北师版数学高二-必修5学案 2.3 解三角形的实际应用举例

§3 解三角形的实际应用举例

[学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．

[知识链接]

在下列各小题的空白处填上正确答案：

(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角．(如图所示)

(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝h

l (i 为坡比，α为坡角)．

(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线．

(4)方位角：从某点的北方向线起，顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． [预习导引] 1．仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．

2．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)

①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②北偏西α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．

要点一 测量距离问题

例1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？

解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝23

31，

所以sin B ＝123

31

.

在△ABC 中，AC ＝BC sin B

sin ∠CAB ＝31×

12331sin 60°＝24(千米)．

由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)． ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米)， 故此人在D 处距A 还有15千米．

规律方法 测量距离问题分为两种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．

跟踪演练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522

m

答案 A

解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，

∴B ＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理：AC sin B ＝AB

sin C

，

得AB ＝AC ·sin C

sin B ＝50×

221

2＝502(m)．

要点二 测量高度问题

例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .

解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由

AB sin 15°＝AD

sin 45°

， 得AD ＝AB ·sin 45°

sin 15°＝800×

2

26－2

4＝800(3＋1) (m)．

所以CD ＝AD ＝800(3＋1)(m)． 即山的高度为800(3＋1) m.

规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．

跟踪演练2 地平面上有一旗杆设为OP ，已知地平面上的一基线AB ，AB ＝200 m ，在A 处测得P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角为∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .

解 如图，∠OAP ＝

30°，∠OBP ＝45°，∠AOB ＝60°，AB ＝200 m ，

在△OAP 中，∵OP ⊥AO ，∴∠AOP ＝90°，

则

OP OA ＝tan 30°，∴OA ＝OP tan 30°

＝3h (m)， 同理在△BOP 中，∠BOP ＝90°，且∠OBP ＝45°， ∴OB ＝OP ＝h ，在△OAB 中，由余弦定理， 得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ， 即2002＝3h 2＋h 2－23h 2·cos 60°， 解得h ＝

2004－3

m.

∴旗杆高为

200

4－3

m.

要点三 测量角度问题

例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．

在△ABC 中，由余弦定理，

得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，