北师版数学高二-必修5学案 2.3 解三角形的实际应用举例

§3 解三角形的实际应用举例[学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．[知识链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角．(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝hl (i 为坡比，α为坡角)．(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线．(4)方位角：从某点的北方向线起，顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． [预习导引] 1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．2．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②北偏西α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．要点一 测量距离问题例1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin ∠CAB ＝31×12331sin 60°＝24(千米)．由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)． ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米)， 故此人在D 处距A 还有15千米．规律方法 测量距离问题分为两种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．跟踪演练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴B ＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理：AC sin B ＝ABsin C，得AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×2212＝502(m)．要点二 测量高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．所以CD ＝AD ＝800(3＋1)(m)． 即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练2 地平面上有一旗杆设为OP ，已知地平面上的一基线AB ，AB ＝200 m ，在A 处测得P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角为∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .解 如图，∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°，∠AOB ＝60°，AB ＝200 m ，在△OAP 中，∵OP ⊥AO ，∴∠AOP ＝90°，则OP OA ＝tan 30°，∴OA ＝OP tan 30°＝3h (m)， 同理在△BOP 中，∠BOP ＝90°，且∠OBP ＝45°， ∴OB ＝OP ＝h ，在△OAB 中，由余弦定理， 得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ， 即2002＝3h 2＋h 2－23h 2·cos 60°， 解得h ＝2004－3m.∴旗杆高为2004－3m.要点三 测量角度问题例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪演练3 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距53(3＋1)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解 由题意知∠DBA ＝90°－60°＝30°， ∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝53(3＋1)·sin 45°sin 105°又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答 救援船到达D 点需要1小时．1.如图，为测量一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋33) m答案 A解析 在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PB sin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303) (m)．2．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile 答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．3．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船要想最快与乙船相遇应沿着北偏东 前进． 答案 30°解析 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)， B ＝120°， 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B得：sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 4．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得一建筑物顶端C 对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得坡度为45°，设建筑物的高度为50 m ，求此山坡相对于地平面的倾斜角的余弦值．解 在△ABC 中，100sin 30°＝AC sin 135°，即AC ＝100 2 m ，应用正弦定理得100sin 30°＝BCsin 15°.即BC ＝50(6－2)m ，设山坡相对于地平面的倾斜角为θ， 则BC sin (90°＋θ)＝50sin 45°，∴cos θ＝3－1.∴此山坡相对于地平面的倾斜角的余弦值为3－1.1.解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°， 则C ＝180°－A －B ＝45°.由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是 ( ) A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m 答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知得BC ＝h ， 在Rt △ABD 中， 由已知得BD ＝3h ， 在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得， 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500， 解之得h ＝500 m ．故选D.3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2. 在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 4．如图所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 海里/时． 答案 20(6－2)解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向上，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向上，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的北偏东120°方向上．则A 与D 的距离为 n mile ；灯塔C 与D 处之间的距离为 n mile. 答案 24 83解析 (1)在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°，B ＝45°. 由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°. 解得：CD ＝83(n mile)．所以A 与D 的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30tan 45°＝30，C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，∴AB ＝30.7．某人向正东方向走x 千米后，后右转150°，朝新方向走3千米，结果离出发是3千米，求x 的值．解 设出发点为A ，走x 千米后到B ，又走了3千米后到C 点，则∠ABC ＝30°，在△ABC ，根据余弦定理得3＝x 2＋32－2×x ×3×32， x 2－33x ＋6＝0，x ＝23或 3.所以x 的值为23或 3.二、能力提升8．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为 km.(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．6.4答案 B解析 AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003(m)， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032(m)． ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 (km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．9．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507min B.157 h C ．21.5 minD ．2.15 min答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100， ∴当x ＝514 h ＝1507min ，y 2有最小值，即两船相距最近． 10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为 km.答案 6－1 解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0， 解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β). 答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β). 12.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B处，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵兵到目标的距离．解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD ，在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝42(km)， 所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km.三、探究与创新13．如图所示，A 、B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以每小时9海里的速度向B 岛行驶，而乙船同时以每小时6海里的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．解 如图，行驶t h 后，甲船行驶了9t 海里到达C 处，乙船行驶了6t海里到达D 处．当9t＜21，即t＜7时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里．在△BCD中，BC＝(21－39t)海里，BD＝6t海里，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.当t＝2时，CD取得最小值189＝321.时，C与B重合，当t＝73此时CD＝6×7＝14(海里)＞321(海里)．3当t＞7时，BC＝(9t－21)(海里)，3则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos 60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189＞189，综上可知t＝2时，CD取得最小值321.答行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为321海里．。