2021年西藏中考数学押题试卷解析版
专题39第7章圆之三角形的内切圆备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)
39第7章圆之三角形的内切圆一、单项选择题1．假设Rt ABC 的外接圆半径为R,内切圆半径为r ,那么其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为〔 〕 A ．22rr R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR r π+【答案】B【分析】画好符合题意的图形,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++,从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比． 【详解】解：如图,由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+,2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++,22,mn Rr r ∴=+ 而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++应选B ．【点评】此题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆,切线长定理,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键．2．如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是DF 上一点,那么∠EPF 的度数是〔 〕A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B【分析】连接OE,OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【详解】解：如图,连接OE,OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点,∴OE ⊥AB,OF ⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°, 应选：B ．【点评】此题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型．3．如图,矩形ABCD 的周长为16,E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,连接AE ,CE ,AF ,CF ,EF ,假设37AECFABCD S S =四边形矩形,那么EF 的长为〔 〕A ．32．23．27．43【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式,再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系,从而分别求出r,xy 、22x y +的值,最后由勾股定理求得EF 值.【详解】 如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,那么∵矩形ABCD 的周长为16,∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,∴11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形, ∵37AECFABCD S S =四边形矩形, ∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形, ∴112()4227xr yr xy +=, 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组,解得：r=1,xy=14,2236x y +=,作EH ⊥FH 于H,由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12,∴EF=23,应选：B.【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图,ABC ∆中,8AB =,6AC =,90A ∠=︒,点D 在ABC ∆内,且DB 平分ABC ∠,DC 平分ACB ∠,过点D 作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点P 、Q ,假设APQ ∆与ABC ∆相似,那么线段PQ 的长为〔 〕A ．5B ．356C ．5或356D ．6 【答案】B【分析】分△APQ ∽△ABC,△APQ ∽△ACB 两种情况,结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：假设△APQ ∽△ABC,∴∠APQ=∠ABC,∴PQ ∥BC,AP AQ PQ AB AC BC==, ∴∠PDB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PBD =∠PDB,∴PB=PD,同理,DQ=CQ,∵8AB =,6AC =,90A ∠=︒,∴,设AP=x,根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∴AQ=34x , ∴PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-34x , ∴PQ=PD+QD=7144x -, ∴AP PQ AB BC ,即7144810x x -=,解得：x=14 3,∴PQ=356；假设△APQ∽△ACB,那么AP AQ PQ AC AB BC==,由题意知：D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N, 可知四边形AMDN为正方形,∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°,∴AM∥DN,AN∥DM,∴∠MPD=∠NDQ,∠MDP=∠NQD,∴△MPD∽△NDQ,∴MP MD ND NQ=,∵AB=8,AC=6,BC=10,∴DM=DN=68102+-=2,∴AM=AN=2,设PM=x,那么22xNQ =,∴NQ=4 x ,∵AP AQAC AB=,即42268x x++=,解得：x=32或-2〔舍〕,∴AP=32+2=72,∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为35 6.应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.532,那么这个多边形的内角和为〔〕A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边,OC⊥AB,在直角△AOC中,利用三角函数求得∠AOC的度数,从而求得中央角的度数,然后利用360度除以中央角的度数,求出边数,根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵32,∴32,设AB 是正多边形的一边,OC ⊥AB, 32OC OA OB k ===k ，,在直角△AOC 中,32OC cos AOC AO ∠==, ∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°, 那么正多边形边数是：360660︒︒=, ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒,应选：A ．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的水平,正多边形的计算一般是转化成半径,边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,⊙O 为ABC ∆的内切圆,OA ,OB 与⊙O 分别交于点D ,E ．那么劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==,接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒,然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒,8AC =,6BC =,226810AB ∴=+=,O 为ABC 的内切圆,681022OD +-∴==,OA 平分BAC ∠,OB 平分ABC ∠, 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒, ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图,ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ,且5,13AB BC ==,12CA =,那么阴影局部的面积为_______ (结果保存π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形,再设O 的半径为r,根据三角形的面积公式得出r 的值,然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113AB BC CA ===222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形,且90A ∠=︒设O 的半径为r,那么OD OE OF r ===内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB ∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OAB S S S S =++11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅ 即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得2r又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形,90EOF ∠=︒OE OF =∴矩形AEOF 是正方形那么ABC O AEOF EOF EOF S S S S S S =-+-+阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+ 22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+ 262π=-故答案为：262π-．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．假设△ABC 的三边长为3、4、5,那么△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差为___．【答案】32【分析】先证实△ABC 为直角三角形,然后可知外接圆的半径为斜边的一半,然后求出内切圆的半径,即可得到答案．【详解】解：如下图：连接DF,EF ．∵32+42=52,∴△ABC 为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R =⨯=． ∵AB 是圆的切线,DF 是圆的半径,∴DF ⊥AB ．同理EF ⊥BC ．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF 是矩形．∵DF=EF,∴四边形DBEF 是正方形．∴DB=BE ．设圆F 的半径为r,那么4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1． ∴53122-=． 故答案为：32． 【点评】此题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆,利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图,O 是四边形ABCD 的内切圆,连接OA 、OB 、OC 、OD ．假设108AOB ∠=︒,那么COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图,设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=108AOB ∠=︒,即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,那么OE AB ⊥,OF CB ⊥,OG CD ⊥,OH AD ⊥且OE OF OG OH ===,在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌,∴12∠=∠,同理可得：34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠, 1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点评】此题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图,将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处.点D 落在点D 处,MD '与AD 交于点G ,那么AMG 的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME ＝5,BE ＝3,通过证实△AMG ∽△BEM,可得AG ＝163,GM ＝203,即可求解． 【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处,∴ME ＝CE ,MB ＝12AB ＝4＝AM ,E C D M ＝90°, 在Rt △MBE 中,ME 2＝MB 2 ＋BE 2,∴ME 2＝16＋〔8－ME 〕2,∴ME ＝5,∴BE ＝3,∵DA D ME B ＝90°＝∠B,∴∠EMB ＋∠BEM ＝90°,D EMB AM ＋＝90°,∴A B M M D E ,且GAM B ＝90°, ∴△AMG ∽△BEM, ∴AM AG GM BE MB ME==, ∴4345AG GM ==, ∴AG ＝163,GM ＝203, ∴△AMG 的内切圆半径的长＝+423AM GM AG =－故答案为：43【点评】此题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG 、GM 的长度．三、解做题11．：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺〔无刻度〕直接在ABC ∆内作内切圆,〔要求清楚地保存尺规作图的痕迹,不要求写画法〕问题二：假设ABC ∆的周长是24,ABC ∆的面积是24,,求ABC ∆的内切圆半径．【答案】〔1〕见解析；〔2〕r=2【分析】〔1〕先作∠B 和∠C 的平分线交于点O,再过点O 作OH ⊥AB 于H,然后以点O 为圆心,OH 为半径作圆即可； 〔2〕连结OA 、OB 、OC,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥BC 于E,OF ⊥AC 于F,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,那么利用S△ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12r AB+12r BC+12r AC=24,变形得到12r 〔AB+BC+AC 〕=24,然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【详解】解：〔1〕如图,O 为所求作的ABC ∆的内切圆；〔2〕解：如下列图,连结OA、OB、OC,作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, 设它的内切圆的半径为r,那么OD=OE=OF=r,∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,∴12r AB+12r BC+12r AC=24,∴12r〔AB+BC+AC〕=24,∴12r24=24,∴r=2．即ABC的内切圆的半径为2．【点评】此题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径,在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心,即三角形三个内角角平分线的交点,以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径,掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质,是解答第〔2〕小题,建立等式的关键．12．：如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即可求解【详解】如图,设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．那么OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC．∵S△AOB=12AB•OD=12cr,同理,S△OBC=12ar,S△OAC=12br．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】此题考查了三角形的内切圆的计算,正确作出辅助线,把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.13．：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°．(1)假设AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r；(2)假设AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r．【答案】〔1〕r=3cm. (2) r=12〔a+b-c〕．【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕,由此可求出r的长．【详解】〔1〕如图,连接OD,OF；在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=9cm；根据勾股定理AB=22AC BC=15cm；四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°；那么四边形OFCD是正方形；由切线长定理,得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；那么CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔12+9-15〕=3cm．〔2〕当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔a+b-c〕．那么⊙O的半径r为：12〔a+b-c〕．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．14．〔特例感知〕〔1〕如图〔1〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为直径,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,3CD =,4BD =,求点D到直线AB 的距离． 〔类比迁移〕〔2〕如图〔2〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为O 的弦,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,探索线段AB ,BE ,BC 之间的数量关系,并说明理由．〔问题解决〕〔3〕如图〔3〕,四边形ABCD 为O 的内接四边形,90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,72BD =,6AB =,求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】〔1〕125；〔2〕2AB BC BE +=,理由见解析；〔35 【分析】〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ,再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．只要证实()DFA DEC ASA ∆≅∆,推出AF CE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆,推出AF BE =即可解决问题；〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==,推出541ON =-=,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt OMN ∆中,理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠,DF AB ⊥,DE BC ⊥,DF DE ∴=, BC 是直径,90BDC ∴∠=︒, 2222435BC BD CD ∴=+=+=,1122BC DE BD DC =, 125DE ∴=, 125DF DE =∴=． 故答案为125 〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ,连接AD ,DC ． BD 平分ABC ∠,DE BC ⊥,DF BA ⊥,DF DE ∴=,90DFB DEB ∠=∠=︒,180ABC ADC ∠+∠=︒,180ABC EDF ∠+∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,FDA CDE ∴∠=∠,90DFA DEC ∠=∠=︒,()DFA DEC ASA ∴∆≅∆,AF CE ∴=,BD BD =,DF DE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆,BF BE ∴=,2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．图③ 72BD =,∴正方形BEDF 的边长为7,由〔2〕可知：28BC BE AB =-=,10AC ∴=, 由切线长定理可知：610842AN +-==, 541ON ∴=-=,设内切圆的半径为r , 那么11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ,即2MN =,在Rt OMN ∆中,OM ===【点评】此题属于圆综合题,考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．15．如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转,旋转角为θ〔045θ︒≤≤︒〕〔1〕当点A 落到y 轴正半轴上时,求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕假设线段AB 与y 轴的交点为M 〔如图2〕,线段BC 与直线y x =的交点为N ,当22.5θ=︒时,求此时BMN △内切圆的半径；〔3〕设MNB 的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化,并说明理由．【答案】〔1〕8π；〔2〕322-〔3〕不发生变化,理由见详解. 【分析】〔1〕由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,首先证实AEM ∆是等腰直角三角形,推出AM AE =,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==,可得21x x +=,解得21x =,推出1(21)22BM AB AM =-=-=同理可得22BN =,推出2222MN BM ==,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=,由此求出r 即可解决问题． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．只要证实OAE OCN ∆≅∆,推出OE ON =,AOE CON ∠=∠,再证实MOE MON ∆≅∆,推出EM MN =,推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【详解】解：〔1〕如图1中,由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形 OBB OCC S S ''=-扇形扇形 2245(2)451360360ππ=- 8π=．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,22.5AOM ∠=︒,22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒,45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒,AEM ∴∆是等腰直角三角形,AM AE ∴=,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==, 21x x ∴+=,21x ∴=-,1(21)22BM AB AM ∴=-=--=-,同理可得22BN =-,2222MN BM ∴==-,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=, 2(22)3222222222BM BN r MN BM BN -∴===-++-+-+-． 〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN =,90OAE OCN ∠=∠=︒,OA OC =,OAE OCN ∴∆≅∆,OE ON ∴=,AOE CON ∠=∠,45MON ∠=︒,45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒,MOE MON ∴∠=∠,OM OM =,MOE MON ∴∆≅∆,EM MN ∴=,BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN =++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==,BNM ∴∆的周长为定值．【点评】此题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．16．如下图,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R = 【解析】作AD ⊥BC,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 列方程即可求出R 的值,可得答案.【详解】在图〔1〕中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴AD=22AB BD -=4,∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图〔2〕中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF, ∴OE ⊥AB,OG ⊥BC,OF ⊥AC,∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =【点评】此题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..17．阅读材料：,如图〔1〕,在面积为S 的△ABC 中, BC=a ,AC=b , AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．〔1〕类比推理：假设面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆〔与各边都相切的圆〕,如图〔2〕,各边长分别为AB=a ,BC=b ,CD=c ,AD=d ,求四边形的内切圆半径r ；〔2〕理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r 1和r 2,求12r r 的值. 【答案】〔1〕2S r a b c d=+++〔2〕12149r r =. 【分析】〔1〕如图,连接OA 、OB 、OC 、OD,那么△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形,根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.〔2〕过点D 作DE ⊥AB 于点E,分别求得AE 的长,进而BE 的长,然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++,21(111320)2BCD S r ∆=++,两式相除,即可得到的值.【详解】解：〔1〕如图〔2〕,连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++ ∴2S r a b c d=+++〔2〕如图〔3〕,过点D 作DE ⊥AB 于点E, ∵梯形ABCD 为等腰梯形, ∴11()(2111)522AE AB DC =-=-= ∴21516BE AB AE =-=-= 在Rt △AED 中,∵AD=13,AE=5,∴DE=12, ∴2222121620BD DE BE +=+=∵AB ∥DC,∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==. 又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABDBCD r S r r S r r r ∆∆++===++, ∴1227212211r r =.即12149r r =.18．如下图,在Rt ABC △中,90,3,4C AC BC ∠=︒==〔1〕求BOA ∠.〔2〕求ABC △内切圆半径.【答案】〔1〕135BOA ∠=︒；〔2〕内切圆半径为1.【解析】〔1〕由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°,由O 为内切圆圆心可得OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,即可得出∠OAB+∠OBA=45°,根据三角形内角和求出∠BOA 的度数即可；〔2〕连接OD,OE 、OF,由切线性质可得OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,由∠C=90°,OD=OE 可证实四边形DCEO 是正方形,可得OD=CD,利用勾股定理可求出AB 的长,根据切线长定理可得CD=CE,AE=AF,BD=BF,设内切圆半径OD=r,根据AB=BF+AF 列方程即可求出r 的值,即可得答案.【详解】〔1〕∵∠C=90°, ∴∠CBA+∠CAB=90°,∵O 为内切圆圆心,∴OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,∴∠OAB+∠OBA=12∠CBA+12∠CAB=45°,∴∠BOA=180°-45°=135°.〔2〕连接OD,OE、OF,∵AB、AC、BC是切线,切点为D、E、F,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,CD=CE,AE=AF,BD=BF,∵∠C=90°,OD=OE,∴四边形DCEO是正方形,∴CD=OD,设OD=r,∴AF=AE=3-r,BF=BD=4-r,∵AC=3,BC=4,∴AB=22=5,AC BC∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5,△内切圆半径为1.解得r=1,即ABC【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．。
2021年中考数学重难点专项突破专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)
①当∠CEB′=90°时，如图例 4-2 所示.
由折叠性质得：AB=AB′，四边形 ABE B′是矩形.
2
所以四边形 ABE B′是正方形.
此时，BE=AB=3.
②当∠CB′E=90°时，如图例 4-3 所示.
由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.
∴点 A、B′、C 共线
4
图例 6-1
图例 6-2
【答案】4 或 4 3
【解析】分两种情况讨论. ①当∠A’FE=90°时，如图例 6-2 所示. ∵D、E 分别为 AC、BC 的中点 ∴DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DE∥BA ∴∠A’BA=90° ∴四边形 AB A’C 为矩形 由折叠得 AC=A’C ∴四边形 AB A’C 为正方形 即 AB=AC=4. ②当∠A’EF=90°时，如图例 6-3 所示. ∵∠A’EF= ∠ CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE= ∠ CEA’ 由折叠知：∠DCE= ∠ A’CE
图例 5-3
3
2 +1
【答案】
或 1.
2
【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.
①当∠CM B′=90°时，如图例 5-2 所示.
由折叠知：∠BMN= ∠ B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°
即∠BNM+ ∠ MN B′=180°，所以 B、N、B′三点共线，此时 B′与点 A 重合.
3、如图例 5-1，在 Rt∆ABC 中，∠A = 90° ， AB = AC ， B=C 2 +1 ，点 M ， N 分别是边 BC ， AB 上
的动点，沿 MN 所在的直线折叠 ∠B ，使点 B 的对应点 B' 始终落在边 AC 上.若 ∆MB'C 为直角三角形，则
专练14 几何中平移与旋转变换-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
word可编辑文档专练14 几何中平移与旋转变换1.实践与探究已知：△ABC和△DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结论：（1）如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是________，位置关系是________．（2）在图1的基础上，将△DOE绕点O顺时针旋转α（0°<α<90°）得到图2，则问题（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出α的度数．（4）在（2）的基础上，△DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当△OFC为等腰三角形时，请直接写出α的度数．【答案】（1）AE=CD；AE⊥CD（2）中的结论仍然成立理由如下：连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N∵△ABC是等腰直角三角形，O是BC的中点∴AO=CO，AO⊥BCword可编辑文档∴∠AOC=∠EOD=90°∴∠AOE=∠COD∵OE=OD∴△AOE≌△COD(SAS)∴AE=CD，∠AEO=∠CDO∵∠CDO+∠OND=90°，且∠OND=∠MNE∴∠AEO+∠MNE=90°∴∠DME=90°∴DM⊥AE即DC⊥AE（3）连接OA，如图3，∵AE=CE，OA=OC∴OE是AC的垂直平分线∴∠AOE=∠COE=45°∴α=45°（4）①若OF=FC时，如图4，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°∴∠FOC=45°∵AO⊥BC∴∠AOC=90°∴∠AOF=90°-45°=45°，即α=45°；②当OC=FC时，如图5，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°=67.5°∴∠FOC= 180°−45°2∵AO⊥BC∴∠AOC=90°∴∠AOF=90°-67.5°=22.5°，即α=22.5°；综上所述，α的度数为45°或22.5°．【解析】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠CAB =90°，∴∠ACB=45°∵点O是BC的中点，∴AO⊥BC∴△AOC是等腰直角三角形，∴AO=CO∵△DOE是等腰三角形，∠DOE=90°，∴EO=DO∴EO-AO=DO-CO即AE=CD∵OE经过点A，OD经过点C，∴AE⊥CD故答案为：AE=CD AE⊥CD2.如图（1），在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E,F分别是边DC,DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现=________；在图（1）中，CEBG（2）拓展探究的大小有无变化？请仅就图（2）的情将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG形给出证明；（3）问题解决当矩形DFGE旋转至B,G,E三点共线时，请直接写出线段CE的长．【答案】（1）45的大小无变化.（2）CEBG证明：如图（1），连接BD,DG，由题意可知：∠1=∠EDG，∴∠1+∠2=∠EDG+∠2，即∠CDE=∠BDG，在矩形ABCD中，CD=8,BC=6，∴BD=√CD2+BC2=10，∴CDBD =45，在矩形DFGE中，DE=4,GE=3，∴DG=√DE2+GE2=5，∴DEDG =45，∴CDBD =DEDG，∴ΔCDE∼ΔBDG，∴CEBG =DEDG=45；（3）CE=8√21+125或8√21−125如图（2），图（3）：如图（2），当点E在线段BG上，由（2）知，ΔCDE∼ΔBDG，CEBG =45，在Rt△BDE中，DB=10，DE=4，word可编辑文档∴BE=√102−42=2√21∴BG=2√21+3∵CEBG =45∴2√21+3=45∴CE=8√21+125；当点E在BG的延长线上时，由（2）知，ΔCDE∼ΔBDG，CEBG =45，在Rt△BDE中DB=10，DE=4，∴BE=√102−42=2√21∴BG=2√21−3∵CEBG =45∴2√21−3=45∴CE=8√21−125综上所述，CE=8√21+125或8√21−125【解析】（1）解：延长FG交BC于点H，则CH=BH=3，GH=EC=4，∠GHB=90°，∴BG=5，∴CEBG =45，故答案为：45 3.如图（1）【问题探究】如图①，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD ，使AE＝AB ，AD＝AC ，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．（2）【深入探究】如图②，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD ，使AE＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE＝∠CAD ，连接BD、CE ，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD ，连接CD ，若AC= √2，BC=3，则CD长为________．【答案】（1）BD=CE（2）解：BD=CE理由：∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠CAE=∠DAB，在△CAE和△DAB中，{AE=AB∠CAE=∠DABAC=AD)，∴△CAE≌△DAB（SAS），∴BD=CE；（3）√13【解析】（1）证明：∵∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠CAE=∠DAB，在△CAE和△DAB中，{AE=AB∠CAE=∠DABAC=AD)，∴△CAE≌△DAB（SAS），∴BD=CE；（3）解：如图，作等腰直角△CAE，使∠CAE=90°，由题（1）得BE=CD，∵EC=√2AC=2，∵∠BCA+∠ACE=90°，∴BE=√BC2+CE2=√32+22=√13.故答案为：√13.4.（1）（问题情境）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知BE与CF的数量关系为________．（2）（探索发现）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）（类比迁移）如图③，在等边△ABC中，AB=4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF=2CE时，CE=________．【答案】（1）BE=CF（2）解：成立，理由如下：∵在Rt△ABC中，D为AB中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；（3）3−√3或−1+√7【解析】解：问题情境：证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝12AB，∠BCD＝∠B＝45°，∴∠BDC＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，∵∠B＝∠DCF，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；类比迁移：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°−∠ADE，∠AED＝120°−∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△AED∽△BDF，∴ADBF =AEBD，∵点D为AB中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4−x，BF＝4−2x，∴24−2x=4−x2，解得：x＝3− √3，x＝3＋√3（不合题意，舍去），∴CE＝3− √3，如图，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4＋x，BF＝4−2x，∴24−2x=4+x2，解得：x＝−1＋√7，（负值舍去），∴CE＝−1＋√7．综上所述，CE＝3− √3或−1＋√7，故答案为：CE＝3− √3或−1＋√7．5.如图（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E.求证：BD＋CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝________（用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；________（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝________（用α表示）.通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明.________【答案】（1）解：∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE.（2）α；解：∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE.（3）180º-α；证明：数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD.【解析】（2）解：∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α;（3）解：180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α6.将一副三角尺如图①摆放，在RtΔABC中，∠ACB=90∘,∠B=60∘；在RtΔDEF中，∠EDF=90∘,∠E=45∘，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将ΔDEF绕点D顺时针方向旋转角α（0∘<α<60∘），此时的等腰直角三角尺记为ΔDE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PM的值是否随着α的变化而变化？如CN的值；反之，请说明理由.果不变，请求出PMCN【答案】（1）解：如图①，∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，AB，∴CD=AD=BD=12∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°−30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC−∠EDF=120°−90°=30°；（2）解：如图②，∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴ΔBCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在ΔDPM和ΔDCN中，{∠PDM=∠CDN∠CPD=∠BCD，∴ΔDPM∽ΔDCN，∴PMCN =PDCD，∵PDCD =tan∠ACD=tan30°=√33，∴PMCN 的值不随着α的变化而变化，是定值√33.7.将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图②.你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立.【答案】（1）证明：连接BF，如图，∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE.∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中，{BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）.∴CF=EF.又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE.word可编辑文档（2）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，{BF=BFBC=BE，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF=EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF.（3）解：画出正确图形如图：同（1）得CF=EF，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，∴AF+FC=AF+EF=AC=DE.∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；8.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEPD'，旋转角为a.（1）当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值;（2）如图2，G为BC中点，且0°<a之90°，求证:GD'=E'D;（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△ DCD'与A CBD'能否全等?若能，直接写出旋转角α的值:若不能说明理由.【答案】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵ CD∥ EF，∴∠α=30°（2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=C E′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中{CD′=CD∠GCD′=∠GCE′CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α= 360∘−90∘2=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠ BCD′=∠ DCD′= 12 ∠BCD=45° 则α=360°﹣90∘2=315°，即旋转角a 的值为135°或315°时，△BCD′与△ DCD′全等．9.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”． （1）概念理解：如图1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件，使得四边形 ABCD 是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件________；（2）概念延伸：下列说法正确的是________．(填入相应的序号) ①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形； ③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形； （3）问题探究：如图 2 ，小红画了一个 RtΔABC ，其中 ∠ABC =90° ， AB =2 ， BC =1 ，并将 RtΔABC 沿 ∠B 的平分线 BB ′ 方向平移得到 ΔA ′B ′C ′ ，连结 AA ′ ， BC ′ ，要使平移后的四边形 ABC ′A ′ 是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段 BB ′ 的长)？ 【答案】 （1）AB=AD （2）①④（3）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC= √5 ，∵将Rt △ABC 平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB ，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= √5 ，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′= √5；（III）当A′C′=BC′= √5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABB′= 12∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′= √2x，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2∴x2+（x+1）2=( √5)2 ，解得：x1=1，x2=−2(不合题意，舍去)，∴BB′= √2x =√2；（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，同理可得：BD2+C′D2=BC′2 ，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22 ，解得：x1=−1+√72，x2=−1−√72．（不合题意，均舍去），∴BB′= √2x =−√2+√142．综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“邻好四边形”应平移2或√5或1或−√2+√142．【解析】（1）AB=BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD．答案：AB=AD；（2）①符合题意，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“邻好四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“邻好四边形”是菱形；②不符合题意，理由为：一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”也有可能是等腰梯形；③不符合题意，理由为：有两个内角为直角的“邻好四边形”不是平行四边形时，该结论不成立；④符合题意，理由为：一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角可得到“四个角都是直角”，则该四边形是矩形，根据“邻边相等的矩形为正方形”，所以④的说法符合题意．故答案是：①④；10.如图1，已知直线MN //GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1.小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：（1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上.①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数；②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数；（2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K.在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK=n°，∠CDK=(4m﹣2n﹣10)°，则m的取值范围为________.【答案】（1）解：①∵∠DFE=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∵∠EDF=30°，∴∠DEF=60°，∵∠DEF=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=∠DEF﹣∠EAF=60°﹣45°=15°；②如图，当∠AFD=90°时，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵∠BAC=45°∴∠ABC=45°，∵MN∥GH，∴∠BAN=∠ABC=45°，∵∠AFD=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，∵∠ADF=30°，∴∠FAD=60°，∴∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=60°﹣45°=15°；如图，当∠FAD=90°时，∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=90°﹣45°=45°，∴∠FAN度数为15°或45°；（2）70°<m<92.5°【解析】解:（2）如图，∵∠BAC=45°，∠ACB=90°，∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，∵MN∥GH，∴∠MAK=∠AKD=n°，∵∠AKD+∠CDK=225°，∴(n+4m-2n-10) °=225°，整理得：n°=(4m-235) °，∵AC=1，且EF和GH之间的距离为1，如图，点C在直线MN上时，点B、K、D重合，∠MAK= n°=180°-45°=135°，如图，点C在直线GH上时，点B、K、D重合，∠MAK= n°=90°-45°=45°，∵点C在MN和GH之间（不含MN、GH上），∴45°＜n°＜135°，即45°＜(4m-235) °＜135°，∴m的取值范围是：70°＜m＜92.5°.故答案为：70°＜m＜92.5°.11.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=18，E，F在对角线BD上.（1）若BE=DF，①判断四边形AECF的形状并说明理由；②若BE=AE，求线段EF的长；（2）将（1）中的线段EF从当前位置沿射线BD的方向平移，若平移过程中∠EAO=∠EFA，求此时OF 的长.【答案】（1）解：①∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF∴AC⊥EF且OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是菱形；②由①可知四边形AECF是菱形∴EF=2OE又∵四边形ABCD是菱形∴OB= 12BD=9，OA=12AC=3设OE=x，则AE=BE=9-x在Rt△AOE中，x2+32=(9−x)2，解得x=4 ∴EF=2OE=8（2）解：在（1）的位置下，EF=8，且AC⊥EF ∴∠AOE=∠FOA=90°又∵在平移过程中，∠EAO=∠EFA∴△AOE与△FOA相似如图：①当点E在O点左侧时，△AOE∽△FOA 设OF=x，则OE=8-x此时AOOF =OEAO，即3x=8−x3解得：x1=4+√7，x2=4−√7<4（不合题意，舍去）②当点E在O点右侧时，△AOE∽△FOA设OF=x，则OE=x-8此时AOOF =OEAO，即3x=x−83解得：x1=9，x2=−1（不合题意，舍去）综上所述，OF的长为9或4+√7.12.在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动.（1）活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移.（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.（2）（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长. （3）活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）.（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形.证明：如图，∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：如图1，连接BE交AD于点O，∵四边形ABDE为矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝12（x+4），∴OF＝OA﹣AF＝2﹣12x，在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，∴(2−12x)2+32=14(x+4)2，解得：x＝94，∴AF＝94cm.（3）解：BD＝2OF，证明：如图2，延长OF交AE于点H，∵四边形ABDE为矩形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，∴∠ABD+∠BAE＝180°，∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB，word可编辑文档∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF，∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，∴△EFO≌△EFH（ASA），∴EO＝EH，FO＝FH，∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，∴△EOH≌△OBD（AAS），∴BD＝OH＝2OF.。
2021年中考数学真题试卷(13)(解析版)
第1页，共7页2021年中考数学真题试卷考试时间120分钟。
满分120分。
注意事项：1、答题前，考生需在答题卡左侧划线处完整填写自己的信息，并将自己的准考证号填写清楚，在准考证号区域用2B 铅笔填涂考号。
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一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.下列各式中正确的是（ ）A.a 3·a 2=a 6B. 3ab-2ab=1C.123162+=+a a a D. a(a-3)= a 2-3a 2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A.中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C.中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.5人数（人） 4 6 ·· · ·E FA第2页，共7页3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A.41 B. 21 C. 53 D. 434. 如图摆放的一副学生用直角三角板∠F=30°，∠C=45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A.135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC=24，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG=（ ）A.13B.10C.12D.56.已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.41π-B.41-π C.42π- D. 41π+AB GE D CF第5题·DACB第6题图FE第3页，共7页7.如图，函数11+=x y 与函数xy 22=的图象相交于点M （1，m ），N （-2，n ）.若21y y >，则x 的取值范围是（ ）A.x ＜-2或0＜x ＜1B. x ＜-2或x ＞1C.-2＜x ＜0或0＜x ＜1D. -2＜x ＜0或x ＞18.如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，S 主=a 2，S 左=a 2+a ，则S 俯=（ ） A. a 2+a B. 2a 2C. a 2+2a+1 D. 2a 2+a 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.分解因式：3a 2-6a+3=_________. 10.若二次函数k x xy ++-=22的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是________.11.有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_______.12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。
2021年中考数学 分类集训：轴对称与中心对称(含答案)
2021中考数学分类集训：轴对称与中心对称一、选择题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()3. 如图所示的尺规作图是作 ()A.一条线段的垂直平分线B.一个角的平分线C.一条直线的平行线D.一个角等于已知角4. 图中的四个图形，对称轴的条数为4的图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为()A．2 B．3 C．4 D．1.56. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)7. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()8. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)二、填空题9. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=10 cm，则AC=cm.10. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.11. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．12. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．14. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.15. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n 边形有 条对称轴.16. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题17. 如图，正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称．已知A ，D 1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)． (1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．18. 如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.19. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1.(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】B[解析] 图①是轴对称图形，有6条对称轴;图②是轴对称图形，有4条对称轴;图③是轴对称图形，有2条对称轴;图④是轴对称图形，有4条对称轴.故对称轴的条数为4的图形有2个.5. 【答案】A [解析] ∵ED 是△ABC 的中位线，BC ＝4，∴ED ＝2.又∵△A ′B ′C ′和△ABC 关于点O 中心对称，∴E ′D ′＝ED ＝2.6. 【答案】C[解析] A 1(1，3)，A 2(3，－3)，A 3(5，3)，A 4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.7. 【答案】C8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】10 [解析]如图，∵矩形的对边平行， ∴∠1=∠ACB ，由翻折变换的性质，得∠1=∠ABC ， ∴∠ABC=∠ACB ， ∴AC=AB ，∵AB=10 cm ，∴AC=10 cm . 故答案为10.10. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．11. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD 是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.12. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．13. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.14. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.15. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.16. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵点D 和点D 1是对称点， ∴对称中心是线段DD 1的中点， ∴对称中心的坐标是(0，52)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B 1(2，1)，C 1(2，3)．18. 【答案】解：(1)△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1如图所示．(2)平移后的△A 2B 2C 2如图所示，其中点B 2的坐标为(0，－2)，点C 2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)19. 【答案】解：(1)如图①，直线m即为所求．(2)如图②，直线n即为所求．20. 【答案】【思维教练】要作△ABC关于点O的中心对称图形，可先分别求出点A，B，C 关于点O 中心对称点，再顺次连接即可；(2)先作出点A′，再根据点A′在ΔA1B1C1，从而得出平移距离a满足A′A1<a<A′D(其中点D是A′A1与B1C1的交点)．解：(1)如解图，△A1B1C1就是所求作的图形：(2分)(2)A′如图所示；(4分)a的取值范围是4＜a＜6.(6分)21. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A落在AB边上的点D处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5， ∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。
2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。
2021年西藏中考数学试卷(附答案详解)
2021年西藏中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−10的绝对值是()A. −110B. 110C. −10D. 102.2020年12月3日．中共中央政治局常务委员会召开会议，听取脱贫攻坚总结评估汇报．中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．指出经过8年持续奋斗，我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，消除了绝对贫困和区域性整体贫困，近1亿贫困人口实现脱贫，取得了令全世界刮目相看的重大胜利．将100000000用科学记数法表示为()A. 0.1×108B. 1×107C. 1×108D. 10×1083.如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为()A.B.C.D.4.数据3，4，6，6，5的中位数是()A. 4.5B. 5C. 5.5D. 65.下列计算正确的是()A. (a2b)3=a6b3B. a2+a=a3C. a3⋅a4=a12D. a6÷a3=a26.把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1=25°，则∠2的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB，AO的中点，且AC=8.则EF的长度为()A. 2B. 4C. 6D. 88.如图，△BCD内接于⊙O，∠D=70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为()A. 40°B. 55°C. 70°D. 110°9.已知一元二次方程x2−10x+24=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为()A. 6B. 10C. 12D. 2410.将抛物线y=(x−1)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为()A. y=x2−8x+22B. y=x2−8x+14C. y=x2+4x+10D. y=x2+4x+211.如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为27，BA8垂直x轴于点A，OB与双曲线y=k相交于点C，且xBC：OC=1：2.则k的值为()A. −3B. −94C. 3D. 9212.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AB时，PB+PM的最小值为()AM=13A. 3√3B. 2√7C. 2√3+2D. 3√3+3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 若√2x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．14. 计算：(π−3)0+(−12)−2−4sin30°=______．15. 已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6.则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是______．16. 若关于x 的分式方程2x x−1−1=m x−1无解，则m =______．17. 如图．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4.按以下步骤作图：(1)以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA ，BC于点M ，N ；(2)以点C 为圆心，BM 长为半径画弧，交线段CB 于点D ；(3)以点D 为圆心，MN 长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E ；(4)过点E 画射线CE ，与AB 相交于点F.当AF =3时，BC 的长是______．18. 按一定规律排列的一列数依次为23，14，215，112，235，…，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是______．三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）19. 解不等式组{2x +3>12x−13≤x 2，并把解集在数轴上表示出来．20.先化简，再求值：a2+2a+1a−2⋅a−2a2−1−(1a−1+1)，其中a=10．21.如图，AB//DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD.求证：AC=CE．22.列方程(组)解应用题为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？23.为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为______，在扇形统计图中，m的值为______．(2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．24.已知第一象限点P(x,y)在直线y=−x+5上，点A的坐标为(4,0)，设△AOP的面积为S．(1)当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；(2)当S=4时，求点P的坐标；(3)求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．25.如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB=10m.求建筑物CD的高度．(拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，√3≈1.732)26.如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D.连接AD，AC，BC.使∠CAD=∠B．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AD=4，tan∠CAD=1，求BC的长．227.在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C.且点A的坐标为(−1,0)，点C的坐标为(0,5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)图(乙)中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：−10的绝对值是10．故选：D．根据绝对值的定义即可得到结论．本题考查了绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：100000000=1.0×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形．故选：C．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4.【答案】B【解析】解：将这组数据从小到大排列为3，4，5，6，6，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，故选：B．将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数就是中位数．本题考查中位数，掌握将一组数据从小到大排列处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数是正确解答的关键．5.【答案】A【解析】解：A.(a2b)3=a6b3，故本选项符合题意；B.a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C.a3⋅a4=a7，故本选项不合题意；D.a6÷a3=a3，故本选项不合题意；故选：A．分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．(BD选项非试卷原题)本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图，∵a//b，∴∠1=∠3=25°，∵∠2+∠3=45°，∴∠2=45°−∠3=20°，故选：B．利用平行线的性质求出∠3可得结论．本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BD，∴AC=BD=8，BO=DO=12BD=4，∴BO=DO=12∵点E、F是AO，AB的中点，∴EF是△AOD的中位线，BO=2，∴EF=12故选：A．BD=4，再根据三角形中位线定理可根据矩形的性质可得AC=BD=8，BO=DO=12BO=2．得EF=12此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．8.【答案】B【解析】解：连接OB，OC，∵∠D=70°，∴∠BOC=2∠D=140°，∵OA⊥BC，∠BOC=70°，∴∠COA=12∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=1(180°−70°)=55°，2故选：B．连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠D=140°，根据垂径定理得到∠COA=1∠BOC=70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．2本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【解析】解：方程x2−10x+24=0，分解得：(x−4)(x−6)=0，可得x−4=0或x−6=0，解得：x=4或x=6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为12×4×6=12．故选：C．利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．10.【答案】D【解析】解：将抛物线y=(x−1)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y=(x−1+3)2+2，即y=(x+2)2+2；再向下平移4个单位为：y=(x+2)2+2−4，即y=(x+2)2−2=x2+4x+2．故选：D．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．11.【答案】A【解析】解：过C作CD⊥x轴于D，∵BCOC =12，∴OCOB =23，∵BA⊥x轴，∴CD//AB，∴△DOC∽△AOB，∴S△DOCS△AOB =(OCOB)2=(23)2=49，∵S△AOB=278，∴S△DOC=49S△AOB=49×278=32，∵双曲线y=kx在第二象限，∴k=−2×32=−3，故选：A．过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．12.【答案】B【解析】解：作B点关于AC的对称点B′，连接B′M交AC于点P，∴BP=B′P，∴PB+PM=B′P+PM≥B′M，∴PB+PM的最小值为B′M的长，过点B′作B′H⊥AB交H点，∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°，∵AB=6，∴BC=3，∴BB′=6，在Rt△BB′H中，B′H=B′B⋅sin60°=6×√32=3√3，HB=B′B⋅cos60°=6×12=3，∴AH=3，∵AM=13AB，∴AM=2，∴MH=1，在Rt△MHB′中，B′M=√B′H2+MH2=√(3√3)2+1=2√7，∴PB+PM的最小值为2√7，故选：B．作B点关于AC的对称点B′，连接B′M交AC于点P，则PB+PM的最小值为B′M的长，过点B′作B′H⊥AB交H点，在Rt△BB′H中，B′H=3√3，HB=3，可求MH=1，在Rt△MHB′中，B′M=2√7，所以PB+PM的最小值为2√7．本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．13.【答案】x≥12【解析】解：√2x−1在实数范围内有意义，则2x−1≥0，解得：x≥1．2．故答案为：x≥12直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键．14.【答案】3【解析】解：原式=1+4−4×12=1+4−2=3．故答案为：3．直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．15.【答案】120°【解析】解：设圆心角为n，底面半径是2，母线长是6，则底面周长=4π=nπ×6180，解得：n=120，故答案为：120°．利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算．本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．16.【答案】2【解析】解：2xx−1−1=mx−1，方程两边同时乘以x−1，得2x−(x−1)=m，去括号，得2x−x+1=m，移项、合并同类项，得x=m−1，∵方程无解，∴x=1，∴m−1=1，∴m=2，故答案为2．解方程得x=m−1，由方程无解，可知x=1，即可求m=2．本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解无解的意义是解题的关键．17.【答案】4√5【解析】解：由作法得∠FCB=∠B，∴FC=FB，在Rt△ACF中，∵∠A=90°，AC=4，AF=3，∴CF=√32+42=5，∴BF=5，∴AB=AF+BF=8，在Rt△ABC中，BC=√AC2+AB2=√42+82=4√5．故答案为4√5．利用基本作图得到∠FCB=∠B，则FC=FB，再利用勾股定理计算出CF=5，则AB=8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18.【答案】2(2n−1)(2n+1)(n是偶数)，14(2n−1)(n是奇数)【解析】解：观察一列数可知：23=21×3，14=11×4，215=23×5，112=13×4，235=25×7，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是：2(2n−1)(2n+1)(n是偶数)，14(2n−1)(n是奇数)，故答案为：2(2n−1)(2n+1)(n是偶数)，14(2n−1)(n是奇数)．观察一列数可得23=21×3，14=11×4，215=23×5，112=13×4，235=25×7，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．19.【答案】解：解不等式2x+3>1，得：x>−1，解不等式2x−13≤x2，得：x≤2，则不等式组的解集为−1<x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】解：a2+2a+1a−2⋅a−2a2−1−(1a−1+1)=(a+1)2a−2⋅a−2(a+1)(a−1)−1+a−1a−1=a+1a−1−aa−1=a+1−aa−1=1a−1，当a=10时，原式=110−1=19．【解析】根据分式的乘法和加减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加减法和乘法的运算法则．21.【答案】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠D，∵EC⊥BD，∠A=90°，∴∠DCE=90°=∠A，在△ABC和△CDE中，{∠B=∠DAB=CD∠A=∠DCE，∴△ABC≌△CDE(ASA)，∴AC=CE．【解析】由平行线的性质得出∠B=∠D，再由垂直的定义得到∠DCE=90°=∠A，即可根据ASA证明△ABC≌△CDE，最后根据全等三角形的性质即可得解．此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ABC≌△CDE是解题的关键．22.【答案】解：设每棵A 种药材幼苗的价格是x 元，每棵B 种药材幼苗的价格是y 元，依题意得：{2x +3y =418x +9y =137，解得：{x =7y =9．答：每棵A 种药材幼苗的价格是7元，每棵B 种药材幼苗的价格是9元．【解析】设每棵A 种药材幼苗的价格是x 元，每棵B 种药材幼苗的价格是y 元，根据“购买2棵A 种药材幼苗和3棵B 种药材幼苗共需41元．购买8棵A 种药材幼苗和9棵B 种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23.【答案】40人 30【解析】解：(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为200×20%=40(人)，则选择“书画展览”的人数为200−(40+80+20)=60(人)， ∴在扇形统计图中，m%=60200×100%=30%，即m =30， 故答案为：40人，30；(2)估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000×80200=800(人)； (3)列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中a 同学参加的有6种结果， 所以a 同学参加的概率为612=12．(1)总人数乘以A 对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C 方案人数，再用C 方案人数除以总人数即可得出m 的值； (2)总人数乘以样本中B 方案人数所占比例；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24.【答案】解：(1)把点P的横坐标为2代入得，y=−2+5=3，∴点P(2,3)，×4×3=6；∴S△AOP=12×4×y=4，(2)当S=4时，即12∴y=2，当y=2时，即2=−x+5，解得x=3，∴点P(3,2)；(3)由题意得，S=1OA⋅y=2y=2(−x+5)=−2x+10，2当y>0时，即0<x<5时，S=2(−x+5)=−2x+10，∴S关于x的函数解析式为S=−2x+10(0<x<5)，画出的图象如图所示．【解析】(1)求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；(2)当S=4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；(3)根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．25.【答案】解：连接AC、BC，如图所示：由题意得：∠A=30°，∠DBC=45°，AB=10m，在Rt△BDC中，tan∠DBC=CDBD= tan45°=1，∴BD=CD，在Rt△ACD中，tan∠DAC=CDAD =tan30°=√33，∴AD=√3CD，∴AB=AD−BD=√3CD−CD=10(m)，解得：CD=5√3+5≈13.7(m)，答：建筑物CD的高度约为13.7m．【解析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD=CD，AD=√3CD，再由AB= AD−BD，即可求解．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出BD=CD，AD=√3CD是解答本题的关键．26.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠BAC=90°，即∠BAD=90°，∴AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；(2)解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，∵tan∠CAD=12=DMAD，AD=4，∴DM=2，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AD⊥OA，DM⊥AD，∴OA//DM，∴∠M=∠OAC，∵∠OCA=∠DCM，∴∠DCM=∠M，∴DC=DM=2，在Rt△OAD中，OA2+AD2=OD2，即OA2+42=(OC+2)2=(OA+2)2，∴OA=3，∴AB=6，∵∠CAD=∠B，tan∠CAD=12，∴tanB=tan∠CAD=ACBC =12，∴BC=2AC，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，∴62=5AC2，∴AC=6√55，∴BC=12√55．【解析】(1)根据AB是⊙O的直径得出∠B+∠BAC=90°，等量代换得到∠CAD+∠BAC=90°，即∠BAD=90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线；(2)过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM=2，由等边对等角得出∠OAC=∠OCA，由平行线的性质得出∠M=∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM=∠M，即得DC=DM=2，根据勾股定理求出OA=3，AB=6，最后根据勾股定理求解即可．此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键．27.【答案】解：(1)将A 的坐标(−1,0)，点C 的坐(0,5)代入y =−x 2+bx +c 得： {0=−1−b +c 5=c ，解得{b =4c =5， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =−x 2+4x +5中，令y =0得−x 2+4x +5=0，解得x =5或x =−1，∴B(5,0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =√2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B(5,0)代入得0=5k +5，∴k =−1，∴直线BC 解析式为y =−x +5，设P(m,−m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q(m,−m +5)，∴PQ =(−m 2+4m +5)−(−m +5)=−m 2+5m =−(m −52)2+254，∵a =−1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P(52,354)；(3)存在，理由如下：抛物线y=−x2+4x+5对称轴为直线x=2，设M(s,−s2+4s+5)，N(2,t)，而B(5,0)，C(0,5)，①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：∴{s+22=5+02−s2+4s+5+t2=0+52，解得{s=3t=−3，∴M(3,8)，②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴{s+52=2+02−s2+4s+4+02=t+52，解得{s=−3t=−21，∴M(−3,−16)，③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得{s =7t =−11， ∴M(7,−16)；综上所述，M 的坐标为：(3,8)或(−3,−16)或(7,−16)．【解析】(1)将A 的坐标(−1,0)，点C 的坐(0,5)代入y =−x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =−x 2+4x +5可得B(5,0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =√2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B(5,0)代入得直线BC 解析式为y =−x +5，设P(m,−m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q(m,−m +5)，PQ =−(m −52)2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P(52,354)； (3)抛物线y =−x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M(s,−s 2+4s +5)，N(2,t)，而B(5,0)，C(0,5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52，即可解得M(3,8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52，解得M(−3,−16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得M(7,−16)．本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．。
2021年中考数学压轴模拟试卷04 (青海省专用)(解析版)
2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷2021年中考数学压轴模拟试卷04（青海省专用）(满分120分，答题时间120分钟)一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）1. 的相反数是_______；9的平方根等于．【答案】；±3．【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．的相反数是：．直接根据平方根的定义进行解答即可．∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3．2. 把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是；若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是．【答案】n（m+3）2；6＜a≤8．【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．原式＝n（m2+6m+9）＝n（m+3）2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＜0，得：x，则不等式组的解集为1＜x，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，则34，解得6＜a ≤83. 无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次． 【答案】2×107．【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 将20000000用科学记数法表示为：2×107．4. 如图，将周长为8的ABC 沿BC 边向右平移2个单位，得到DEF ，则四边形ABFD 的周长为________．【答案】12【解析】先根据平移的性质可得,2AC DF CF AD ===，再根据三角形的周长公式可得8AB BC AC ++=，然后根据等量代换即可得．【详解】由平移的性质得：,2AC DF CF AD ===ABC 的周长为88AB BC AC ∴++=则四边形ABFD 的周长为()AB BF DF AD AB BC CF AC AD +++=++++ 22AB BC AC =++++ 822=++12=【点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．5. 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为________． 【答案】【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×=，S△A B C=B C•AH=AB•PD+BC•PE+AC•PF，∴×3•AH=×3•PD+×3•PE+×3•PF，∴PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为．6. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为．【答案】3．【解析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，在Rt △BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD13，∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA ＝BP ，∴∠BAP ＝∠BP A ＝∠DPQ ， ∵AB ∥CD ， ∴∠BAP ＝∠DQP ， ∴∠DPQ ＝∠DQP ， ∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝DQ ﹣CD ＝DQ ﹣AB ＝8﹣5＝3， ∴在Rt △BCQ 中，根据勾股定理，得 BQ3．7. 等腰△ABC 中，过A 作BC 的垂线，垂足为D ，且AD=12BC ，则△ABC 底角的度数为（ ）A ．45°B ．45°或75°C ．45°或15°或75°D ．45°或60°【答案】C【解析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC 时，根据已知条件得出AD=BD=CD ，从而得出△ABC 底角的度数；当AB=BC 时，先求出∠ABD 的度数，再根据AB=BC ，求出底角的度数；当AB=BC 时，根据AD=BC ，AB=BC ，得出∠DBA=30°，从而得出底角的度数． 8. 方程（x +1）2＝9的根是 ． 【答案】x 1＝2，x 2＝﹣4．【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可． 【解析】（x +1）2＝9， x +1＝±3， x 1＝2，x 2＝﹣4．9. 已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．【答案】7或1．【解析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 同一侧时，当两条弦位于圆心O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE 和OF 的长度，即可得到答案． 解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥CD ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OC ，OA ， ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ， ∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点， ∴CE=DE=12CD=3cm ，AF=BF=12AB=4cm ， 在Rt △AOF 中，OA=5cm ，AF=4cm ， 根据勾股定理得：OF=3cm ，在Rt △COE 中，OC=5cm ，CE=3cm ， 根据勾股定理得：OE ═4cm ， 则EF=OE -OF=4cm -3cm=1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ． 故答案为：7或1．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．10. 已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ． 【答案】3π．【解析】根据圆锥的侧面积公式：S 侧2πr •l ＝πrl ．即可得圆锥的侧面展开图的面积．∵圆锥的侧面展开图是扇形， ∴S 侧＝πrl ＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．11.对于实数a 、b ，定义运算“◎”如下：()()22a b a b a b =+--◎．若()()2224m m +-=◎，则m 的值为______． 【答案】10【分析】根据定义的运算计算()()22m m +-◎，令得到的式子等于24，再去解方程得到结果． 【详解】解：根据定义的运算，()()()()222222222416m m m m m m m +-=++--+-+=-◎， 则241624m -=，2440m =，210m =，解得10m =±． 故答案是：10．【点睛】本题考查整式的运算和解一元二次方程，解题的关键是根据题目中定义的运算对给出的式子进行计算，得到方程再解方程．12. 在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，……，点1A ，2A ，3A ，4A ，……在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ，……在x 轴正半轴上．则（1）n A 的坐标是_______；（2）前n 个正方形对角线长的和是_______． 【答案】（1）()1121,2n n ---；（2)1221n --【分析】（1）根据题意和函数图像可以求得1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，从而可以发现其中的变化规律进而求得n A 的坐标；（2）在（1）结论的基础之上，可求得1OA 、12C A 、23C A 、34C A 的长度，再由正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧即可求得前n 个正方形对角线长的和． 【详解】解：（1）∵根据题意可得，点1A 的坐标为()0,1； 点2A 的坐标为()1,2；点3A 的坐标为()3,4；点4A 的坐标为()7,8；∴点n A 的坐标为()1121,2n n ---．（2）∵由（1）可知，11OA =；122C A =；234C A =；348C A =；∴前n 个正方形对角线长的和是：)11223341n n OA C A C A C A C A -++++)112482n -=+++++∵设112482n S -=+++++，∴122481622n n S -=++++++∴221n S S -=-，∴21n S =-，∴11248221n n -+++++=-∴前n 个正方形对角线长的和是：)11223341n n OA C A C A C A C A -++++)112482n -=+++++)121n -=-．故答案是：（1）()1121,2n n ---；（2)121n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、找规律题型（点的坐标）、正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧，解答本题的关键是明确题意，并利用数形结合的思想解答．二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内） 13. 下列运算正确的是（ ） A ．（x +y ）2＝x 2+y 2 B ．x 3+x 4＝x 7C ．x 3•x 2＝x 6D ．（﹣3x ）2＝9x 2【答案】D【解析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．A.（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，故此选项错误；B.x 3+x 4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；C.x 3•x 2＝x 5，故此选项错误；D.（﹣3x ）2＝9x 2，正确．14. 如图，a ∥b ，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．25°B．35°C．55°D．65°【答案】A【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．如图：∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣65°＝70°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝∠3＝70°，∵∠4＝45°，∴∠2＝70°﹣∠4＝70°﹣45°＝25°．15. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【答案】C【分析】若设小道的宽为x 米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x ）米，宽为（20﹣x ）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【解析】依题意，得：（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600． 16. 下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解析】A 、C 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 17. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）A ．长方体B ．圆柱体 C ．球体D ．圆锥体【答案】A【分析】根据平面与曲面的概念判断即可． 【解析】A 、六个面都是平面，故本选项正确； B 、侧面不是平面，故本选项错误； C 、球面不是平面，故本选项错误； D 、侧面不是平面，故本选项错误.18. 若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由0ab <，得,a b 异号，若图象中得到的,a b 异号则成立，否则不成立． A. 由图象可知：0,0a b >>，故A 错误； B. 由图象可知：0,0a b <>，故B 正确；C. 由图象可知：0,0a b ><，但正比例函数图象未过原点，故C 错误；D. 由图象可知：0,0a b <<，故D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．19. 如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π【答案】B【分析】作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ，如图，利用对称的性质得到OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ，则可判断四边形OAO ′B 为菱形，再根据切线的性质得到O ′A ⊥OA ，O ′B ⊥OB ，则可判断四边形OAO ′B 为正方形，然后根据弧长公式求解． 【解析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，连接O ′A 、O ′B ， ∵OA ＝OB ＝O ′A ＝O ′B ， ∴四边形OAO ′B 为菱形， ∵折叠后的与OA 、OB 相切，∴O ′A ⊥OA ，O ′B ⊥OB， ∴四边形OAO ′B 为正方形， ∴∠AOB ＝90°，∴劣弧AB的长π．20. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反。
西藏2021年中考数学真题试卷(解析版)
2021年西藏中考数学试卷一、选择题目：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、错选或多选均不得分．1. ﹣10的绝对值是（）A.110B. ﹣110C. 10D. ﹣10【答案】C【解析】【分析】任何一个数的绝对值均为非负数，0的绝对值为0，负数的绝对值为正数.【详解】因为-10为负数，故-10的绝对值为10，本题选C.【点睛】绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，本题主要考查绝对值的定义.2. 2020年12月3日．中共中央政治局常务委员会召开会议，听取脱贫攻坚总结评估汇报．中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．指出经过8年持续奋斗，我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，消除了绝对贫困和区域性整体贫困，近1亿贫困人口实现脱贫，取得了令全世界刮目相看的重大胜利．将100000000用科学记数法表示为（）A. 0.1×108B. 1×107C. 1×108D. 10×108【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：100000000＝1.0×108，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．3. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形．故选：C．【点睛】此题考查三视图中主视图：在平面内由前向后观察物体得到的视图叫做主视图．4. 数据3，4，6，6，5的中位数是（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6【答案】B【解析】【分析】将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数就是中位数．【详解】解：将这组数据从小到大排列为3，4，5，6，6，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，故选：B．【点睛】此题考查数据中的中位数知识，注意从小到大排列是关键．5. 下列计算正确的是（）A. （a2b）3＝a6b3B. a2＋a＝a3C. a3•a4＝a12D. a6÷a3＝a2【答案】A【解析】【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】解：A．（a2b）3＝a6b3，故本选项符合题意；B．a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则是解题的关键．6. 把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】B【解析】【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝25°，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3．7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝12BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝12BO＝2．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝12 BD，∴BO＝DO＝12BD＝4，∵点E、F是AB，AO的中点，∴EF是△AOB的中位线，∴EF＝12BO＝2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用．8. 如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A. 40°B. 55°C. 70°D. 110°【答案】B【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA1702BOC=∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA1702BOC=∠=︒，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA12（180°﹣70°）＝55°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A. 6B. 10C. 12D. 24【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为12×4×6＝12．故选：C．【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．10. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）A. y＝x2﹣8x＋22B. y＝x2﹣8x＋14C. y＝x2＋4x＋10D. y＝x2＋4x＋2【答案】D【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．11. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB 的面积为27 8，BA垂直x 轴于点A，OB 与双曲线y＝kx相交于点C ，且BC ∶OC＝1∶2，则k的值为（）A. ﹣3B. ﹣94C. 3D.92【答案】A【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，∵BCOC＝12，∴OCOB＝23，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，的∴△DOC ∽△AOB ， ∴DOC AOB S S ∆∆＝（OC OB ）2＝（23）2＝49， ∵S △AOB ＝278， ∴S △DOC ＝49S △AOB ＝49×278＝32， ∵双曲线y ＝k x在第二象限， ∴k ＝﹣2×32＝﹣3， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S △DOC 是解决问题的关键．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 是线段AC 上一动点，点M 在线段AB 上，当AM ＝13AB 时，PB ＋PM 的最小值为（ ）A. 33B. 27C. 23＋2D. 33＋3【答案】B【解析】 【分析】作B 点关于AC 对称点B '，连接B 'M 交AC 于点P ，则PB ＋PM 的最小值为B 'M 的长，过点B '作B 'H ⊥AB 交H 点，在Rt △BB 'H 中，B 'H ＝33，HB ＝3，可求MH ＝1，在Rt △MHB '中，B 'M ＝27，所以PB ＋PM 的最小值为27．【详解】解：作B 点关于AC 的对称点B '，连接B 'M 交AC 于点P ，∴BP ＝B 'P ，BC ＝B 'C ，∴PB ＋PM ＝B 'P ＋PM ≥B 'M ，∴PB ＋PM 的最小值为B 'M 的长，过点B '作B 'H ⊥AB 交H 点，的∵∠A ＝30°，∠C ＝90°，∴∠CBA ＝60°，∵AB ＝6，∴BC ＝3，∴BB '＝BC ＋B 'C ＝6，在Rt △BB 'H 中，∠B 'BH ＝60°，∴∠BB 'H ＝30°，∴BH ＝3， 由勾股定理可得：2222''6333B H B B BH =-=-=， ∴AH ＝AB －BH ＝3，∵AM ＝13AB ， ∴AM ＝2，∴MH ＝AH －AM ＝1，在Rt △MHB '中，()2222''33127B M B H MH =-=-=，∴PB ＋PM 的最小值为27，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB ＋PM 的最小值为B 'M 的长．二、填空题目：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均不得分．13. 若21x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】x≥12. 【解析】【详解】试题分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．试题解析：由题意得，2x﹣1≥0，解得x≥12．考点：二次根式有意义的条件．14. 计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___．【答案】3【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式＝1＋4﹣4×1 2＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．【答案】120．【解析】【详解】试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则6180nπ⨯=4π，解得：n=120．故答案为120．考点：圆锥的计算．16. 若关于x的分式方程21xx-﹣1＝1mx-无解，则m＝___．【答案】2【解析】【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．【详解】解：21xx-﹣1＝1mx-，方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，去括号，得2x﹣x＋1＝m，移项、合并同类项，得x ＝m ﹣1，∵方程无解，∴x ＝1，∴m ﹣1＝1，∴m ＝2，故答案为2．【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.17. 如图．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝4.按以下步骤作图：（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA ，BC 于点M ，N ；（2）以点C 为圆心，BM 长为半径画弧，交线段CB 于点D ；（3）以点D 为圆心，MN 长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E ；（4）过点E 画射线CE ，与AB 相交于点F ．当AF ＝3时，BC 的长是_______________．【答案】45 【解析】 【分析】利用基本作图得到∠FCB ＝∠B ，则FC ＝FB ，再利用勾股定理计算出CF ＝5，则AB ＝8，然后利用勾股定理可计算出BC 的长．【详解】解：由作法得∠FCB ＝∠B ，∴FC ＝FB ，在Rt △ACF 中，∵∠A ＝90°，AC ＝4，AF ＝3，∴CF ＝2234+＝5，∴BF ＝5，∴AB ＝AF ＋BF ＝8，在Rt △ABC 中，BC ＝22AC AB +＝2248+＝45． 故答案为45．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质作图，逐步操作即可．18. 按一定规律排列的一列数依次为23，14，215，112，235，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．【答案】2(21)(21)n n-+（n 是偶数），14(21)n-（n 是奇数）【解析】【分析】观察一列数可得22331=⨯，11414=⨯，221535=⨯，111234=⨯，223557=⨯，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．【详解】解：观察一列数可知：23＝213⨯，14＝114⨯，215＝235⨯，112＝134⨯，235＝257⨯，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是：2(21)(21)n n-+（n是偶数），14(21)n-（n是奇数），故答案为：2(21)(21)n n-+（n是偶数），14(21)n-（n是奇数）．【点睛】此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可．三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出女字说明、证明过程或演步骤．19. 解不等式组2312132xx x+>⎧⎪-⎨≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x≤2，解集在数轴上的表示见解析．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2x＋3＞1，得：x＞﹣1，解不等式213x-≤2x，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x ≤2， 将不等式组解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，并理解同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．20.先化简，再求值：2212a a a ++-•221a a --﹣（11a -＋1），其中a ＝10．【答案】11a -，19． 【解析】【分析】根据分式的乘法和加减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：2212a a a ++-•221a a --﹣（11a -＋1）＝2(1)22(1)(1)a a a a a +-⋅-+-﹣111a a +--＝111a aa a +--- ＝11a aa +-- ＝11a -， 当a ＝10时，原式＝1101-＝19． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式四则运算的基本步骤，还要注意分子分母为多项式时，能因式分解，要先因式分解．21. 如图，AB ∥DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，∠A ＝90°，EC ⊥BD ，且AB ＝CD ．求证：AC ＝CE ．的【答案】证明见解析． 【解析】【分析】由平行线的性质得出∠B ＝∠D ，再由垂直的定义得到∠DCE ＝90°＝∠A ，即可根据ASA 证明△ABC ≌△CDE ，最后根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：∵AB ∥DE ， ∴∠B ＝∠D ，∵EC ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴∠DCE ＝90°＝∠A ， 在△ABC 和△CDE 中，B D AB CD A DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△CDE （ASA ）， ∴AC ＝CE ．【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明△ABC ≌△CDE 是解题的关键．22. 列方程（组）解应用题为振兴农村经济，某县决定购买A ，B 两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A 种药材幼苗和3棵B 种药材幼苗共需41元．购买8棵A 种药材幼苗和9棵B 种药材幼苗共需137元．问每棵A 种药材幼苗和每棵B 种药材幼苗的价格分别是多少元？ 【答案】每棵A 种药材幼苗的价格是7元，每棵B 种药材幼苗的价格是9元． 【解析】【分析】设每棵A 种药材幼苗的价格是x 元，每棵B 种药材幼苗的价格是y 元，根据“购买2棵A 种药材幼苗和3棵B 种药材幼苗共需41元．购买8棵A 种药材幼苗和9棵B 种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每棵A 种药材幼苗的价格是x 元，每棵B 种药材幼苗的价格是y 元， 依题意得：234189137x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：79xy=⎧⎨=⎩，答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23. 为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为，在扇形统计图中，m的值为．（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．【答案】（1）40人，30；（2）800人；（3）12．【解析】【分析】（1）总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值；（2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40（人），则选择“书画展览”的人数为200﹣(40＋80＋20)＝60（人），∴在扇形统计图中，m %＝60200×100%＝30%，即m ＝30， 故答案为：40人，30；（2）估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000×80200＝800（人）； （3）列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中a 同学参加有6种结果， 所以a 同学参加的概率为612＝12． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．24. 已知第一象限点P (x ，y)在直线y ＝﹣x ＋5上，点A 的坐标为(4，0)，设△AOP 的面积为S ．（1）当点P 的横坐标为2时，求△AOP 的面积； （2）当S ＝4时，求点P 的坐标；（3）求S 关于x 的函数解析式，写出x 的取值范围，并在图中画出函数S 的图象． 【答案】（1）6；（2）(3，2)；（3）S ＝﹣2x ＋10（0＜x ＜5），图见解析．的【解析】【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．【详解】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，∴点P（2，3），∵点A的坐标为（4，0），∴4OA ，∴S△AOP＝12×4×3＝6；（2）当S＝4时，即12×4×y＝4，∴y＝2，当y＝2时，即2＝﹣x＋5，解得x＝3，∴点P（3，2）；（3）由题意得，S＝12OA•y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．25. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，3≈1.732）【答案】约为13.7m．【解析】【分析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD＝CD，AD＝3CD，再由AB＝AD ﹣BD，即可求解．【详解】解：连接AC、BC，如图所示：由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝CDBD＝tan45°＝1，∴BD＝CD，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝CDAD＝tan30°＝33，∴AD＝3CD，∴AB＝AD﹣BD＝3CD﹣CD＝10（m），解得：CD＝53＋5≈13.7（m），答：建筑物CD的高度约为13.7m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出BD＝CD，AD＝3CD是解答本题的关键．26. 如图，AB是⨀O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD ＝∠B．（1）求证：AD是⨀O的切线；（2）若AD＝4，tan∠CAD＝12，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1255．【解析】【分析】（1）根据AB是⨀O的直径得出∠B＋∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD＋∠BAC ＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⨀O的切线；（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵AB是⨀O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD⊥OA，∴AD是⨀O的切线；（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，∵tan∠CAD＝12＝DMAD，AD＝4，∴DM＝2，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD⊥OA，DM⊥AD，∴OA∥DM，∴∠M＝∠OAC，∵∠OCA＝∠DCM，∴∠DCM＝∠M，∴DC＝DM＝2，在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，∴OA＝3，∴AB＝6，∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD ＝12，∴tan B ＝tan∠CAD ＝ACBC＝12，∴BC＝2AC，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴62＝5AC2，∴AC＝655，∴BC＝1255．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．的【答案】（1）y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）P（52，354）；（3）存在，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 【解析】【分析】（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c ，即可得抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y ＝﹣x 2＋4x ＋5可得B （5，0），故OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH ＝2PQ，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），PQ ＝﹣（m ﹣52）2＋254，故当m ＝52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）； （3）抛物线y ＝﹣x 2＋4x ＋5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2＋4s ＋5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5），①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，即可解得M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得252022440522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得M （7，﹣16）．【详解】解：（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c 得： 015b c c =--+⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2＋4x ＋5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y ＝﹣x 2＋4x ＋5中，令y ＝0得﹣x 2＋4x ＋5＝0，解得x ＝5或x ＝﹣1，∴B （5，0），∴OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO ＝45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD ＝45°＝∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH ＝2PQ ， ∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋5，将B （5，0）代入得0＝5k ＋5，∴k ＝﹣1，∴直线BC 解析式为y ＝﹣x ＋5，设P （m ，﹣m 2＋4m ＋5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m ＋5），∴PQ ＝（﹣m 2＋4m ＋5）﹣（﹣m ＋5）＝﹣m 2＋5m ＝﹣（m ﹣52）2＋254， ∵a ＝﹣1＜0，∴当m＝52时，PQ 最大为254，∴m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，354）；（3）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：∴225022450522ss s t++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得33st=⎧⎨=-⎩，∴M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴2520 22440522ss s t++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得321st=-⎧⎨=-⎩，∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：202522455022ss s t++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，解得711st=⎧⎨=-⎩，∴M（7，﹣16）；综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．祝你考试成功!祝你考试成功!。
2021年-中考数学试卷(解析版)
2021年中考数学试卷(解析版)一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。
每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6【分析】根据有理数乘法法则进行运算．【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（）A．B．a6b2C．D．﹣2a3b【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（a3b）﹣2＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定义，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），∴∠1＝180°﹣（25°+35°+50°），∴∠1＝180°﹣110°，∴∠1＝70°，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由锐角三角函数可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质是解题的关键．6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原点的坐标代入求值即可．【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BM＝5，CM＝3，∴BM＝＝＝4，∴CN＝4，∴CE＝2CN＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得△BCM≌△CDN是解决问题的关键．8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x …﹣2 0 1 3 …y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝x（x+3）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）＝x（x+3）2．故答案为x（x+3）2【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、十字相乘法分解因式，注意分解要彻底．10．（3分）正九边形一个内角的度数为140°．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为﹣2．【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．12．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】反比例函数的系数为﹣2＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．【解答】解：∵2m﹣1＜0(m＜)，∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD 于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．三、解答题（共13小题，计18分。
2021年中考数学真题试卷(28)(解析版)
2021年中考数学真题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1. 有理数-8的立方根为（）A. -2B. 2C. ±2D. ±4【答案】A【解析】【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．【详解】解：有理数-8的立方根为38 =-2故选A．【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3. 小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为（）A. 60.8×104 B. 6.08×105 C. 0.608×106 D. 6.08×107 【答案】B【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：608000，这个数用科学记数法表示为6.08×105．故选B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4. 实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）A. m n >B. ||n m ->C. ||m n ->D. ||||m n <【答案】C【解析】【分析】从数轴上可以看出m 、n 都是负数，且m ＜n ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】解：因为m 、n 都是负数，且m ＜n ，|m|＞|n|，A 、m ＞n 是错误的；B 、-n ＞|m|是错误的；C 、-m ＞|n|是正确的；D 、|m|＜|n|是错误的．故选C ．【点睛】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．5. 正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y 轴的交点坐标为（0，b）．6. 下列说法中不正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．7. 某企业1-6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（）A. 1-6月份利润的众数是130万元B. 1-6月份利润的中位数是130万元C. 1-6月份利润的平均数是130万元D. 1-6月份利润的极差是40万元【答案】D【解析】【分析】先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．【详解】解：A、1-6月份利润的众数是120万元；故本选项错误；B、1-6月份利润的中位数是125万元，故本选项错误；C、1-6月份利润的平均数是16（110+120+130+120+140+150）=3353万元，故本选项错误；D、1-6月份利润的极差是150-110=40万元，故本选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了折线统计图的运用，中位数和众数等知识，正确的区分它们的定义是解决问题的关键．8. 如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC）=12∠A=30°，故选B．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9. —个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（）A. 21πm3B. 30πm3C. 45πm3D. 63πm3【答案】C【解析】【分析】首先根据三视图判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可．【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，其体积为：32π×4+13×32π×3=45πm 3， 故选C ． 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大． 10. 如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）A. 4πB. 2πC. πD. 2π【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的性质得到CC 1=2AC=2×2AB=22，根据扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，∴CC 1=2AC=2×22，∴线段CD 扫过的面积=12×2）2•π-12×π=12π， 故选B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 计算：53x x ÷=_______．【答案】2x【解析】【分析】【详解】根据同底幂相除，底数不变，指数相减计算即可：53532x x x x -÷==．12. 分解因式：22a b ab a b -+-=_________．【答案】(1)()ab a b -+【解析】【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．【详解】解：22()()(1)()a b ab a b ab a b a b ab a b +--=+-+=-+故答案为（ab-1）（a+b ）【点睛】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键． 13. 一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是____． 【答案】25 【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及确定白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：袋子中球的总数为8+5+5+2=20，而白球有8个， 则从中任摸一球，恰为白球的概率为820=25 ． 故答案为25. ．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．14. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．【答案】3.【解析】【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．【详解】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为3．【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．15. 归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_______．【答案】3n+2.【解析】【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．【详解】解：由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，故答案为3n+2．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．16. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么2()a b 的值是____．【答案】1.【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a 2+b 2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据（a-b ）2=a 2-2ab+b 2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得a 2+b 2=13，四个直角三角形的面积是：12ab×4=13-1=12，即：2ab=12， 则（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=13-12=1．故答案为1．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a 2+b 2和ab 的值是关键． 17. 已知x =4是不等式ax -3a -1＜0的解，x =2不是不等式ax -3a -1＜0的解，则实数a 的取值范围是____．【答案】a ≤-1.【解析】【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【详解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，∴4a-3a-1＜0，解得：a ＜1，∵x=2不是这个不等式的解，∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，∴a≤-1，故答案为a≤-1．【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．18. 如图，抛物线214y x p（p ＞0），点F （0，p ），直线l ：y =-p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O ．若A 1F =a ，B 1F =b 、则△A 1OB 1的面积=____．（只用a ，b 表示）．【答案】4ab . 【解析】【分析】 根据题意可知S ∆A1OB1=12S ∆A1B1F,=14ab ，从而得到本题的结果. 【详解】解：∵AA 1⊥l ，y 轴⊥l ，∴AA 1∥y 轴.∴∠AA 1F=∠A 1FO.∵AF=AA 1,∴∠AA 1F=∠A 1FA .∴∠A 1FO=∠A 1FA.同理可证：∠B 1FO=∠B 1FB.∴∠A 1FB 1=90°. ∴△A 1FB 1面积=12A 1F B 1F=12ab .∵抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，∴O 到到点F 的距离与到直线l 的距离相等，∴△A 1OB 1的面积=12△A 1FB 1的面积=4ab . 【点睛】本题考查了平行线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的判定、三角形的面积计算公式等知识，抛物线在此是一个干扰条件，正确辨别和理解题意是解题的关键.三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：0(2019)1360sin π-+--︒． 【答案】32． 【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】()033201913sin60131π-+-︒=+-= 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20. 已知：ab =1，b =2a -1，求代数式12a b -的值． 【答案】-1.【解析】【分析】根据ab=1，b=2a-1，可以求得b-2a 的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】∵ab =1，b =2a -1，∴b -2a =-1，∴122111b a a b ab ---===- 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？【答案】该工厂原来平均每天生产150台机器．【解析】【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器．根据题意得60045050x x=+，解得x=150．经检验知x=150是原方程的根．答：该工厂原来平均每天生产150台机器．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）；（2）确定C港在A港的什么方向．【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．【解析】【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港什么方向.【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC22AB BC+=2≈14.1．答：A、C两地之间的距离为14.1km．（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.23. 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m 名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别体重（千克） 人数 A37.5≤x ＜42.5 10 B42.5≤x ＜47.5 n C47.5≤x ＜52.5 40 D52.5≤x ＜57.5 20 E 57.5≤x ＜62.5 10请根据图表信息回答下列问题：（1）填空：①m =_____，②n =_____，③在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于_______度； （2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A 组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？【答案】（1）①100，②20，③144；（2）被被抽取同学的平均体重为50千克；（3）七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．【解析】【分析】（1）①m=20÷20%=100，②n=100-10-40-20-10=20，③c=40100×360°=144°； （2）被抽取同学的平均体重为： 4010452050405520601050100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（千克）； （3）七年级学生体重低于47.5千克学生1000×30%=300（人）．【详解】（1）①100，②20，③144；（2）被抽取同学的平均体重为：4010452050405520601050100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 答：被抽取同学的平均体重为50千克．（3）301000300100⨯=． 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．【点睛】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24. 如图，反比例函数2m y x=和一次函数y =kx -1的图象相交于A （m ，2m ），B 两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求出点B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式21m kx x <-的x 的取值范围．【答案】（1）y =3x -1；（2）203x -<<或x ＞1． 【解析】【分析】 （1）把A （m ，2m ）代入2m y x=，求得A 的坐标为（1，2），然后代入一次函数y=kx-1中即可得出其解析式； （2）联立方程求得交点B 的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．【详解】（1）∵A (m ，2m )在反比例函数图象上，∴22m m m=，∴m =1，∴A (1，2)． 又∵A (1，2)在一次函数y =kx -1的图象上，∴2=k -1，即k =3，∴一次函数的表达式为：y =3x -1．（2）由231y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得B (23-，-3) ∴由图象知满足21m kx x <-的x 取值范围为203x -<<或x ＞1． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．25. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．M 、N 在对角线AC 上，且AM =CN ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．（1）求证：△ABM ≌△CDN ；（2）点G 是对角线AC 上的点，∠EGF =90°，求AG 的长．【答案】（1）见解析；（2）AG 的长为1或4．【解析】【分析】（1）根据四边形的性质得到AB ∥CD ，求得∠MAB=∠NCD ．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF ，交AC 于点O ．根据全等三角形的性质得到EO=FO ，AO=CO ，于是得到结论．【详解】（1）证明∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠MAB = ∠NCD ．在△ABM 和△CDN 中，AB CD MAB NCD AM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△CDN ；（2）解：如图，连接EF ，交AC 于点O ．在△AEO 和△CFO 中，AE CF EOA FOC EAO FCO =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△AEO≌△CFO，∴EO=FO，AO=CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF=90°，1322OG EF==，∴AG=OA-OG =1或AG=OA+OG=4，∴AG的长为1或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．26. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【答案】（1）362y x=-+(0＜x＜4)；（2）当x=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．【解析】【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得AD AEAB AC=；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；（2）根据∠A=90°得出S△BDE=12•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值；【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=2x．又∵AB=8，∴AD=8-2x．∵DE∥BC，∴AD AEAB AC=，∴()6823682xAE x-==-，∴y 关于x 的函数关系式为362y x =-+(0＜x ＜4)． （2）解：S △BDE =11326222BD AE x x ⎛⎫⋅⋅=⨯-- ⎪⎝⎭=2362x x -+(0＜x ＜4)． 当62322x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S △BDE 最大，最大值为6cm 2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键．27. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，且满足∠PCA =∠ABC ．（1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）证明：24EF OD OP =⋅；（3）若BC =8，tan ∠AFP =23，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE =325． 【解析】【分析】（1）先判断出PA=PC ，得出∠PAC=∠PCA ，再判断出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判断出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出结论；（2）先判断出Rt △AOD ∽Rt △POA ，得出OA 2=OP•OD ，进而得出214EF OP OD =⋅，，即可得出结论； （3）在Rt △ADF 中，设AD=a ，得出DF=3a ．142OD BC ==，AO=OF=3a-4，最后用勾股定理得出OD 2+AD 2=AO 2，即可得出结论．【详解】（1）证明∵D 是弦AC 中点，∴OD ⊥AC ，∴PD 是AC 的中垂线，∴P A =PC ，∴∠P AC =∠PCA ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°．又∵∠PCA =∠ABC ，∴∠PCA +∠CAB =90°，∴∠CAB +∠P AC =90°，即AB ⊥P A ，∴P A 是⊙O 的切线； （2）证明：由（1）知∠ODA =∠OAP =90°，∴Rt △AOD ∽Rt △POA ，∴AO DO PO AO =，∴2OA OP OD =⋅． 又12OA EF =，∴214EF OP OD =⋅，即24EF OP OD =⋅． （3）解：在Rt △ADF 中，设AD =a ，则DF =3a ．142OD BC ==，AO =OF =3a -4． ∵222OD AD AO +=，即()222434a a +=-，解得245a =，∴DE =OE -OD =3a -8=325． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt △AOD ∽Rt △POA 是解本题的关键．28. 如图，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =2，抛物线与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线2y x bx c =++图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，保留抛物线在x 轴上的点和x 轴上方图象，得到的新图象与直线y =t 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D ，E ，F ，G ．当以EF 为直径的圆过点Q （2，1）时，求t 的值；（3）在抛物线2y x bx c =++上，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤7，请直接写出x 的取值范围．【答案】（1）245y x x =--；（2）t 的值为1332+；（3）x 的取值范围是227x -≤≤或53562x +≤≤． 【解析】【分析】 （1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A （-1，0）点，∴()22110b b c ⎧-=⎪⎨⎪+⨯-+=⎩，即可求解； （2）翻折后得到的部分函数解析式为：y=-（x-2）2+9=-x 2+4x+5，（-1＜x ＜5），新图象与直线y=t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由245y t y x x =⎧⎨=-++⎩解得：解得129x t =-，229x t =-，即可求解； （3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【详解】（1）抛物线的对称轴是x =2，且过点A (-1，0)点，∴()22110b b c ⎧-=⎪⎨⎪+⨯-+=⎩，解得：45b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的函数表达式为：245y x x =--；（2）解：∵()224529y x x x =--=--，∴x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：245y x x =-++=()229x --+(-1＜x ＜5)，其顶点为(2，9)．∵新图象与直线y =t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由245y t y x x =⎧⎨=-++⎩得2450x x t -+-=， 解得129x t =--，229x t =+-∵以EF 为直径的圆过点Q (2，1)，∴2121EF t x x =-=-，即2921t t -=-，解得1332t ±=． 又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1332+；（3）x 的取值范围是：227x -≤≤-5356x +≤≤． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2021年中考数学压轴模拟试卷01 (西藏专用)(原卷版)
2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷2021年中考数学压轴模拟试卷01 （西藏专用）（满分120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、错选或多选均不得分）1. 20+（﹣20）的结果是（）A. ﹣40B. 0C. 20D. 402. 如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．3. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．40×109元4. 下列因式分解正确的是（）A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B． x2+2x+1=x（x+2）+1C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D． 2x+4=2（x+2）5. 若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形6. 下列各式的变形中，正确的是（）A. 22()()x y x y x y ---+=- B.11x x x x--= C. 22(4321)x x x -+=-+ D. ()211x x x x ÷+=+ 7. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD8. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：一分钟跳绳个数（个）141 144 145 146学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ）A ．平均数是144B ．众数是141C ．中位数是144.5D ．方差是5.49. 如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x （单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610. 如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 433π- B.4233π- C. 833π- D.8233π-11. 如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（）A．（4，）B．（，3）C．（5，）D．（，）12. 已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……，a n+1＝﹣|a n+n|（n为正整数）依此类推，则a2020值为（）A．﹣1008 B．﹣1009 C．﹣1010 D．﹣1011二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13. 若3x+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．14. 方程的解为．15. 计算：（）﹣1．16. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．17. 抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．18. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把PFE沿PE折叠，得到PBE△，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．三、解答题（共7道小题，共66分。
西藏2021版中考数学试卷A卷(新版)
西藏2021版中考数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020九上·深圳期末) 实数2020的相反数是（）【考点】2. （2分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2019八下·长春期中) 关于一次函数，下列说法正确是（）A . 它的图象过点B . 它的图象经过第一、二、三象限C . 随的增大而增大D . 当时，总有【考点】4. （2分） (2019七下·吴江期末) 下列命题中的假命题是（）A . 同旁内角互补B . 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和C . 三角形的中线，平分这个三角形的面积D . 全等三角形对应角相等【考点】5. （2分）(2019·吴兴模拟) 随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升. 某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同. 若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2015七下·启东期中) 下列运算正确的是（）A .B . |﹣3|=3C .D .【考点】7. （2分） (2019八下·湖南期中) 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（）A . 18B . 18C . 36D . 36【考点】8. （2分） (2020八上·柯桥期中) 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”.如图，在△ABC中，∠C＝90°，较短的直角边BC＝，且△ABC是“有趣三角形”，则△ABC的“有趣中线”的长为（）A . 1B .C . 2D .【考点】9. （2分） (2020七下·北京月考) 用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），如：．若，则的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 10【考点】10. （2分） (2019八上·重庆期末) 如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的面积是A . 6B . 8C . 10D . 12【考点】二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019七上·进贤期中) 设a与b互为相反数，c与d互为倒数，比较大小则: ________(填>、=、<).【考点】12. （1分） (2019七上·洪泽期末) 若xmy2和x3yn是同类项，则mn＝________.【考点】13. （1分） (2019八上·盘龙镇月考) 如图，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于 D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，则∠EFB= ________【考点】14. （1分）(2017·阿坝) 在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是________．【考点】15. （1分） (2018八上·金堂期中) 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是________㎝．【考点】16. （1分）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________ ．【考点】三、解答题 (共8题；共106分)17. （5分）(2017·盘锦模拟) 先化简，再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．【考点】18. （5分） (2019九上·柘城月考) 解下列方程：（1）（2）；【考点】19. （25分） (2018八上·南充期中) 已知，如图，在△ABC 中, ∠BAC=90°AB=AC,AE 是过点A的一条直线，且 B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。
专题55：第12章压轴题之动态几何类-备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)
55第12章压轴题之动态几何类一、单项选择题1．如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,6AD =,16BC =,E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动．假设以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形,那么点P 运动的时间为〔 〕A ．1B ．72C ．2或72D ．1或72【答案】D【分析】要使得以P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形,//AD BC ,即要使PD=EQ 即可,设点P 的运动时间为t (0≤t ≤6) 秒,分别表示出PD,EQ 的长度,根据PD=EQ 列方程求解即可．【解答】设点P 的运动时间为t (0≤t ≤6) 秒,那么AP=t ,CQ=3t ,由E 是BC 的中点可得：BE=EC=8,要使得以P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形,//AD BC ,即要使PD=EQ 即可．〔1〕如图：点Q 位于点E 右侧时,PD=6－t ,CQ=3t ,EQ=8－3t ,6－t =8－3t ,t =1〔秒〕；〔2〕如图：点Q 位于点E 左侧时,PD=6－t ,CQ=3t ,EQ=3t －8,6－t =3t －8,t =72〔秒〕． 综上所述：P 的运动时间为1或72秒． 应选：D ．【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用,熟记平行四边形的判定方法,根据对应边相等列方程是解题关键．2．如图,如图,在等腰ABC 中,4AB AC m ==,30B ∠=︒,点P 从点B 出发,以3/cm s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止,同时点Q 从点B 出发以2cm 的速度沿B A C →→运动到点C 停止．假设BQP ∆的面积为y,运动时间为()x s ,那么以下图象中能大致反映y 与x 之间关系的是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】作AH ⊥BC 于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用∠B=30°可计算出AH=12AB=2,BH=3AH=23,BC=2BH=43,利用速度公式可得点P 从B 点运动到C 需4s,Q 点运动到C 需4s,然后分0≤x ≤2和2＜x ≤4两种情况进行计算,即可得到答案．【解答】解：如图,作AH ⊥BC 于H,∵AB=AC=4cm,∴BH=CH,∵∠B=30°, ∴AH=12AB=2,BH=3AH=23, ∴BC=2BH=43,∵点P 运动的速度为3cm/s,Q 点运动的速度为2cm/s,∴点P 从B 点运动到C 需4s,Q 点运动到C 需4s,当0≤x ≤2时,如图,作QD ⊥BC 于D, BQ=2x ,BP=3x ,在Rt △BDQ 中,DQ=12BQ=x , ∴213322y x x x =⋅⋅=,开口向上； 当2＜x ≤4时,如图,作QE ⊥BC 于E, CQ=8－2x ,BP=3x ,在Rt △CEQ 中,∠C=∠B=30°,EQ=12CQ =()1822x -,∴()211338223222y x x x x =⋅⋅-=-+,开口向下, 综上所述,223,022323,242x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．应选：D ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象,通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数的图象与性质解决问题．3．如图,点A 〔a,1〕,B 〔b,3〕都在双曲线3y x=-上,点P,Q 分别是x 轴,y 轴上的动点,那么四边形ABQP 周长的最小值为〔 〕A ．42B ．62C ．21022+D ．82【答案】B【分析】先把A 点和B 点的坐标代入反比例函数解析式中,求出a 与b 的值,确定出A 与B 坐标,再作A 点关于x 轴的对称点D,B 点关于y 轴的对称点C,根据对称的性质得到C 点坐标为〔1,3〕,D 点坐标为〔-3,-1〕,CD 分别交x 轴、y 轴于P 点、Q 点,根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ 的周长最小,然后利用两点间的距离公式求解可得．【解答】解：∵点A 〔a,1〕,B 〔b,3〕都在双曲线y=-3x上,∴a×1=3b=-3,∴a=-3,b=-1,∴A〔-3,1〕,B〔-1,3〕,作A点关于x轴的对称点D〔-3,-1〕,B点关于y轴的对称点C〔1,3〕,连接CD,分别交x轴、y轴于P点、Q点,此时四边形ABPQ的周长最小,∵QB=QC,PA=PD,∴四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD,∴AB=2222()()311322()(3)13142CD-++-==+++=，,∴四边形ABPQ周长最小值为22+42=62,应选：B．【点评】此题考查反比例函数的综合题,勾股定理,掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．4．如图,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,点P由点A出发,沿A→B→C→D作匀速运动,到达点D停止,那么△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】分类讨论：当0≤x≤2,如图1,作PH⊥AD于H,AP=x,根据菱形的性质得∠A=60°,AM=1,那么∠APH=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=12x,PH=32x,然后根据三角形面积公式得y=123；当2＜x≤4,如图2,作BE⊥AD于E,AP+BP=x,根据菱形的性质得∠A=60°,AM=1,AB=2,BC∥AD,那么∠ABE=30°,在Rt△ABE中,根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1,PH=3,然后根据三角形面积公式得y=12AM•BE=32；当4＜x≤6,如图3,作PF⊥AD于F,AB+BC+PC=x,那么PD=6-x,根据菱形的性质得∠ADC=120°,那么∠DPF=30°,在Rt△DPF中,根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=12〔6-x〕,PF=3DF=32〔6-x〕,那么利用三角形面积公式得y=12AM•PF=-34x+332,最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．【解答】当点P在AB上运动时,即0≤x≤2,如图1,作PH⊥AD于H,AP=x,∵菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点, ∴∠A=60°,AM=1,∴∠APH=30°,在Rt△APH中,AH=12AP=12x,PH=3AH=32x,∴y=12AM•PH=12×1×32x=34x；当点P在BC上运动时,即2＜x≤4,如图2,作BE⊥AD于E,AP+BP=x,∵四边形ABCD为菱形,∠B=120°, ∴∠A=60°,AM=1,AB=2,BC∥AD, ∴∠ABE=30°,在Rt△ABE中,AE=12AB=1,PH=3AE=3,∴y=12AM•BE=12×1×3=32；当点P在CD上运动时,即4＜x≤6,如图3,作PF⊥AD于F,AB+BC+PC=x,那么PD=6-x, ∵菱形ABCD中,∠B=120°,∴∠ADC=120°,∴∠DPF=30°,在Rt△DPF中,DF=12DP=12〔6-x〕,3326-x〕,∴y=12AM•PF=12×1×36-x〕36-x〕333,∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2,图象为线段,满足解析式y=34x；当2≤x≤4,图象为平行于x轴的线段,且到x轴的距离为32；当4≤x≤6,图象为线段,且满足解析式333．应选B ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式,然后根据函数关系式画出函数图象,注意自变量的取值范围．5．如图,在菱形ABCD 中,5AB cm =,120ADC =∠︒,点E 、F 同时由A 、C 两点出发,分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动〔到点B 为止〕,点E 的速度为1/cm s ,点F 的速度为2/cm s ,经过t 秒DEF ∆为等边三角形,那么t 的值为〔 〕A ．34B ．43C ．32D ．53 【答案】D【分析】连接BD,证出△ADE ≌△BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,那么BF=BC -CF=5-2t 求出时间t 的值．【解答】解：连接BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC =120°, ∴AB =AD ,∠ADB =12∠ADC =60°, ∴△ABD 是等边三角形,∴AD =BD ,又∵△DEF 是等边三角形,∴∠EDF =∠DEF =60°, 又∵∠ADB =60°, ∴∠ADE =∠BDF ,在△ADE和△BDF中,AD BDA DBCADE BDF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△BDF(ASA), ∴AE=BF,∵AE=t,CF=2t,∴BF=BC−CF=5−2t,∴t=5−2t∴t=5 3 ,应选：D.【点评】此题考查全等三角形,等边三角形,菱形等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的性质为解题关键．6．：如图①,长方形ABCD中,E是边AD上一点,且AE=6cm,AB=8cm,点P从B出发,沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动,运动到点C停止．P的运动速度为2c m/s,运动时间为t〔s〕,△BPC的面积为y〔cm2〕,y与t的函数关系图象如图②,那么以下结论正确的有〔〕①a=7；②b=10；③当t=3s时△PCD为等腰三角形；④当t=10s时,y=12cm2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据点P运动的速度,可以确定某时刻点P的具体位置,再结合△BPC的面积与时间t函数关系的图象,可以得到问题的解答．【解答】当P点运动到E点时,△BPC面积最大,结合函数图象可知当t=5时,△BPC面积最大为40,∴BE=5×2=10．∵12•BC•AB=40,∴BC=10．那么ED=10﹣6=4．当P点从E点到D点时,所用时间为4÷2=2s,∴a=5+2=7．故①正确；P点运动完整个过程需要时间t=〔10+4+8〕÷2=11s,即b=11,②错误；当t=3时,BP=AE=6,又BC=BE=10,∠AEB=∠EBC〔两直线平行,内错角相等〕,∴△BPC≌△EAB,∴CP=AB=8,∴CP=CD=8,∴△PCD是等腰三角形,故③正确；当t=10时,P点运动的路程为10×2=20cm,此时PC=22﹣20=2,△BPC面积为12⨯10×2=10cm2,④错误,∴正确的结论有①③．应选：B．【点评】此题考查矩形性质与函数图象的综合应用,正确理解函数图象各点意义、综合应用等腰三角形和平行线的性质是解题关键．7．如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为边AD、CD、BC中点,动点P从E点出发,沿E D F→→方向移动,连接PG,过G作GQ PG⊥交边AB于点Q；连接PQ,点O为PQ中点,连接AO；设BQ为x,AOQ△的面积为y；那么y与x之间函数图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】A【分析】分两种情况讨论,当点P 在线段ED 上移动时,证得Rt △QBG ~Rt △PEG,求得2131242y x x =-++(102x ≤≤),当点P 在线段FD 上移动时,易求得112y x =-+(112x <≤),根据图象的性质即可判断．【解答】不妨设正方形ABCD 的边长为2,那么BC=AD=AB=CD=2,AE=DF=BG=1,当点P 在线段ED 上移动时,连接EG ,如下图： ∵GQ PG ⊥, ∴∠PGQ=∠B=90︒,∴∠QGB+∠QGE =90︒,∠QGE +∠EGP =90︒,∴∠QGB=∠EGP,∴Rt △QBG ~Rt △PEG,∵BQ x =,BG=1,EG ＝2,∴PE=2BQ=2x ,∴AQ=AB-BQ=2x -,AP=AE+PE=12x +,∵点O 为PQ 中点,∴()()2AOQ APQ 11111312122224242y S S AQ AP x x x x ===⨯⋅=-+=-++, 取值范围是：当P 、E 重合时,由PE=2x =0,得0x =,当P 、D 重合时,由PE=2x =1,得12x =, ∴2131242y x x =-++(102x ≤≤), ∵102-<,∴图象是开口向下的在区间(102x ≤≤)r 的一段抛物线； 排除选项B 和C ； 当点P 在线段FD 上移动时,连接AP,如下图：∴AQ=AB-BQ=2x -,∵点O 为PQ 中点,∴()AOQ APQ 111112122222y S S AQ AD x x ===⨯⋅=-=-+, 取值范围是：当P 、F 重合时,1x =, ∴112y x =-+(112x <≤), ∵102-<, ∴图象是经过一、二、四象限在区间(112x <≤)的一条线段； 综上,只有A 符合题意,应选：A ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象,涉及的知识点有正方形的性质,相似三角形的判定和性质,有一定难度．8．如图ABO 的顶点分别是()3,1A ,()0,2B ,()0,0O ,点C ,D 分别为BO ,BA 的中点,连AC ,OD 交于点G ,过点A 作AP OD ⊥交OD 的延长线于点P ．假设APO △绕原点O 顺时针旋转,每次旋转90︒,那么第2021次旋转结束时,点P 的坐标是〔 〕A ．()2,1B ．()2,2C ．()1,2D ．()1,1A【答案】B【分析】利用三角形的重心和等腰直角三角形的性质确定P 〔2,2〕,确定每4次一个循环,由于2021=4×55,所以第2021次旋转结束时,P 点返回原地,即可求出旋转后的点P 的坐标．【解答】∵点C,D 分别为BO,BA 的中点,∴点G 是三角形的重心,∴AG=2CG ,∵B 〔0,2〕,∴C 〔0,1〕,∵A 〔3,1〕,∴AC=3,AC ∥x 轴,∴CG=1,AG=2,∵OC=1,∴OC=CG ,∴△COG 是等腰直角三角形,∴∠CGO=45°, ∴∠AGP=45°, ∵AP ⊥OD,∴△AGP 是等腰直角三角形,∴AG 边上的高为1,∵等腰直角三角形△AGP 的斜边AG 边上的高也是中线,∴P 〔2,2〕,∵2021=4×55,∴每4次一个循环,第2021次旋转结束时,P 点返回原处,∴点P 的坐标为〔2,2〕．应选：B ．【点评】此题考查了三角形重心的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．9．如图1,在矩形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A B C -->-->方向运动,当点M 到达点C 时停止运动,过点M 作MN AM ⊥交CD 于点N ,设点M 的运动路程为,x CN y =,图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象,那么函数图象中a 的值为〔 〕A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】由图2知：AB=6,当点M 在BC 上时,画出图形根据MAB NMC ,得出比例式BM CN AB CM =,根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,列出方程式即可解题．【解答】解：由图2知：AB=6,那么CN=BM=6-x,即y=6-x ；如下图,当点M 在BC 上时,AB=6那么BM=x-6,NC=y,在矩形ABCD 中,∵MN ⊥AM,∴∠AMN=90°, ∴∠CMN+∠AMB=90°,∵∠MAB+∠AMB=90°,∴∠CMN=∠MAB,∵在△CMN和△BAM中,∠CMN=∠MAB,∠C=∠B=90°, ∴△CMN∽△BAM,∴BM CN AB CM=由二次函数图象对称性可得M在BC中点时,y=CN有最大值83,此时BM=CM=x-6∴863 66 xx-=-,∴x=10或2〔不合题意舍去〕∴BM=CM=4,∴BC=8∴a=6+8=14应选：C【点评】此题考查了二次函数动点问题,考查了相似三角形的判定和性质,考查了矩形面积的计算,此题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．10．如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',那么OQ'的最小值为()A．455B5．523D．655【答案】B【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形,求出旋转后Q′的坐标,然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：作QM ⊥x 轴于点M,Q′N ⊥x 轴于N,设Q(m ,122m -+),那么PM=1m ﹣,QM=122m -+, ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°,∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′,∴∠QPM=∠PQ′N,在△PQM 和△Q′PN 中,'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PQM ≌△Q′PN (AAS),∴PN=QM=122m -+,Q′N=PM=1m ﹣, ∴ON=1+PN=132m -, ∴Q′(132m -,1m ﹣), ∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5, 当m=2时,OQ′2有最小值为5,∴OQ′5应选：B ．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,三角形全等的判定和性质,坐标与图形的变换-旋转,二次函数的性质,勾股定理,表示出点的坐标是解题的关键．二、填空题11．如图,O 是正方形ABCD 的外接圆,2,AB =点E 是劣弧AD 上的任意一点,连接BE ,作CF BE ⊥于点F ,连接,AF 那么当点E 从点A 出发按顺时针方向运动到点D 时,AF 长的取值范围为________________．【答案】512AF -≤≤【分析】首先根据题意可知,当点F 与点B 重合时AF 最长,AF 的最大值为2；再证实点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ,通过添加辅助线连接'AO 交'O 于点M ,连接'O F ,由线段公理可知,当点F 与点M 重合时AF 最短,AF 的最小值为51-．即可得解．【解答】解：∵由题意可知,当点F 与点B 重合时AF 最长∴此时2AF AB ==,即AF 的最大值为2∵CF BE ⊥∴90CFB ∠=︒∴点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ,连接'AO 交'O 于点M ,连接'O F ,如图：∵2AB =∴11'122BO BC AB === ∴在'Rt ABO 中,22''5AO AB BO =+∴''51AM AO O M =-=∴由两点之间,线段最短可知,当点F 与点M 重合时AF 最短∴AF 的最小值为51-∴512AF -≤≤．【点评】此题考查了正多边形和圆的动点问题、90︒的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点,解题的关键是确定AF 取最大值和最小值时点F 的位置,属于中考常考题型,难度中等．12．如图,CA AB ⊥,垂足为点A ,24AB =,12AC =,射线BM AB ⊥,垂足为点B ,一动点E 从A 点出发以3厘米/秒沿射线AN 运动,点D 为射线BM 上一动点,随着E 点运动而运动,且始终保持ED CB =,当点E 经过___秒时,DEB ∆与BCA ∆全等．【答案】0,4,12,16【分析】设点E 经过t 秒时,△DEB ≌△BCA ；由斜边ED=CB,分类讨论BE=AC 或BE=AB 或AE=0时的情况,求出t 的值即可．【解答】分情况讨论：〔1〕设点E 经过t 秒时,△DEB ≌△BCA,此时AE=3t,①当点E 在点B 的左侧时,BE=AC,∴AE=AB-BE=24-12=12,∴3t=12,∴t=4；②当点E 在点B 的右侧时,BE=AC,∴AE=AB+BE=24+12=36,∴3t=36,∴t=12；〔2〕设点E经过t秒时,△EDB≌△BCA,此时AE=3t,①当点E在点B的左侧时,BE=AB,即24-3t=24,∴t=0；②当点E在点B的右侧时,BE=AB,∴AE=AB+BE=24+24=48,∴3t=48,∴t=16．综上所述,当点E经过0秒或4秒或12秒或16秒时,△DEB与△BCA全等．故答案为：0,4,12,16．【点评】此题考查了全等三角形的性质；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．13．如图,点C在线段BD上,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D．∠ACE＝90°,且AC＝5cm,CE＝6cm,点P以2cm/s 的速度沿A→C→E向终点E运动,同时点Q以3cm/s的速度从 E 开始,在线段EC上往返运动〔即沿E→C→E→C→…运动〕,当点P到达终点时,P,Q同时停止运动．过P,Q分别作BD的垂线,垂足为M,N．设运动时间为ts,当以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等时,t的值为_____．【答案】1或115或235【分析】根据全等三角形的性质可得PC＝CQ,然后分三种情况根据PC＝CQ分别得出关于t的方程,解方程即得答案．【解答】解：当点P在AC上,点Q在CE上时,如图,∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等,∴PC＝CQ,∴5﹣2t＝6﹣3t,解得：t＝1；当点P在AC上,点Q第一次从点C返回时,∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等,∴PC＝CQ,∴5﹣2t＝3t﹣6,解得：t＝11 5；当点P在CE上,点Q第一次从E点返回时, ∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等, ∴PC＝CQ,∴2t﹣5＝18﹣3t,解得：t＝235；综上所述：t 的值为1或115或235． 故答案为：1或115或235． 【点评】此题考查了全等三角形的应用,正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．14．如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,OA=8,点D 为对角线OB 的中点,假设反比例函数1k y x=在第一象限内的图象与矩形的边BC 交于点F,与矩形边AB 交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan ∠BOA=12,设直线EF 的表达式为y=k 2x+b ．将矩形折叠,使点O 与点F 重合,折痕与x 轴正半轴交于点H,与y 轴正半轴交于点G,直接写出线段OG 的长_______．【答案】52【分析】利用正切的定义计算出AB 得到B 点坐标为〔8,4〕,那么可得到D 〔4,2〕,然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F 〔2,4〕,连接GF,如图,设OG ＝t,那么CG ＝4−t,利用折叠的性质得到GF ＝OG ＝t,那么利用勾股定理得到22＋〔4−t 〕2＝t 2,然后解方程求出t 得到OG 的长．【解答】在Rt △AOB 中,∵tan ∠BOA ＝AB OA ＝12, ∴AB ＝12OA ＝12×8＝4, ∴B 点坐标为〔8,4〕,∵点D 为对角线OB 的中点,∴D 〔4,2〕,把D 〔4,2〕代入y ＝1k y x=,得k 1＝4×2＝8, ∴反比例函数表达式为8y x =；当y＝4时,8x＝4,解得x＝2,那么F〔2,4〕,∴CF=2,连接GF,如图,设OG＝t,那么CG＝4−t,∵将矩形折叠,使点O与点F重合, ∴GF＝OG＝t,在Rt△CGF中,22＋〔4−t〕2＝t2,解得t＝5 2 ,即OG的长为52．故答案为：52．【点评】此题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、折叠的性质和矩形的性质；会运用待定系数法求反比例函数解析式；会运用三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．15．如图,在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝23,E是AB边上一点,AE＝2,F是直线CD上一动点,将AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A',当点E,A',C三点在一条直线上时,DF的长为_____．【答案】6﹣7或7【分析】利用勾股定理求出CE,再证实CF=CE即可解决问题,〔注意有两种情形〕．【解答】解：如图,由翻折可知,∠FEA＝∠FEA′,∵CD ∥AB,∴∠CFE ＝∠AEF,∴∠CFE ＝∠CEF,∴CE ＝CF,在Rt △BCE 中,EC ＝22BC EB +=22(23)427+=,∴CF ＝CE ＝27,∵AB ＝CD ＝6,∴DF ＝CD ﹣CF ＝6﹣27,当点F 在DC 的延长线上时,易知EF ⊥EF′,CF ＝CF′＝27,∴DF ＝CD+CF′＝6+27故答案为：6﹣27或6+27．【点评】此题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识,此题的突破点是证实△CFE 的等腰三角形,属于中考常考题型．16．如图,有一张矩形纸条ABCD ,AB ＝5cm ,BC ＝2cm ,点M ,N 分别在边AB ,CD 上,CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠,使点B ,C 分别落在点B ',C '上．当点B '恰好落在边CD 上时,线段BM 的长为_____cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中,假设边MB '与边CD 交于点E ,那么点E 相应运动的路径长为_____cm ．【答案】5 352- 【分析】第一个问题证实BM ＝MB ′＝NB ′,求出NB 即可解决问题．第二个问题,探究点E 的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可．【解答】如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CD ,∴∠1＝∠3,由翻折的性质可知：∠1＝∠2,BM ＝MB ′,∴∠2＝∠3,∴MB ′＝NB ′,∵NB ′22B C NC '''+2221+5cm 〕,∴BM ＝NB ′5cm 〕． 如图2中,当点M 与A 重合时,AE ＝EN ,设AE ＝EN ＝xcm ,在Rt △ADE 中,那么有x 2＝22+〔4﹣x 〕2,解得x ＝52, ∴DE ＝4﹣52＝32〔cm 〕, 如图3中,当点M 运动到MB ′⊥AB 时,DE ′的值最大,DE ′＝5﹣1﹣2＝2〔cm 〕,如图4中,当点M 运动到点B ′落在CD 时,DB ′〔即DE ″〕＝5﹣1545〔cm 〕,∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″,运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2﹣32+2﹣〔45352〕〔cm 〕．故答案为5,〔352 〕．【点评】此题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题．17．如图①,在菱形ABCD中,∠B=60°,M为AB的中点,动点P从点B出发,沿B→C→D的路径运动,到达点D时停止．连接MP,设点P运动的路程为x,MP2=y,假设y与x的函数图象大致如图②所示,那么菱形ABCD 的周长为____________．【答案】8【分析】先从图②分析p的运动过程中MP的变化,再从(4,7)这个点入手求解菱形的边长,再计算周长即可得到答案；【解答】解：如图1,过M 点作ME ⊥BC 与E,结合图像二得到,P 点从B 运动到E,MP 的长度一直在减小,P 点从E 运动到C,MP 的长度一直在增大,P 点从C 运动到D,MP 的长度也在增大,所以在D 点,MP 的长度最大,∴当P 运动到D 时,x=4,y=7,即：27MP = ,4BC CD +=,又∵ABCD 是菱形,∴BC=CD=2〔菱形四边相等〕,∴菱形的周长为：428⨯= ,故答案为：8．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及从图像中获取信息得水平,掌握菱形四边相等是解题的关键； 18．如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ,以此方式,绕点O 旋转2021次得到正方形201820182018OA B C ,如果点A 的坐标为〔1,0〕,那么那么点2019B 的坐标为_____．【答案】〔2,0〕【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°,可得对应点B 的坐标,根据规律发现是8次一循环,可得结论．【解答】∵四边形OABC 是正方形,且OA ＝1,∴B 〔1,1〕,连接OB,由勾股定理得：OB ＝22112+=,由旋转得：OB ＝OB 1＝OB 2＝OB 3＝ (2)∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°,依次得到∠AOB ＝∠BOB 1＝∠B 1OB 2＝…＝45°, ∴B 1〔0,2〕,B 2〔−1,1〕,B 3〔−2,0〕,…,发现是8次一循环,所以2021÷8＝252…余3, ∴点B 2021的坐标为〔−2,0〕故答案为：〔−2,0〕．【点评】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中央的距离相等；对应点与旋转中央所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识,解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法,属于中考常考题型．19．四边形ABCD 中,45ABC ∠=︒,90C D ∠=∠=︒,含30角〔30P ∠=︒〕的直角三角板PMN 〔如图〕在图中平移,直角边MN BC ⊥,顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上,延长NM 到点Q ,使QM PB =,假设10BC =,3CD =,那么点M 从点A 平移到点D 的过程中,点Q 的运动路径长为__________．【答案】72【分析】当点P 与B 重合时,推出△AQK 为等腰直角三角形,得出QK 的长度,当点M′与D 重合时,推出△KQ′M′为等腰直角三角形,得出KQ′的长度,根据题意分析出点Q 的运动路径为QK+KQ′,从而得出结果.【解答】解：如图当点M与A重合时,∵∠ABC=45°,∠ANB=90°,PN=3MN=3CD=33,BN=MN=3,∴此时PB=33-3,∵运动过程中,QM=PB,当点P与B重合时,点M运动到点K, 此时点Q在点K的位置,AK即AM的长等于原先PB和AQ的长,即33-3,∴△AQK为等腰直角三角形,∴QK=2AQ=36-32,当点M′与D重合时,P′B=B C-P′C=10-33=Q′M′,∵AD=BC-BN=BC-AN=BC-DC=7,KD=AD-AK=7-〔33-3〕=10-33,Q′M′=BP′=BC-P′C= BC-PN =10-33,∴△KQ′M′为等腰直角三角形,-,∴KQ′=2Q′M′=2〔10-33〕=10236当点M从点A平移到点D的过程中,点Q的运动路径长为QK+KQ′,-〕=72,∴QK+KQ′=〔36-32〕+〔10236故答案为72.【点评】此题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型．20．如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,60A ∠=︒,4AC =,M 是AC 的中点,E 是AB 边上的一个动点,连接ME ,过M 作ME 的垂线,与BC 边交于点F ．在E 从A 运动到B 的过程中,EF 的中点N 运动的路程为_______．【答案】233【分析】连接,BN MN ,做射线AN ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得BN MN =,结合条件可证ABN AMN ≅,那么BAN MAN ∠=∠,故动点N 始终在BAC ∠的平分线上,找到点N 起点与终点,求长度即可.【解答】解：如图,连接,BN MN ,做射线AN ,BEF 与MEF 都是直角三角形,且N 为斜边EF 的中点,∴12BN EF MN ==, 在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,9030C BAC ∠=︒-∠=︒, ∴12AB AC AM ==, 在ABN 与AMN 中,BN MN AN AN AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABN AMN SSS ≅,∴BAN MAN ∠=∠,可见点N 始终在BAC ∠的平分线上,当E 从A 出发时,如以下图,点N 运动的起点在AF 的中点,终点即为此时的F , 那么12NF AF =. 在Rt ABF ∆中,AB=2,∠FAB=30°,利用勾股定理求得AF=433 23312NF AF == 故点N 运动的路程为233. 故答案为：233. 【点评】此题是结合了含30°的直角三角形,全等三角形的判定与应用,角平分线的性质等知识点的动点问题,根据题意作出适宜的辅助线,找到动点的起点与终点是解答关键．三、解做题21．如图,在数轴上有三个点A 、B 、C ,O 是原点,满足20OA cm =,60AB cm =,BC 10cm =,动点P 从点O 出发向右以每秒1cm 的速度匀速运动；同时,动点Q 从点C 出发,在数轴上向左运动．〔1〕假设点Q 的速度为每秒0.8cm ,求P ,Q 相遇时,运动的时间．〔2〕假设Q 的运动速度为每秒3cm 时,经过多长时间P ,Q 两点相距70cm ？〔3〕当2PA PB =时,点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分点,求Q 的速度．【答案】〔1〕50s ；〔2〕经过5秒和40秒时P 、Q 两点相距7Ocm ；〔3〕当点P 在A 、B 两点之间时,点Q 的运动速度为0.5/cm s 或5/6cm s ；当点P 在线段AB 的延长线上时,点Q 的运动速度为314/cm s 或514/cm s ． 【分析】〔1〕 设P 、Q 相遇时,运动的时间为t ,列出方程即可解决问题；〔2〕原本P 、Q 之间距离大于70cm,那么分两种情况讨论,第一相距70cm 跟相遇后两者相距70cm,根据路程=速度×时间,即可求得,不过第二次相距70cm 时,Q 点早已到达O 点停止运动；〔3〕 PA=2PB 分两种情况,一种P 在线段AB 内,一种P 在线段AB 的延长线上,根据速度=路程÷时间,即可求得点Q 的速度．【解答】〔1〕设P 、Q 相遇时,运动的时间为t ,由题知：20601090OC OA AB BC cm =++=++=,∴当P 、Q 相遇时,OP CQ OC +=,即0.890t t +=．∴解得：50t s =,故P 、Q 相遇时的运动时间为50s ．〔2〕∵9070OA AB BC cm cm ++=>,∴分两种情况,①Q 在P 的右侧时,经过时间为9070513s -=+, ②Q 在P 的左侧时,设经过时间1t ,P 、Q 两点相距70cm ,此时1:P t ,1:903Q t -,∴()1190370t t --=,解得：140t s =,综合①②得知,经过5秒和40秒时P 、Q 两点相距70cm ．〔3〕2PA PB =,分两种情况,①当点P 在A 、B 两点之间时,∵2PA PB =, ∴2403PA AB cm ==, 此时运动的时间为601OA PA s += ∵点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分, ∴1203BQ AB cm ==或2403BQ AB cm ==,点Q 的运动速度为0.5/60BC BQ cm s +=或5/6cm s ； ②当点P 在线段AB 的延长线上时,∵2PA PB =,∴2120PA AB cm ==, 此时运动的时间为1401OA PA s +=, ∵点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分, ∴1203BQ AB cm ==或2403BQ AB cm ==, 点Q 的运动速度为3/14014BC BQ cm s +=或514/cm s ； 综合①②得知,当点P 在A 、B 两点之间时,点Q 的运动速度为0.5/cm s 或5/6cm s ； 当点P 在线段AB 的延长线上时,点Q 的运动速度为314/cm s 或514/cm s ． 【点评】考查了两点间的距离和方程,解题关键是〔1〕根据关系列出方程；〔2〕PQ 相距70cm 分两种情况,第一次相距70cm 和相遇后再次相距70cm ；〔3〕当PA=2PB 时,分两种情况,一种点P 在线段AB 之间和点P 在线段AB 的延长线上．22．数轴上点A 表示的有理数为20,点B 表示的有理数为-10,点P 从点A 出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动,到达点B 后立即返回,返回过程中的速度是每秒2个单位长度,运动至点A 停止,设运动时间为t 〔单位：秒〕．〔1〕当t =5时,点P 表示的有理数为 ．〔2〕在点P 往左运动的过程中,点P 表示的有理数为 〔用含t 的代数式表示〕．〔3〕当点P 与原点距离5个单位长度时,t 的值为 ．【答案】〔1〕5-；〔2〕205t -；〔3〕3或5或8.5或13.5．【分析】〔1〕先根据运动速度和时间求出PA 的长,再根据数轴的定义即可得；〔2〕先求出在点P 往左运动的过程中,5PA t =,再根据数轴的定义即可得；〔3〕分点P 从点A 运动到点B 和点P 从点B 返回,运动到点A 两种情况,再分别求出点P 表示的有理数,然后根据数轴的定义建立绝对值方程,最后解方程即可得．【解答】〔1〕由题意得：()201030AB =--=,点P 从点A 运动到点B 所需时间为30655AB ==〔秒〕,点P 从点B 返回,运动到点A 所需时间为301522AB ==〔秒〕, 那么当56t =<时,5525PA =⨯=,因此,点P 表示的有理数为20255-=-,故答案为：5-； 〔2〕在点P 往左运动的过程中,5PA t =,那么点P 表示的有理数为205t -,故答案为：205t -；〔3〕由题意,分以下两种情况：①当点P 从点A 运动到点B,即06t ≤≤时,由〔2〕可知,点P 表示的有理数为205t -, 那么2055t -=,即2055t -=或2055t -=-,解得3t =或5t =,均符合题设；②当点P 从点B 返回,运动到点A,即615t <≤时,()26PB t =-,点P 表示的有理数为()2610222t t --=-, 那么2225t -=,即2225t -=或2225t -=-,解得13.5t =或8.5t =,均符合题设；综上,当点P 与原点距离5个单位长度时,t 的值为3或5或8.5或13.5时,故答案为：3或5或8.5或13.5．【点评】此题考查了数轴、绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点,较难的是题〔3〕,正确分两种情况讨论,并建立方程是解题关键．23．如图,等边△ABC 的边长为8,动点M 从点B 出发,沿B →A →C →B 的方向以3的速度运动,动点N 从点C 出发,沿C →A →B →C 方向以2的速度运动．〔1〕假设动点M 、N 同时出发,经过几秒钟两点第一次相遇？〔2〕假设动点M、N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时,点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【答案】〔1〕165秒；〔2〕运动了85秒或245秒时,A、M、N、D四点能够成平行四边形,此时点D在BC上,且BD=245或325．【分析】〔1〕设经过t秒钟两点第一次相遇,然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；〔2〕首先根据题意画出图形：如图②,当0≤t≤83时,DM+DN=AN+CN=8；当83＜t≤4时,此时A、M、N三点在同一直线上,不能构成平行四边形；4＜t≤163时,MB+NC=AN+CN=8；当163＜t≤8时,△BNM为等边三角形,由BN=BM可求得t的值．【解答】解：〔1〕设经过t秒钟两点第一次相遇,由题意得：3t+2t=16,解得：t=16 5,所以,经过165秒钟两点第一次相遇；〔2〕①当0≤t≤83时,点M、N、D的位置如图2所示：∵四边形ANDM为平行四边形,∴DM=AN,DM//AN．DN//AB∴∠MDB=∠C=60°,∠NDC=∠B=60°∴∠NDC=∠C．∴ND=NC。
2021年中考数学真题试卷(19)(解析版)
2021年中考数学真题试卷一．选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列运算正确的是（）A．B．（a3）4＝a7C．a3÷a2＝a3•a﹣2D．2．已知a＜b，下列结论中成立的是（）A．﹣a+1＜﹣b+1 B．﹣3a＜﹣3bC．﹣ b+2 D．如果c＜0，那么3．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣14．数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣25．下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（）A．B．C．D．6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．二．填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．﹣的立方根为 ． 8．方程组的解为 ．9．A （3，y 1），B （1，y 2）是直线y ＝kx+3（k ＞0）上的两点，则y 1 y 2（填“＞”或“＜）．10．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a 元，圆珠笔的单价为b 元，则小何共花费 元．（用含a ，b 的代数式表示）11．某计算程序编辑如图所示，当输入x ＝ 时，输出的y ＝3．12．从圆、平行四边形、菱形、正五边形随机抽取一个图形，抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．13．一组数据：3，1，3，5，3，2的众数是 ．14．已知一个扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为 ．15．如图，在△ABC 中，点G 是两条中线AD 、BE 的交点，设＝，＝，如果用，表示，那么＝ ．16．直角梯形的一个底角为60°，上、下底的长分别是2和3，那么这个梯形的周长为 ．17．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，AD 平分∠CAB ．交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6，△DEB 的周长为 ．18．如图，将矩形纸片ABCD放入以BC所在直线为x轴，BC边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结OD，将纸片ABCD沿OD折叠，使得点C落在AB边上点C′处，若AB＝5，BC＝3，则点C的坐标为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算： +20﹣|﹣3|+（﹣）﹣1．20．（10分）解方程： +﹣2＝021．（10分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．（1）A市和B市之间的路程是km；（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝30°，AD为BC边上的中线，E为AD 上一动点，设DE ＝nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ，过点F 作FG ∥AC 交AD （或延长线）于点G ．（1）当n ＝1时，则＝ ，＝ ．（2）如图2，当n ＝时，求证：FG 2＝FE •FC ；（3）如图3，当n ＝ 时，．23．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．24．（12分）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 坐标为（﹣1，0），一次函数y ＝x+k 的图象经过点B 、C ．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D （2，0）为x 轴上一点，P 为抛物线上的动点，过点P 、D 作直线PD 交线段CB 于点Q ，连接PC 、DC ，若S △CPD ＝3S △CQD ，求点P 的坐标；（3）如图2，点E 为抛物线位于直线BC 下方图象上的一个动点，过点E 作直线EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 于点F ，当EF+CF 的值最大时，求点E 的坐标．25．（14分）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC 上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：，使得△ABC为等边三角形；①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．参考答案一．选择题1．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的意义对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据立方根与算术平方根的定义对D进行判断．【解答】解：A、（﹣）0﹣（）﹣2＝1﹣9＝﹣8，所以A选项错误；B、（a3）4＝a12，所以B选项错误；C、a3÷a2＝a3•a﹣2，所以C选项正确；D、+＝3﹣2，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂．2．【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【解答】解：A、a＜b则﹣a+1＞﹣b+1，故原题说法错误；B、a＜b则﹣3a＞﹣3b，故原题说法错误；C、a＜b则﹣a+2＞﹣b+2，故原题说法正确；D、如果c＜0，那＞，故原题说法错误；故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．【分析】在数轴上点A到原点的距离为4的数有两个，意义相反，互为相反数．即4和﹣4．【解答】解：在数轴上，4和﹣4到原点的距离为4．∴点A所表示的数是4和﹣4．故选：C．【点评】此题考查的知识点是数轴．关键是要明确原点的距离为4的数有两个，意义相反．5．【分析】从组成图形的面来考虑即可求解．【解答】解：正方体，圆柱和四棱柱都是柱体，只有C选项是锥体．故选：C．【点评】本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．6．【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．二．填空题7．【分析】根据立方根的定义即可求出﹣的立方根．【解答】解：﹣的立方根为﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．8．【分析】把两个方程的左边利用提公因式法进行因式分解，两式相除得到x ＝3y ，代入方程求出y 、x ．【解答】解：，由①得，x （x+y ）＝12③，由②得，y （x+y ）＝4④，∵y ≠0，x+y ≠0，∴③÷④得，x ＝3y ⑤，把⑤代入②得，3y 2+y 2＝4，解得，y 1＝1，y 2＝﹣1，把y ＝±1代入⑤得，x ＝±3， 则方程组的解为，， 故答案为：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，利用因式分解把方程的左边进行正确的变形是解题的关键．9．【分析】由k ＞0，利用一次函数的性质可得出y 值随x 值的增大而增大．再结合3＞1即可得出y 1＞y 2．【解答】解：∵k ＞0，∴y 值随x 值的增大而增大．又∵3＞1，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．10．【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答．【解答】解：依题意得：4a+10b ；故答案是：（4a+10b ）．【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．11．【分析】由y＝3可知或3x+5＝3，然后求得x的值即可．【解答】解：当x≥3时，y＝3即，解得x＝12；当x＜3时，y＝3即3x+5＝3，解得：x＝﹣．故答案为：12或﹣．【点评】本题主要考查的是函数值，分类讨论是解题的关键．12．【分析】从这4个图形中找到既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：在圆、平行四边形、菱形、正五边形这4个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆、菱形这2个图形，所以抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是＝，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及轴对称图形和中心对称图形的概念．13．【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：数据3出现次数最多，所以众数为3，故答案为：3．【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．14．【分析】先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，∴＝12π，解得：R＝2，∴弧长为＝π（cm），故答案为：πcm．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．15．【分析】首先证明AG＝2DG，推出AG＝AD，求出即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵AE＝EC，BD＝DC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴＝＝，∴AG＝2DG，∴AG＝AD，∵＝+，＝，＝，∴＝+，∴AG＝+，故答案为+．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．【分析】根据题意画四边形ABCD为直角梯形，过点D作DE⊥BC于点E，则得矩形ABED，再根据矩形性质和勾股定理即可求出DC和AB，进而求得这个梯形的周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∠C＝60°，AD＝2，BC＝3，过点D作DE⊥BC于点E，则得矩形ABED，∴BE＝AD＝2，∴EC＝BC﹣BE＝3﹣2＝1，∴CD＝2CE＝2，在Rt△DEC中，根据勾股定理，得DE＝＝，∴AB＝DE＝，∴这个梯形的周长为：AB+BC+CD+AD＝+3+2+2＝7+．故答案为：7+．【点评】本题考查了直角梯形，解决本题的关键是将梯形问题转化为直角三角形和矩形或转化为平行四边形和等边三角形．17．【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE＝DC，在△BED中，BE＝AB﹣AE，DE＝DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6根据勾股定理得2CB2＝AB2，∴CB＝3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA＝90°＝∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC＝AE＝3，DE＝CD∴EB＝AB﹣AE＝6﹣3故△DEB的周长为：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB＝6﹣3+3＝6．【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．18．【分析】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出AC'的长，进而得到BC'＝1，再根据勾股定理可得，Rt△BOC'中，BO2+BC'2＝C'O2，列方程求解即可得到BO＝，进而得出点C的坐标．【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，∴AD＝3，CD＝C'D＝5，∴Rt△ADC'中，AC'＝＝4，∴BC'＝5﹣4＝1，设BO ＝x ，则CO ＝C'O ＝3﹣x ，∵Rt △BOC'中，BO 2+BC'2＝C'O 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝，∴CO ＝3﹣，又∵点C 在x 轴上，∴点C 的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）．【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的运用；解决问题的关键是运用勾股定理计算有关线段的长．解题时注意方程思想的运用．三．解答题19．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4+1﹣3﹣2＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．【分析】此题用换元法解答．注意用两个分式的倒数关系设y ．【解答】解：设＝y ，．原方程可化为y+﹣2＝0；去分母得y 2﹣2y+1＝0；解得y 1＝y 2＝1． 则＝1，去分母得x 2﹣3x+2＝0；解得x 1＝2；x 2＝1．检验：当x ＝1时， +﹣2＝1+1﹣2＝0，所以x ＝1是原方程的根； 当x ＝2时， +﹣2＝1+1﹣2＝0，所以x ＝2是原方程的根．∴原方程的解为：x 1＝2，x 2＝1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题．【解答】解：（1）由图可知，A市和B市之间的路程是360km，故答案为：360；（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，2（x+2x）＝360，解得，x＝602×60＝120，则a＝120，点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇；（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），方法一：当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，y2＝60x，当0≤x≤3时，y 2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，解得，x＝，﹣2＝，当3＜x≤6时，y 2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，解得，x＝，﹣2＝，所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或h两车相距20km．方法二：设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，当0≤t≤3时，60t+120t＝20，解得，t＝；当3＜t≤6时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，解得，t＝．所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或h两车相距20 km．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【分析】（1）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，由n＝1时，可得E为AD的中点，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；（2）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF＝x，则BH＝HF＝nx．由∠B＝30°，即可求得AC的值，然后过点C作CM⊥AB于点M，易求得MC与MF的值，由勾股定理即可求得FC2＝MF2+MC2，然后由平行线分线段成比例定理，即可证得FG2＝FE•FC；（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH＝x，则HF＝x，FA＝4x，根据平行线分线段成比例定理，即可求得n的值．【解答】解：（1）当n＝1时，E为AD的中点，过点D作DH∥CF交AB于点H，则BH＝HF＝FA，CF＝2DH＝2×2EF＝4EF，∴＝2，＝3．（2）过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF＝x，则BH＝HF＝nx．∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝（2n+1）x，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠ACM＝∠B＝30°，∴MC＝ACcos∠ACM＝ACcos30°＝（2n+1）x•＝x，AM＝AC＝×（2n+1）x＝x，∴MF＝AF﹣AM＝x﹣x＝x，∴FC2＝MF2+MC2＝（x）2+（x）2＝x2，∵，∴FE＝HD＝FC，∴FE•FC＝FC2，，∴，即，∴当n＝时，FC2＝x2＝x2，FE•FC＝FC2＝x2，∴x2＝FE•FC．∵FG∥AC，∴，∴FG＝AC＝x＝x，∴FC2＝x2＝FE•FC．（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH＝x，则HF＝x，FA＝4x，∴，∴n＝．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．23．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．24．【分析】（1）首先确定点C的坐标，代入一次函数求出k，可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，构建方程求出a即可解决问题．（2）分两种情形：①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，分别求解即可解决问题．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．∵S△CPD ＝3S△CQD，∴PD＝3DQ，∵PT∥DH∥BC，∴＝＝＝3，∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，∴HC＝3，∴TH＝9，OT＝7，∴直线PT的解析式为y＝x+7，由，解得或，∴P（，）或（，），②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，∴PQ＝3DQ，∴S△CPD ＝3S△CQD，过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，由，解得或，∴P′（3，﹣8），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案为：30；（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；①如图1中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN；②成立，理由：如图2中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型．。
2021年西藏数学中考试题(含答案)
2021年西藏中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,满分36分）1．﹣5的相反数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．±5D ． 2．已知地球上海洋面积约为361 000 000km 2,361 000 000这个数用科学记数法可表示为（ ） A ．3.61×106B ．3.61×107C ．3.61×108D ．3.61×109 3．平面直角坐标系中,点P 的坐标为（﹣5,3）,则点P 关于y 轴的对称点的坐标是（ ）A ．（5,3）B ．（﹣5,﹣3）C ．（3,﹣5）D ．（﹣3,5）4．一元二次方程的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定5．2021年7月27日国际奥委会的会旗将在伦敦上空升起,会旗上的图案由五个圆环组成．如图,在这个图案中反映出的两圆的位置关系有（ ） 来源学科网A ．内切、相交B ．外离、内切C ．外切、外离D ．外离、相交6．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图,那么在原正方体的表面上,与汉字“美“相对的面上的汉字是（ ）A ．我B ．爱C ．长D．沙 7．已知等腰三角形的两边的长分别为3和6,则它的周长为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或158．2021年全区中学生运动会,需要从3名男生和2名女生中随机抽取1名志愿者,则女生被抽中的概率是（ ） A．B．C．D．9．下列各式计算正确的是（ ） A．（a+b）2=a2+b2B．a2•a3=a5C．a6+a6=a12D．a10÷a2=a510．下列各命题中,真命题是（ ） A．不在同一直线上的三个点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条高的交点 C．邻边相等的四边形是菱形 D．三角形的一个外角大于三角形任意一个内角11．如图,AB切⊙O于点B,延长AO交⊙O于点C,连接BC．若∠A=40°,则∠C=（ ） A．20°B．25°C．40°D．50°12．若式子有意义,则x的取值范围为（ ） A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x≥2D．x≥1二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,满分18分）13．某样本数据是2,2,x,4,4,6,如果这个样本的众数是2,则x的值是 _________ ．14．在实数范围内分解因式：x2﹣3= _________ ．15．如图,已知直线a∥b,∠1=50°,则∠2= _________ °．16．如图,小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片,用它们恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1,扇形的圆心角为120°,则此扇形的半径为 _________ ．17．如图,点P在∠AOB的平分线上,若使△AOP≌△BOP,则需添加的一个条件是 _________ ．（只写一个即可,不添加辅助线）18．用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形,第1个图形需要1个小圆,第2个图形需3个小圆,第3个图形需要6个小圆,第4个图形需要10个小圆,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要小圆 _________ 个（用含n的代数式表示）．三、解答题（本大题共7小题,满分46分）19．计算：．20．解方程：21．为了加快西藏旅游业发展,某旅行社开发了“坐皮筏、看蓝天、游碧水”的旅游项目．一只皮筏艇由河岸的A处景点沿直线方向开往对岸的B处景点（如图）,若两侧的河岸平行,河宽为900m,AB与河岸的夹角是60°,皮筏艇的航行速度为204m/min,求皮筏艇从A处景点开到B处景点所需的时间（≈1.7）．22．某班观看电影《和雷锋在一起的日子》,有甲、乙两种电影票,甲种票每张24元,乙种票每张18元．如果全班35名同学购票用去750元,那么甲、乙两种电影票各多少张？23．如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．24．如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧上一点,连接BD,AD,OC,∠ADB=30°．（1）求∠AOC的度数。
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第 1 页 共 15 页 2021年西藏中考数学押题试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A ．10
B ．﹣10
C ．50
D ．﹣50
【解答】解：30+（﹣20）＝+（30﹣20）＝10．
故选：A ．
2．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：
故选：A ．
3．4月24日，以“弘扬航天精神 拥抱星辰大海”为主题的2020年“中国航天日”系列活
动依托网络平台举办，来自多国多地区累计超过40000000人次收看了线上启动仪式，数据40000000用科学记数法表示为（ ）
A ．40×106
B ．4×108
C ．0.4×107
D ．4×107
【解答】解：数据40000000用科学记数法表示为4×107．
故选：D ．
4．（3分）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
（1）x 2﹣2x ﹣1；（2）
x 24−x +1；（3）﹣a 2﹣b 2；（4）﹣a 2+b 2；（5）x 2﹣4xy +4y 2；（6）
m 2﹣m +1．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个 【解答】解：（1）x 2﹣2x ﹣1，不符合题意；
（2）x 24−x +1＝（x 2
−1）2，符合题意；。