二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x xa xb ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰； （1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221x x Dyy dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图3图1321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122xxxxdx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算3D oxy1D2D 图 4y xOx=2yy=2xx+y=3图5二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解 区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x xdx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则 ()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转OyxD1D2图6化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．DyxO图7图8vuO例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y y x xαβ==，如果设2,y yu v x x ==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯ ()()4,,,.uJ u v u v v =∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dxdxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311dudv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰（5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么yxD1D 图 8()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）例7 计算221Dd I x y σ=--⎰⎰，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有221Dd I x yσ=--⎰⎰21211d rdr rπθ=-⎰⎰12201r d πθ⎡⎤=--⎣⎦⎰202d πθπ==⎰．直线例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由2,0,2x y y =-==，以及曲线22x y y =--所围成的平面区域． 积分区域D 与1D 分析 首先根据题意，画出积分区域，由于一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+=⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩ 并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9 计算22221D x y I c dxdy a b =--⎰⎰，其中()22,01,0x D x y y b x a a ⎧⎫⎪⎪=≤≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰122001d c r abrdr πθ=-⎰⎰12216abc d r r dr abc ππθ=-=⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰211202y dy x ydx +=⎰⎰()31220213y y dy =+⎰()()521202214211515y =+=-．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即xyO D1D211221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式224Dxy dxdy +-⎰⎰()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰，利用极坐标计算有()()1222220448D xy dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰()()2232220125442D xy dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=． 例12 求(),Df x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =.在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy edxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()0a b xab xx y x y a xadx edy dx e dy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰D1 D2xyaa+b D3 12a11 / 11 a b a b ae be e e ----=-+-。