纸桥创新设计

突破自我

题目条件限定

本题要求我们用一张A4纸和少量胶水建造一个跨度为280mm的桥。根据题意我们可以滴对本题的条件做如下的理解：

（1）制作材料为A4纸

查阅资料可知A4纸的基本参数见下表

桥梁的跨度为28cm，桥梁两端的固定方式对实验有着很大的影响。在两端用胶水粘在两端的固定物上、两端夹持或是简支的条件下得到的结果会有很大的不同。由于各种截面形状的纸桥与两端固定端的接触面形状尺寸都有所不同，胶接或是夹持的方式不可取。所以本题采用简支的方式。

（3）载荷方式：

真实桥梁的载荷方式很复杂，但在我们的实验分析中，我们认为只要在一种载荷方式下表现最好的桥梁就是在所有载荷方式下表现最好的桥梁。我们采用控制变量法进行实验，对我们设计的所有结构的桥梁只在纸桥的中点处正直放置15块人民币一元硬币，看各种纸桥在该载荷方式下的变形情况。单个一元钱人民币硬币质量为：m=6.3g；15个硬币的质量为：94.5g （4）桥梁外形

从实际情况看，桥梁具有一些基本的外形要求：竖直朝上的面要能通过行人或车辆。所以我们要求所有纸桥竖直朝上的面的宽度至少等于一个一元钱硬币的直径。圆形截面直径大于等于一元钱硬币的直径即可。

基本简化模型：

本题中的纸桥跨度为28厘米，两端架在书本上，实验中将一定数量的硬币放置在纸桥的中点位置附近上以检验纸桥的强度，假设实验中桥梁保持了等截面，且硬币对桥梁的压力可以视为作用于桥梁中点集中载荷，则该实验模型可以简化为一个基本的二维模型。如下图所示：

该桥梁的剪力图，弯矩图如下：

最大弯曲正应力的计算公式如下：

max max

max z

M y I σ=

其中，max M 是横梁上的最大弯矩，max y 是截面垂直方向上离中性轴最远的距离。

z I 为惯性矩，2z A

I y dA =⎰

简支梁中点受集中力作用的中点挠度计算公式如下：

3

max

48z

Fa w EI =-

在纸桥中点处，纸桥的横截面上有最大的正应力。

桥梁越坚固，在加载相同载荷的情况下形变量就最小。所以，在简化模型中，校核各种纸桥的承载能力的核心在于计算各种纸桥的抗弯强度z EI ：

理论分析

（1） 弹性模量E 的影响：

由A4纸的基本参数可知，一层A4纸和两层粘合的 A4纸的弹性模量（分别为28.9Mpa 、74.2Mpa ）是不一样的。当然E 越大，桥梁中点的挠度也就越小。但是粘

合两层A4纸又会减少纸的实际可用的面积，可能会使z I 减小，起到增大挠度的效果。所以，在一些关键部位是可以用粘合两张A4纸来提高桥梁的强度，但是还应当充分考虑这样做对z I 的影响。

（2） 惯性矩z I 的影响

毫无疑问，各种截面形状有不同的z I ，从而使各种截面桥梁的强度不同。下面通过理论计算对三种基本截面（圆形、正方形、三角型）进行比较。

A4纸的宽度为210mm 。所以要是只叠一层，圆形截面的半径为33.4mm 、正方形边长为52.5mm 、等边三角形的边长为70mm ，纸张厚度均记为e 。 根据2z A

I y dA =

⎰对三角形和正方形进行计算。 根据23111

222z p A A

I I r dA r ed θ=

==⎰⎰对圆形截面的惯性矩进行计算。结果如下： -4-5-5=1.17010e =9.64710e =8.57510e

z z z I I I ⨯⨯⨯圆正方形等边三角形

由此可知若是在相同纸张层数下，圆形截面的强度最高。

（3） 最大抗拉压应力的影响

资料显示，A4纸抗拉压强度不同，能承受的最大拉应力（22.2N/mm^2）是最大压应力的3倍（7N/mm^2）。对于圆形和矩形截面，中性轴刚好就是截面的对称轴，所以截面受到的最大拉压应力是一样的。截面上的拉压应力分布图如下图所示：（对本题的纸桥而言，中心轴以上为压应力，中心轴以下为拉应力）

而对于等边三角形截面，其截面应力分布如下图：

所以，上下对称的截面承受的最大应力应当小于其最大压应力7N/mm^2，倒置的等边三角截面可以承受的最大应力为最大压应力的两倍14N/mm^2

，设计纸桥时应当

充分利用A4纸抗拉压强度不同这一重要特性，设计出上下不对称的截面，等腰三角形就是一个很好的选择。

（4）平面结构稳定性的影响：

这个纸桥使用纸张折成的，所以横截面都不是整个一张纸，而是具有薄壁特性。这就要求我们充分考虑到平面结构的稳定性。第一、闭口截面比开口截面稳定，所以避免使用开口截面。第二、平行四边形有不稳定性，三角形有稳定性，所以矩形在顶部受力时极易变形，而三角形不会。

I，但是三角形截面最能充分利用A4综上所述，理论分析的结果是，圆形截面具有最大的

z

纸抗拉压能力不同的特性，并且具有最好的平面稳定性。但是要想使三角形倒放成为桥梁必须将纸叠成多个三角形组成的手风琴形状。根据理论分析，我们设计了粘合多层的圆形截面和具有三角形截面优点的手风琴截面的纸桥。并对它们进行实验对比。

实验分析

我们制作了粘合双层的圆形截面和具有多个三角形截面的手风琴截面的纸桥。简支后，在其中点位置放置15枚一元钱硬币，测量其中点位置的挠度。实验结果如下。

（1）粘合双层的圆形截面纸桥

（2）具有多个三角形截面的手风琴截面纸桥

对比可知，手风琴截面强度更大，结构稳定性更好。

计算仿真

对上述两种结构进行计算仿真。

根据A4纸的基本参数和我们所制作纸桥的外形尺寸，我们在solidworks上进行了计算仿真；仿真结果如下：