弹塑性矩阵推导
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弹塑性矩阵推导
考虑材料的塑性，其增量形式的本构关系可表达为
p d σ=(D -D )d ε (1)
式(1)中，D 为弹性矩阵，p D 为塑性矩阵。 弹性矩阵D 的形式为
422000333242000333224000333000000
000000000K G K G K G K G K G K G K G K G K G G G G ⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
D (2) 体积模量3(12)
E K μ=
-，剪切模量2(1)
E G μ=+。
在应变空间内，塑性矩阵可表达为
1()T f f
A ∂∂=
∂∂p D D D σσ
(3) 式中，
(
)()T T p f f f f A B ∂∂∂∂=--∂∂∂∂D D σσσσ
(4)
f
为屈服函数；p σ为塑性应力，p p =σD ε；
1/2(()())T p T p
T p f f f f B f f f ωθε∂∂⎧
⎪∂∂⎪
∂∂⎪
'=⎨∂∂⎪
∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎩
σσ
I σσσ
(5)
[111000]T '=I ；p ω为塑性功；p θ为塑性体应变；p ε为等效塑性应变；
κ为反映加载历史的参数。
当p κω=时
当p
κθ=时 当p κε=时
对于Drucker-Prager 模型，其屈服条件为
120f I J α== (6)
1x y z I σσσ=++，222222
21()2
x y z xy yz zx
J S S S S S S =
+++++，α为材料常数。 2
2f J α∂''=∂I σ (7)
222T
x
y
z
xy
yz
zx S S S S S S '⎡⎤=⎣⎦S (8)
22
()32f K J J αα∂'''==+∂D
D I I σ (9)
222
(
)()(3)92T T T f f A K K G J J ααα∂∂'''===+∂∂D I I σσ (10)
1()T f f A ∂∂=
∂∂p D D D σσ
222
22222
222222112123113211212311321121231131121121121(3)(3)999(9)(9)(9)(T T
T T T T
K K K G
J J K G K G K G J K G J K G J m mn ml S m S m S m mn
n nl S n S n S n ml nl l S l S l S l S m S n S l ααααααααβββββββββββββ''=
+
+''''=++++++=p D I I I I S SS 21121122231122132123123123
1122231231132232
113113113113212113223113)()()S S S S S S m S n S l
S S S S S S m S n S l
S S S S S ββββββββββββββββββββ⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⋅⋅⎢⎥⎢⎥
⋅⋅⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎣⎦
令4
3
p K G =+，23
q K G =- 弹塑性矩阵可表达为
211212311321121231132
1121231132112112112112112223112213123
123123
112223()(p m q mn q ml S m S m S m
q mn p n q nl S n S n S n q ml q nl p l S l S l S l S m S n S l G S S S S S S m S n S l
S S G βββββββββββββββββββββββ------------------=-=-----⋅-⋅----⋅-ep p D D D 21231132232
113113113113212
113223
113)()S S S S m S n S l S S S S G S ββββββββββ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
-⋅⎢⎥----⋅-⋅-⎢⎥⎣
⎦
令12
2
(9)K G J βα=
+，
22
9K G
βα=+，
1112m S ββ=+，1222n S ββ=+，1332l S ββ=+ 2222
222211222222
1112222
99(9)(9)(9)(
()(9)9x x x x K G S S S K G K G J K G J K G J S m K G J K G
αααααββαα⎡⎤=++⎣⎦++++==+=++p D
2222222122222
22222
2
1112122299(9)(9)(9)(
)(
(9)9(9)9()()y x x y
x y K G S S S K G K G J K G J K G J K G J K G
K G J K G
S S mn
αααααααααββββ⎡⎤=+++⎣⎦++++=+
++++=++=p D
222
2222132222
2
2
2
2
2
1112133299(9)(9)(9)(
)(
(9)9(9)9()()z x x z
x z K G S S S K G K G J K G J K G J S S K G J K G
K G J K G
S S ml
αααααααααββββ⎡⎤=+⎣⎦++++=+
+
++++=++=p D
2
22142211121121122
2
2
2
2
(9)(9)(
)()(9)
(9)(9)xy x xy
x xy G S S K G J K G J S S S S m
K G K G J K G J ααββββααα⎡⎤=+⎣⎦++==+⋅=+++p D
2
22152211121231232
2
2
2
2
(9)(9)(
)()(9)
(9)(9)yz x yz
x yz G S S S K G J K G J S S S m
K G K G J K G J ααββββααα⎡⎤=+⎣⎦++==+⋅=+++p D
2
22162211121131132
2
2
2
2
(9)(9)(
)()(9)
(9)(9)zx x zx
x zx G S S S K G J K G J S S S S m
K G K G J K G J ααββββααα⎡⎤=+⎣⎦++==+⋅=+++p D