江苏省宿迁市高中数学第三章概率第4课时几何概型1导学案无答案苏教版必修3
(新)江苏省宿迁市高中数学第三章概率第4课时几何概型1导学案无答案苏教版必修3
几何概型（1）【学习目标】1.了解几何概型的基本特点.2.会进行简单的几何概型计算.3.了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率.【问题情境】(1)取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大?(2)射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛箭靶的靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面上任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少?【合作探究】1.几何概型：（1）（无限性）（2）（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为几何模型.2.几何概型的概率计算公式为：.求几何概型的步骤：【展示点拨】例1．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．例2．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少?【学以致用】1．某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10min的概率．2． 已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即能乘上车的概率．3． 在10000km 2的海域中有40 km 2的大陆架储藏着石油，假如在上述海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少?4． 如图，在直角坐标系中，射线OT 落在600角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率．几何概型（1）【基础训练】1．一根6m 长的木杆上挂一盏灯，则灯与杆两端的距离都大于2m 的概率是________．2．在区间[]0,100上任意取实数x ，则实数x 不大于20的概率是________．3．若[]0,20x ∈，则不等式250x ->成立的概率是________．4．已知实数,x y 可在224x y +<的条件下随机取值，记点(,)x y 满足||1x ≤且||1y ≤为事件A ，则()P A =________．5．如图，转盘中的指针落在区域1、区域2、区域3的概率分别为_____、_____、_____．6．一艘轮船停靠在某一港口，只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间是早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以出港的概率是________．【思考应用】7．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为a ,高为h ,在正三棱锥内取一点M ，试求使点M 到底面的距离小于2h 的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，求所投的点落在E 中的概率．9．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P 与A 连接，求弦长AP 超过半径的倍的概率．10．如图，四边形ABCD为矩形，AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，求直线AP 与线段BC 有公共点的概率．【拓展提升】11．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7AD =．在矩形内任取一点P ，求090APB ∠>的概率．A B CD E PA D CB P12．一只蚂蚁在边长分别为都大于1的位置的概率．。
高中数学 第3章 概率 3.1 随机事件及其概率教案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
第3章概率本章概述一、课标要求本章通过对随机现象的研究，学习认识客观世界的方法.多年来，学生学习数学，主要研究确定的现象，对于不确定现象的规律知之甚少.通过本章的学习，使学生进一步了解不仅确定性现象有规律，可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定现象也有规律可循，同样也能用数学方法去研究.使学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、用随机观念去观察、分析、研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学态度.1.在具体情境中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.2.通过实例，理解古典概型概率的计算公式，会用列举法计算随机事件所包含的基本事件数以及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括计算机产生随机数来模拟〕根据概率，初步体会几何概型的意义.4.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式.5.通过阅读相关材料，了解人类认识随机现象的过程.6.使学生能初步利用概率知识对实际问题进行分析，并进行理性思考，学会对纷繁复杂的事物进行探索，养成透过事物表面现象把握事物本质所在的思维方法，培养学生理性思维能力与辩证思维能力、创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力，以及表达、交流的能力，增强学生的辩证唯物主义世界观，进一步树立科学的人生观、价值观.7.注重表达数学的文化价值与美学价值，增强学生的审美观，丰富学生的文化底蕴，提高学生的人文素质.二、本章编写意图与教学建议人们在认识自然的过程中，对自然现象进行大量的观察，通过观察得到大量的数据，再对得到的数据进行分析，找出其内在的规律.人们发现，有些现象并不像万有引力定律那样可以得到完全确定的规律.现实世界中发生的事件大多是随机事件，人们通过对随机事件的大量重复试验的结果进行理性的探讨，发现了随机事件也不是毫无规律可循.研究这些规律，最终导致了概率的诞生.学生在初中已经接触了概率的初步知识，本章那么是在此基础上开始系统地学习概率知识.本章又是高中阶段第一次学习这一内容，在后续的学习中还将继续学习概率的其他内容，因此，在高中阶段概率的学习中，起到了承前启后的作用，由于与概率计算密切相关的内容还没有学习，因此，在涉及有关计算的问题时采用枚举法，而在用枚举法时一定要做到既不重复也不遗漏，应该按照一定的顺序来计算有关数据，也可以用表格或树形图来进行有关数据的计算.本章包括了随机事件的概率、古典概型、几何概型以及互斥事件有一个发生的概率等内容.概率的核心问题是要让学生了解随机现象及概率的意义，为了让学生能更深入地理解，可以列举日常生活中的实例，由此正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而加深对概率的理解；古典概型从随机事件发生频率的稳定性导入，通过对频率稳定性研究得出随机事件的发生与否有一定的规律可循，从而得出概率的统计定义.在教学中让学生通过实例理解古典概型的特征是试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，使学生学会把一些实际问题转化为古典概型；从古典概型到几何概型，是从有限到无限的延伸，在几何概型的教学中抓住较强直观性的特点.在教学中有意识地适当地运用现代信息技术辅助教学.在教学中要能做到：(1)注意概念的区别与联系，类似的概念不能够混淆，例如概率与频率，互斥事件与对立事件；(2)在运用公式时注意是否符合公式运用的前提条件；(3)注意顺向思维与逆向思维的合理运用，遵循“正难那么反〞的原那么；(4)注意学习前辈的学习和研究的思维方法，能通过对大量事件的观察抽象出事件的本质.在本章的教学中应注重培养学生学习的信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；培养学生的数学思维能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，形成批判性的思维习惯，发展数学应用意识和创新意识；通过本章的学习，让学生感受数学与现实世界的重要联系，逐步形成辩证的思维品质；养成准确，清晰，有条理地表述问题以及解决问题的过程的习惯，提高数学表达和交流的能力；进一步拓展学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.三、教学内容及课时安排建议3.1 随机事件及其概率整体设计教材分析本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率论的发展、概率趣话以及概率的应用，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率为一课时.本节课主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.通过实例说明一个随机事件的发生是存在着统计规律性的，一个随机事件发生的频率总是在某个常数附近摆.我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率.它从数量上反映了这个事件发生的可能性的大小.它是0～1之间的一个数.将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率.对于任意一个随机事件A，P(A)必须满足如下基本要求：0≤P(A)≤1.怎样确定一个事件发生的概率呢？可以从实际问题出发，创设问题情境.具体设计如下：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.三维目标1.通过具体的例子了解随机现象，了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.采用实验探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学.使学生了解一个随机事件的发生既有随机性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性——频率的稳定性，以引出随机事件概率的意义和计算方法.2.理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性.3.掌握概率的统计定义及概率的性质.引导学生对身边的事件加以注意、分析，发挥学生的主体作用，设计好探究性试验.指导学生做简单易行的试验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性，理论联系实际，激发学生的学习积极性.4.通过概率论的介绍，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.发动学生动手试验，体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识.重点难点教学重点:1.随机现象的定义，必然事件、不可能事件、随机事件的定义.2.概率的统计定义，概率的基本性质.教学难点:随机事件的定义，随机事件发生存在的统计规律性.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：〔情境导入〕在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战〞搞得盟军焦头烂额.为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性.一定数量的船〔为100艘〕编队规模越小，编次就越多〔为每次20艘，就要有5个编次〕，编次越多，与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应.设计思路二：〔问题导入〕观察以下现象，各有什么特点？(1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(2)抛一石块，下落；(3)同性电荷互相吸引；〔4〕实心铁块丢入水中，铁块上浮；〔5〕射击一次，中靶；〔6〕掷一枚硬币，反面向上.解答：〔1〕、〔2〕两种现象必然发生，〔3〕、〔4〕两种现象不可能发生，〔5〕、〔6〕两种现象可能发生，也可能不发生.推进新课新知探究由上述事例可知现实生活中有很多现象，这些现象在一定条件下，可能发生也可能不发生.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，试验的每一种可能的结果，都是一个事件.在上述现象中，我们如果把〔1〕、(2)的条件实现一次，那么〔1〕、(2)的现象一定会出现“沸腾〞与“下落〞，“沸腾〞与“下落〞都是一个事件.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件(certain event)；我们如果把(3)、〔4〕的条件各实现一次，那么“吸引〞与“上浮〞也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生的.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件(impossible event)；当(5)、(6)的条件各实现一次，那么“中靶〞与“反面向上〞也都是一个事件，这两个事件，可能发生，也可能不发生.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(random event).必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是随机现象.我们一般用大写的英文字母表示随机事件，例如随机事件A、随机事件B等，另外我们常常将随机事件简称为事件.由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性.但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：从表中我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动.对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率mn 总在某个常数附近摆动并趋于稳定，因此，可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率〔probability〕，记作P(A).必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.因此0≤P(A)≤1 .对于概率的统计定义，教师应说明以下几点：〔1〕求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；〔2〕只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；〔3〕概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；〔4〕概率反映了随机事件发生的可能性的大小.应用示例思路1例1 给出以下事件：①某人练习打靶，一枪命中十环；②手机没电，接听；③抛一枚硬币，结果正面向上；④冰棒在烈日下融化；⑤一粒植物种子，播种后发芽；⑥向上抛一只不锈钢杯子，结果杯口向上.其中随机事件的个数是〔〕A.3B.4解析：判断事件是否是随机事件，可以依据随机事件的概念判断，也就是该事件在一定条件下，是否可能发生也可能不发生，如果可能发生也可能不发生，那么该事件为随机事件.由随机事件的概念可知：①③⑤⑥是随机事件.答案：B点评：判断某一事件是否是随机事件依据随机事件的概念，同样判断某一事件是否是必然事件或是不可能事件也是依据相应的概念，因此，此题中的②是不可能事件，④是必然事件.例2 指出以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？〔1〕假设a、b、c 都是实数，那么a(bc)=(ab)c ；〔2〕没有空气，动物也能生存下去；〔3〕在标准大气压下，水在温度90°时沸腾；〔4〕直线y=k(x+1)过定点(－1,0)；〔5〕某一天内某人接听20次；〔6〕一个袋内装有形状、大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球.分析：根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义来判断.解：由必然事件的定义可知〔1〕、〔4〕是必然事件；由随机事件的定义知〔5〕、〔6〕是随机事件；由不可能事件的定义可知(2〕、〔3〕是不可能事件.点评：要判断一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，应紧紧抓住这些事件的定义，从定义出发来作出判断.例3 任取一个由50名同学组成的班级〔称为一个标准班〕，至少有两位同学的生日在同一天〔记为事件T〕的概率是0.97，据此，我们知道( )A.取定一个标准班，事件T发生的可能性为97%B.取定一个标准班，事件T发生的概率大约是97%C.任意取定10 000个标准班，其中必有9 700个班有事件T发生D.随着抽取的班级数n的不断增大，事件T发生的频率逐渐接近0.97，并在它附近摆动解析：根据随机事件的概率的定义必须进行大量试验，才能得出某一随机事件的概率，因此，此题应从定义出发来研究.对于取定的一个标准班来说，T要么发生要么不发生，所以A，B都不对；对任意取定的10 000个标准班，也可能出现极端情况，如T都不发生，因此C也不对；据概率的统计定义知，选项D正确.答案：D点评：利用概率的统计定义计算随机事件的概率，需要大量重复的试验.对某一个随机事件来说，在一次试验中不一定发生，但在大量重复试验下它的发生又呈现一定的规律.通过对概率的定义的感悟，感受数学学科的实验性，体会偶然与必然的辩证统一.例4 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：〔1〕计算表中优等品的各个频率；〔2〕该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：利用概率的定义来求解此题.解：〔1〕各次优等品的频率为 0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954；〔2〕优等品的概率是0.95.点评：通过此题进一步理解概率的定义，领悟概率其实是某一随机事件发生的可能性的大小.例5 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量随机试验，结果如下：〔1〕计算表中正面向上的频率；(2)试估计事件“正面向上〞的概率.分析：先运用频率计算的方法计算频率，再运用概率的定义确定事件“正面向上〞的概率.解：(1)表中频率自上而下依次为：0.518 1，0.506 9，0.501 6，0.500 5，0.499 6；〔2〕由(1)的结果发现：当抛掷的次数很多时，“正面向上〞的频率接近于常数0.5，在它附近摆动，所以抛掷一枚硬币，正面向上的概率约为0.5.点评：通过计算随机事件发生的频率来估计随机事件的概率是求随机事件概率常用的方法.思路2例1 指出以下事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.〔1〕我国东南沿海某地明年将受到3次热带风暴的侵袭；〔2〕假设a为实数，那么|a|≥0；〔3〕某人开车经过10个交叉路口都遇到绿灯；〔4〕一个正六面体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，将该正六面体连续抛掷两次，向上的一面数字之和大于12.分析：要判断某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，可以依据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义来判断.解：由必然事件、随机事件和不可能事件的定义可知：〔2〕是必然事件；〔1〕、〔3〕是随机事件；〔4〕是不可能事件.点评：对于某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件的判断依据是定义，其关键是看事件本身是如何发生的.例2 在一只口袋中装有形状与大小都相同的2只白球和3只黑球，从中任意取出3只球，试编拟一些事件，使它们分别为随机事件、必然事件和不可能事件.分析：要编拟一些事件，使其为随机事件、必然事件和不可能事件，就是在一定条件下，所编拟的事件必定发生那么为必然事件，必定不发生那么为不可能事件，可能发生也可能不发生那么为随机事件.解：事件A ：任意取出3只球，恰有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至少有1只球是黑球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，都是白球，那么事件C 是不可能事件.点评：此题在编拟随机事件、必然事件和不可能事件时，是开放性问题，因此根据相应的概念来编拟，答案不唯一.除了上述解答外，还可以是其他答案，例如：事件A ：任意取出3只球，至少有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至多有2只球是白球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，没有一只黑球，那么事件C 是不可能事件.例3 用一台自动机床加工一批零件，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取一个，求事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率并求这几个事件发生的概率约为多少？分析：分别求出事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率，再根据这几个事件的频率得出概率.解：事件A 的频率为17+10026=0.43，概率约为0.43； 事件B 的频率为10081526171710+++++=0.93，概率约为0.93； 事件C 的频率为10022+=0.04，概率约为0.04；事件D 的频率为1001=0.01，概率约为0.01. 点评：根据概率的统计定义求随机事件的概率的常用方法是先求随机事件发生的频率，再由频率得出随机事件发生的概率.例4 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：〔1〕填写表中击中靶心的频率；〔2〕这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？分析：击中靶心的频率=击中靶心的次数÷射击的次数，再根据概率的统计定义可知：击中靶心的概率应为频率在某一常数P 的左右摆动，那么常数P 即为该事件的概率.解：〔1〕表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89；〔2〕因频率在常数0.89的左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评：在运用概率的统计定义求某一事件的概率时，应该先求频率，再根据频率来求该事件的概率.知能训练一、课本随机现象练习.解答:2.(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)必然事件；(4)不可能事件；(5)随机事件；(6)随机事件.3.必然事件：③；不可能事件：⑤；随机事件：①②④.4.必然事件：太阳每天都从东方升起；不可能事件：电灯在断电时发亮；随机事件：同时抛两枚硬币，正面都向上.二、课本随机事件的概率练习.解答：1.不对.2.不同意，随机事件的发生概率与该事件以前是否发生无关，故下次发生的概率仍为21. 3.不一定，第10个人治愈的概率仍为10%.点评：通过练习，进一步加深必然事件、不可能事件、随机事件以及概率的概念的理解. 课堂小结本节课主要研究了以下内容：1.随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.随机事件A 的概率：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm .3.由于随机事件A 在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n 次试验中发生的次数〔称为频数〕m 可能等于0〔n 次试验中A 一次也不发生〕，可能等于1〔n 次试验中A 只发生一次〕，……也可能等于n 〔n 次试验中A 每次都发生〕.我们说，事件A 在n 次试验中发生的频数m 是一个随机变量，它可能取得0、1、2、…、n 这n+1个数中的任一个值.于是，随机事件A 的频率nm 也是一个随机变量，它可能取得的值介于0与1之间，即0≤P 〔A 〕≤1.特别，必然事件的概率为1，即P(Ω)=1，不可能事件的概率为0，即P()=0.这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性.然而，经验说明，当试验重复多次时随机事件的频率又具有稳定性.4.说明：①求一个事件概率的基本方法是做大量的重复试验；②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A 的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P〔A 〕≤1.作业课本习题3.1 1、2.设计感想本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率的发展、概率趣话以及概率的应用，以激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率分为两部分，第一部分主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.第二部分是随机事件的概率.怎样确定一个事件发生的概率呢？设计时，从实际问题出发，创设问题情境.除了已有设计之外还可以有如下设计：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel ，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n 位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n 位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.最终得出概率的统计定义.习题详解1.〔1〕随机事件 〔2〕不可能事件 〔3〕随机事件 〔4〕必然事件 〔5〕不可能事件〔6〕必然事件 〔7〕随机事件 〔8〕随机事件2.D.3.(1)〔2〕概率约为0.81.4.。
【高中】高中数学苏教版必修3第3章概率古典概型导学案1
【关键字】高中江苏省响水中学高中数学第3章《概率》古典概型（1）导学案苏教版必修3【学习目标】1.能说出基本事件的特点,会用列举法把一次试验的所有基本事件列举出来.2.能运用古典概型的概念及其特点,判断一个试验是否为古典概型.3.能应用古典概型的概率公式计算随机事件的概率.【重点难点】重点：利用古典概型求随机事件的概率.难点：判断一个实验是否是古典概型，分清基本事件的个数与实验中基本事件的总数.【课前预习】问题1:在上面的情境中,抽到的牌的可能结果总公有54种,每张牌抽到的可能性是相等的,大王只有1张,红心牌有13张,所以抽到大王的概率为,抽到红心牌的概率为,这种概率的求法其实就是我们这节课所学的古典概型.问题2:古典概型与基本事件(1)在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.(2)古典概型的定义:①有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②:每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.问题3:古典概型的计算古典概型的概率计算公式:对于古典概型,如果实验的所有可能的结果(基本事件)的个数为n,那么每一个基本事件的概率都是,若随机事件A包含的基本事件数为m(m≤n),则随机事件A的概率为.问题4:古典概型的计算步骤(1)求出基本事件的总个数n,基本个数较少时,通常用列举法把所有的基本事件列举出.(2)求出事件A包含的基本事件个数m(m≤n).(3)求出事件A的概率:P(A)==.【课堂探究】探究一古典概型的判断1、下列试验中,是古典概型的有.(1)种下一粒种子观察它是否发芽;(2)从直径为±的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d;(3)抛一枚硬币,观察其出现正面或反面;(4)某人射击中靶或不中靶;(5)两个奥运会志愿者相约在中午12点到1点之间在志愿服务地点交接班.探究二、、共3人排成一排．（1）写出所有的基本事件；（2）求不排在中间这个事件的概率．探究三一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．（1）公有多少基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？探究四豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为，决定矮的基因记为，则杂交所得第一子代的一对基因为，若第二子代的、基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因则其就是高茎，只有两个基因全是时，才显现矮茎）．4．从分别写有A、B、C、D、E的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为__________．5．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．（1）写出这个试验的所有基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？它的概率是多少？6．口袋中有形状、大小都相同的1只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球．（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1只白球、1只黑球”的结果有多少种？（3）出现“1只白球、1只黑球”的概率是多少？此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型(1)教案 苏教版必修3(2021年最新整理)
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3.3 几何概型(1）教学目标：1．了解随机数的概念和意义；2．了解用模拟方法估计概率的思想；3．了解几何概型的基本概念、特点和意义 ；4．了解测度的简单含义；5．了解几何概型的概率计算公式．教学重点：几何概型的特点：（1）基本事件有无限多个;（2)基本事件发生是等可能的．教学难点:几何概型的概率计算公式的推导．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、问题情境问题1：取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为3m金色．金色靶心叫“黄心"．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12．2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么？（1）能用古典概型描述事件的概率吗?为什么?(2)试验中的基本事件是什么？（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？(4)符合古典概型的特点吗?二、学生活动问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．三、建构数学对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．几何概型的特点：(1)基本事件有无限多个;（2）基本事件发生是等可能的．一般地,在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:.D的测度d的测度P(A)=四、数学运用1．例题．例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m 的概率．解:记“灯与两端距离都大于3m ”为事件A,由于绳长8m ，当挂灯位置介于中间2m 时,事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）= 82=41． 例2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．事件A,记“豆子落在圆内”为:解 .a a πππ===22圆的面积P(A)正方形面积44答:豆子落入圆内的概率为4 数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．如果向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，那么当n 很大时，比值n m ，即频率应接近于 P （A ），于是有由此可得4πm n ≈2．练习． （1）在数轴上，设点x ∈[－3，3]中按均匀分布出现,记a ∈(－1，2]为事件A ，则P （A ）=（ ）A ．1B ．0C ．12D ．13(2)在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概2a().m P A n ≈率是多少?（3)在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？（4)如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率．（5）在正方形ABCD 内随机取一点P,求∠APB ＞ 90°的概率．22)2(21)(a aD d A P π==的测度的测度解：.8π=变式：∠APB ＝90°?.00)(2===a D d B P 的测度的测度结论：概率为0的事件可能发生！五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．古典概型与几何概型的对比．相同：两者基本事件的发生都是等可能的;BCD PB C D P不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型的概率公式．积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P )(3．几何概型问题的概率的求解．（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（2）D 的测度不为0，当D 分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．（3）区域应指“开区域",不包含边界点；在区域D 内随机取点是指：该点落在D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．。
高中数学苏教版必修3第3章《概率》(几何概型)word导学案2
江苏省响水中学高中数学 第3章《概率》几何概型（2）导学案 苏教版必修3学习目标：1.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；2.增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．重点、难点： 将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．课前预习：1．回顾几何概型的概念，基本特点，计算公式．2．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______3.已知在矩形ABCD 中，5AB =，7AC =．在长方形内任取一点P ，求APB ∠>︒90的概率．4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M-ABCD 的体积小于61的概率？课堂探究：１、在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．图335--变式：在△ABC ，060=∠ABC ，2=AB ，4=BC ，在线段BC 上任取一点M 。
试求：① △ABM 为钝角三角形的概率；② △ABM 为锐角三角形的概率．③ 过顶点A 在ABC ∠内部任作一条射线AM ，△ABM 为钝角三角形的概率；２、有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，(1) 试求硬币完全落入圆内的概率．(2) 若将圆改为边长为5的正方形，试求硬币完全落入正方形内的概率?3、在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．变式：甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。
求二人能会面的概率。
高中数学第3章概率3.3几何概型教材梳理导学案苏教版必修
3.3 几何概型庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集，事件“点取自g”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关.如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应），那么事件A 的概率规定为：P(A)=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为A ，则P(A)=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型.辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ； （4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间即0到32 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 之间的时间段内按错键.P （A ）=4513032. 误区警示 此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件A 对应的区域是0到32 min 的时间段，而不是21 min 到32 min 的时间段. 例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_________.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3.图3-3-2如图3-3-2所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件A ：“此二人会面”问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA =102-(10-3)2=51.故所求概率为P(A)=10051=ΩμμA 答案：10051 深化升华 把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰RT△ABC 中，在斜边AB 上取一点M ，求AM 的长小于AC 的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点M 随机地落在线段AB 上，线段AB 为试验所有结果构成的区域D ，当点M 位于图中线段AC′上时，AM ＜AC ，线段AC 即为构成事件的区域d.方法一:在AB 上截取AC′=AC，于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A , 即AM 的长小于AC 的长的概率为22. 方法二:视射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上取AC′=AC，则∠ACC′= 245180︒-︒=67.5° . 故所求的概率为43905.67=. 误区警示 背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究问题 我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.。
高中数学 第3章《概率》几何概型(1) 精品导学案 苏教版必修三
江苏省响水中学高中数学第3章《概率》几何概型（1）导学案苏教版必修3学习目标：1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算．重点难点：几何概型中概率的计算公式、简单的几何概率计算．课前预习：1.以下两个问题是古典概型吗？①取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？②射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？2.几何概型的概念：3.几何概型的基本特点：4.几何概型的概率计算公式：课堂探究：１．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m 的概率.变式：已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?变式：有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.技能检测：1.某人上班前，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
高中数学第3章概率3.3几何概型(1)教案苏教版必修3
3.3 几何概型 1整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P(豆子落入圆内)=.（3）启发引导学生探究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应.若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上.由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的.线段AB长5，线段AM、BN长为1，则线段MN长为3解：P（T）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P（A）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件A，就可与几何区域D中的子区域d表示了，如下图：试验：从D中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d；事件未发生：所取的点不属于 d.这样事件A的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A)=子区域d的长度/区域D的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子区域d的面积/区域D的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)= .这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A的概率用子区域d的大小与几何区域D大小的比值来表示是合理的.当子区域d和几何区域D是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d和几何区域D是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d和几何区域D是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域d的测度/区域D的测度.由于几何区域d是几何区域D的子集，于是我们有0≤ｄ的测度≤Ｄ的测度，在不等式两侧同时除以D的测度（一般假定其为正数）则有，即0≤P≤1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(A)＝0时，d 的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d的测度必须等于D的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“４点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例 2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d，所有的1升水看成区域D，记事件A为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则P(A)==0.1.答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例 3 将正方形ABCD等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形ABCD内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解： (1)记事件A为“点落在红色区域”，假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(A)=.(2)记事件B为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(B)=.(3)记事件C为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(C)=.点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例 4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x）小时，乙到的时间为（9＋y）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即小时，所以在|x－y|≤时，两人才能会面.由于|x－y|≤是两条平行直线x－y=,y－x=之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1－)×(1－)=()2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1－()2=，因此所求的概率为.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例 1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=.点评：本题中“测度”为长度.例 2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A、B、C的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域A或B的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域C的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析：由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A、B、C，设正三角形的面积为S，则三个小三角形的面积（也就是区域A、B、C的面积）都是正三角形面积的，即每个小三角形的面积都是，所以，P(A)=P(B)=P(C)=.在靶子2中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A1、B1、C1，设圆的面积为S1，则区域A的面积为，区域B、C的面积为，因此，P(A1)=，P(B1)=P(C1)= .(2)记事件D为“在靶子1中，分别投中区域A或B”，所以，P(D)=.(3)记事件E为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有P(E)=.点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例 3 如图，正方形ABCD内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R，正方形ABCD的边长为x，由平面几何知识可知：x2=(R－)(R+)，得x2=R2.记该点“落入正方形内”为事件A，则P(A)=≈0.51.点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积.例 4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件A“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为.点评：在本题中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答：1.C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出 2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是［o,a］，只有当r＜OM≤ａ时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：P（获得购物券）=；P（获得100元购物券）=；P（获得50元购物券）=；P（获得20元购物券）=.4. 设x和y为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里0＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y ＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示.因此P(r)=.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题.具体地说，如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率.如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无数个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率.第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向L上任意投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率为P=；（2）设平面图形s是平面图形S的一部分，向图形S上任意投一点，若投中图形s上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s在图形S上的相对位置无关，则点投中图形s 的概率为P=；（3）设空间几何体v是空间几何体V的一部分，向几何体V上任意投一点，若投中几何体v上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v在几何体V上的相对位置无关，则点投中几何体v的概率为P=.作业课本习题 3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的概率计算公式中的“测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些是可以转化为上述量的具体问题，要会转化.。
高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3
高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修31．了解几何概型的概念及基本特点．(重点) 2．熟练掌握几何概型的概率公式．(重点、难点)3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．(重点、易混点) 4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点)[基础·初探]教材整理 几何概型阅读教材P 106～P 107“例1”上边的内容，并完成下面的问题． 1．几何概型的定义设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个； (2)每个基本事件出现的可能性都相等． 3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．( ) (2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( )(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解．( )【解析】 (1)√.由几何概型的特点可知正确． (2)√.由几何概型的定义知正确．(3)√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型]测度为长度的几何概型(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． (2)某市公交车每隔10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客能搭上车的概率为________． 【精彩点拨】 利用测度为长度的几何概型求解．【自主解答】 (1)设“X ≤1”为事件A ，则事件A 发生表示X ∈[－2,1]， 由题意知，D 测度为区间[－2,3]长度3－(－2)＝5，d 的测度为区间[－2,1]长度1－(－2)＝3， 即X ≤1的概率为P (A )＝d D ＝35.(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D ＝10 min ，而事件B 的区域长度为d＝1 min ，故P (B )＝d D ＝110，即乘客能搭上车的概率为110.【答案】 (1)35 (2)1101．解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A (B )包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解．2．求测度为长度的几何概型的步骤．(1)确定几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．(2)确定事件A 发生时对应的区域d ，判断d 的边界点是问题的关键． (3)利用几何概型概率公式求概率．[再练一题]1．在两根相距8 m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3 m 的概率是________．【解析】 记“灯与两端距离都大于3 m”为事件A ，由于绳长8 m ，当挂灯的位置介于中间的2 m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P (A )＝28＝14.【答案】 14测度是面积的几何概型如图331，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.图331【精彩点拨】 判断为几何概型→求出图形的面积→利用公式求概率【自主解答】 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.【答案】2π解决此类问题的关键是：1根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；2确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.[再练一题]2．如图332，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________.【导学号：11032066】图332【解析】 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝1－π4.【答案】 1－π4测度为体积的几何概型已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率．【精彩点拨】 先判断为测度是体积的几何概型，然后由体积关系转化为点M 到平面ABCD 的距离的问题处理．【自主解答】 设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M ABCD ＝ 13·S 正方形ABCD ·h ＜16，S 正方形ABCD ＝1，所以h ＜12， 所以只要点M 到平面ABCD 的距离小于12即可．因为所有满足M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以平面ABCD 为底面，高为12的长方体，其体积为12.又正方体的体积为1，所以使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.在几何概型中，如果试验的结果所组成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积，然后利用公式求概率.[再练一题]3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．【解析】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.【答案】127[探究共研型]几何概型中测度类型的确定探究1 在几何概型中，涉及到的测度大体有几种？如何进行区分？【提示】 几何概型涉及到的测度有长度、面积、体积与角度，“测度”的意义要依据D 来确定，当D 分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．当几何概型中的线在一个定角内运动时，测度可能为长度或角度．探究2 问题1：在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM <AC 的概率； 问题2：在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作射线CM ，交AB 于点M ，求AM <AC 的概率．以上两问题中涉及的测度一样吗？概率分别是多少？【提示】 两问题中的测度不一样，问题1中是长度，而问题2中为角度．由几何概型知，问题1中的概率为22，问题2中的概率为34. 过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【导学号：11032067】【精彩点拨】 判断为几何概型→确定测度类型→计算测度→ 代入公式求解【自主解答】 设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦．显然当弦为CD 时其长度就是△BCD 的边长，弦长大于|CD |等价于圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概型的概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12.在利用几何概型求概率时，关键要明确题目的类型，即是长度型、角度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内.[再练一题]4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．【解析】 如图，过点D 作l ∥BC 交AC 于点E .由题知AD AB ＝34.而P 为△ABC 内任意一点，则使S △PBC ＞S4的点落在△ADE 中，∴P ＝S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2＝916.【答案】9161．如图333，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．图333【解析】 由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23S 正＝83. 【答案】 832．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(整点报时)，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为________．【解析】 记“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，则事件A 发生．由几何概型求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.【答案】 163．如图334，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一个顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．图334【解析】 设正方形边长为a ，则S正方形＝a 2，S扇形＝14πa 2，则扇形外正方形内的面积为S ＝S 正方形－S 扇形＝a 2－π4a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2，故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2a2＝1－π4＝4－π4.【答案】4－π44．在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________．【解析】 当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16.【答案】π165．用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．【解】 设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生等价于OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1.则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3＝1－127＝2627.故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.。
高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学学案
探究2 “有放回”与“无放回”的区别是什么？探究1中的两种试验是否是古典概型？
【提示】“有放回”与“无放回”取法的区别在于基本事件总数不同．“有放回”地取元素时，被取元素个数不变；“无放回”地取元素时，被取元素的个数取一次少一次．但两种取法都满足古典概型的两个特点，故都是古典概型．
1．判断一个概率类型是否为古典概型的关键是看试验的结果是否满足有限性和等可能性．
2．求古典概型概率的步骤：
(1)求出基本事件总数n.
(2)求出事件A包含的基本事件的个数m.
(3)利用公式P(A)＝
＝ 求出事件A的概率．
[再练一题]
2．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪子、布)，则平局的概率是________；甲赢的概率是________；乙赢的概率是________．
①请写出所有的基本事件；
②求满足条件“ 为整数”的事件的概率；
③求满足条件“x－y＜2”的事件的概率．
【精彩点拨】先列举出所有基本事件，判断事件包含的基本事件个数，然后利用公式求解．
【自主解答】①先后抛掷两次正四面体的所有基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的4件产品中每任取1件，连续取2次．
(1)若取后不放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若取后放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率．
【精彩点拨】 → → →
【自主解答】(1)取后不放回地取两次，所有基本事件为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)共有12个．
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型学案2(无答案)苏教版必修3(2021年整理)
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几何概型本课时学习目标或学习任务了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概率计算；了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．本课时重点难点或学习建议几何概型的概率的求法．本课时教学资源的使用导学案学习过程一、自学准备与知识导学1．什么叫几何概型？其特点如何？2．几何概型的常见类型有几种？二、学习交流与问题探讨例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．B例2 如图，在圆心角为︒90的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ．(1）求使得AOC ∠小于︒30的概率；（2）求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于︒30的概率．利用随机模拟方法计算曲线211===x x x y ，，和0=y 所围成的图形的面积．ABO 例3三、练习检测与拓展延伸1．已知等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ．（1）在直角边BC 上任取一点M ，求︒<∠30CAM 的概率；（2）在CAB ∠内作射线AM ，求︒<∠30CAM 的概率．2．在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为1．在正方体内随机取点M , 求使四棱锥ABCD M -的体积小于16的概率．四、小结与提高。
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几何概型（1）
【学习目标】
1.了解几何概型的基本特点.
2.会进行简单的几何概型计算.
3.了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率.
【问题情境】
(1)取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大?
(2)射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛箭靶的靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面上任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少?
【合作探究】
1.几何概型：
（1）（无限性）
（2）（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为几何模型.
2.几何概型的概率计算公式为：.
求几何概型的步骤：
【展示点拨】
例1．取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．
例2．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少?
【学以致用】
1．某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10min的概率．
2． 已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即能乘上车的概率．
3． 在10000km 2的海域中有40 km 2的大陆架储藏着石油，假如在上述海域中任意一点钻探，
钻到油层面的概率是多少?
4． 如图，在直角坐标系中，射线OT 落在600角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落
在xOT ∠内的概率．
几何概型（1）
【基础训练】
1．一根6m 长的木杆上挂一盏灯，则灯与杆两端的距离都大于2m 的概率是________．
2．在区间[]0,100上任意取实数x ，则实数x 不大于20的概率是________．
3．若[]0,20x ∈，则不等式250x ->成立的概率是________．
4．已知实数,x y 可在22
4x y +<的条件下随机取值，记点(,)x y 满足||1x ≤且||1y ≤为事件A ，则()P A =________．
5．如图，转盘中的指针落在区域1、区域2、区域3的概率分别为_____、_____、_____．
6．一艘轮船停靠在某一港口，只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间是早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以出港的概率是________．
【思考应用】
7．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为a ,高为h ,在正三棱锥内取一点M ，试求使点M 到底面的距离小于
2h 的概率．
8．在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，求所投的点落在E 中的概率．
9．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P 与A 连接，求弦长AP 超过半径的
倍的概率．
10．如图，四边形ABCD
为矩形，AB =1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，求直线AP 与线段BC 有公共点的概率．
【拓展提升】
11．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7AD =．在矩形内任取一点P ，求0
90APB ∠>的概率．
A B
C
D E P
A D C
B P
12．一只蚂蚁在边长分别为都大于1的位置的概率．。