第三章 正态分布及其应用_PPT幻灯片

对任何参数的正态分布,都可以通过一
个简单的变量变换 u X化成
0
和 的1标准正态分布。通常,可以利用
标准正态分布表求出与原始变量X有关的概
率值。
正态分布
X1 X2 X3 …… X~N(,2)
f(X) 1 e(X 2 2)2， X
2
F(X) 1
Xe(X 2 2)2dX
2
标准正态分布
标准化变换
u X
u1 u2 u3 ……
u ~ N(0,12)
(u) 1 eu22， u
2
(u) 1
u u2
e 2 du
2
标准正态分布曲线下面积分布规律
Fra Baidu bibliotek
(u) 1
u u2
e 2 du
2
﹣2.58 ﹣1.96 ﹣1
0
68.27% 95.00% 99.00%
+1 +1.96 +2.58
(u) 1
-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 -0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
注： Φ(u) =1-Ф(-u)
…
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第二节 正态分布的应用
1、估计频数分布; 2、制定医学参考值范围; 3、估计总体均数的可信区间; 4、进行假设检验; 5、质量控制; 6、许多统计方法的基础。
1.估计频数分布: 利用标准正态分布曲 线下面积的分布规律, 进行频数分布 的估计。
例: 140名成年男子的红细胞数近似服从 正态分布, 均数=4.78×1012/L, S=0.38 ×1012/L.
-3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
-2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233
u u2
e 2 du
2
Ф(u)
-3
-2
-1
0
1
2
3
u
查标准正态曲线面积表时应注意: 1. 表中曲线下面积为－∞~u的面积,即曲
线下的尾部面积; 2. 当μ和σ已知时, 先根据u变换, 求得u
值后, 再查表; 3. 当μ和σ未知且样本含量足够大时, 可
用样本均数和标准差分别代替总体均 数和总体标准差, 进行u变换, 求得u的 估计值后, 再查表。
二、标准正态分布
(Standard normal distribution)
标准正态分布的概念:
正态分布是一个分布族, 对应于不同 参数的μ和σ会产生不同位置、不同形 状的正态分布, 为了应用方便, 对于任 何一个均数为μ、标准差为σ的正态分 布, 均可通过变量变换, 将正态分布转 化为标准正态分布。
6、正态曲线有一个最高点和两个拐点: 正态曲线均数所在处为最高点, 在μ±1σ 处各有一个拐点。
7、正态分布是一个分布族。
概括: 正态曲线是一条高峰位于中央(即 均数所在处), 两侧逐渐下降并完全对称, 两 端永不与横轴相交的钟型曲线; 曲线下的 总面积为1或100%, 曲线下的面积有一定 的分布规律。
身高（cm）
25
20
人 15 数
10
5
0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
身高（cm）
f(X )
1
(X )2
e2 2 ， X
2
若随机变量 x的分布
服从这个概率密度函数，
则称 x服从正态分布，
记作 X~N(,2)
3、正态分布以均数为中心, 左右两侧完全
对称 (因方程中X –μ为平方项,只要其绝对
值相等,则纵高f(x)就相等) ;
4、正态分布由两个参数决定:
μ:位置参数(平均水平),决定曲线在横轴
的位置;当σ一定时,μ越大,曲线沿横轴向右 平行移动;μ越小,曲线平行左移。
σ: 形状参数(离散趋势) , 决定曲线的形态。
当μ一定时, σ越大, 曲线越 “矮胖”,表示数
据分布越分散; σ越小, 曲线越“瘦高”,数 据分布越集中。
-4 -3 -2 -1 01 1 22 3 43 5 6 7
1 2 3
图3-3 三种不同均数的正态分布
1
2 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 2 3
图3-4 三种不同标准差的正态分布
u x
u xx s
4. 曲线下对称于0的区间面积相等, 如:区间 (﹣ ∞, ﹣1.96 )与区间(﹢∞, ﹢1.96)的面积相等;
5. 曲线下横轴上的总面积为100%。
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标准正态曲线下左侧尾部面积（u值表）
u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
第一节
正态分布的概念和特征
一、正态分布 (Normal Distribution)
(一)、正态分布的概念
f (X )1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
25
20
人 15 数
10
5
0 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
正态曲线
(二)、正态分布的特征
概括: 1. 非负性； 2. 单峰型; 3. 对称性; 4. 由两个参数决定; 5. 曲线下面积的分布有一定规律; 6. 有一个最高点和两个拐点; 7. 正态分布是一个分布族。
1、正态曲线在直角坐标横轴的上方, 呈 钟形曲线, 且两端永不与横轴相交;
2、在X =μ处,曲线最高,即f(x)值最大; X离μ越远, f(x)值越小;
5、正态曲线下的面积分布有一定的规律:
⑴. 无论μ与σ取何值, 正态曲线与横轴所 夹的面积恒等于1 (100%);
⑵. 正态曲线下的面积有一定的分布规律.
F(X) 1 e dX X (X2 2)2 2
μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ
μ
68.27% 95.00% 99.00%
μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ