数化为1，得
x>-16.
x=-16.
探究新知
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它一等次式们元式不的这是以不一的一的等性些：）等次依次性式质不步同号方据方质的.等骤一的程不程依，式中个方不相的据解两，负向同同依是一边要数的.这据元.不都特，地解是是一等乘别必方与（注须.解或意改一除的变元
探究新知
素养考点 1 一元一次不等式的实际应用
例1 去年广州空气质量良好（二级以上）的天数与全年 天数（365天）之比达到60%，如果到明年（365天）这样 的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比 去年至少增加多少？
分析：题目蕴含的不等关系为 明年这样的比值要超70% ，
转 化 为 不 等 式，即
探究新知
素养考点 3 利用一元一次不等式的解集求字母的值
例3 已知不等式 x+8＞4x+m (m是常数)的解集是x＜3，求 m.
解：因为 x+8＞4x+m，
所以 x-4x＞m-8， 即-3x＞m-8，
x 1 (m 8). 3
因为其解集为x＜3，
所以
1 (m 8) 3 3
.
解得 m=－1.
3
则a的值是____1____．
解析：由 1 x2a1 5 0 是关于x的一元一次不等式
3
得2a－1＝1，计算即可求出a的值等于1.
七年级数学下册解一元一次不等式
文章标题：深入解读七年级数学下册：一元一次不等式导言在七年级数学下册中，一元一次不等式是一个非常重要的概念。
在我们的日常生活和学习中，不等式问题随处可见，并且对于理解抽象数学概念和解决实际问题都具有重要意义。
在本文中，我将从简单到复杂地探讨一元一次不等式的概念、性质和解法，帮助你更深入地理解这一主题。
一、一元一次不等式的基本概念在数学中，一元一次不等式是指一个含有一元（未知数）的不等式，且该不等式中的项均为一次项（即未知数的指数为一）。
一元一次不等式的一般形式为ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。
解一元一次不等式的过程就是求出未知数x的取值范围，使得不等式成立。
二、一元一次不等式的性质在解一元一次不等式时，我们需要掌握一些重要的性质，以便帮助我们更快、更准确地解题。
这些性质包括：1. 加减性质：如果a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c；2. 乘除性质：如果a > b且c > 0，则ac > bc，a/c > b/c；3. 反号性质：如果a > b，则-a < -b。
三、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的方法主要包括图像法、试探法和等价变形法。
其中，图像法可以直观地帮助我们理解不等式的解集合，试探法则可以在不熟练使用代数方法时提供一种解题思路，而等价变形法则是解不等式最常用的方法。
图像法：对于不等式ax + b < c或ax + b > c，我们可以先画出一元一次函数y = ax + b的图像，然后根据不等式的方向来确定解集合。
试探法：通过选取一些特殊的x值，如0、1、-1等，来验证不等式对这些值的成立情况，从而找出不等式的解集合。
等价变形法：通过合理的等式变形，将原不等式转化为等价的形式，进而求解出不等式的解集合。
这种方法是解一元一次不等式最常用、最有效的方法。
人教版初一下数学-解一元一次不等式(组) ]讲义(学生版)
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解一元一次不等式（组）1.了解一元一次不等式的概念。
2.会解一元一次不等式（组），并能将其解集在数轴上表示出来。
3.经历解一元一次方程和解一元一次不等式两种过程的比较，体会类比思想，发展学生的思维水平。
1.一元一次不等式的概念。
2.解一元一次不等式（组）3.一元一次不等式（组）的应用。
一元一次不等式的概念.用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式例1.下列是一元一次不等式的是（ ）A. x +1x ＞1 B . x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2练习1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是( ) A ．4＞1 B ．3x －24＜4C .1x <2D ．4x －3＜2y －7练习2.若0312＞）（-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）A ． ±1 B. 1 C. -1 D . 0再利用一元一次不等式的概念解题时，要抓住这几点（1）含有一个未知数（2）并且未知数的次数是1次（3）不等式。
解一元一次不等式（组）的解法1.解一元一次不等式的步骤： （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式。
（2）去括号：根据去括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项 ：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1 ：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
2.解一元一次不等式组的步骤：解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后有数轴表示出它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
例1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来：5x－2≤3x练习.2x﹣1＜4x+13．本题考查了解不等式的过程，在解不等式的时候特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
数学人教版七年级下册一元一次不等式的概念和解法
问题：解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之处？
解：去括号，得2+2x<3
移项，得2x<3-2
合并同类项，得2x<1
系数化为1，得X<1/2
解：去分母，得
3（2＋x）＝2（2x－1）．
去括号，得
．
移项，得
．
合并同类项，得
．
化系数为1，得
x＝8．
2．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性。
重点、难点
重点：1.一元一次不等式的概念。2．解一元一次不等式。
难点：一元一次不等式的解法。
课型
新课
教学资源
多媒体
教学过程
环节
教师活动
学生活动
设计意图
1课前回顾及探索新知
1问题：.不等式的性质是什么？2一元一次方程的特征是什么？
师学生共同解不等式，
有分母同样可以考虑去分母，得
3（2＋x） 2（2x－1）．
去括号，得
6＋3x 4x－2．
移项，得
3x－4x －2－6．
合并，得
－x -8．
化系数为1，得
x 8．
学生归纳：
解一元一次不等式的步骤：
去分母－去括号－移项－合并－系数化为1．
去分母和系数化为1，要看不等式两边同时乘的是正数还是负数，同乘同一个正数不等号不改变方向，同乘同一个负数不等号改变方向。
课题
9.2一元一次不等式
教材
人教版数学7年级下
教学目标
【知识与技能】
1．了解一元一次不等式的概念。
2．会解一元一次不等式，并能将其解集在数轴上表示出来。
七年级下册数学一元一次不等式讲解
七年级下册数学一元一次不等式讲解一元一次不等式是初中数学中重要的一部分，它是线性不等式的一种。
在七年级下册数学中，我们学习了一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
下面，我们就来详细探讨一下这一部分内容。
一、基本概念一元一次不等式是形如ax+b>c（或ax+b<c）的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
其中，a不等于0，称为不等式的系数；b称为常数项；c称为右端常数。
如果不等式中的符号是“>”，则称该不等式为大于型不等式；如果符号是“<”，则称该不等式为小于型不等式。
二、解法1. 移项法移项法是解一元一次不等式最常用的方法之一。
其基本思想是将含有未知数x的项移到不等式的同侧，将常数项移到不等式的另一侧。
例如：解不等式2x+3>7。
首先，将常数项3移到不等式的另一侧，得到2x>4。
然后，将含有未知数x的项2x移到不等式的同侧，得到x>2。
因此，该不等式的解集为{x|x>2}。
2. 相加相减法相加相减法也是解一元一次不等式的常用方法之一。
其基本思想是将两个不等式相加或相减，消去未知数x，从而求出x的取值范围。
例如：解不等式3x-2<4x+1。
首先，将常数项-2移到不等式的另一侧，得到3x-4x<1+2。
然后，将含有未知数x的项3x和4x相减，得到-x<3。
最后，将不等式两边同时乘以-1，改变符号得到x>-3。
因此，该不等式的解集为{x|x>-3}。
三、应用1. 线性规划线性规划是运用线性代数方法研究最优化问题的数学分支。
其中一个重要的问题就是线性规划问题。
而线性规划问题的建模过程中，往往需要使用到一元一次不等式。
例如：某厂家生产A、B两种产品，每天可以生产A、B两种产品各100件。
如果每件A产品利润为200元，每件B产品利润为300元，则该厂家每天最大利润为多少？设该厂家每天生产A、B两种产品分别为x、y件，则该问题可以建模为如下线性规划问题：Max Z=200x+300ys.t. x≤100, y≤100其中，s.t.表示约束条件。
数学人教版七年级下册解一元一次不等式
9．2 一元一次不等式第1课时 一元一次不等式的解法学习目标：1．理解一元一次不等式的概念；(重点)2．掌握一元一次不等式的解法．(重点、难点) 教学目标：一、情境导入1．什么叫一元一次方程？2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？二、合作探究探究点一：一元一次不等式的概念例1、 下列不等式中，是一元一次不等式的是( )A ．B ．C ．D ． 确定一个不等式是不是一元一次不等式的方法（化简后）（1）只含有一个未知数，未知数的次数是1 ;（2）不等式两边都是整式。
探究点二：解一元一次不等式例2、 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1) ； 解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．解：(2)去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 726x ->，321x x <+，43x ->，2503x >1213x +<（）（）221223x x +-≥（）32221x x +≥-（）（），6342x x +≥-，3426x x -≥--，8x -≥-，系数化为1，得 不等式的解集在数轴上表示如下：方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈．解一元一次不等式的步骤1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数化为11、纠错高手1、下列解不等式过程是否正确，如果不正确请给予改正。
解不等式去分母得 6x ＋ 3x ＋2(x+1) ≤1 － x ＋8去括号得 6x ＋ 3x ＋2x+1 ≤ 1 － x ＋8移项得 6x ＋ 3x ＋2x － x ≤ 1＋8－1合并同类项得 6x ≤ 8系数化为1，得 x ≥2．实战演练 解一元一次不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．3.课堂练习解不等式，并把它的解集表示在数轴上 ：(1) 2(2x －3)<5(x － 1)(2) 求 不等式 的非正整数解。
数学人教版七年级下册一元一次不等式及解法
《解一元一次不等式》教案人教新课标版
【教学目标】
知识与技能
1．了解一元一次不等式.
2．利用不等式性质解一元一次不等式，并通过解一元一次方程的步骤来探索解一元一次不等式的一般步骤，体会“比较”和“转化”的数学学习方法.
3．用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握.
过程与方法
1．通过类比一元一次方程的解法，引导启发学生掌握一元一次不等式的解法.
2．通过练习巩固，能正确应用不等式性质解一元一次不等式.
情感、态度与价值观
1．在教学过程中引导学生体会数学中“比较”和“转化”的思想方法.
2．通过本节的学习让学生体会不等式解集的奇异的数学美,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重、难点及教学突破】
重点 1．初步掌握一元一次不等式的解法.
2．掌握解一元一次不等式的一般步骤，并能用数轴表示解集.
难点正确应用不等式性质3解一元一次不等式，防止符号变化上的错误.
教学突破
教材中没有给出解法的一般步骤，所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程，突出抓住与方程解法不同的地方，加强“去分母”和“系数化为1”这两步骤的训练.在解不等式的过程中，与前几节课联系起来，重视将解集表示在数轴上，从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题。
【教学用具】直尺
【教学过程设计】
解下列不等式
它在数轴上的表示如图
出发。
还要注意边乘以（或除以）的数是正数还是负数，才能确定不等号的方
2.
【教学反思】。
人教版七年级数学下册一元一次不等式组(基础) 知识讲解
人教版七年级数学下册一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3xx>⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3xx<⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3xx<⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3xx>⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x>；（2）3x<-；（3）32x-<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1)313112123x xx x+<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x+>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。
人教版七年级下册数学《一元一次不等式》不等式与不等式组教学说课复习课件指导
（一元一次不等式）
解
数学建模
不 等
式
实际问题的解答
检验
数学问题的解 （一元一次不等式的解集）
巩固练习
2．某次知识竞赛共有20道题，每一道题 答 对得10分，答错或不答都扣5分．小明得分 要超过90分，他至少要答对多少道题？
巩固练习
解：设至少要答对 x道题. 10x 5(20 x) 90, 10x 100 5x 90, 10x 5x 90 100, 15x 190， x 12 2 . 3
解一元一次方程的依据是等式的性质．
解一元一次方程的一般步骤是： 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1） 2（1 x） 3
问题（1） 解一元一次不等式的目标是什么？
问题（2） 你能类比一元一次方程的步骤，解这个不等式吗？
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
怎样将不等式 2 x 2x 1 变形，使变形后的不等
2
3
式不含分母？
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（2） 2 x 2x 1
2
3
解：去分母，得 3（2 x） 2（2x 1），
去括号，得 6 3x 4x 2，
移项，得 3x 4x 2 6， 合并同类项，得 x 8，
系数化为１，得 x 8．
步骤
依据
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1
不等式的性质2 去括号法则 不等式的性质1 合并同类项法则 不等式的性质2或3
问题8 解一元一次不等式和解一元一次方程 有哪些相同和不同之处？
相同之处： 基本步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1． 基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次方程或 一元一次不等式变形为最简形式．
七年级下册数学一元一次不等式讲解
七年级下册数学一元一次不等式讲解七年级下册数学一元一次不等式讲解一、什么是一元一次不等式？一元一次不等式是关于一个未知数 x 的一次不等式，形如 ax + b > c、ax + b ≥ c、ax + b < c 或ax + b ≤ c。
其中，a、b、c 均是实数且a ≠ 0。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法将所有项移项，使不等式式子左侧只保留一个 x例如：3x + 4 < 7x - 5，移项后得到 3x - 7x < -5 - 4，即 -4x < -9将不等式式子两侧同时除以-4，注意如果变号需要将不等式符号改变，即得到 x > 9/42. 相加相减法对不等式式子两侧加或减一个相同的式子，得到一个新的不等式，但不等式的根据不变例如：2x + 3 > x - 1，两侧减去 x 和 3，得到 x > -43. 等价变形法通过等式的性质，将原不等式式子逐步变形为比较简单的等式，再求出 x 的取值范围例如：2x - 3 > 5 - x，首先将不等式两侧同时加上 x + 3，得到 3x > 8，再将不等式式两侧同时除以 3，即得到 x > 8/3三、不等式组1. 由两个及以上不等式组成的称为不等式组例如：2x + 3 > x - 1，3x - 2 ≤ 2x + 5，称为带有两个不等式的不等式组不等式组的解法与一元一次不等式相似，将其中一个不等式的解用于另一个不等式中，求出最终解2. 求解不等式组中 x 的取值范围时，要满足所有不等式都成立例如：2x - 3 > x，3x - 2 ≤ 2x + 5，将 2x - 3 > x 变形得到 x > 3，将 3x - 2 ≤ 2x + 5 变形得到x ≤ 7，因此 x 的取值范围是3 < x ≤ 7四、图像解法将一元一次不等式看作一条直线，即一元一次方程的图像，将不等式符号中间的等于号改为不等于号，则图像左侧的点表示不等式的解，右侧的点表示不满足不等式的解例如：2x - 3 > x，变化不等式符号得到 2x - 3 ≥ x + 1表示 y = 2x - 3 和 y = x + 1 两条直线，前者表示原不等式，后者为辅助直线，两直线交于点 (4，5)，且使不等式成立的解是 x > 4五、练习题1. 3x - 2 < 7 - x2. 2(x - 4) > 3x - 83. 5 + 2x ≥ 3x - 1 and 4 - x ≤ x + 6注：本文中的解法仅供参考，实际的解题过程可能因为具体题目而有所不同。
初中数学知识归纳一元一次不等式的解法
初中数学知识归纳一元一次不等式的解法一元一次不等式是初中数学中常见的一种问题类型。
通过解一元一次不等式，可以帮助我们更好地理解数学中的不等关系，并应用到实际问题中。
本文将对初中数学中一元一次不等式的解法进行归纳总结。
一、一元一次不等式的基本概念在了解解一元一次不等式的方法之前，我们先来了解一下一元一次不等式的基本概念。
一元一次不等式是指形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c为常数，x为变量，且a ≠ 0。
解一元一次不等式的思路是找出x的取值范围，使得不等式成立。
二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的方法主要包括图像法、代数法和实际问题转化法等。
1. 图像法图像法是解一元一次不等式的常用方法之一，它通过将不等式转化成一元一次方程的图像，再利用图像的性质找到不等式的解。
例如，对于不等式2x - 3 > 1，我们可以首先将其转化为等式2x - 3= 1，并画出对应的一元一次方程y = 2x - 3和y = 1的图像。
然后观察两个图像的位置关系，即可确定不等式2x - 3 > 1的解集。
2. 代数法代数法是解一元一次不等式的常用方法之一，它通过变形和运算等操作，将不等式转化为更简单的形式，并找出不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 ≤ 7，我们可以通过变形将不等式转化为3x ≤ 3，并继续变形为x ≤ 1的形式，从而得到不等式的解集。
3. 实际问题转化法有些时候，我们可以将实际问题转化为一元一次不等式的形式，然后再解决问题。
例如，问题描述为：“某商场举行折扣活动，原价为x元的商品打8折后的价格不超过100元，求原价x的取值范围。
”我们可以建立不等式0.8x ≤ 100，并解得x ≤ 125。
因此，原价x的取值范围为x ≤ 125。
三、一元一次不等式的解集表示方法解一元一次不等式时，通常会得到一组解集。
解集可以通过不等号的方向和存在性来表示。
人教版七年级数学下册第14讲 一元一次不等式_教案讲义及练习
第14讲 一元一次不等式教案9．2 一元一次不等式(1)教学目标1．体会一元一次不等式的形成过程．2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．重点难点重点在一元一次不等式建立模型的基础上，理解什么是一元一次不等式．教学的过程中，要让学生通过回顾、观察、思考，归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方程等概念加以比较，进一步加深对这些概念的理解．难点体会不等式的作用，训练解不等式的技能．教学设计一、复习引入前面我们已经学习了不等式及其相关概念，下面请同学们完成下面的题目．1.写出下列各不等式的解集．(1)x ＋3>6； (2)x ＋5≥9；(3)x ＋7<15; (4)x －1≤9.2．化简：(1)3x ≤4________(不等式性质________)；(2)x －7≥－3________(不等式性质________)．二、讲授新课师：观察下列不等式：x －7>26，3x ＜2x －1，23x>50，－4x>3.它们有哪些共同特征？ 生：它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.师：回答得很好．类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．通过前面的学习，同学们知道不等式x －7>26的解集是多少吗？生：x>33.师：是怎么解的呢？生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的．这相当于由x －7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．【例】 解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)2(1＋x)＜3; (2)2＋x 2≥2x －13. 解：(1)去括号，得2＋2x ＜3.移项，得2x ＜3－2.合并同类项，得2x ＜1.系数化为1，得x ＜12. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)去分母，得3(2＋x)≥2(2x －1)．去括号，得6＋3x ≥4x －2.移项，得3x －4x ≥－2－6.合并同类项，得－x ≥－8.系数化为1，得x ≤8.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．三、巩固练习解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集．1．2(1－x)＜x －2.2．11－3x ≥2(x －2)．3．x －4≥3(x ＋2)．【答案】 数轴略 1.x ＞432.x ≤33.x ≤－5. 四、课堂小结在本节课的教学过程中，让学生通过与一元一次方程的解法进行类比，主动探求一元一次不等式的解法．结合等式与不等式基本性质的差异，找出方程与不等式解法中的不同之处，对于不等式的解有无数多个，学生不易理解，教学中给学生足够的时间进行交流和讨论，帮助学生理解，用数轴表示不等式的解集是数形结合的具体体现．9．2 一元一次不等式(2)教学目标1．会从实际问题中抽象出数学模型．2．会用一元一次不等式解决实际问题．重点难点重点寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．难点弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．教学设计一、创设情境，引入新课我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关 系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大 量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你会怎么考虑？ 如何选择？二、讲授新课1.分组活动．先让学生独立思考，理解题意．再在 组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论 述理由．2.在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳 出以下三种采购方案：(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)什么情况下，两个商场收费相同？3.我们先来考虑方案(1)：设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠．问题1：如何列不等式？问题2：如何解这个不等式？在学生充分讨论的基础上，教师归纳并总结如下：解：设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠，则6000＋6000(1－25%) (x－1)<6000(1－20%)x，去括号，得6000＋4500x－4500<4800x，移项且合并，得－300x<－1500，不等式两边同除以－300，得x>5.答：购买5台以上的电脑时，甲商场更优惠．4.让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成的情况，教师最后做适当点评．三、例题讲解【例1】去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即明年空气质量良好的天数明年天数＞70%.解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x，去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质良好，并且x＋365×60%365＞70%.去分母，得x＋219＞255.5.移项，合并同类项，得x＞36.5.由x应为正整数，得x≥37.答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.【例2】甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：(1)累计购物不超过50元；(2)累计购物超过50元而不超过100元；(3)累计购物超过100元．解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少．(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．①若到甲商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．解得x＞150.这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．②若到乙商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．解得x＜150.这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．解得x＝150.这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．四、课堂小结用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题．。
第十四课 七下(数)第十一章 解一元一次不等式
个性化教学设计
年级：七年级教师: 科目：数学
日期: 时段:
课题解一元一次不等式；
重难点透视 1.解一元一次不等式的步骤；
教学内容
1.温故知新：
（1）什么叫一元一次方程？
只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程；
（2）一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的（等号）两边都是怎样的式子？
一元一次方程的（等号）两边都是整式、只含有一个未知数，并且未知数的指数是1；
（3）一元一次方程的（完美）定义：
“只含有一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程。
2.知识讲解：
这些不等式有哪些共同特点？
共同特点：这些不等式的两边都是等式，只含有一个未知数、并且未知数的（最高）指数是1。
解一元一次方程的步骤：
1.去分母
2.去括号
3.移项
4.合并同类项
5.系数化为1
解不等式：
3.归纳提升：
区别在哪里：
在去分母和系数化为1的两步中，要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；
课后作业
课堂反馈：○非常满意○满意○一般○差学生签字：
学案
学生姓名：年级：科目：
基础知识点内容。
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第十四讲：一元一次不等式（组）------综合复习
一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ）
(A)由a ＞b ，得a －2＜b －2 (B)由a ＞b ，得－2a ＜－2b
(C)由a ＞b ，得a ＞b (D)由a ＞b ，得a 2
＞b 2
2、下列不等式组无解的是（ ）
A ．2010x x -<⎧⎨
+<⎩ B. 1020x x -<⎧⎨+>⎩ C. 1020x x +>⎧⎨->⎩ D. 10
20
x x +<⎧⎨->⎩
3、不等式组240,10x x -<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2010 济南）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是 （ ）
A ．32x x >-⎧⎨
⎩≥ B ．32x x >-⎧⎨⎩≤ C ．32
x x <-⎧⎨⎩≥
D ．3
2
x x <-⎧⎨
⎩≤
5、不等式组20
30x x -<⎧⎨
-≥⎩
的正整数解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6、等式组⎩⎨
⎧+>+<+1
,
159m x x x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是（ ）
A ． m ≤2
B ． m ≥2
C ．m ≤1
D ． m >1
7、不等式组()⎪⎩
⎪
⎨⎧<-+<+043
321413x x 的最大整数解是（ ） A 、0 B 、－1 C 、－2 D 、1 8、不等式组⎩
⎨
⎧><m x x 8
有解，m 的取值范围是（ ） A 、m>8 B 、m ≥8 C 、m<8 D 、m ≤88 9、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解在2与10之间，则m 的取值范围是（ ） A 、m>8 B 、m<32 C 、8<m<32 D 、m<8或m>32
10．若关于x 的不等式0
721x m x -<⎧⎨-≤⎩
的整数解共有4个,则m 的取值范围是( )
A.6<m<7
B.6≤m<7
C.6≤m≤7
D.6<m≤7
11、初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A 、至多6人
B 、至少6人
C 、至多5人
D 、至少5人
12、（2010青海西宁）西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）
A ．至少20户
B ．至多20户
C ．至少21户
D ．至多21户 二、填空题（（每小题3分，共12分）
13．写出一个不等式组的解集为-1<x<0,这样的不等式组为
14、某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共l5支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 支．
15、如果不等式组2
223
x
a x
b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．
16、幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，
那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 ___________件． 三、解答题（共72分）
17、解不等式（组），并在数轴上表示它的解集（每题4分，共12分）
（1）11
(1)223
x x -<-
（2）532(1)31
4(2)
2
x x
x -≥⎧⎪
⎨-<⎪
⎩
（3）14321<--<-x （4）2(1)4
1413
x x x
x +-<⎧⎪
+⎨>-⎪⎩
18、（6分）k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10?
19、（6分）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-1
22n m x n
m x 的解集是3≤x ≤5，求()52n m +的值。
20、（6分）当k 取何值时，方程组⎩
⎨⎧-=+=-52,
53y x k y x 的解x ，y 都是负数．
21、（8分）⎪⎩
⎪
⎨⎧-->+++<-4138)1(3282)12(3x x x x （1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程ax+6=x-2a,求a 的值。
（3）求2007
20082
1-
a 的值。
22.（10分）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？
23、（12分）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
24、（12分）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100
台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民
多少元？
（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套
6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物
品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．。