抛硬币实验报告单
让学生在猜想和验证中体验、感悟--------《抛硬币》教学案例及反思
让学生在猜想和验证中体验、感悟--------《抛硬币》教学案例及反思Let students experience and comprehend in c onjecture and verification让学生在猜想和验证中体验、感悟--------《抛硬币》教学案例及反思前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。
【教学内容】新世纪小学数学第三册《抛硬币》【教学目标】1.在活动情境中体验事件的发生有的是确定的，有的则是不确定的。
2.能对一些简单事件发生的可能性作出判断，并会用可能、一定、不可能加以描述。
3.知道事件发生的可能性有大有小。
4.在简单的猜测和实践活动中体验成功的快乐，树立自信，激发兴趣，培养主动探索的精神。
5.体验数学与生活的密切联系，培养学生在生活中处处留心，学习生活中的数学的习惯。
【教学重点】探索事件发生的确定性与不确定性，初步体验可能、一定、不可能，能用自己语言加以描述。
【教学难点】感受事件发生的可能性有大有小。
【设计理念】以新课程理念为指导，在教学时充分考虑到低年级学生的特点，以活动为主线组织教学，让学生在活动中学习，在活动中发展，使他们在活动中体验到学习数学的成功与快乐。
1.学习生活中的数学是《数学课程标准》的重要理念精髓。
因此在教学活动中，创设与现实生活紧密联系的活动情境，让学生在活动情境中学习数学、感受数学、体验数学与生活的密切联系，让他们觉得数学是那么的亲切熟悉，从而产生强烈的自信心并快乐的学习。
2.课标指出：让学生动手实践，自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。
《抛硬币》教案
《抛硬币》教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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投掷硬币实验报告
一、实验目的本次实验旨在通过投掷硬币的方式，验证硬币正反面出现的概率是否相等，从而了解随机事件的基本性质。
二、实验原理硬币投掷实验是一个典型的概率实验。
在理想情况下，一枚公平的硬币在投掷时，正面和反面出现的概率应该是相等的，均为50%。
通过大量投掷硬币的实验，我们可以观察到正反面出现的频率，并与理论概率进行比较。
三、实验材料1. 公平硬币一枚2. 投掷工具（如尺子）3. 记录表格4. 计算器四、实验步骤1. 准备实验材料，确保硬币公平。
2. 将硬币放置在投掷工具上，确保投掷过程中硬币的稳定性。
3. 每次投掷后，记录硬币的正反面结果。
4. 重复投掷硬币100次，确保样本数量足够大，以减少偶然性。
5. 将每次投掷的结果记录在表格中，包括正面和反面出现的次数。
6. 计算正面和反面出现的频率。
7. 利用计算器计算正面和反面出现的概率。
五、实验结果经过100次投掷硬币的实验，我们得到了以下结果：| 投掷次数 | 正面次数 | 反面次数 | 正面频率 | 反面频率 ||----------|----------|----------|----------|----------|| 100 | 51 | 49 | 0.51 | 0.49 |六、实验分析从实验结果可以看出，在100次投掷硬币的过程中，正面出现的次数为51次，反面出现的次数为49次。
正面频率为0.51，反面频率为0.49。
虽然实际频率与理论概率略有偏差，但两者非常接近，这表明在大量实验下，随机事件的结果会逐渐趋近于理论概率。
七、实验结论1. 在大量实验下，公平硬币投掷实验中正面和反面出现的频率基本相等，与理论概率相符。
2. 随机事件的结果具有偶然性，但在大量实验中，偶然性会被平均，使结果趋近于理论概率。
3. 本实验验证了随机事件的基本性质，为后续研究提供了参考。
八、实验反思本次实验中，由于实验次数有限，实验结果可能与理论概率存在一定偏差。
在今后的实验中，我们可以增加实验次数，以进一步提高实验结果的准确性。
《抛硬币》教案及反思 方琳
《抛硬币》教案设计二年级数学方琳教材分析：《抛硬币》是北师大版第三册第九单元《统计与猜测》的第三课时。
纵观教材共分三个活动：抛硬币、猜一猜、连一连，分别侧重说明三个问题：可能、不可能、一定。
让学生在有趣的游戏中，初步感受不确定现象，初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。
另外，抛硬币一课是学生第一次学习概率的知识，而且这节课的知识点就是让学生体会不确定性，为学生三、四五年级学习可能性有大有小的、游戏公平定量描述可能性做铺垫。
正因为是学生第一次接触到不确定现象，所以只要求学生能够用一些诸如“可能”“一定”“不可能”等词语来描述事件发生的可能性，并不要求学生求可能性的具体大小。
学生分析：对于二年级的孩子来讲，在本课之前有一定的生活经验，有一些简单的推理能力和分析问题的能力，更重要的是他们有充足的兴趣去做一些简单的游戏活动。
但是对于低年级的孩子来说他们的自控能力比较弱，课堂上不受控制的因素比较多。
做游戏前的游戏规则要给学生以明示。
教学目标：1、在简单的猜测活动中感受不确定现象，初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。
2、会用“一定”“可能”或“不可能”等词汇描述生活中一些事件发生的可能性。
3、培养学生初步的合作意识，及运用所学知识解决简单生活问题的能力。
重点：感受不确定现象难点：可能性”知识中一些“确定性事件”和“不确定性事件”。
教学准备：每两人一张小信封装一枚硬币，四人小组每组3张红色卡片、3张蓝色卡片和一个大的资料袋，师两张信封和题卡，统计记录表两种若干，相关课件。
《抛硬币》教学过程设计一、引入新课活动一：猜一猜游戏题卡会在哪个信封里1、今天，我给大家准备了两个游戏题，玩之前先说要求：会听会玩会合作。
师出示两张游戏卡片，生读课题。
现在把这两张游戏卡分别装在A和B两个信封里，你们猜有趣的“抛硬币”游戏卡，它可能在那个信封里？师：确定吗？（见证并板贴课题：抛硬币）师揭晓答案，板贴课题，宣布抛硬币游戏开始。
（3）抛硬币试验与游戏公平（我的五年级教学札记）
（3）抛硬币试验与游戏公平（我的五年级教学札记）抛硬币试验与游戏公平——我的五年级教学札记“游戏公平”的一个重要目标是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。
问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢?课前访谈了几个同学，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性相同”。
抛一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，结果是无法预料的，但直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等。
“一看就知道”的东西，为什么在概率论的发展历史上，曾有那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着着什么？事实上，通过试验来确定概率是有风险的。
课堂上，我们让孩子只能做有限的数十、上百次试验，试验结果很可能还会推翻最初的“直观”感觉。
当然，增加试验次数，可以降低这种风险，试验次数越多，结果越逼近理论值。
当大量重复抛掷一枚硬币时，二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2。
问题是，课堂时间毕竟是有限的。
考虑再三，我决定不让学生在课堂上做抛硬币试验，而是进行数学阅读。
附：数学阅读——抛硬币试验与游戏公平大家知道，玩游戏最重要的是公平。
足球比赛也是一种游戏，比赛开始前，裁判员用抛硬币的方法决定哪个队先开球，这是为什么呢？用这种方法决定哪个队先开球是否公平呢？下面我们就来一起探究一下吧。
人们在长期的生活中，发现世界上有一些事情的结果是无法预料的，例如抛硬币得到正面还是背面，但是，后来有些人发现，虽然单次的结果不可预料，但是如果我不断抛，抛很多次，正面结果占全部抛硬币次数的比率是趋于稳定的，而且次数越多越接近某个固定的数值。
换句话说，抛硬币这件事，单次结果不可预料，但是多次试验的结果却在总体上是有规律可循的。
北师大版二年级数学第三册抛硬币公开课教案与教学反思
北师大版二年级数学第三册抛硬币公开课教案与教学反思教学内容：北师大小学数学第三册抛硬币教学目标：1.在抛硬币、摸球等游戏活动中，体会事件发生的可能性，进一步体会到实践的确定性与不确定性。
2.经历猜测、实验、验证等探索过程，养成尊重事实的科学探索精神与合作意识。
3.通过对日常生活事件确定性的描述，提高学生对生活现象的分析和判断能力，激发学生应用数学的意识。
教学模式：创设情境，激趣导入——动手实践，探索新知——拓展提高，巩固练习教学重、难点：1.体会事件发生的可能性。
2.能发现生活中的可能性问题并加以解决。
教学媒体：硬币一枚、纸盒8个、黄色白色乒乓球若干、表格、生用转盘、红蓝彩笔教学过程：一、抛硬币同学们，你们喜欢做游戏吗？今天做一个抛硬币的游戏。
（教师出示硬币）师：一枚硬币有两个面，我们把有面值的一面叫做正面，把有国徽的一面叫反面。
我把它往上一抛，你们猜一猜硬币落下后哪面朝上？生：学生正、反面的猜测声不断传出。
意图：创设情境，激发兴趣。
师：下面老师来抛硬币，请你们猜，看看你们谁猜得对，好不好？（师抛三次，请同学们猜。
）师：从抛硬币的结果，你发现了什么？生：有时正面朝上，有时反面朝上。
师：也就是说可能正面朝上，也可能反面朝上。
这就是我们今天要研究的可能性的问题。
（板书：可能性）师：你觉得什么是可能呢？教师总结：像这样无法确定哪种情况会发生的现象，我们就用“可能”来描述。
（板书：可能不确定）师：生活中不仅存在着可能性，而且可能性还是有大小的。
二、摸球游戏（一）体会有些事情可能发生下面我们就通过摸球的实验来确定可能性的大小。
（板书：大小）师：每组一个布袋，装有黄白两种颜色的球。
每次摸一球并记录颜色，然后放回袋里，把手伸进去搅拌一下再摸，共摸10次。
每组一人记录，一人拿布袋，其他人摸球。
注意摸球时不能看。
（边提要求边示范游戏过程）教师巡视指导。
生：学生分小组活动，边摸球，边记录，然后小组进行讨论。
意图：进一步积累活动经验，丰富体验，深化知识。
仙阳中心小学北师大版第三册抛硬币
《抛硬币》教学设计仙阳中心小学:占俐敏教学内容：义务教育课程标准实验教科书(北师大版)二年级上册第92----93页。
知识目标：1、在游戏活动中体会事件发生的可能性，初步体会到有些事件的发生是确定的，有些事件地发生则是不确定的，并能用“可能、一定、不可能”进行描述，形成一些解决问题的策略。
2、初步体会可能性的大小。
能力目标：培养学生对日常生活中事件的判断能力、解决问题的能力及学生间合作能力。
情感目标：激发学生的求知欲望，在操作中培养学生主动探索和思考问题的习惯。
教学重点：能根据不同的事件运用“可能、一定、不可能”进行描述。
教学难点：根据实验结果得出合理的结论。
教学准备：1、分小组：2人一小小组，4人一大小组。
每大组一个组长，一个助手。
2、每两人准备一个硬币。
3、准备8个盒子，每小组一个盒子，盒里有6个乒乓球（3个白球和3个黄球或3个蓝球和3个红球或6个白球或6个黄球），准备8张大统计表（每组一张统计表）。
32张小统计表（每人一张统计表）。
教学过程：一、故事引入：同学们，今天上课前，老师先给大家讲一个有趣的故事。
在古代欧洲某国，有一个大臣冒犯了国王，国王大怒，决定将大臣处死。
按照该国当时的法律，死囚在临刑前还有一次选择征生死的机会，那就是由大法官拿来一个盒子，盒子里有两张纸片，分别写有“生”与“死”。
如果摸到“生”则“生”，如果摸到“死”则“死”。
同学们，你们认为这个大臣会摸到什么呢？学生回答。
生：可能会摸到“生”，也可能会摸到“死”。
生：两种可能都有。
（师补充，也就是说我们不能确定这个大臣究竟是生还是死。
）可是，国王偏偏想让这个大臣死，于是派人悄悄地把盒中的“生”字拿掉，换成“死”字，而大法官并不知道。
同学们，你们想想，这下大臣的命运会怎么样呢？生：这个大臣不管摸到哪张纸片都是“死”字，所以这位大臣一定得死。
有个好心人悄悄地把这个秘密告诉了大臣，这个大臣想了一夜，终于想了一个好办法。
临刑前，当大法官把盒子拿来要大臣选择生死时，这个大臣拿起盒中的一张纸片，看也不看，猛地吞进肚里，在场的人都惊呆了，因为不知道他究竟拿了哪张纸，大法官只好命人看盒中的另一张纸，只见另一张纸上写着“死”字，大法官便说：“大臣一定吞下了‘生’字，他不该死。
《抛硬币》教案范文
《抛硬币》教案范文作为一位优秀的人民教师，就难以避免地要准备教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
我们应该怎么写教案呢？下面是小编帮大家整理的《抛硬币》教案范文，希望对大家有所帮助。
《抛硬币》教案1活动目标：1、尝试借助硬币进行6的分合，知道6有5种不同的分法。
2、学会用数字记录自己的操作结果，并能用语言清楚地表达。
活动准备：1、记录纸、笔。
2、每人准备6个硬币、每人一份练习题。
活动过程：1、出示硬币导入活动。
1）师：前几天殷老师布置给小朋友一个任务，请每个小朋友带6个1块钱的硬币来幼儿园，今天我发现每个小朋友都带齐了，真棒！现在你们带来的硬币都在中间的箩筐里，请你们每人拿一个看看硬币是什么样子的？（引导幼儿认识花面和字面并游戏）2）师：那硬币有什么用呢？（幼儿自由回答）小结：硬币除了可以买东西，还可以跟我们做游戏呢！你们信不信？教师介绍游戏的玩法：今天殷老师就要和小朋友来玩一个抛硬币的游戏！师：等会儿请每个小朋友拿6个硬币放在手心里面，用两只手摇一摇，然后轻轻地抛在桌上，看看有几个是花面朝上，几个是字面朝上，最后把结果记录在老师呆会儿发给你的记录纸上，小朋友可以多抛几次，把抛的不一样的结果记录下来，听明白没有？1）幼儿操作。
师：现在你们想不想来试一试？谁能说一说抛的时候要注意些什么呢？（不能太用力、不能让你的硬币滚到地上去，这样会影响其他小朋友的）2）教师统计操作结果。
师：谁愿意来说一说，你抛的结果是怎样的？还有哪个小朋友抛出的结果和他不一样？（请幼儿交流自己的结果）师：我们小朋友看看呢！6个硬币一共有几种不一样的分法？那你们觉得这5种分法这样排看上去有没有规律？怎样排才让这些数字看上去更有规律？（按12345的规律）现在我请小朋友一起把我们重新排过的5种分法来读一读好吗？3）幼儿做练习。
师：现在殷老师要来考考大家了，我要把黑板上的6的5种分法遮住，请小朋友完成老师发给你们的空表格，你们有没有信心完成？3、游戏：逛超市。
抛硬币的概率分析
抛硬币的概率分析抛硬币是一种常见的随机实验，也是概率论中的经典问题之一。
在这个问题中，我们将对抛硬币的概率进行分析和探讨。
一、抛硬币的基本原理抛硬币是一种离散型随机实验，它的结果只有两种可能：正面或反面。
在理想情况下，抛硬币的结果是随机的，每一次抛硬币的结果都是独立的，即前一次的结果不会对后一次的结果产生影响。
二、抛硬币的概率计算1. 单次抛硬币的概率在一次抛硬币的实验中，硬币的结果只有两种可能：正面或反面。
因此，每一种结果的概率都是1/2，即50%。
2. 多次抛硬币的概率在多次抛硬币的实验中，我们可以计算出某一种结果出现的概率。
例如，我们抛硬币10次，想要计算正面朝上的概率。
根据概率的加法原理，我们可以将每一次抛硬币正面朝上的概率相加，即10次抛硬币中正面朝上的次数除以总次数。
假设正面朝上的次数为n，总次数为N，则正面朝上的概率为n/N。
三、抛硬币的实际应用抛硬币的概率分析在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 决策问题当面临两个或多个选择时，我们可以通过抛硬币来做出决策。
例如，两个人要决定谁去买午餐，可以通过抛硬币来决定。
这样可以确保决策的公平性，因为每个人都有相同的机会。
2. 概率问题抛硬币的概率分析可以帮助我们解决一些概率问题。
例如，如果我们抛硬币100次，想要计算正面朝上的次数大于60次的概率，我们可以使用概率计算公式来计算。
3. 实验教学抛硬币是一种简单且易于理解的随机实验，可以用于教学中。
通过抛硬币的实验，学生可以更好地理解概率的概念和计算方法。
四、抛硬币的局限性尽管抛硬币是一种常见的随机实验，但它也有一些局限性。
以下是一些常见的局限性：1. 硬币的不均匀性实际上，硬币并不是完全均匀的，可能存在一些微小的偏差。
这种偏差可能会导致抛硬币的结果不完全随机。
2. 抛硬币的环境因素抛硬币的结果可能会受到环境因素的影响，例如抛硬币的力度、角度等。
这些因素可能会导致抛硬币的结果不完全随机。
抛硬币试验误差模型及分布规律
㊀㊀㊀㊀㊀㊀抛硬币试验误差模型及分布规律抛硬币试验误差模型及分布规律Һ高㊀宏㊀（清华大学精密仪器系，北京㊀１０００８４）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题，引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差等概念，用随机过程分析方法建立了抛硬币试验误差的数学模型，从空间和时间两个维度给出了抛硬币试验误差的统计规律，证明了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数成正比等结论，可从理论上对抛硬币试验中出现的各种误差现象及问题进行解释．ʌ关键词ɔ抛硬币试验；误差模型；频率稳定性；概率统计定义一㊁引㊀言抛硬币试验是概率论课程引出频率稳定性和概率统计定义的重要教学内容．抛硬币试验由于操作简便㊁容易理解，成为概率论课程中介绍随机现象具有统计规律的经典案例，也还能通过观察分析引出频率和概率的统计定义，形象说明频率与概率之间的联系与区别，以便让学生在生动有趣的随机试验过程中建立良好的概率直觉．但是实际的抛硬币试验结果却表明，在试验次数相同的情况下，不同小组的试验结果离散性很大，而且无论抛多少次，硬币正反两面出现的次数总是有较大的差距，抛硬币试验的次数越多，正反两面出现的次数并不是越来越接近，而是相差越来越大，反而让学生对随机现象的统计规律感到困惑．本文建立了抛硬币试验的误差模型，并给出了误差分布的规律．二㊁抛硬币试验误差定义抛硬币试验的目的，是让学生通过抛硬币的试验过程，一方面体验随机事件的不确定性，另一方面体验大量重复试验中的统计规律，即硬币出现正面和反面的次数大致相等，各占总试验次数的比例（频率）会稳定于０．５．理想的抛硬币试验结果是：当试验次数较大时，硬币出现正面和反面的次数完全相等，即正面出现次数与反面出现次数之差等于零．但是在实际的抛硬币试验中，很少会出现这种情况．因此，我们将抛硬币试验结果中硬币正面出现次数与反面出现次数之差定义为绝对误差．绝对误差＝正面出现次数－反面出现次数．（１）绝对误差可能是正值，也可能是负值．正值表明硬币正面出现的次数多于反面出现的次数，负值表明硬币正面出现的次数少于反面出现的次数．定义相对误差为绝对误差与总试验次数之比，有相对误差＝绝对误差总试验次数．（２）在抛硬币试验中，频率是指硬币正面出现的次数与总试验次数之比．随着试验次数的增加，频率将越来越接近概率０．５，因此，定义频率误差为实际频率与０．５之差．频率误差＝实际频率－０．５．（３）由式（１）可推导出硬币正面出现的次数为正面出现次数＝１２（总试验次数＋绝对误差）．（４）因此，有频率误差＝１２相对误差．（５）三㊁抛硬币试验误差模型设有Ｎ组同学做抛硬币试验，每组的试验次数均为ｎ，规定所有人在同一时刻抛出硬币，而且抛硬币的时间间隔相等，则抛硬币试验可看作一个随时间演变的随机过程．观察其中第ｊ组的抛硬币试验过程，设ｘｊ（ｉ）为第ｊ组第ｉ次的抛硬币结果，如果出现正面，令ｘｊ（ｉ）＝１，如果出现反面，令ｘｊ（ｉ）＝－１，则ｘｊ（ｉ）为第ｊ组抛硬币试验的一个时间序列．虽然事先无法准确预知每次抛掷硬币将出现正面还是反面，但是每次抛出只会出现一个结果，即ｘｊ（ｉ）与ｉ一一对应，因此，ｘｊ（ｉ）是ｉ的函数，亦即随机过程的一个样本函数．设Ｘ（ｉ）为第ｉ次抛硬币试验的随机变量，则所有Ｎ组第ｉ次抛硬币的结果ｘ１（ｉ），ｘ２（ｉ）， ，ｘｊ（ｉ）， ，ｘＮ（ｉ）就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．图１为Ｎ组抛硬币试验记录曲线．所有Ｎ组试验记录曲线在ｉ时刻的取值就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．随机过程即可看成所有样本函数ｘｊ（ｉ）的集合，也可看成所有随机变量Ｘ（ｉ）的集合．图１㊀抛硬币试验随机过程由于每次抛硬币的结果互不相关，因此，随机变量Ｘ（ｉ）独立同分布，设Ｐ［Ｘ（ｉ）＝１］＝Ｐ［Ｘ（ｉ）＝－１］＝１２，Ｙ（０）＝０，则抛硬币试验绝对误差的随机变量模型为Ｙ（ｎ）＝Ｘ（１）＋Ｘ（２）＋ ＋Ｘ（ｎ），（６）因此，Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）是大量独立同㊀㊀㊀㊀㊀分布随机变量之和．根据中心极限定理，当ｎ很大时，Ｙ（ｎ）服从或近似服从正态分布．由于Ｅ［Ｘ（ｉ）］＝０，Ｄ［Ｘ（ｉ）］＝１，因此，Ｙ（ｎ）的数学期望和方差为Ｅ［Ｙ（ｎ）］＝０，（７）Ｄ［Ｙ（ｎ）］＝ｎ，（８）这表明Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）服从参数为（０，ｎ）的正态分布．设ｙ（０）＝０，则单组抛硬币试验绝对误差的样本函数模型为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（９）注意：ｙ（ｎ）是单组的第ｎ次抛硬币试验结果（绝对误差），是一个确定的数，Ｙ（ｎ）是所有Ｎ组的ｎ次抛硬币试验结果，是一组试验数据，即［ｙ（１），ｙ（２）， ，ｙ（ｎ）］．式（９）的样本函数模型ｙ（ｎ）也可看作一个质点的随机游走模型．假设质点只能在数轴ｙ的整数点上移动（图２），从原点开始抛硬币，如果硬币正面向上，ｘ（１）＝１，质点向右移动１个单位，如果硬币反面向上，ｘ（１）＝－１，则质点向左移动１个单位．式（９）的ｙ（ｎ）即可看成第ｎ次抛硬币后正面出现次数与反面出现次数之差，也可看成随机游走的质点在第ｎ步时的位置．图２㊀质点随机游走位移从式（９）可以看出，抛硬币试验的绝对误差或随机游走位移ｙ（ｎ）不仅与当前时刻的ｘ（ｎ）有关，而且与之前所有时刻的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ－１）都有关，这表明ｙ（ｎ）具有很强的记忆性．将式（９）改写为ｙ（ｎ）＝１ｎðｎｉ＝１ｘ（ｉ）[]㊃ｎ＝ｘ（ｎ）㊃ｎ，（１０）式中ｘ（ｎ）为时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）的算数平均值，其物理意义表示随机游走的质点在区间［０，ｎ］上的平均速度．根据大数定律，算数平均值ｘ（ｎ）反映了时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）中的确定性部分，当ｎ充分大时，ｘ（ｎ）趋于一个常数，因此，单组抛硬币试验的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，或一个质点的随机游走位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比．四㊁抛硬币试验误差分析１．绝对误差绝对误差是指抛硬币试验结果中正面出现次数与反面出现次数之差．由式（８）抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的方差等于ｎ，可得Ｎ组抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的标准差为σｎ＝ｎ．（１１）由正态分布的性质，Ｙ（ｎ）落在区间［－３σｎ，＋３σｎ］内的概率为９９．７３％．式（１１）表明，Ｎ组抛硬币试验数据绝对误差的标准差与总试验次数ｎ的平方根成正比，因此，抛硬币试验次数ｎ越大，正面出现次数与反面出现次数之差也越大．２．相对误差相对误差是绝对误差与总试验次数之比，因此，相对误差落在区间－３σｎｎ，＋３σｎｎéëêùûú内的概率为９９．７３％，由于σｎｎ＝ｎｎ＝１ｎ，（１２）因此，Ｎ组抛硬币试验的相对误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，相对误差趋于零．３．频率误差频率误差是指抛硬币试验实际频率与概率０．５之差，式（５）表明频率误差等于相对误差的１２，因此，频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，频率误差也趋于零．表１给出了多组抛硬币试验不同试验次数时的绝对误差（ʃ３σｎ）㊁相对误差和频率误差的值．表１㊀抛硬币试验误差（ʃ３σｎ）次数（ｎ）绝对误差相对误差频率误差１０９．５９４．９％０．４７４２０１３．４６７．１％０．３３５３０１６．４５４．８％０．２７４４０１９．０４７．４％０．２３７５０２１．２４２．４％０．２１２６０２３．２３８．７％０．１９４７０２５．１３５．９％０．１７９８０２６．８３３．５％０．１６８９０２８．５３１．６％０．１５８１００３０．０３０．０％０．１５０５００６７．１１３．４％０．０６７１０００９４．９９．５％０．０４７１００００３００．０３．０％０．０１５１０００００９４８．７０．９％０．００５图３为８组不同抛硬币试验（次数ｎ＝１００）的绝对误差模拟试验曲线．图３㊀抛硬币试验绝对误差模拟实验曲线㊀㊀㊀㊀㊀㊀从抛硬币试验的误差分析可以得出以下结论：（１）多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，随着试验次数ｎ的增加，硬币正反两面出现的次数之差逐渐增大；（２）多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着试验次数ｎ的增加，相对误差和频率误差越来越小，当试验次数ｎ充分大时，相对误差和频率误差趋于零，即频率趋于概率０．５；（３）单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比，随着试验次数ｎ的增加，正反两面出现的次数之差越来越大．五㊁错误应用案例分析抛硬币试验结果说明，随着抛硬币试验次数的增大，硬币正反面出现的频率逐渐稳定于概率０．５．数值０．５是指在试验次数ｎ充分大的条件下，刻画硬币正反面出现事件可能性大小的一个数量指标．对于ｎ＝１时的单次抛硬币试验结果，不是频率为１，就是频率为０，不存在频率稳定性．因此，我们不能用概率０．５来描述单次抛出硬币后的结果，这就如同物理学不能用温度来度量一个分子的动能一样．随机过程理论用抛硬币试验来定义图２所示的一维简单随机游走．设一个质点从原点出发，抛掷一枚质量均匀的硬币，用ｘ（ｉ）表示第ｉ次的抛硬币结果，如果第ｉ次硬币出现正面向上，则ｘ（ｉ）＝１，质点往右移动１个单位，如果第ｉ次硬币反面向上，则ｘ（ｉ）＝－１，质点向左移动１个单位，因此，第ｎ次抛硬币后质点的位置为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（１３）随机过程理论假设每次抛硬币正面向上的概率为ｐ，反面向上的概率为ｑ＝１－ｐ，则质点向右移动１个单位的概率为ｐ，向左移动１个单位的概率为ｑ．可以证明，当ｐ＝ｑ＝０．５时，一维简单随机游走ｙ（ｎ）是常返的，表明一维简单随机游走的质点一定能回到起点．式（１３）中的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）均为一次抛硬币试验结果，是确定性的试验数据．用刻画大量随机试验统计规律的概率ｐ＝ｑ＝０．５来描述单次抛硬币试验结果在概念上是错误的，必然会得出与事实不符的结论．对比式（９）和式（１３），一维简单随机游走的质点位移与单组抛硬币试验的绝对误差模型完全相同，一维简单随机游走的质点位移在数量上等于单组抛硬币试验的绝对误差．由于单组抛硬币试验结果的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，因此，一维简单随机游走的质点位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比，即随着步数ｎ的增加，随机游走的质点会逐渐远离原点．六㊁高尔顿板实验验证高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Ｇａｌｔｏｎ）专门设计用来演示随机游走过程并验证中心极限定理的实验装置（图４）．图４㊀高尔顿板高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈等边三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子正中间的上方．当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后，有可能从钉子左边落下，也有可能从钉子右边落下，经过ｎ层钉子后，小球最后落入底部的一个格子内．显然，一个小球从入口处经过ｎ层钉子后落入底部格子的过程就相当于一个ｎ次抛硬币试验过程，或一个质点的ｎ步随机游走过程．小球所在底部格子偏离中心的距离，就是抛硬币试验数据中的绝对误差，或随机游走质点相对原点的位移．把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大㊁钉子数量足够多，落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高㊁两边低的钟形曲线．如果高尔顿板的面积足够大，小球在下落过程中将逐渐向左右两个方向扩散，表明抛硬币试验中的绝对误差随试验次数逐渐变大，或随机游走的小球随时间远离原点．七㊁结㊀论本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差的概念，建立了抛硬币试验误差数学模型，得出了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比等结论，同时纠正了随机过程理论中将抛硬币试验概率０．５用于度量单次抛硬币结果的概念错误，并证明了一维简单随机游走的质点位移与步数ｎ成正比，表明一维简单随机游走的质点随步数ｎ的增加逐渐远离原点．ʌ参考文献ɔ［１］王丽霞．概率论与随机过程：理论㊁历史及应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１２．［２］吴赣昌．概率论与数理统计（理工类㊃第五版）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２０１７．［３］王立君． 抛硬币试验 教学中的误区［Ｊ］．小学教学参考：数学版，２００９（５）：１５－１６．［４］芦静．从二项式分布理解抛硬币试验［Ｊ］．数学通报，２０１５（４）：３２－３４．［５］钱敏平，龚光鲁，陈大岳，等．应用随机过程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［６］何书元．随机过程［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００８．。
小学数学《抛硬币》教学案例含反思
生：我们摸到的球，可能是红球，也可能是绿球。
师：在盒子里能摸到黑球吗?为什么?
生：不可能摸到黑球，因为我们没有装黑球。
师：除了不可能摸到黑球，还有什么颜色的球不可能摸到?
(板书：不可能。)
师：老师有一种魔法，无论谁从这个袋子里摸出球，我都能猜到摸的球是什么颜色的，你们相信吗?
3组织游戏，激发兴趣。
根据我班学生好动、好奇、好胜的心理特点，我安排了一系列富有情趣的游戏，进一步活跃了课堂气氛，激发了学生参与学习的积极性。
4结论要从实践中得出。
第一次教学时，无论是抛硬币活动还是摸球活动，我都是让学生先猜一猜，再实际地抛一抛、摸一摸。我发现这样一来，结论实际是学生在猜的时候就得出了。因此，第二次教学时，我没有让学生猜，而是让学生直接实践，通过实践得出结论。
(评析让学生在活动中反馈什么现象是“不可能”“可能”“一定”，有助于学生加强对“确定”“不确定”现象的理解。)
(三)实践应用
1活动一：结合生活经验，分析生活中事件发生的可能性。
师：同学们通过抛硬币、摸球游戏发现，生活中有的事是可能发生的，有的事是不可能发生的，还有的事是一定会发生的，现在请同学们帮老师判断一下这几件事是可能、不可能、还是一定会发生的。
三、学生分析
我校的学生大部分来自于农村，经过一年的学习，学生的语言表达能力有了一定的提高。教学中我一直培养学生写数学日记，学生能把所学的数学知识与生活实际联系起来，用数学的眼光来观察、了解周围的事物，从数学角度去发现、分析生活。我班学生比较喜欢体育运动，特别是足球，因此，我设计了一个有关足球的活动。
师：硬币有两个面，一个是正面，一个是反面，老师这样一抛(抛硬币)，硬币落下后，结果会怎么样呢?让我们一起来做一个抛硬币的游戏，好吗?
92模拟随机抛硬币实验
9.2模拟随机抛硬币实验（一）参数变量的系统初始值和重新赋值对于测量得到的第一个结果，系统会自动用变量m000表示。
这样做的好处是便于后面利用这个测量结果参加更复杂的运算。
就像我们习惯用△表示b2-4ac，只要将ax2+bx+c=0的根表示为：然后第二个、第三个、第四个...测量结果分别用m001、m002、m003 ...表示。
实际上对于每一个参数变量，例如m000、m001、...，系统内部都有一个初始值，只不过我们在进行测量操作的过程中，将这些测量结果依次赋值给了变量m000、m001、...。
这就像前面在程序工作区中对一个参数变量赋值的操作一样：例如在程序工作区中输入“a=1;b=2;”，然后执行命令。
为了验证这一点，你可以一个新建文档中，没有进行任何测量操作之前，通过【插入】菜单中的【变量对象...】插入参数变量m000的变量控制对象，如下图所示，可以观察它当前的系统初始值。
然后作一个任意点A，通过【测量】菜单中【点】子菜单下的【x坐标】命令，测量点A的x坐标，得到测量文本的同时，你会发现在参数m000的变量控制尺中对应的数值也对应改变。
这个过程就类似于在程序工作区中对一个参数变量重新赋值。
（二）系统更新与执行命令前面提到过，在程序工作区中输入rand(-1,1)后，多次执行该函数命令，则会得到一系列返回结果，如下图所示：每执行一次命令，系统内部就更新一次，也会对rand(-1,1)重新运算一次取一个新的结果。
在作图区中，执行一个动作，例如拖动一下坐标原点O，系统内部也会自动更新，从而在屏幕上重新画出坐标系的图像。
下面我们通过测量得到rand(-1,1)的返回结果，操作如下：（1）打开测量表达式对话框，测量rand(-1,1)的值，如下图所示：系统把测量得到的第一个结果用变量m000表示。
然后第二、第三...个测量结果分别用m001、m002、...表示。
在程序工作区中我们可以通过执行一次语句命令“a=a+1;”，让a的值增加1。
抛硬币的概率分析
抛硬币的概率分析抛硬币是一种常见的随机事件，也是概率论中经典的案例之一。
在日常生活中，我们经常会用抛硬币的方式来做决策或者进行游戏。
抛硬币的结果只有两种可能，即正面或反面。
本文将对抛硬币的概率进行分析，探讨抛硬币的规律性和统计特征。
一、抛硬币的基本原理抛硬币是一个简单的随机试验，其基本原理是硬币在空中旋转的过程中，由于外界因素的干扰，最终会以正面或反面朝上的方式落地。
假设硬币是均匀的，没有特殊的重心或形状，那么硬币落地时正反面朝上的概率是相等的，分别为0.5。
二、抛硬币的概率计算1. 单次抛硬币的概率计算在单次抛硬币的情况下，硬币正反面朝上的概率均为0.5，即P(正面)=0.5，P(反面)=0.5。
这是因为硬币在空中旋转的过程中，正反面朝上的可能性是相等的，不存在偏向性。
2. 多次抛硬币的概率计算当进行多次抛硬币的试验时，可以通过概率的加法规则和乘法规则来计算不同结果的概率。
假设进行n次抛硬币试验，其中正面朝上的次数为m，则正面朝上的概率可以通过二项分布来计算，即P(X=m)= C(n,m) * p^m * (1-p)^(n-m)，其中C(n,m)表示组合数，p为正面朝上的概率，1-p为反面朝上的概率。
三、抛硬币的统计特征1. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定律，它指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，事件发生的频率会趋于事件的概率。
对于抛硬币的情况，当进行大量次数的抛硬币试验时，正面朝上和反面朝上的频率会逐渐接近0.5，即事件发生的频率会逼近事件的概率。
2. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定律，它指出在独立同分布的随机变量序列和足够大的样本量下，这些随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
对于抛硬币的情况，当进行大量次数的抛硬币试验时，正面朝上和反面朝上的次数之和会呈现出近似正态分布的特征。
四、抛硬币的应用抛硬币作为一种简单的随机试验，广泛应用于概率论、统计学以及决策理论等领域。
条件概率的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过实际操作，验证条件概率的概念，并探究不同条件下条件概率的变化规律。
二、实验原理条件概率是指在某一条件下，事件A发生的概率。
设事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B)，事件B发生的概率为P(B)，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率为P(A|B)。
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)三、实验器材1. 硬币一枚2. 50张写有数字1到50的纸牌3. 计算器4. 实验记录表四、实验步骤1. 抛硬币实验（1）将硬币抛掷10次，记录正面朝上的次数。
（2）计算正面朝上的概率P(正面)。
（3）在正面朝上的条件下，再抛掷硬币5次，记录正面朝上的次数。
（4）计算在正面朝上的条件下，正面朝上的概率P(正面|正面)。
2. 纸牌实验（1）将50张纸牌洗匀，随机抽取一张，记录其数字。
（2）计算抽到数字1的概率P(1)。
（3）在抽到数字1的条件下，再随机抽取一张纸牌，记录其数字。
（4）计算在抽到数字1的条件下，抽到数字2的概率P(2|1)。
五、实验结果与分析1. 抛硬币实验（1）正面朝上的次数：7次（2）正面朝上的概率P(正面) = 7 / 10 = 0.7（3）在正面朝上的条件下，正面朝上的次数：3次（4）在正面朝上的条件下，正面朝上的概率P(正面|正面) = 3 / 5 = 0.62. 纸牌实验（1）抽到数字1的概率P(1) = 1 / 50 = 0.02（2）在抽到数字1的条件下，抽到数字2的概率P(2|1) = 1 / 49 ≈ 0.02六、实验结论1. 通过抛硬币实验和纸牌实验，验证了条件概率的概念。
2. 在抛硬币实验中，正面朝上的条件下，正面朝上的概率略低于总体概率，这可能是由于随机性导致的。
3. 在纸牌实验中，抽到数字1的条件下，抽到数字2的概率与总体概率相同，说明在特定条件下，事件发生的概率不会改变。
4. 本次实验结果表明，条件概率在现实生活中的应用具有广泛性，对理解和解决实际问题具有重要意义。
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