函数与导数中任意性和存在性问题探究
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函数与导数中任意性和存在性问题探究
命题人:闫霄 审题人:冯昀山 一、相关结论:
结论1:min [,],()[()]x a b f x m f x m ∀∈>⇔>; 结论2:max [,],()[()]x a b f x m f x m ∀∈<⇔<; 结论3:max [,],()[()]x a b f x m f x m ∃∈>⇔>; 结论4:min [,],()[()]x a b f x m f x m ∃∈<⇔<;
结论5:1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>;【如图一】 结论6:1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>;【如图二】 结论7:1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>;【如图三】 结论8:1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>;【如图四】 结论9:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空; 结论10:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∀∈∃∈=⇔的值域是()g x 的值域的子集 【例题1】:已知两个函数2
3
2
()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;
(1) 若对[3,3]x ∀∈-,都有()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (2) 若[3,3]x ∃∈-,使得()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (3) 若对12,[3,3]x x ∀∈-,都有12()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
解:(1)设32
()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,(1)中的问题可转化为:
[3,3]x ∈-时,()0h x ≥恒成立,即min [()]0h x ≥。
'
2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+;当x 变化时,'(),()h x h x 的变化情况列表如下:
-3
(-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x)
+
-
+
h(x)
k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
k-9
因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-,
所以,由上表可知min [()]45h x k =-,故k-45≥0,得k ≥45,即k ∈[45,+∞). 小结:①对于闭区间I ,不等式f(x) f(x)>k 对x ∈I 时恒成立⇔[f(x)]min >k, x ∈I. ②此题常见的错误解法:由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价. (2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0. 由(1)可知[h(x)]max = k+7,因此k+7≥0,即k ∈[-7,+∞). (3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ,x ∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max =120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min =-21. 由120-k ≥-21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明:这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量. 从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“∀x ”恒成立,还是“∃x ”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.. 【例题2】:(2010年山东理科22) 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈; (1) 当1 2 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性; (2)设2 ()24g x x bx =-+,当14a =时,若对1(0,2)x ∀∈,2[1,2]x ∃∈,使 12()()f x g x ≥,求实数b 的取值范围; 解:(1)(解答过程略去,只给出结论) 当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当a= 21