有理数——有理数的乘除法知识点整理(打印版)
有理数——有理数的乘除法知识点整理(打印版)
有理数——有理数的乘除法知识点整理知识点1：有理数的乘法1、有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0.说明：本法则指的是两个数相乘，“同号得正，异号得负”指两个正数或两个负数相乘，乘积必为正数；一个正数与一个负数相乘，乘积必为负数.不要与加法法则混淆.运算步骤：①确定乘积的符号；②两个数的绝对值相乘确定乘积数值，符号和数值得出结果.例如：1111123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭绝对值相乘得正同号1111123236⎛⎫⎛⎫⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭绝对值相乘得负异号提示：①第一个负因数可以不带括号，但后面的负因数必须带括号；②在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分.2、有理数乘法法则的推广（1）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.（2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0.说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；②几个不是0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘；③几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0.书写的规则：两个以上因数相乘时，若都用字母表示因数，“×”号可以写为“·”或省略.如，a b ⨯可写成a b 或ab .3、有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab ba=乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：()()ab c a bc =分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：()a b c ab ac+=+提示：①运用分配律时，不要漏乘项，且特别要注意括号内外各项的符号，同时把括号去掉，例如()2321232221-⨯-+-=⨯-⨯+⨯；②逆用分配律可简化运算，注意不要将括号内的符号弄错.知识点2：倒数乘积是1的两个数互为倒数.当0a ≠时，a 与1a 互为倒数；当0m ≠，0n ≠时，mn 与n m 互为倒数.如3与13，23-与32-互为倒数.提示：①正数的倒数仍为正数；负数的倒数仍为负数.比1大的数的倒数比本身小；比0大比1小的数的倒数比本身大；比0小比1-大的数的倒数比本身小，比1-小的数的倒数比本身大.②在做倒数的题目时，可检验原数与其倒数符号是否相同，乘积是否为1，来确定结果是否正确.知识点3：有理数的除法根据除法是乘法的逆运算，我们可以轻松学会有理数除法.1、有理数除法法则表述1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：1a b a b ÷= ()0b ≠表述2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.说明：对于两种表述方式，在实际计算过程中可根据具体的情况灵活选用，一般在不能整除的情况下，应用“表述1”；能整除的情况下，应用“表述2”.注意：分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号.2、有理数的乘除混合运算有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果.例如：111112242⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭141112522⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14312522=-⨯⨯⨯310=-除法转化为乘法确定符号约分提示：①如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律进行计算，如311313343343⨯=⨯+⨯；②两个以上除法运算时，注意运算顺序要从左到右依次将除法转化为乘法，再进行计算；③乘除混合运算时，将除法转化为乘法，算式化成连乘积，先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算.3、有理数加减乘除混合运算有理数的四则混合运算，是有理数运算的重点和难点问题，必须注意带括号或不带括号的情况下加、减、乘、除的运算顺序问题.注意：①通常只含有加减运算时，从左到右依次计算；只含有乘除运算时，也是从左到右依次计算；若加减乘除混合，则先算乘除，后算加减；若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.②混合运算中，经常会用到分配律，将()a b c +化成ab ac +或者将ab ac +化成()a b c +，简化运算，这需要同学们勤练习、多观察.相信大家现在应该能正确区分负号与减号、正号与加号了！。
1.4有理数的乘除法及混合运算(整理)
化简:
72 (1) ; 9
30 (2) (3) 45
0 75
;
计算：(1) 2 1 (1 1 )
3 6 (2) (56) (1.4) 2 (3) (81) (36) (2 ) 3 (4) ( 1 ) 0 ( 3 ) (1 2 ) 2 5 3
归纳总结
1、同号得正，异号得负，并把绝对值相 乘；任何数同0相乘，都得0.
注意、两个符号不能出现在一起，必须用 括号隔开 。比如：7+-1-2=？
有理数乘法法则的 推广及其应用
多个有理数相乘遵循以下法则： （1）几个不等于0的有理数相乘，积的符号 由负因数的个数决定：当负因数的个数是奇 数时，积是负数；当负因数的个数是偶数时， 积是正数。 （2）几个有理数相乘，如果其中有因数为0， 那么积等于0.
1 1 1 (1) ( ) 6 3 2
练习、观察下面两位的解法正确吗？若不正确，你 能发现下面解法问题出在哪里吗？
1 (2) 3 6 ( ) 6
1 (2) 3 6 ( ) 6 3 (1) 3
这个解法 是错误的
1 ( 2) 3 6 ( ) 6 1 1 3 ( ) 6 6 1 1 3 6 6 这个解法 1 是正确的 12
5 4
有理数的加减乘除混合运算
练习、观察下面两位同学的解法正确吗？若不正确， 你能发现下面解法问题出在哪里吗？
1 1 1 1 1 1 解： (1) （ ） 解： (1) （ ） 6 3 2 6 3 2 1 1 1 1 1 1 6 3 6 2 （ ） 6 6 1 1 3 2 6 6 1 （ 6） 1 1 这个解法 6 这个解法 2 3 是正确的 1 是错误的 1 6
有理数乘法、除法、乘方、科学计数法、有效数字与近似数、混合运算知识点
一、有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．Eg ：计算3×（-3）的结果是（ ）A 、6B 、-6C 、9D 、-9Eg ：计算（-6）×（-1）的结果等于（ ）A 、6B 、-6C 、1D 、-1二、倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•a 1=1 （a≠0），就说a （a≠0）的倒数是a1． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．Eg ：-2的倒数是（ ）A 、2B 、-0.2C 、21D 、-21三、有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•b1 （b≠0） （2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．Eg：截止到2008年底，湘西州在校小学生中的少数民族学生数约为21.2万人，约占全州小学生总数的80%，则全州的小学生总数大致为（）（）万．（保留小数点后一位）Eg：计算6÷（-3）的结果是（）Eg：下列计算正确的是（）A．-6+6=0 B．-6-6=0 C．-6×0=-6 D．-6÷（-1）=-6四、有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．Eg：计算-32的结果是（）五、非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．Eg：若|m+2|+（n-1）2=0，则2m+n的值为（）A ．-4B ．-1C ．-3D ．4Eg ：若（a-1）2+|b-2|=0，则）（b -a 2012的值是（ ）A ．-1B ． 1C ．0D ．2012六、科学计数法——表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n ，其中1≤a＜10，n 为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n ． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．Eg ：2014年三月发生了一件举国悲痛的空难事件--马航失联，该飞机上有中国公民154名．噩耗传来后，我国为了搜寻生还者及找到失联飞机，在搜救方面花费了大量的人力物力，已花费人民币大约934千万元．把934千万元用科学记数法表示为（ ）元．A ．9.34×102B ．0.934×103C ．9.34×109D ．9.34×1010Eg ：节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．3.5×107B ．3.5×108C ．3.5×109D ．3.5×1010Eg ：中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为（ ）A ．6.75×104吨B ．67.5×103吨C ．0.675×103吨D ．6.75×104-吨七、科学计数法——表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n -，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．Eg ：病理学家研究发现，甲型H7N9病毒的直径约为0.00015毫米，0.00015用科学记数法表示为（）A．1.5×104- B．1.5×105- C．0.15×103- D．1.5×103-Eg：某种禽流感病毒变异后的直径为0.00000012米，将这个数写成科学记数法是（）A．1.2×107- B．1.2×105- C．0.12×106- D．15×108-Eg：病理学家研究发现，甲型H7N9病毒的直径约为0.00015毫米，0.00015用科学记数法表示为（）A．1.5×104- B．1.5×105- C．0.15×103- D．1.5×103-八、科学计数法——原数（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10n ，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．Eg：将1.24×103-用小数表示为（）A．0.000124 B．0.00124 C．-0.00124 D．0.0124Eg：已知空气的单位体积质量为1.24×103-克/厘米3，1.24×103-用小数表示为（）A．0.000124 B．0.0124 C．-0.00124 D．0.00124Eg：将6.18×103-化为小数的是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618九、有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．Eg：算式17-2×[9-3×3×（-7）]÷3之值为何？（）Eg：有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）Eg：一件商品的成本价是100元，提高50%后标价，又以8折出售，则这件商品的售价是（）十、近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．Eg：下列说法正确的是（）A．近似数0.010只有一个有效数字B．近似数4.3万精确到千位C．近似数2.8与2.80表示的意义相同D．近似数43.0精确到个位Eg：资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（）A．精确到亿位B．精确到百分位C．精确到千万位D．精确到百万位Eg：我们知道地球的半径大约为6.4×103千米，下列对近似数6.4×103描述正确的是（）A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字十一、科学计数法与有效数字（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该有首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．Eg：太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辐射能功率为（）千瓦．（用科学记数法表示，保留2个有效数字）A．1.9×1014 B．2×1014 C．76×1015 D．7.6×1014十二、计算器基础知识（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndf x2被开方数ENTE．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE．（7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M-、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M-则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC．注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．Eg：计算器上的或键的功能是（）A．开启计算器B．关闭计算器C．清除全部内容或刚刚输入内容D．计算乘方十三、计算器——有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（-）键可输入负数，即先输入（-）号再输入数值．（4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”．（5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndf x2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“=”即可．（6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“=”即可注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．Eg：若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键的结果为（）A．16 B．33C．37 D．36。
第03讲 有理数的乘除法 (解析版)
第3讲有理数的乘除法一、知识梳理1.有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数；乘法交换律：ab=ba;乘法结合律：(ab)c=a(bc);乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.【例1】.（1）计算：4×（﹣3）的结果是（）A．1B．﹣1C．12D．﹣12【分析】原式利用有理数的乘法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣4×3＝﹣12．故选：D．（2）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（）A．﹣6B．6C．﹣5D．5【分析】根据有理数的乘法法则计算即可解答本题．【解答】解：（﹣3）×（﹣2）＝+（3×2）＝6．故选：B．（3）（﹣8）×（﹣25）×（﹣0.02）．【分析】先确定符号，再用乘法的结合律，8×25＝200，进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣200×0.02＝﹣4．（4）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）【分析】根据有理数的乘法法则和乘法的交换律进行计算即可．【解答】解：（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）＝（﹣8）×（﹣1.25）×9×（﹣）＝10×（﹣1）＝﹣10．（5）﹣12×（1﹣+）【分析】由于12是3，4，6的公倍数，可利用乘法分配律进行计算，使计算简便．【解答】解：原式＝﹣12×﹣（﹣12）×+（﹣12）×＝﹣16﹣（﹣9）+（﹣10）＝﹣17【变式训练1】.（1）计算（﹣9）×的结果是（）A．3B．27C．﹣27D．﹣3【分析】先确定积的符号，再把绝对值相乘．【解答】解：原式＝﹣（9×）＝﹣3，故选：D．（2）计算（﹣2）×（﹣4）的结果等于（）A．8B．﹣8C．6D．﹣6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：（﹣2）×（﹣4）＝8．故选：A．（3）计算：﹣2×3×（﹣）．【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：﹣2×3×（﹣）＝2×3×＝6×＝1．（4）计算：4.5×1.25×（﹣8）．【分析】根据乘法结合律简便计算即可求解．【解答】解：4.5×1.25×（﹣8）＝4.5×[1.25×（﹣8）]＝4.5×（﹣10）＝﹣45．（5）计算：﹣60×（+﹣﹣）【分析】根据乘法算式的特点，可以用括号内的每一项与﹣60相乘，计算出结果．【解答】解：原式＝（﹣60）×+（﹣60）×﹣（﹣60）×﹣（﹣60）×＝﹣45﹣50+44+35＝﹣16．2.有理数的除法除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.【例2】.（1）﹣的倒数是（）A．﹣2B．C．﹣D．±【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：﹣的倒数是：﹣2．故选：A．（2）已知a，b互为倒数，|c﹣1|＝2，则abc的值为（）A．﹣1或3B．﹣1C．3D．±2【分析】利用倒数的定义求出ab值，利用绝对值求出c的值，代入代数式即可解答．【解答】解：∵a，b互为倒数，∴ab＝1，∵|c﹣1|＝2，∴c＝3或﹣1，∴abc＝﹣1或3，故选：A．（3）计算：＝．【分析】将有理数的除法转化为乘法，然后再计算．【解答】解：原式＝，故答案为：﹣．【变式训练2】.（1）﹣7的倒数是（）A．﹣B．C．﹣7D．7【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：∵﹣7×（﹣）＝1，∴﹣7的倒数是：﹣．故选：A．（2）若有理数a，b满足a•b＝1，则下列说法正确的是（）A．a＝b B．|a|＝|b|C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数【分析】利用倒数的定义判断即可．【解答】解：由ab＝1，得到a与b互为倒数．故选：D．（3）计算：＝．【分析】根据除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．【解答】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，故答案为：．3.有理数的四则混合运算乘除混合运算：先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果；加减乘除混合运算：按照“先乘除，后加减”的顺序进行，有括号的先算括号. 【例3】.（1）25÷（﹣5）×÷（﹣）．【分析】根据有理数的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝．（2）计算：11+（﹣22）﹣3×（﹣11）；【分析】首先计算乘法，再利用加法法则计算即可得到结果.【解答】解：（1）11+（﹣22）﹣3×（﹣11）＝11+（﹣22）+33＝﹣11+33＝22.【变式训练3】.（1）计算：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）．【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解．【解答】解：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）＝﹣××＝﹣．（2）计算：3×（﹣4）+18÷（﹣6）；【分析】先算乘除，再算加法；【解答】解：（1）原式＝﹣12+（﹣3）＝﹣15；二、课堂训练1．下列各数中，与﹣5的乘积得0的数是（）A．5B．﹣5C．0D．1【分析】可以根据任何数与0相乘都得0得到答案，也可以根据乘法和除法互为逆运算进行求解．【解答】解：∵0÷（﹣5）＝0，∴0×（﹣5）＝0，故选：C．2．计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，（﹣2）×（﹣3）＝6．故选：D．3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．b＞﹣a C．a+b＞0D．ab＜0【分析】本题主要考查有理数的乘法，数轴，有理数的加法，根据数轴上点的特征可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，据此逐项判断可求解．【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项错误；∴b＜﹣a，故B选项错误；a+b＜0，故C选项错误；ab＜0，故D选项正确．故选：D．4．以下叙述中，正确的是（）A．﹣a一定是负数B．若|a|＝0.5，则a＝0.5C．a与﹣a互为相反数D．﹣a的倒数是【分析】根据绝对值、相反数、倒数、正数与负数的概念与性质逐一判断即可．【解答】解：A、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，故选项A不符合题意，B、|a|＝0.5，则a＝0.5或﹣0.5，故选项B不符合题意，C、a与﹣a互为相反数，选项C符合题意，D、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，零没有倒数，选项D不符合题意．故选：C．5．一种盐水的含盐率是10%，盐与水的比是（）A．1：10B．1：11C．1：9D．1：8【分析】直接利用盐水中含有盐，进而得出盐和水的比．【解答】解：∵盐水的含盐率是10%，∴盐和水的比是：1：（10﹣1）＝1：9．故选：C．6．已知|a|＝4，|b|＝2，那么ab＝8或﹣8．【分析】根据绝对值的定义，可求解a，b，再代入根据相关运算法则计算即可求解．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，∴a＝4，b＝2时，ab＝4×2＝8；当a＝4，b＝﹣2时，ab＝4×（﹣2）＝﹣8．当a＝﹣4，b＝2时，ab＝（﹣4）×2＝﹣8．当a＝﹣4，b＝﹣2时，ab＝（﹣4）×（﹣2）＝8．∴ab的值为8或﹣8．故答案为：8或﹣8．7．有一桶水，倒出后，桶内还剩20L水，桶内原有水50L．【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：20÷（1﹣）＝50（L）．故答案为：50．8．如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是．【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．【解答】解：∵a+3的相反数是﹣5，∴a+3＝5，∴a＝，∵（）×（）＝1，∴a的倒数是．故答案为：．9．计算：（﹣）÷（﹣2）×．【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝××＝．10．计算：．【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：＝×﹣×+×＝（+）×＝（）×＝（﹣1）×＝﹣．三、课后巩固1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2．故选：C．2．有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①a＞0＞b；②|b|＞|a|；③ab＜0；④a﹣b＞a+b；⑤＜﹣1，其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用数轴，结合绝对值的意义和有理数的乘除法法则进行逐一判定．【解答】解：从数轴上可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|．则：①a＞0＞b，错误；②|b|＞|a|，错误．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0．∴③ab＜0，正确．∵b＞0，∴﹣b＜0．∴﹣b＜b．∴a﹣b＜a+b．∴④a﹣b＞a+b，错误．∵|a|＞|b，a＜0，b＞0，∴a＜﹣b．∴．∴⑤＜﹣1，正确．综上，错误的个数有3个，故选：C．3．如果a与﹣6互为倒数，那么a是（）A．﹣6B．6C．﹣D．【分析】根据倒数的定义回答即可．【解答】解：∵a与﹣6互为倒数，∴a＝﹣．故选：C．4．下面各式化成最简整数比正确的是（）A．1：＝2：3B．：＝3：2C．0.9：＝3：5D．24：36＝2：3【分析】根据比例的基本性质即可得答案．【解答】解：A、×2≠1×3，故A不符合题意，B、×3≠×2，故B不符合题意，C、×3≠0.9×5，故C不符合题意，D、36×2＝24×3，且2：3已经是最简形式，故D符合题意，故选：D．5．一种纺织品的合格率是98%，300件产品中有m件产品不合格，则m值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：∵一种纺织品的合格率是98%，300件产品中有m件产品不合格，∴m值为：300×98%＝6．故选：C．6．计算：﹣0.125÷＝﹣．【分析】将有理数的除法转化为有理数的乘法进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣×＝﹣，故答案为：﹣．7．若a＜c＜0＜b，则a×b×c＞0．（用“＞”“＝”“＜”填空）【分析】先判断a，b，c的正负，再根据同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，即可得出结果．【解答】解：∵a＜c＜0＜b，∴a，c为负数，b为正数，∴a×c＞0，∴a×b×c＞0．故答案为＞．8．﹣2.4的倒数是﹣【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：﹣2.4＝﹣的倒数是：﹣．故答案为：﹣．9．计算：÷（×2）．【分析】首先计算乘法，然后计算除法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：÷（×2）＝÷＝10．（﹣48）÷8﹣（﹣25）×（﹣6）【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可转化成法，根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：原式＝（﹣48）×（﹣6）＝﹣6﹣150＝﹣（6+150）＝﹣156．。
七年级数学上册第1章《有理数的乘除法》知识点解读(人教版)
《有理数的乘除法》知识点解读一、关于有理数的乘法知识点一：有理数的乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。
温馨点拨：（1）有理数乘法法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”而言的；（2）有理数的乘法与有理数的加法的运算步骤一样，第一步：确定符号；第二步：确定绝对值。
知识点二：有理数的乘法的运算律（掌握）有理数乘法的运算律：算术乘法中适用的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在有理数范围内依然成立。
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab ba=。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即()()ab c a bc=。
（3）乘法分配律：一个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即()a b c ab ac+=+。
知识点三：多个有理数相乘的符号法则（掌握）多个有理数相乘的符号法则：（1）几个不为0的数相乘，积的符号由负数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0，反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0。
例1 计算（134－78－712）×（－117）.分析：可以直接利用乘法的分配律计算，即正向运用。
解：（134－78－712）×（－117）＝74×（－87）+（－78）×（－87）+（－712）×（－87）＝－2+1+23＝－13. 说明：利用乘法的分配律可以使某些特殊结构的有理数乘法运算简化，但要注意灵活运用避免符号、拆项等错误。
二、关于有理数的除法知识点一：倒数的概念（理解）倒数的概念：与小学学过的互为倒数的概念一样，即乘积为1的两个数互为倒数，如：3和13，5-和15-，56-和65-分别互为倒数。
一般的，当0a ≠时，a 与1a互为倒数。
有理数的乘除运算
有理数的乘除运算有理数是数学中的一种数，它可以表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
有理数的乘除运算是数学中的基本运算之一，它在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
在本文中，将详细介绍有理数的乘除运算方法以及相关的例题。
一、有理数的乘法运算1. 有理数的乘法规律有理数的乘法遵循以下规律：- 两个正数相乘，乘积也是正数；- 两个负数相乘，乘积是正数；- 正数与负数相乘，乘积是负数。
例如，2 × 3 = 6，(-2) × (-3) = 6，2 × (-3) = -6。
2. 有理数的乘法计算有理数的乘法计算方法是将两个有理数的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，最后将结果约简。
例如，对于分数 -3/4 和 1/2，我们可以进行以下计算：(-3/4) × (1/2) = (-3) × 1 / (4 × 2) = -3/8。
二、有理数的除法运算1. 有理数的除法规律有理数的除法遵循以下规律：- 两个正数相除，商是正数；- 两个负数相除，商是正数；- 正数除以负数，商是负数。
例如，6 ÷ 2 = 3，(-6) ÷ (-2) = 3，6 ÷ (-2) = -3。
2. 有理数的除法计算有理数的除法计算方法是将除数取倒数，再将除法转化为乘法进行计算。
具体步骤如下：- 将除数取倒数，即将分子与分母交换位置；- 将除法转化为乘法，即用除数的倒数乘以被除数。
例如，对于分数 5/6 ÷ 2/3，我们可以进行以下计算：(5/6) ÷ (2/3) = (5/6) × (3/2) = (5 × 3) / (6 × 2) = 15/12 = 5/4。
三、有理数乘除运算的混合运算有理数的乘除运算可以与加减运算一起进行，按照先乘除后加减的原则进行运算。
在运算过程中，可以根据需要使用括号来改变运算的顺序。
(完整)有理数的加减乘除法
1。
3（1）有理数的加法计算： （1）（－51)＋(－37） （同号两数相加）＝－( ） （取相同的符号） ＝－（51＋37） （并把绝对值相加） ＝－88 （2)（＋15)＋（－18） (绝对值不相等的异号两数相加） ＝－（ ） （取绝对值较大的加数的符号）＝－（18－15) （并用较大的绝对值减去较少的绝对值） ＝－3（3）（－431）＋（＋231） （4）（－131）＋(＋221）＝ ＝ ＝ ＝（5)（－3）＋（－9）＋（－7.4）＋9。
6 （6）（－0.9)＋2.5＋21＋（－32)(7)13＋（－16）＋9＋（－24) （8）（－7）＋3＋1＋（－3）＋7＋（－5）（9）1＋(－21)＋31＋(－61） （10）543＋(－353)＋441＋（－752）1.3(2)有理数的减法（1)0－(－3） (2）（－19）－（－12） （3)18－23 （4）25－（－25）1。
3（3)有理数加减运算技巧点拨1、把符号相同的数结合在一起计算:（＋5）＋（－6）＋（+4）＋（＋9）＋（－7)＋（－8）2、 把互为相反数的两数结合在一起计算:8＋5＋(－4）－(－6）＋4 －（－2）＋3＋（－3）＋（－2）－9＋13、 把能凑成整数的数结合在一起计算:－（－5.6）＋10.2－8。
6＋（－ 4。
2）4、 把分母相同的分数或易通分的分数结合在一起计算:（＋353）＋(＋443）＋（－152）＋（－343）1。
4（1）有理数的乘法运算步骤：先确定符号，再算绝对值。
注意:1、不要将有理数的乘法法则和有理数的加法法则相混淆，如(－2）×(－3)= 6而不是等于“－6”，这个要特别注意，注意区分.2、法则中的“两数相乘，同号得正，异号得负”是专指两数相乘而言的。
计算：（技巧：先确定符号,再算绝对值。
）(1）(－1815）×(－109） （2)8。
125×(－8) （3）（－132。
有理数的乘除运算
有理数的乘除运算有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
有理数的乘除运算是数学中常见且重要的运算规则，本文将详细介绍有理数的乘除运算法则和应用。
一、有理数的乘法运算有理数的乘法运算是指将两个有理数相乘的操作。
有理数的乘法运算遵循以下法则：1. 正数乘以正数等于正数，负数乘以负数等于正数；2. 正数乘以负数等于负数，负数乘以正数等于负数；3. 任何数乘以0都等于0；例如，计算2乘以3的结果。
根据乘法运算法则，两个正数相乘，结果为正数，所以2乘以3等于6。
二、有理数的除法运算有理数的除法运算是指将被除数除以除数得到商的操作。
有理数的除法运算遵循以下法则：1. 正数除以正数等于正数，负数除以负数等于正数；2. 正数除以负数等于负数，负数除以正数等于负数；3. 任何数除以0都是没有定义的。
例如，计算8除以2的结果。
根据除法运算法则，两个正数相除，结果为正数，所以8除以2等于4。
三、乘除运算的性质有理数的乘除运算具有以下性质：1. 乘法交换律：a乘以b等于b乘以a；2. 乘法结合律：(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)；3. 乘法分配律：a乘以(b加上c)等于a乘以b加上a乘以c；例如，计算3乘以(4加上5)。
根据乘法分配律，先计算括号内的加法，得到9，然后将3乘以9，结果为27。
四、实际应用有理数的乘除运算在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 购物计算：当购买商品时，需要计算价格和数量的乘法运算，以确定需要支付的金额；2. 分配资源：在工作或学习中，将资源按照不同比例分配给不同的人或部门，需要进行乘法运算来确定每个人或部门的份额；3. 距离和速度：计算速度等于路程除以时间，需要进行除法运算；4. 金融投资：计算股票或基金的收益率等于收益金额除以投资金额，需要进行除法运算。
总结：有理数的乘法运算和除法运算具有明确的规则和法则。
了解和掌握有理数的乘除运算法则对于解决实际问题和进行数学运算非常重要。
有理数——有理数的乘除法知识点整理打印版
有理数——有理数的乘除法知识点整理打印版有理数是指可以表示为两个整数比值的数，包括正整数、负整数、零和分数。
有理数的乘除法是数学中基本的操作之一，本文将对有理数的乘除法的相关知识点进行整理，并提供打印版供读者参考。
一、有理数的乘法有理数的乘法运算可以归纳为以下几条规则：1. 正数与正数相乘，结果仍为正数；2. 正数与负数相乘，结果为负数；3. 负数与负数相乘，结果为正数；4. 任何数与零相乘，结果都为零。
举例说明：1. 3乘以5，结果为15；2. -2乘以3，结果为-6；3. -4乘以-6，结果为24；4. 0乘以任何数，结果均为0。
二、有理数的除法有理数的除法运算有以下几点需要注意：1. 除数不能为零，否则结果不成立；2. 如果除数和被除数同号，商为正数；如果除数和被除数异号，商为负数；3. 如果被除数为零，任何数除以零的商都不存在。
举例说明：1. 6除以2，结果为3；2. -8除以4，结果为-2；3. -15除以-3，结果为5；4. 任何数除以零的结果都不存在。
三、有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算，按照“先乘后除”的原则进行。
乘除混合运算的计算步骤如下：1. 先进行乘法运算，按照乘法规则进行计算；2. 再进行除法运算，按照除法规则进行计算。
需要注意的是，除法运算时遵循“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的原则。
举例说明：1. 2乘以3再除以4，步骤如下：2乘以3等于6，然后6除以4等于1.5；2. -5乘以4再除以-2，步骤如下：-5乘以4等于-20，然后-20除以-2等于10。
四、有理数的乘方运算有理数的乘方运算将一个数自己乘以自己多次。
有理数的乘方运算的规则如下：1. 正数的乘方，结果仍为正数；2. 负数的偶数次方，结果为正数；3. 负数的奇数次方，结果为负数；4. 0的任何次方，结果均为0。
举例说明：1. 2的3次方，结果为8；2. -3的2次方，结果为9；3. -4的3次方，结果为-64；4. 0的任何次方，结果均为0。
初一数学上册有理数的乘除(基础)知识讲解及练习
有理数的乘除（基础）【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b ab b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．（ •台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可 【答案】D ． 【解析】 解：原式=××=.【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．2． (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算：(1)5105(12)6⎛⎫-⨯+⎪⎝⎭(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【思路点拨】 (1)根据题目特点，可以把51056-折成51056--，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．【答案与解析】解：(1)5105(12)6⎛⎫-⨯+⎪⎝⎭5105(12)6⎛⎫=--⨯+⎪⎝⎭510512126=-⨯-⨯（分配律）1260101270=--=-(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)]（交换律）＝-1×(-50)＝50（结合律）(3)111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯11[(5)2(6)]39333⎛⎫=-++-⨯=-⨯+⎪⎝⎭（逆用乘法的分配律）27330=--=-【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．举一反三：【变式1】（•玄武区一模）计算16.8×+7.6×的结果是．【答案】7．解：原式=8.4×=（8.4+7.6）×=16×=7．【高清课堂：有理数乘除381226 多个有理数相乘例2】【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯⨯-⨯-；4(2)(0.125)()16(7)7-⨯-⨯⨯-【答案】（545147(1)=1225239-⨯⨯⨯=-原式 4(2)(0.1258)2(7)87=-⨯⨯⨯⨯=-原式类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36÷-【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择． 举一反三：【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法（法则）】 【变式】计算：（1） 1.25(0.375)-÷-【答案】原式535810()()48433=+÷=+⨯=类型三：有理数的乘除混合运算5.计算：9481(16)49-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行． 举一反三：【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)【答案】 (-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝1199428-⨯⨯=- 【变式2】计算：(1)14410(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】 (1)14410(2)893-÷⨯÷-194181941243108432843216⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3511717435⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 351171174354⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭类型四、有理数的加减乘除混合运算6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭ 【答案】 原式()753181818 1.456 3.9569618⎛⎫=⨯-⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪⎝⎭(14153)( 1.45 3.95)6=-++-+⨯2 2.5617=+⨯= 类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】解：80002762748211000-⨯=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．【巩固练习】一、选择题 1．（ •佛山）﹣3的倒数为（ ） A ．﹣B ．C ． 3D ． ﹣32.下列命题中，正确的是( )．A ．若a ·b ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若a ·b ＞0，则a ＜0，b ＜0C ．若a ·b ＝0，则a ＝0且b ＝0D ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 3. 下列说法错误的是 （ ）A.一个数与1相乘仍得这个数.B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1. C ．一个数与-1相乘得这个数的相反数. D.互为倒数的两个数的商为1. 4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是 ( )A ．同为负数B ．同为正数C ．一正一负且正数的绝对值较大D ．一正一负且负数的绝对值较大 5.计算：1(2)(2)2⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭的结果是 （ ） A ．-8 B ．8 C ．-2 D ．2 6. 在算式4|35|--中的所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（ ）．A ．+B ．-C ．×D ．÷7. 下列计算：①0-(-5)＝-5；②(3)(9)12-+-=-；③293342⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭；④(36)(9)4-÷-=-；⑤若(2)3x =-⨯，则x 的倒数是6．其中正确的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．（ •镇江二模）（﹣6）×（﹣）= ． 9.若0,0a b ab +<>，则a 0，b 0，ab0. 10. 若|a|＝5，b ＝-2，且a ÷b ＞0，则a+b ＝________．11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是 ，所得的商最小是 12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有 个13.如果0,0acbc b><，那么a 0. 14. (1)3x x →-→+→输入输出是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____． 三、解答题 15.计算：(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1) (2)113(24)348⎛⎫-+⨯-⎪⎝⎭(3)(-6)×45+(-6)×55 （4）11(15)13632⎛⎫-÷--⨯⎪⎝⎭16．（ 秋•朝阳区期末）计算：．17.已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则()||cda b m m m++-的结果是多少？18.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ． 2.【答案】D【解析】当a ·b ＞0时，a 、b 同号，可能同为正，也可能同为负，故A 错误；当a ·b ＜0时，a 、b 异号，所以B 错误；当a ·b ＝0时，a 、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，故C 错误，D 错误． 3.【答案】D【解析】D 错误，因为互为倒数的两个数的积是1，而不是商. 4.【答案】D【解析】商为负，说明两数异号；和为负，说明负数的绝对值较大. 5.【答案】A【解析】1(2)(2)(2)(2)(2)82⎛⎫-÷-⨯-=-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】填入“+”时，算式4-|-3+5|＝4-2＝2；填入“-”时，算式4-|-3-5|＝4-8＝-4；填入“×”时，算式4-|-3×5|＝4-15＝-11；填入“÷”时，4-|-3÷5|＝324355-=．因此，填入“×”时，计算出来的值最小．7.【答案】B【解析】②③正确．0-(-5)＝5；(-36)÷(-9)＝4． 二、填空题 8.【答案】2.【解析】（﹣6）×（﹣）=2. 9.【答案】＜，＜，＞【解析】由0ab >可得：,a b 同号，又0a b +<，所以,a b 同负，进而可得：这两个数的商应为正数. 10.【答案】-7【解析】由|a |＝5，知a ＝±5．而ab ＞0，说明a 、b 是同号，而b ＝-2<0，所以a ＝-5，所以a+b ＝(-5)+(-2)＝-7． 11.【答案】12；-2【解析】选择3和4相乘所得的积最大，选择4和-2，并且4除以-2所得的商最小. 12.【答案】1,3,5【解析】积为负数，说明其中负因子的个数为奇数个，因为共有偶数个因子，所以正因子的个数也为奇数个，所以为：1,3,5 13.【答案】＜【解析】由0bc <可得：,b c 异号，又bc 与c b 同号，所以0,c b <而0,acb>所以0a < 14.【答案】4【解析】(-1)×(-1)+3＝4 三、解答题 15.【解析】(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)＝0 (2)113(24)86911348⎛⎫-+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭ (3)(-6)×45+(-6)×55＝(-6)×(45+55)＝-600 （4）原式25(15)66⎛⎫=-÷-⨯ ⎪⎝⎭= 63(15)621255⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭16.【解析】解：原式=×（﹣60）﹣×（﹣60）﹣×（﹣60）=﹣40+55+56=71．17.【解析】由题意得a+b ＝0，cd ＝1，m ＝1或m ＝-1． 当m ＝1时，原式101|1|01=+⨯-=； 当m ＝-1时，原式10(1)|1|21=+⨯---=--．综合可知：()||cda b m m m++-的结果是0或-2． 18.【解析】不需要改做其他项目．理由：(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2＝-45+60+68-46＝37(万元)．因为137123312÷=>，所以不需要改做其他项目．。
有理数的乘除及乘方
有理数的乘除及乘方一、有理数的乘法1.有理数乘法法则：(1)两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把绝对值 .(2)任何数同零相乘,都得 .例题：①(-3) ×(+8)=__________;②173()()64-⨯+=________;③8( 2.3)()5-⨯-=__________; ④123()()54+⨯+=__________;⑤2()05-⨯=__________. (3)几个不等于0的数相乘,积的符号是由负因数的个数绝定的,当负因数有奇数个时,积得 ,当负因数有偶数个时,积得 .例题：①(-5)×(-6)×3×(-2)=__________;②(-2)×3×4×(-1)×(-3) =__________;③(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2)=__________.2.有理数的乘法的运算律:交换律:a ×b=________; 结合律:(ab)c=__________=________;分配律: a(b+c)=___________. 例题：计算①118(0.36)()()411-⨯+⨯- ②-13×23-0.34×27+13×(-13)-57×0.34 ③231()243412--⨯ ④-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4 二、有理数的除法1.有理数除法法则：(1)两数相除,同号得 ,异号得 ,并把绝对值________.(2)0不能做除数，零除以任何一个__________零的数,都得零. (3)除以一个不为零的数等于乘以这个数的_________.注意:除法没有分配律,有括号时要先作括号内的.例题1:①(+28)÷(-7)=___________; ②515()()124+÷-=_______________; ③4(0.24)()5-÷-=_____________; ④23110()÷-=___________; ⑤5( 2.4)()3-÷+=___________; ⑥18()(0.72)5-÷-=____________.例题2:化简下列各式：①246-=________; ②279--=___________;③213-=__________;④07-=________. ④23110()÷-=___________; ⑤5( 2.4)()3-÷+=___________; ⑥18()(0.72)5-÷-=____________.例题3:计算①(-120)÷(-5)÷(-8) ②(-49)÷1(2)3-÷73÷(3)- ③18÷11()63- ④2(4)3-÷127-三、有理数的乘方1.求几个_________因数的积的运算,叫乘方.乘方的结果叫做_______.乘方是特殊的乘法运算.如果有n 个a 相乘，可以写为n a .nn a a a a = 个其中，n a 叫做a 的n 次方.也叫做a 的n 次幂. a 叫做幂的_________，a 可以取任何有理数；n 叫做幂的_________，可取任何正整数. 例题1：把下列各式写成乘方运算的形式,并指出底数和指数各是什么?①(-1.5)·(-1.5)·(-1.5)·(-1.5)=____________________底数是__________指数是____________.②111111555555⨯⨯⨯⨯⨯=____________________ 底数是__________指数是____________.例题2:① (-3)4=_________; ②0.53=_______; ③-44=________; ④-(-2)6=________⑤32()3=_______.2.幂运算性质：(1)正数的任何次幂都是________(正,负)数,负数的______(奇，偶)次幂是负数,负数的偶次幂是______数. (2)任何一个不为_______的数的零次幂都等于_______.例题1: ①(-5)4=_______; ②-54=________;③(-1)101=_______; ④-1100=_______;⑤302()3-=________.例题2:计算①2221(6)()72(3)3-÷--+⨯- ②232100(2)(2)()(2)3÷---÷-+- ③23118(3)5()(15)52-÷-+⨯---÷ ④0322004111()()(1)(2)(1)2216⎡⎤--÷--⨯-÷-⎢⎥⎣⎦3.有理数的混合运算的顺序;先算乘方,再算乘除,最后算加减.同级运算从左到右.如果有括号先算括号里面的,按小括号,中括号,大括号依次进行.例题:计算①()3111(2)30.4122⎧⎫⎡⎤⎛⎫----+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭ (注意运算顺序) ②753()18 1.456 3.9569618-+⨯-⨯+⨯ (应用分配律)③()()()21034454512242⎡⎤-⨯---÷--+⎣⎦(化繁为简) 四、有效数字和科学记数法1.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n 的形式,其中a 是整数位数只有_______的数, 即110a ≤<，n 是比原数的整数部分的位数少1的正整数.像这种记数法叫____________.例.8900000=8.9×106 286000=2.86×105 1003400=1.0034×106 例题1:用科学记数法表示下列各数. ①135000；②329.506；③1000000000.例题2:下列各数是用科学记数法表示的，请写出这个数. ①5.7×105；②3.72×107；③2.0×109.2.近似数就是与实际很接近的数.精确度是近似数的精确程度,一般有两种形式(1)一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个近似数精确到哪一位.例.π≈3 (精确到个位) π≈3.1 (精确到0.1, 或叫做精确到十分位)π≈3.14(精确到0.01, 或叫做精确到百分位)π≈3.141(精确到 , 或叫做精确到 .)π≈3.1416(精确到 , 或叫做精确到 .)(2)一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数字的有效数字.一个近似数有几个有效数字就称这个近似数保留几个有效数字.例题:用四舍五入法对下列各数取近似数. ①0.056846(保留4个有效数字) ②4672164(保留5个有效数字) ③2.5(保留3个有效数字) ④0.005876(保留3个有效数字)。
人教版初一数学上册有理数的乘除(基础)知识讲解
有理数的乘除（基础）【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b ab b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．（2015•台湾）算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可 【答案】D ． 【解析】 解：原式=××=.【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．2.(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算：(1)5105(12)6⎛⎫-⨯+⎪⎝⎭(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【思路点拨】 (1)根据题目特点，可以把51056-折成51056--，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．【答案与解析】解：(1)5105(12)6⎛⎫-⨯+⎪⎝⎭5105(12)6⎛⎫=--⨯+⎪⎝⎭510512126=-⨯-⨯（分配律）1260101270=--=-(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)] （交换律）＝-1×(-50)＝50（结合律）(3)111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯11[(5)2(6)]39333⎛⎫=-++-⨯=-⨯+⎪⎝⎭（逆用乘法的分配律）27330=--=-【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．举一反三：【变式1】计算16.8×+7.6×的结果是．【答案】7．解：原式=8.4×=（8.4+7.6）×=16×=7．【高清课堂：有理数乘除 381226 多个有理数相乘例2】【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯⨯-⨯-；4(2)(0.125)()16(7)7-⨯-⨯⨯-【答案】（545147(1)=1225239-⨯⨯⨯=-原式 4(2)(0.1258)2(7)87=-⨯⨯⨯⨯=-原式类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36÷-【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择． 举一反三：【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法（法则）】 【变式】计算：（1） 1.25(0.375)-÷-【答案】原式535810()()48433=+÷=+⨯=类型三：有理数的乘除混合运算5.（2015秋•德惠市校级期中）计算：（﹣2）×．【思路点拨】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=2××3×3=9．【总结升华】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)【答案】 (-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝1199428-⨯⨯=- 【变式2】计算：(1)14410(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】 (1)14410(2)893-÷⨯÷-194181941243108432843216⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭(2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3511717435⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 351171174354⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭类型四、有理数的加减乘除混合运算6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭ 【答案】 原式()753181818 1.456 3.9569618⎛⎫=⨯-⨯+⨯+-⨯+⨯⎪⎝⎭(14153)( 1.45 3.95)6=-++-+⨯2 2.5617=+⨯= 类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】解：80002762748211000-⨯=-=-(℃)因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b. 【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
新初一数学第四集 有理数的运算——乘除法与乘方
第四集 有理数的运算——乘除法与乘方【知识储备】1、有理数加减混和运算的方法和步骤：运用减法法则，把式子统一成“和”（即变成加法）的形式运用加法法则.加法交换律.加法结合律进行简便运算2、乘法运算定律乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(3、倒数若)0,(1≠=⋅b a b a 成立，则b a ,互为倒数；反之，若b a ,互为倒数，则有1=⋅b a .【本集要点】知识一：有理数的乘法法则：1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如：1553=+⨯+）（）（； 1553=-⨯-）（）（； 1553-=-⨯+）（）（2. 任何数同0相乘，都得0。
例如： 003=⨯+）（； 003=⨯-）（3.多个有理数相乘时，只要有一个数为0，则乘积为零，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
简记“奇负偶正”例如：00253=⨯+⨯-⨯-）（）（）（ 30253-=-⨯-⨯-）（）（）（ 30253=+⨯-⨯-）（）（）（知识二：乘法的运算律（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置积不变，即ba ab =。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘积不变，即)()(bc a c ab =。
（3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘再把积相加，即ac ab c b a +=+)(知识三：倒数乘积为1的两个数互为倒数，即：如果b a •=1，则b a ,互为倒数，反之，若b a ,互为倒数则有，b a •=1。
任何数与0相乘的积都是0，不可能是1，因此0没有倒数。
一般地，求一个整数的倒数，直接写成这个数的分之一即可，求一个分数的倒数只要把分子、分母的位置颠倒一下即可。
知识四：有理数的除法法则法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即)0(1≠•=÷b ba b a 。
有理数的乘除混合运算
•有理数乘除法基础•乘除法运算规则•乘除混合运算实例•乘除混合运算的应用•乘除混合运算的练习与巩固目录01有理数乘法定义乘法运算的数学符号乘法运算的顺序有理数乘法定义1有理数除法定义23除法运算是一种特殊的减法运算，即当两个有理数相除时，等于将它们对应的数相除，并取商的符号。
有理数除法定义除法运算通常用符号“÷”表示，有时也用符号“/”表示。
除法运算的数学符号当被除数为0时，商无定义；当除数为0且被除数不为0时，商也无定义。
除法运算的特殊情况乘法与加法的结合律乘法的交换律除法的可交换性乘除法的可结合性乘除法的基本性质01乘法运算规则除法运算规则$a \div b = \frac{a}{b}$，其中$b \neq 0$除法的定义商的定义除法的性质除法的运算律$\frac{a}{b}$表示$a$可以被$b$整除的次数当$a \div b = c$时，则$a = b \times c$$(a \div b) \div c = a \div (b\times c)$，$a \div (b \div c) = a \div b \times c$乘除法的简化约分通分消去分母分数的通分和约分01乘除混合运算规则030201乘除混合运算实例解析03利用分配律乘除混合运算的技巧01利用交换律和结合律02分拆法01商业计算物理科学在实际问题中的应用代数方程三角函数在数学问题中的应用计算机科学在计算机科学中，有理数的乘除混合运算被广泛用于数据加密、密码破解、数据压缩和图像处理等领域。
例如，在数据压缩中，可以使用有理数乘除混合运算来减少数据的大小，以便更有效地存储和传输数据。
统计学在统计学中，有理数的乘除混合运算被用于计算平均值、中位数、标准差等统计指标。
例如，在计算平均值时，可以使用有理数乘除混合运算来对数据进行加权平均。
在科学计算中的应用01乘除混合运算的练习方法乘除混合运算的练习题目基础题目例如，(2+3)×4÷(1+5)，10÷(3-2)×4，(4+5)×3÷(2+1)等。
七年级数学上册《有理数的加减乘除运算》暑假培优版
七年级数学上册《有理数的乘除运算》【要点梳理】知识点一、有理数的乘法1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 知识点二、有理数的除法1. 倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数，乘积为-1的两个数互为负倒数。
要点诠释：（1）0没有倒数；（2）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相；0除以任何一个不等于0的数，都得0.知识点三、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．1(0)a b a b b÷=≠【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：（1）1(8)(12)(0.125)()(0.001)3-⨯-⨯-⨯-⨯-；类型二、有理数的除法运算2．计算：（1） （2）类型三、有理数的乘除混合运算3.计算：（1）（2）类型四、有理数的加减乘除混合运算4. 计算：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭111(3)(2)(1)335-÷-÷-9481(16)49-÷⨯÷-14410(2)893-÷⨯÷-121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭举一反三：【变式1】253152(1)()2()( 2.5)(0.25)774375-⨯÷-⨯÷-+-÷-⨯【变式2】已知：b a 、互为相反数，d c 、互为倒数，m 的倒数等于它本身，则()||cda b m m m++-的结果是多少？类型五、含绝对值的化简5.计算的取值.举一反三：【变式1】如果0y x <<，则化简x xy xxy+= .【变式2】已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【变式3】已知91=-x ，61=+y ，且0<+y x ，试求y x -的值．a bab+||||||a b c a b c++。
中考数学关于有理数乘除法的知识点
中考数学关于有理数乘除法的知识点中考数学关于有理数乘除法的知识点有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
下面是小编分享的中考数学关于有理数乘除法的知识点，欢迎阅读！有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a （bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数.有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .【有理数】一、正数和负数正数和负数的概念负数：比0小的数;正数：比0大的数。
0既不是正数，也不是负数☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数;当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。
强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。
具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。
习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.二、有理数有理数的概念(1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)(2)正分数和负分数统称为分数(3)整数和分数统称有理数☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
数轴(1)数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线;原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一;(2)数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。
中考数学知识点复习：有理数乘除法知识点
中考数学知识点复习：有理数乘除法知识点中考数学知识点复习：有理数乘除法知识点有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.
有理数除法法则：
除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数.
有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an 或(a-b)n=(b-a)n.
精心整理，仅供学习参考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数——有理数的乘除法知识点整理
知识点1：有理数的乘法
1、有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0.
说明：本法则指的是两个数相乘，“同号得正，异号得负”指两个正数或两个负数相乘，乘积必为正数；一个正数与一个负数相乘，乘积必为负数.不要与加法法则混淆.
运算步骤：①确定乘积的符号；②两个数的绝对值相乘确定乘积数值，符号和数值得出结果.例如：1111123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭绝对值相乘
得正同号1111123236⎛⎫⎛⎫⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
绝对值相乘得负
异号提示：①第一个负因数可以不带括号，但后面的负因数必须带括号；②在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分.
2、有理数乘法法则的推广
（1）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
（2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0.
说明：①在有理数乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；②几个不是0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘；③几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0.
书写的规则：两个以上因数相乘时，若都用字母表示因数，“×”号可以写为“·”或省略.如，a b ⨯可写成a b 或ab .
3、有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
用字母表示为：ab ba
=乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：()()
ab c a bc =
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：()a b c ab ac
+=+提示：①运用分配律时，不要漏乘项，且特别要注意括号内外各项的符号，同时把括号去掉，例如()2321232221-⨯-+-=⨯-⨯+⨯；②逆用分配律可简化运算，注意不要将括号内的符号弄错.
知识点2：倒数
乘积是1的两个数互为倒数.当0a ≠时，a 与
1a 互为倒数；当0m ≠，0n ≠时，m n 与n m 互为倒数.如3与13，23-与32-互为倒数.提示：①正数的倒数仍为正数；负数的倒数仍为负数.比1大的数的倒数比本身小；比0大比1小的数的倒数比本身大；比0小比1-大的数的倒数比本身小，比1-小的数的倒数比本身大.②在做倒数的题目时，可检验原数与其倒数符号是否相同，乘积是否为1，来确定结果是否正确.
知识点3：有理数的除法
根据除法是乘法的逆运算，我们可以轻松学会有理数除法.
1、有理数除法法则
表述1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：1a b a b
÷= ()0b ≠表述2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
说明：对于两种表述方式，在实际计算过程中可根据具体的情况灵活选用，一般在不能整除的情况下，应用“表述1”；能整除的情况下，应用“表述2”.
注意：分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号.
2、有理数的乘除混合运算
有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果.
例如：
111112242⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
141112522
⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14312522
=-⨯⨯⨯3=-除法转化为乘法确定符号约分
提示：①如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某数相乘时约分，则将这个
带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律进行计算，如3113133⨯=⨯+⨯；②两个以上除法运算时，注意运算顺序要从左到右依次将除法转化为乘法，再进行计算；③乘除混合运算时，将除法转化为乘法，算式化成连乘积，先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算.
3、有理数加减乘除混合运算
有理数的四则混合运算，是有理数运算的重点和难点问题，必须注意带括号或不带括号的情况下加、减、乘、除的运算顺序问题.
注意：①通常只含有加减运算时，从左到右依次计算；只含有乘除运算时，也是从左到右依次计算；若加减乘除混合，则先算乘除，后算加减；若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.②混合运算中，经常会用到分配律，将()a b c +化成ab ac +或者将ab ac +化成()a b c +，简化运算，这需要同学们勤练习、多观察.
相信大家现在应该能正确区分负号与减号、正号与加号了！。