51学时固体物理模拟试题3答案

（3 分）
Ae
* iq t q
A q e
iq t

* Aq
A q
e
i 2 q t
但 Aq 是 q 模式的复振幅，与时间无关，所以 Aq 与 A q 亦与时间无关。可见 求是无理的，故关系式 Q q Q

*
* Aq
A q
e
i 2 q t
的要
q 一般不成立。
（a）
（b）
（c ）
（d）
图 2.1 面心立方晶格的倒格子
只画图 a, 且标注完整得 4 分，分别作出 b,c,d 图且标注完整得 5 分，无间距标注得 3 分。 2． （5 分）已知晶体格波的一光频支的色散关系为 A、B 为常数，画出该支格波的模式密度 g : 解：先求出模式密度 由所得模式密度表示式可以作出

2 n 2 n n
（2 分）
再绕 m 重轴转 m 次，上面的多边形的顶角 B 将围成一个 顶点在 B 的锥面，m 个顶角之和应不大于 2π ，即
m
n2 2 n
（2 分） 图 3.3 （2 分）
如果 n=6,m=4, 则
n2 8 m 2 n 3
un un N eiNaq 1 q h
对三维情况有
2 ， h 为整数 Na
eiqN1a1 eiqN2a2 eiq N3a3 1 q
l l1 l b1 2 b 2 3 b3 ， l1 , l2 , l3 为整数（3 分） N1 N2 N3
玻恩-卡门边界条件是一个近似条件。不过，通过晶格振动谱及晶体能带的实验测定表 明，实验与理论相符得很好，说明玻恩卡门周期性边界条件是一个很好的边界条件。 玻恩-卡曼边界条件是晶格振动理论与晶体能带理论中的基本边界条件。其中心思想是 既考虑到实际晶体的有限大小，又忽略表面粒子自于内部粒子的差别，使晶体成为“有限的 完整”晶体，从而以协调“有限” 与“无限”的矛盾，使问题可解。 （2 分） 2.（5 分） 举例说明，为什么在满足相同宏观对称性的条件下布拉伐点阵中没有“边心点 阵”？ 答：一个晶系的加心点阵，既要满足该晶系的宏观对称性，又要保证“加心”后所有“点子” 在该点阵中处于等价的地位。 “边心点阵”中的点子之间地位不再等价，不是布拉伐点阵。 （3 分） 以立方晶系为例，如果在简单点阵的边上加心，将有三组不等价的“边心” ，这些边心点子 与原简单点阵的点子也不等价。因此，加“边心”后的点阵不再是布拉伐点阵。 （2 分） 3.（5 分）何谓等能面？何谓费米面？比较两个概念的异同。 答： 等能面是 k 空间（粒子状态空间）能量相等的 k 值构成的曲面；费米面是晶体中电子 状态的 k 空间中占有电子与不占有电子区域的分界面。 （3 分） k 空间可以作出一系列的等能面，描述三维能带（能量函数）结构。而费米面是粒子由 低能态到高能态填充的 k 空间中占有电子与不占有电子区域的特定分界面 （或曲面） 的集合。 2 2 对自由电子气， 费米面即系统基态电子填充的最大能量 EF h k F / 2m 的球面， 半径为 k F 。 （2 分） 4.（5 分）在布里渊区边界上电子的能带有何特点? 答：电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带 一般会出现禁带 . 若电子所处的边界与倒格矢 G n 正交 , 则禁带的宽度 E g 2 V G n ，


h $u u H µk u = u E k u E k u u uk hk p k k k k k k k k k k m µk u H µk u u E k u u µK 的厄密性， u H 由H k k k k k k k k k
时，一直采用了 Q q Q

q 这一关系，实际上，这个关系是不成立的。
i q t naq
证明：一维格波解为的复数表示为： nq Aq e 式中 Q q


, n nq
q
mN Aq exp iqt 为复复格波简正坐标。其中， Aq 是 q 模式的复振幅，可以
图 2.2
m k : k 曲线。
解：先求一维单原子链 E k : k 、 v k : k 及
m k : k 的表达式（3 分）
E k Es J 0
最近邻 RS 0
J R e
s
ik gR s
i k a a Es J 0 J ei k ) 1 ( e
由布里渊区的定义作出第一布里渊区如图 2.4 所 示。 （2 分）
r 2 r 2 r 2 b1 bi i ab a 3
p /3
图 2.4
三、证明题（第 1、第 2、第 3 小题每题 6 分，第 4 小题 12 分，共 30 分） 1． （6 分）晶格振动理论中，由复格波简正坐标[ Q q mN Aq exp iq t ]计算哈密顿量
m*
4． （5 分） 作出边长分别为 a 3 A, b 2 A 的二维 长方晶格的倒格子并画出第一布里渊区。 解：
o
o
r r r r r r Q a1 ai , a2 bj , a3 k
先计算倒格子基矢


p /2
r o 1 i A 1 r 2 r 2 r r o b2 aj j j A ab b r r 由 b1 , b2 作出倒格子。 （3 分）
这不可能，所以晶体不可能有一条 6 重轴于一条 4 重轴相交。 4． （12 分）晶体中，电子的波函数可以表示为 布洛赫电子运动对应的电流密度为：
nk eik r unk r ，因此，在准经典近似下，
j
ne ne ˆ unk k En k unk hk p m h
i q
1 Q q einaq mN q
有一个初相位因子， 但与时间无关， 既 Aq Aq e 的表达式有：
；பைடு நூலகம் 2
1 sin aq q 。由 Q q m 2

* * iq t Q q mN Aq e i q t i t mN A q e q Q q mN A q e 如果 Q q Q q ，则必须
2/3
6 2 N min A （ min ） B V 1/ 2 V 4 2 B 3/ 2 A , min A g 0 >A 0 <min
（得到正确结果得 3 分，作图正确得 2 分） 3. （5 分）根据紧束缚近似的计算结果，作出 一维单原子链的 E k : k 、 v k : k 及
51 学时固体物理模拟试题 3 答案与评分标准
一、问答题（每小题 5 分，共 20 分）
1. （5 分）何谓玻恩-卡曼边界条件？它有什么作用？ 答：以一维原子链为例, 除了两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个 原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程 组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程不同, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难。 为克服 这种困难，玻恩—卡曼提出用包含 N 个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限 数目的原子，然而保持所有原胞完全等价。这相当于一个周期性边界条件
（3 分）
2． （6 分）对于晶体的 x 射线衍射，如果入射波的波矢量（末端） 位于一个倒格矢的中垂 面上，将产生布喇格反射。 证明：
已知 { k 示）所以
1 （如图 3.2 所 G m } G m ， 2
1 { k G m } G m 0 2 2 2k G m G m 0 ，又因为对弹性散射
证明： 由电磁学理论可知导体中电子运动对应的电流密度为
j e nv
n 是电子密度，v 是电子的平均速度。 晶体中布洛赫电子的平均速度可以如下计算：
$k ih r = ih eik gru r eik gr hk p $ u r Qp r k k k
A Bq 2
曲线。
g
2 q
3 q s
V
dS
如图 2.2 所示的 g : 线。
曲

V
2
A
min
3
4 q 2 V 1/ 2 A （ A ） 2 3/ 2 2 Bq 4 B

g d N

h $u = u E k u = E k u u = E k uk hk p k k k k k k k k m v 1 $u r = 1 E k unk r hk p nk k n m h ne ne ˆ unk k En k unk hk p m h
2 2 k 2 k '2 2 2 '2 k 2k G m G m k
（3 分） 图 3.2
k Gm
2
k '2 k ' k G m ，即反射满足劳厄方程，从而也必然满足布喇格方程。
所以，此时的反射是布拉格反射。 （3 分） 3． （6 分）晶体不可能有一条 6 重轴于一条 4 重轴相交。 证明： 设晶体有一条 n 重轴和一条 m 重轴相交于 O 点。 先绕 n 重轴转 n 次，m 重轴上的 B 点将画出一个正 n 边 形，其顶角为
V G n 是周期势场的付里叶级数的系数。
（3 分）
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为 零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交。 （2 分）