《数值计算方法》复习试题及答案
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在(）。
3、已知是三次样条函数，则=（)，=（),=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（)，（），当时（)。
5、设和节点则和.6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为.7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足,且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法.10、设，当（）时,必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分)1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1），（2) ，（3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当（)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1），（2），（3), （4）,（1)二次; （2)三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为( ）。
（1），(2）, (3)，（4)三、1、(8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2、（15(1)（1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位.选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.2、（8分）已知方程组,其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法的分量形式。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
六、（下列2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如
0xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)（1）（1）试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）
1
2、
设f(x)C[0,1]，推导余项公式
误差。2、用二步法
4
R(x)
1
xf(x)dxS(x)
，并估计
yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]
4
数值试题
AX
1
__________，cond(A)
1
__________。
f(x0)f(x1)
具有最高的代
f(x)dx
5、为使两点的数值求积公式：1
x2__________。数精确度，则其求积基点应为x1__________，
6、设ARnn，ATA，则(A)（谱半径）__________
填小于、大于、等于）
1A2
147、设
012
A
2
。（此处
，则k__________。
三、简答题：（9分）1、1、方程x42x在区间1,2使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
x
(完整版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
计算机数值计算方法试题 计算机数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(()，∑==nk k j kx l x)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k nk k( )。
5、设1326)(247+++=x x xx f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =（ ),c =( ）.4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk k x l)(( ），∑==nk k j kx lx 0)(（ ）,当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数,当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
(1)0h2, (2)0h2, (3)0h2, (4)0
h2
2
三、1、（8分）用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据：
yn1ynhf(xn
h,yn
h
f(xn,yn))
1
2、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0dx时，
(1) (1)试用余项估计其误差。
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
（）
i13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代
数精确度的次数为2n1。（）abnf(x)dxAif(xi)
2A1
0４、矩阵
2aA0
05、设aa0111012的２－范数A2＝９。（）00a，则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的。（用）（）
6、设ARnn，QR，且有QQI（单位阵），则有A2QA2。
1
数值试题
10、设
1A0
a
01a
a
a1，当a（
）时，必有分解式ALLT，
其中L为下三角阵，当其对角线元素lii(i1,2,3)满足（）
条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分）1、解方程组Axb的简单迭代格式x（）。
（1）(A)1, (2)(B)1, (3)
《数值计算办法》试题集及参考答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(12+-n a b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =( ),c =( ）．4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Ｌａgrang ｅ插值基函数，则∑==nk k x l)(( ),∑==nk k j kx lx 0)(（ )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
５、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f ． 6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法.10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ( ）时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( ）条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =( ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(（ )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( ）。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ .8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法.10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ( ）时,必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》试题及答案
数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
2. 若132)(356++-=x x x x f ，则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）A. 都发散；B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）A. 02≤≤-h ；B. 0785.2≤≤-h ；C. 02≤≤-h λ；D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分）1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2x 5，=1Ax 16 ，=2A 22115+2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。
3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值；解：1.用复化梯形公式计算 取2.048.16.2,4=-==h n 1分分分分7058337.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))()(2)((231114=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f hT k n k k10.466758.030146.042414.425693.12014f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x2. 用复化Simpson 公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值。
数值计算方法试题与解答
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分,共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分( ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（).3、已知是三次样条函数，则=（)，=（)，=()。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（)，（），当时( ）.5、设和节点则和.6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛.9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当( ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足( ）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( ）。
（1），（2）, (3）, （4）2、在牛顿—柯特斯求积公式：中,当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（)时的牛顿—柯特斯求积公式不使用。
（1)，（2），（3），（4）,3（1）二次; （2)三次；（3）四次；（4)五次4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1）, (2），(3), （4)三、1、（82、（15分)(1)(1）试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式(或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分）方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式（1)对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式.判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组,其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
(完整版),数值计算方法试题及答案,推荐文档
数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
xk 1
1 2 (xk
a xk
)
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
六、（9
3
分）数值求积公式 0
f
( x)dx
（ ）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2 三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下
数据：
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
2、（15 分）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算
2、设函数 f (x) 于区间a,b上有足够阶连续导数， p a,b为 f (x) 的
一个 m
重零点，Newton
迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f '(xk )
的收敛阶至
少是 __________阶。
３、区间a,b上的三次样条插值函数 S(x) 在a,b上具有直到
__________阶的连续导数。
数值计算方法试题二
一、判断题：（共 16 分，每小题２分）
１、若 A 是 n n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L 和上三角阵
U ，使 A LU 唯一成立。 （ ）
２、当 n 8 时，Newton－cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）
3、形如
ab
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(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组 ，第1次消元，选择主元为(A)。
(A)－4(B)3(C)4(D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。
A．控制舍入误差B．减小方法误差
C．防止计算时溢出D．简化计算
9、用1+ 近似表示 所产生的误差是(D)误差。
A．舍入B．观测C．模型D．截断
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。
A．5B．6C．7D．8
11、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；
11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
12、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式 改写为 。
《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、 ，则A的LU分解为 。
答案：
3、 ，则过这三点的二次插值多项式中 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，
4、近似值 关于真值 有(2)位有效数字；
5、设 可微,求方程 的牛顿迭代格式是()；
答案
6、对 ,差商 (1), (0)；
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；
解：（1） ， ，故收敛；
（2） ， ，故收敛；
（3） ， ，故发散。
选择（1）： ， ， ， ， ，
，
23、（8分）已知方程组 ，其中
，
（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
0.40.50.60.70.8
0.389420.479430.564640.644220.71736
如用二次插值求 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解：应选三个节点，使误差
尽量小，即应使 尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 最好，实际计算结果
，
且
7、构造求解方程 的根的迭代格式 ，讨论其收敛性，并将根求出来， 。
21、如果用二分法求方程 在区间 内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知 是三次样条函数，则
=(3)， =（3）， =（1）。
23、 是以整数点 为节点的Lagrange插值基函数，则
(1)， ( )，当 时 ( )。
24、
25、区间 上的三次样条插值函数 在 上具有直到_____2_____阶的连续导数。
xi
1.36
1.95
2.16
f(xi)
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0<x<1时， ex，则 ，且 有一位整数.
要求近似值有5位有效数字，只须误差 .
由 ，只要
即可，解得
所以 ，因此至少需将[0,1]68等份。
11、用列主元素消元法求解方程组 。
，
31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算 的近似值，并利用余项估计误差。
用Newton插值方法：差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.0000941136
10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
解：（1）Jacobi迭代法的分量形式
Gauss-Seidel迭代法的分量形式
（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
，
， ，Jacobi迭代法收敛
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
，
， ，Gauss-Seidel迭代法发散
40、(10分)已知下列函数表：
0
1
2
3
1
3
9
27
(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
1、已知观察值 ,用最小二乘法求n次拟合多项式 时， 的次数n可以任意取。()
2、用1- 近似表示cosx产生舍入误差。()
3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()
5、矩阵A= 具有严格对角占优。()
四、计算题：
答案：解：令 .
且 ，故 在(0,1)内有唯一实根.将方程 变形为
则当 时
，
故迭代格式
收敛。取 ，计算结果列表如下：
nபைடு நூலகம்
0
1
2
3
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
且满足 .所以 .
8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 。
答案：解：
令 得 ， 得 .
9﹑对方程组
（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2）取初值 ，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求 。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取 ,经7步迭代可得：
.
10、已知下列实验数据
C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零
5、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。
A．6B．5 C．4D．7
7、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。
A．模型B．观测C．截断D．舍入
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
20、（8分）用最小二乘法求形如 的经验公式拟合以下数据：
19
25
30
38
19.0
32.3
49.0
73.3
解：
解方程组
其中
解得： 所以 ，
22、（15分）方程 在 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） 对应迭代格式 ；(2) 对应迭代格式 ；（3） 对应迭代格式 。判断迭代格式在 的收敛性，选一种收敛格式计算 附近的根，精确到小数点后第三位。
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取 ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式
k
0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
2、已知
1
3
4
5
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 的三次插值多项式 ，并求 的近似值（保留四位小数）。
答案：
差商表为
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
5、已知
-2
-1
0
1
2
4
2
1
3
5
求 的二次拟合曲线 ，并求 的近似值。
答案：解：
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为
6、已知 区间[0.4，0.8]的函数表
(A) ；（B） ；（C） ；（D） 。
35、已知方程 在 附近有根，下列迭代格式中在 不收敛的是()
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
36、由下列数据
0
1
2
3
4
1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为()
(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ ）。
（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次
25、取 计算 ，下列方法中哪种最好？（ ）
(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。